Обобщенное преобразование Данкля на прямой в обратных задачах теории приближений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 25. Выпуск 2.

УДК 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-2-67-81

Обобщенное преобразование Данкля на прямой в обратных задачах теории приближений1

В. И. Иванов

Иванов Валерий Иванович — доктор физико-математических наук, профессор, Тульский

государственный университет (г. Тула); Московский государственный университет

им. М.В. Ломоносова; Московский центр фундаментальной и прикладной математики

(г. Москва).

e-mail: ivaleryi@mail.ru

Аннотация

Изучается обобщенный гармонический анализ Данкля на прямой, зависящий от параметра г € N. Случай г = 0 ответствует обычному гармоническому анализу Данкля. Все конструкции зависят от параметра г > 1. С помощью оператора обобщенного сдвига определяются разности и модули гладкости. С помощью дифференциально-разностного оператора определяется пространство Соболева. Исследуется приближение функций из пространства LP(R, dv\) целыми функциями экспоненциального типа не выше а из класса f € Вр'л) обладающих свойством f (2s+1)(0) =0 s = 0,1,... ,r — 1. Для целымх функций из класса f € В^ доказываются неравенства, которые используются в обратных задачах теории приближений. В зависимости от поведения величин наилучшего приближения функции дается оценка модуля гладкости функции, а так же модуля гладкости от степени ее дифференциально-разностного оператора второго порядка. Дается условие асимптотического равенства между наилучшим приближением функции и ее модулем гладкости.

Ключевые слова: Обобщенное преобразование Данкля, оператор обобщенного сдвига, свертка, модуль гладкости, целые функции экспоненциального типа, обратные неравенства теории приближений.

Библиография: 11 названий. Для цитирования:

В. И. Иванов. Обобщенное преобразование Данкля на прямой в обратных задачах теории приближений // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 2, с. 67-81.

1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-71-30001, https://rscf.ru/projecs/23-71-30001/, в МГУ им. М.В. Ломоносова.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 2.

UDC 517.5

DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-2-67-81

Generalized Dunkl transform on the line in inverse problems of approximation theory

V. I. Ivanov

Ivanov Valerii Ivanovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tula State University (Tula); Lomonosov Moscow State University; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics (Moscow). e-mail: ivaleryi@mail.ru

The generalized Dunkl harmonic analysis on the line, depending on the parameter r G N, is studied. The case r = 0 corresponds to the usual Dunkl harmonic analysis. All designs depend on the parameter r > 1. Using the generalized shift operator, differences and moduli of smoothness are determined. Using the differential-difference operator, the Sobolev space is defined. We study the approximation of functions from space Lp(R, dv\) by entire functions of exponential type not higher than a from the class f G that have the property f (2s+1)(0) =0 s = 0,1,..., r — 1. For entire functions from the class f G inequalities are proved that are used in inverse

problems of approximation theory. Depending on the behavior of the values of the function best approximation, an estimate is given of the modulus of smoothness of the function, as well as the modulus of smoothness on the degree of its second-order differential-difference operator. A condition is given for asymptotic equality between the best approximation of the function and its modulus of smoothness.

Keywords: Generalized Dunkl transform, generalized translation operator, convolution, modulus of smoothness, entire functions of exponential type, inverse inequalities of approximation theory.

Bibliography: 11 titles. For citation:

V. I. Ivanov, 2024. "Generalized Dunkl transform on the line in inverse problems of approximation theory" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 2, pp. 67-81.

1. Введение

В 2012 г. С. Бен Сайд, Т. Кобаяшн и Б. Орстед [1] определили двупараметрическое (к, а)-обобщенное унитарное преобразование Фурье. В одномерном случае оно является интегральным оператором

Abstract

(1)

с ядром

Здесь а > 0, 2к + а — 1 > 0 = 2ахГ(А + 1) Л = (2к — 1)Д jx(x) = 2ЛГ(А + 1)x~xJ\(x) — нормированная функция Бесселя.

Здесь а > 0, 2к + а — 1 > 0 с,

2ахГ(А + 1) Л = (2к — 1)/а, J\(x) — функция Бесселя,

При к = 0, а = 2 оно совпадает с классическим преобразованием Фурье, а при а = 2 — преобразованием Данкля (см. [2, 3]).

Пусть Л ^ — 1/2, &Л(х) = (2Л+1Г(Л + 1))-1|х|2Л+Чх - мера на М, 1 < р < то, 1Р(М.,йиЛ) лебегово пространство измеримых комплекснозначных функций с конечной нормой

>,<ь>х = {! I/(х)|р^Ых))1/Р < то, 1 < то, Ч./М J

Ьте(М,с! 1?л) = С&(М) — множество непрерывных ограниченных функций с нормой = вирм |/(х)|, Сте(М) — множество бесконечно дифференцируемых функций, СПр(М) — множество бесконечно дифференцируемых функций, имеющих полиномиальный рост на бесконечности, 5 (М) — пространство Шварца бесконечно дифференцируемых и быстро убывающих на бесконечности функций.

В [4], отправляясь от преобразования (1) при а = 2/(2г+1), г € Z+ и Л = (2г+1)(& —1/2) ^ ^ —1/2, с помощью замены переменной получено двупараметрическое семейство унитарных преобразований

^Л( /)(х) = / /(х)ег, л(—ху)^л(х) (2)

с ядром

(ху )2г+1

ег,л(хУ) = ,]л(хУ) + г(—1)Г22г+1( Л + ^ Эл+2г+1(хУ). (3)

При г = 0 оно совпадает с преобразованием Данкля и

^оЛ(5 (М)) = 5 (М). Если г ^ 1 и Бг(М) = { / € 5(М): /(2 5+1)(0) = 0}, то (М)) = Таким образом, преобразование (2) при

г ^ 1 хоть и имеет свои особенности, но очень похоже на преобразование Данкля. Мы называ-( , Л)

Данкля. Его изучение продолжено в работах [5, 6, 7].

Помимо обобщенного преобразования Данкля обобщенный гармонический анализ Данкля на прямой со степенным весом | х |2Л+1 осуществляется с помощью дифференциального-разностного оператора, называемого обобщенным лапласианом Данкля,

А л,г № = /' (х) + 2Л+1 / (х) — (2 г + 1)( Л + г + 1/2)/(х) — /(—х) (4)

х х2

и операторами обобщенного сдвига

/те

ег,л(уег,л(хг)7"ГЛ( ¡)(г) (Ь>л(г) (5)

-те

и

/те

Зл(уг) е-г, л(х г )^Л( Л(г)с1ил(г). (6)

те

( = 0)

вестна только при р = 2, поэтому его заменой стал оператора сдвига (6) (см. [10]). Он также используется в гармоническом анализе Бесселя (см, например, [8, 9]). В одномерном случае ограниченность оператора (5) в пространствах ЬР(М, йил) известна уже для всех г € поэтому естественно работать именно с ним. В работе [7] при г ^ 1с его помощью доказаны прямые теоремы теории приближений в пространствах ЬР(М, ймЛ). В настоящей работе, продолжающей [7], доказываются обратные теоремы теории приближений в пространствах Ьр{М,й 1?л), также использующие оператор обобщенного сдвига (5). Сформулируем основные наши результаты.

с

Теорема 6. Если m,n,r £ N 1 < Р < ж, т0 Для любой f £ LP(R, dv\)

1 1 п 3=0

Теорема 7. Если 1 < р < ж, f £ U'(R'du') и некоторого к £ N числовой ряд £Г=132k-1Ej,r(f)p,d,ufc сходится, то f £ W^' и для Ш'Г £ N

1 1 п -' (-A',,)fcЛ d < ^(3 + 1)2(r+fc)-1^(/WA

/ p,dv\ П *—' j=0

те

+ j2"-1 E3'r U)p,dv\ ■

j=n+1

Теорема 8. Пусть 1 < p < ж, т,Г'П £ N. Асимптотическое равенство

E'n,r (f )p,dv\ х №m,r (1/^' f )p,dv\

справедливо для любой f £ Lp(R, dv\) тогда и только тогда, когда

Шт,г (1/П' f )p

(1/n,f )p ,dvл ■

Для целых функций экспоненциального типа из класса Bp ^ доказаны достаточно общие неравенства.

Теорема 4. Если а > 0 п1,п2 ^ 0 т1,т2 ^ 0 р = п1 + т1 — п2 — т2 ^ 0 1 ^ р ^ ж, 0 <5 < t < 1/(2ст), и f £ В*'', то

Г2™1 ЦЛ™1 (—ДА'Г)ni f Wp'dvx < °2pt-2m2 \\Л™ (—'АЛ'Г)n2 f Wpdbx ■

Характерной особенностью получаемых результатов является тот факт, что в одном весовом пространстве Lp(R, dv\) мы имеем бесконечно много неравенств, зависящих от параметра г £ N.

Пусть А'В > 0. Мы будем писать А < В, если выполнено неравенство А ^ сВ с константой с > 0, зависящей только от несущественных параметров, А х В, если выполнено неравенство с-1 В < А < сВ.

В настоящей работе в секции 2 приводятся некоторые элементы обобщенного гармонического анализа Данкля. В секции 3 доказываются неравенства для целых функций экспоненциального типа. В секции 6 доказываются обратные теоремы теории приближений, указывается условие асимптотического равенства между наилучшим приближением и модулем гладкости.

2. Некоторые элементы обобщенного гармонического анализа Данкля

Приведем некоторые свойства обобщенного гармонического анализа Данкля из [4, 5, 6, 7].

Пусть А > —1/2. Обобщенное преобразование Данкля имеет равномерно ограниченное ядро. Оно является унитарным оператором и для f £ L2(R,dux) справедливо равенство Планшереля

/* /*те

/ (/)(У)12 dvx(y)= Ц(x)l2 dvx(x).

J R J-oo

Обратный оператор имеет вид

/те

£;,л(ху) д(у) йил(у).

-те

В пространстве Шварца 5(М) сходимость определяется счетным семейством полунорм

р3,м( /) = 8пр |(1 + х2/(х)|, э,М е Б/(х) = Г (х),

хем

относительно которой (М) — замкнутое подпространств о и сосЦт5; (М) = г.

Пусть (М+) = 5(М+) — подпространство Шварца четных функций, Б'г(М) — пространство обобщенных функций на (М), Б'г (М+) = 5'(М+) — пространство четных обобщенных функций медленного роста. Если для функции р е (М), ре и р0 — ее четная и нечетная составляющие, то обобщенная функция /е е 3';(М) (/0 е 3';(М)) называется четной (нечетной), если

(и, р)\ = (/е, Ре)х ((и, р)л = (и, Ро)\), р е 5; (М).

Множества четных обобщенных функций на 5(М) и (М) совпадают. Для нечетных обобщенных функций эти множества различаются. Если /0 — нечетная обобщенная функция на 5(М), то на (М) нечетными обобщенными функциями будут все функции /0/х2= 1,... ,г. Регулярный линейный непрерывный функционал на (М), определяемый функцией / и мерой йи\, будет иметь запись

(¡,р)л = / !рЛи\, р евг(М). Jм

Обобщенное преобразование Данкля можно продолжить на (М) по правилу

f ),р)л = (/, Ъ\р))х, / е5; (М), р е5г (М). (7)

Ядро (3) является собственной функцией обобщенного лапласиана Данкля (4)

(—Ал,; )хе-г,л(ху) = Ы2 ег,л(ху). Оператор А л,г: (М) ^ (М) и для / е (М) и п е М,

/ (—Ал,г)п/(х)ег,л(ху)йил(х) = |у|2п / /(х)ег,л(ху)йил(х). Jм Jм

Распространим степень обобщенного лапласиана Данкля на (М) равенством

((-А л,г)п¡,р)л = (/, (-Ал,г)пр)л, 1е8'г(М), р е5г(М), п е N. (8)

В силу (7) можем также использовать обобщенное преобразование Данкля

^г((-Ал,г)п/) = (-)2п^л( Л, / е 5;(М). (9)

Пусть А = л/х2 + у2 — 2ху£. Для оператора обобщенного сдвига (5) получено интегральное представление

Г'{(х) = 2 {/(А)(1 — РЧ+1'2М + РЙ^ ^) + РЖ2){^))

+/(—А) (1 — рЖ2)« ) — р^Г (^) — ^гГ (4х))}

и оценки его норм в пространствах £Р(М, йил) для всех 1 ^ р ^ ж, у £ М, Л > -1/2,

\\т* ц . (ю)

Пусть

С0°°(М) = Ср(М), СГ°°(М) = {/ £ С ~(М): /(25+1)(0) = 0, 8 = 0,1,...,г - 1}, г ^ 1. Так как ел>г £ (М) П С~(М), то для р е5г(М) и / £ 5Г'(М)

Ъл(т\)(г) = ел>г (^ )ЛЛ(У)(^), ^""(г«/) = &л,г Ш)^/). (П)

В частности,

^(тур),тур £вг(М). (12)

Пусть т £ N I — тождественный оператор,

m , ч

A7,rf (х) = (I — ry )mf (х) = £(—1)в(^) (тУ )Sf(x)' (13)

разность порядка т, определяемая оператором обобщенного сдвига т , зависящим от г,

Шm,r (Dp'dvx = sup \\Amr f(x)\\p'dvx (14)

0<y^S

модуль гладкости функции f £ Lp(R,d ил). Ир и т = 0 полагав м f(x) = f(x). Если f £ Sr(R), то в силу (5),

ГЛ(Атг f)(z) = em'(yz)F'( f)(z), (15)

У

где

<&(*) = Е(—1)s i™) (ьлЮУ = (1—(щ

s=0 V 6 /

Для функции еГл выполнены следующие свойства

cllm min(1, t2m) < | етЛ(*)| < cKrm min(1, t2m),

Сл(Ж) x2m (17)

^ mm'' ^'^y £ C~(R)ncr™ 1 j

Для f £ Sr (R) мы можем определить распределения

F'(Amj ) = emM-))&(/)■ (18)

Лемма 1. Если m £ Z+, n £ N f £ Lp(R, йил), то

w^mm+n f \kd»x < w^rf wp 'dv\ ■

Смотрим свертку пары функций p £ Sr (R), ф £ C^°(R) П C^0

(ф *Tp)(x) = ф(у)тхр(—y)dvл(y)■

Лемма 2. Если у е (М) ф е СГ°°(М) П Ср(Ж), то (ф *Т ф) е (М) и ^((ф *т у))(у) = ^(ф)(у)^(ф)(у) е

Пусть ф(у) = ф(-у). Используя лемму 2, для / е (М), ф е Ср°(М) П СПр (М) определим обобщенную свертку ( / *т ф) равенством

(( I *тф),Ф)х = (/, (ф *тф)х, Ф евг(М). (19)

Отметим, что

ЛА(( / *г ф)) = ЛЛ(ф)ЛЛ(/). (20)

Для свертки мы будем применять следующий вариант неравенства Юнга (см. [5]).

Теорема 1. Пусть 1 ^ р,д ^ го, 1/р + 1/д ^ 1 и 1/« = 1/р + 1/д — 1. Если / е ЬР(М, йиЛ), д е Ь9(М, йиЛ) П СГ°°(М) П Ср(М), то

Кf *г д)\\ < К,л\\П\р,^\\9\\

Доказательство. Пусть 1/ц = 1/р — 1/з и 1/у = 1/д — 1/8. Тогда 1/ц ^ 0 1/и ^ 0 и 1/в + 1/ц + 1/и = 1.

Применяя неравенство Гельдера, получим

I !(у)гхд(-у)йил(у) < (I I/(у)!р|т^(—у)\«йил(у))Ф .Ум у.УМ 7

X (/ IЛу)|р^Л(У))1/м(/|тх5(—у)\9^л(у))1/гУ

«/М «/М

= (^ I/(у)\р|гх5 (—у)!9*^))1^/^ Ьха (—у)\й,х ■

Отсюда и из (10)

\\(/ * Г 5)\\м^

< (I [ I¡Ш1к-У9(х^^л^^лХ)^\\ДРР^Х\\тхд(—у)\\^х

< Н/Нр^л\\т^ (х) Н^У^ (— у)\\9%х < ^л\\/\\Р,а* \Ь\\д,(1и\ ■

Теорема 1 доказана.

3. Некоторые неравенства для целых функций экспоненциального типа

Пусть а > 0 1 ^ р ^ го, ^ > —1/2- Рассмотрим два класса целых функций экспоненциального типа.

Функция / е В^, г е если / — целая функция экспоненциального типа не выше а

/ е ЬР(М, *г/л)ПСр°(М). Фуикция $ е В^'Л, если £ е ЬР(М, *г/л)ПСр°(М) и для ее аналитического продолжения на С выполняется неравенство

|/(,г)| < ^еа11т^, Уге С.

На самом деле, эти классы совпадают (см. [10]).

В [7] для этих классов установлена теорема Пэли-Винера.

и

(21)

Теорема 2. Пусть 1 ^ р ^ ж. Функция f £ В°л тогда и только тогда, когда f £ Lp(R,^) nC~(R) и supp^(f) С [—а, а].

Далее применяем работы [10, 11]. Пусть 1 ^ р ^ ж, 1/р + 1/р = 1 V £ (R+) г](х) = 1, 1x1 < 1; г](х) > 0, 1 < 1x1 < 2; г](х) = 0, |ж| ^ 2,

J? М»)(у) = а^+^лШау), \№W))WP^ = а^ \\^(ri)\\p',d„x■

Теорема 3. Если а > 0 0 < р < q < <ж, f £ В^, то

\\/\\< а(2л+2)(1/р-1А>)\\f\\Pttb/x■

Доказательство. Пусть f £ р ^ 1,q = ж. Так как то теореме 2 supp (/) С [—а, а], то согласно (19), (20)

f(x) = (f *Т ^л(^('/а)))(х), Ггл(f)(y) = V(V/а)^(f)(y). По теореме 1, (21)

^Кл\\1 \\р^л\№{v (Уа))\\ р' Мл

< МтгХа(2л+2)/Р

рАрл

\?лт

р Аул

< а(2л+2)/р

рА"л ■

Таким образом, теорема 3 для д = ж, 1 ^ р < ж доказана. При 0 < р < 1 воспользуемся следующим приемом из [10]

1'd у Л

<

1-Р\\ f\\p , < а2л+2

рАул

- р р

1а"л\\ J \\o \\ J \\p,dvx■

Откуда теорема 3 вытекает и для q = ж, 0 < р < 1. Если 0 < р < q < ж, то

'Ау, = \\lfll-P/qIflP/q\\яАул < \\f\\lo-P/q\\f\\Pp/lx

< а^+т^яУцд!-/*\\f\\Pp/lx < а(2л+2)(1/р

Теорема 3 доказана.

Лемма 3. Если a,t > 0,п,т ^ 1, 1 <р ^ ж, f £ Вто

Amr(—Av)nf, (—Ал,г)nAmf £ LP(R, ¿ил)

P'dpx ■

Amr (—Av )nf = (—Av )nAmr f.

Доказательство. Пусть f £ S'r и supp f) С [—а, а]. Применяя (17), (19), (20), получим

гл^г (—А л', )n f) = Лл((—А л', )nAmrf) = (-Г^Гл (ty)f(f)

= (-)2n сГл^Ж-/а)гл(f) = 9Гл(f) = Гл(f *Т гл(д))

где

pm (tii)

д(у) = t2my2(n+m) Гл(9) £ Sr■

оо

и

Следовательно, по теореме 1

( f *т ^(а)) = А™(-Ал,,)nf = (-Ал,,)nA™f е в;:гх.

Лемма 4 доказана.

Теорема 4. Если а > 0 ni,n2 ^ 0 mi,m2 ^ 0 р = ni + mi — п2 — т2 ^ 0 1 ^ р ^ го, О <5 < i < 1/(2а), и f е то

|Лшг(—Ал,г)пЧ| | р4их < а2^-2™2||А™2(—Ал,г)n2f \\p,dvx. (22)

Доказательство. Пусть и supр^( /) С [—а, а],

emi ( ¿(.))

^ (Л™1 (—Ал,г )ni/) = (.)2(ni-n2) ((-)/а)(-)2п2 е™2 (t(-))^(f).

Так для 0 < i < 1/(2а)

*](У/а) = *](У/а)v(ty),

то

Г2™1 ^(A™i f) = а2^-2т2х(-/а)рв(t-)^(ДГг Я

r(AS,r J )=а ь Х(Ча)^в (f)^ г (Ай,,

= а2Ч-2т2^л(А™2 (—Ал,гП *Т (^(Х(-/а)) *Ttf(<Pe(t•)))),

ДЛЯ

Л e™i (у)

0 = ^ е (0,1], Х(у)= y2pv(y) esr(R), Му) = GC»(R) nCff

MV) = е CT(R) n Cff (R), ^ (y) = ^(¡j)v(y) е Sr (R) x с~([0,1]).

Следовательно,

5-2mi^™ri(—Ал,г)nif = а2Ч-2m2(А™2(—Ал,г)n2f *T (Лл(х(») *т (t■)))). Так как

Ъл(х('/а)) е Sr(R), | | Лл(х('/а)) 11 i,dux = | | ^л(х) 11i,d,A, (t■)) е (R), | | ^гл fa(t■))) 11 м„л = | | ) 11 м,л, и f е Ьр{Ж,йРл) то из теоремы 1 получим

¿-2mi| | А™! (—Ал,г )nif | ^

-2™2||(х)||i,d,л max ||^л(^)||м,л||А™?(—Ах>г)n2fЦрМл

U\C7<. i

o*t-™2| |А™2 (—Ал,г )n2f UP,d„x

Остается доказать, что функция п(в) = ^^(ф )\ Кд^ непрерывна на от резке [0,1]. Пусть Л > —1/2

^л( Л(у)= / (х)зл(ху )&л(х)

М

Для функции р>0 (х) = Рв1(х) + х2г+1р02(х), Ув1,Ув2 £ £ (М+), получим

( Ув )(у) = Рв1(х)]л(ху )&л(х) + г(-1)г у2г+1 Рв2(х)]л+2г+1(ху )(1ил+2г+1(х)

Jм Jм.

= П л(ш)(у) + г(-1)г У2г+1П л+2г+1(ув2)(у).

Отсюда

[ )(у)\(ил(у) 4 [ \Пл(т)(у)\("л(у)+ [ \у2г+1пл+2г+1(уе2)(у)\(ил(у)

4 Сл / Jo

[с

+ Сл,г / 0

Ув1(х)]л(ху)х2л+1йх у2л+1йу (23)

•2

Ув2(х)1л+2г+1 (хУ)х2(л+2"+1)+1 (х у2л+2"+2(у.

Так как

й

({Зл+1(ух)х2л+2) = (2Л + 2)]л(ух)х2л+1,

то интегрируя по частям, получим

I ув1(х)эл(ух)х2л+1 йх = / Ув1(х) (1{эл+1(ух)х2л+2)

1 Г2 ЫШ^ух)^л+3йх = ...

2 Л + 2 ,]0 х

3 ■ -1 г2

где

Так образом,

12

(-1)8(П(2Л + 2з))- / р^(х^л+3(ух)х2л+2а+1(х 1=1 / ]о

Ат[з-11(х) (х) := ** в1 £ Сс(М+ х [0,1]).

2 1

Ув1(х)]л (у х)х2л+1 йх 0

~ (у + 1)л+*+1/2

при 8 > Л + 3/2. Аналогично,

Г2 1

0 Ув2(х).]л+2г+1(ух)х2(л+2"+1)+1 (х\ < {у + 1)л+2г+1+3+1/2 .

0

Применяя оценки (22), получим оценку

г с

п(в) < (1+у)-(з-л-1/2) йу < ж, 0

и непрерывность п(в). Терема 4 доказана.

Приведем некоторые частные случаи неравенства (21).

Следствие 1. (С.Н. Бернштейн, С.М. Никольский) Если а > 0 г,п ^ 1,1 4 р 4 ж,

-с Г}®,""

/ £ Вр'л то

| I (-Ал,"г / I I <а2п\\Яр4„х. Следствие 2. Если а, 5 > 0 г,т ^ 1,1 < р < ж, / £ Вто

ит,г(6, Лр4„х < (а6)2т1\ЯрМх.

оо

0

Следствие 3.(С.Н. Никольский, С.Б. Стечкин) Если а > 0, г ^ 1, п ^m, 1 ж,

О <t < 1/(2а) f е В;>{, то

| | (-ДЛ),Г í\\P,dvx < а2(п~тН~2т\\A™f\\p4vx. Следствие 4. (R.P. Boas) Если а > 0, m ^ 1,1 ^ р ^ ж 0 <á <t< 1/(2а), f е то

<T2m \\ A%rf \\<t~2m\\A™f\\р4,к.

4. Обратные теоремы теории приближений

Пусть

Ea,r(f)P,dux = inf{\\f - g\\p,dux: g е BZ}

— величина наилучшего приближения функции f е Lp(R, dv\) целыми функциями экспонен-

а

Как и в [10] доказывается, что величина наилучшего приближения достигается. Теорема 5. Для любой функции f е Lp(R, dv\), 1 ^ р ^ ж, существует функция 9* е ВрЛ такая, что Ea>r(f)p,dux = \\f - д*\\p,dvx-

Теорема 6. Если т,п,г е N 1 < р < ж, то для любой f е Lp(R, dv\)

1 1 п

(п •') ^ < nm Eíí + 1)2m-¡Ei,(fíp^x. (24)

3=0

Доказательство. По теореме 5, для любого а > 0 и для люб ой fa е В^'Л такой, что

\ \ f - fa \ \ p,dvx = Ea,r (f)p,dux, E0,r (f)p'dux = \\¡Wpdvx.

Для любого s е Z+,

^m.r (1/п, f )p,dvx < Um.r (1/п, f — ¡2S+1)p,dvx + ^m.r (1/ni f 2S+1 )p,dvx < E2s+1r (f)p,dvx + ^m.r (1/п,, ¡2S+1) p,dvx.

Используя лемму 5 из [7], получим

Um.r (1/п, ¡2S+1 )p,d vx <П 2m\\(-АЛ'Г )m f2-+i\\p,dvx

1 S < \ \ (-AX,r )m h \ \ p,dvx + E \ \ ( ^Л^ )m( f2+1 - ¡2, ) \\p,dvx) .

3=0

п2 m

Тогда неравенство Бернштейна из следствия 1 влечет, что

I | (-Ал,"Г¡2+ - (-Ал,г)т¡23 11р^х < 22т('+1) \\ ¡2+ - /23 I\р^х

< 22т(^+1)Е2],г(1 )р4„х, \ \( А л,г )тЬ\\р4их < Е0,г (Лр4их.

Таким образом,

1 в Шт(1/п,, ¡2Э+1 )рМх < П^{Е0," (Лр^Х + Е 22т(3+1)Е2з ,г (I )Р,*х) .

3=0

Принимая во внимание, что

2-?'

£ 12т-1Щ,ги)р4их > 22т^Е2],(Лр4*х, (25)

получим

1

шт.г (1/п, ¡2°+1 )р,(1их < П2т (Ео,г (Лр ,(1их +2 тЕ1,г (Лр,<1*х в 2^ 1 28 + Е 22т Е 12т-1Е1,г (/к^л) < П2т £(> + 1)2т~1 Е],г (Лра*Х ■

п2

3 = 1 1=2з-1 + 1 3=0

Выбирая « таким, что 2 в ^ п < получим (24). Теорема 6 доказана.

Теорема 7. Если 1 < р < го / е ЬР(М, йил) и при к е N числовой ряд j2k-1Еj,r(/)Р,4цк сходится, то / е Ж, Л и для т,г е N

1 1 '

Штг (П, ( —Ал,Г< Пзт + 1)2(т+к)-1Е,,г(/)р^л (26)

3=0

+ Е ^'2к-1Е,,г(/)р,^л (27)

:/=га+1

Доказательство. Докажем неравенство (26). Рассмотрим функциональный ряд

(—Ал,г )к к + Е ((—А л,г )к/2,+1 — (—Ал,г )к к) ■ (28)

=0

В силу неравенства Бернштейна из следствия 1

2-?'

\ \ (—Ал,г )к к:+1 — ( —Ал,г )к /2, \ \ р^л < 22к(^+1)Е2, ,г (Лр,^ < Е (Яр**, ■

I=2^'-1+1

Поэтому функциональный ряд (28) сходится к функции д е ЬР(М, йил). Покажем, что

д = (—Ал,г)к/ и / е ЖкЛг. Рассмотрим частичную сумму

N

= (—Ал,г )к к + Е ((—Ал,г )к/2,+1 — (—Ал,г )к к>) ■

к к к =0

Тогда

(^Л(д),ф)л = (5,?Л(ф))л = 11ш (^,?Л(ф))л =

N

= 11ш (7ГЛ( ^),ф)л = 11Ш (М^Л/^+1 ),ф)л = (МкЛЛ,ф)л,

N—5-00

где ф е 5Г(М). Следовательно, (^^(д),ф)Л = (|у|г^ГХ(/),ф)Л и 5 = (—АЛ,Г)к/, где Чтобы получить (26), напишем

шт,г (1/п, (—АЛ,г )к Лр,(1их < шт,г (1/п, ( — АЛ,г )к I — SN)р,(1*х + шт,г (1/п, SN)р,(1*Х ■

Первые члены оцениваются следующим образом

шт,г (1/п, (—АЛ,г )к f—SN )р,а*х < \\(—АЛ,г )к/ — SN\\p,dvx

< £ 22к(^+1)Е2, ,г(/)р^л < £ 12к-1Е1,г(/)р^а ■

]=N+1 1=2М+1

Кроме этого, согласно следствию 2

Шт,г (1/п, SN)р (1/п, (—А л,г)кЛ)р

N

+ ^2Шт,г (1/п, ( — АЛ,г )к ¡23+1 — (—АЛ,г )к ¡21 )рА*\ =0

1 N

< — (Ео,г (Лр4*х + £ 22(т+к)(^+1)Е2, ,г (/)р^л) ■

=0

п2 т

Используя (25) и выбирая Ж таким образом, что п < +1 закончим доказательство

(26). Теорема 7 доказана.

Теорема 8. Пусть 1 < р < го, т,г,п е N. Асимптотическое равенство

Еп,г (/^ шт,г (1/n,

справедливо для любой / е ЬР(М, й^л) тогда и только тогда, когда

Шт,г (1/п, 1)р4*х ~ Шт+1,г (1/п, /)рД*Л ■ (29)

Доказательство. Вначале предполагаем справедливость равенства (29). Так как [7]

шт,г (nt, < п шт,г , 1

то

шт+1,г (nt, /)р4*х < п2т^т+1,г , ¡)р4их ■ (30)

Это и неравенство Джексона [7] дают

1 п

__ ^(, + 1)2(т+1)-1Е,,г(/)р^Л п =0

1 п 1

< п^^т+И £ 0 + 1)2(т+1)-1-т+1,г(7^./

1

Л /

Кроме этого, из теоремы 6 вытекает неравенство

п

< шт+1,г (-, А

\п /1

"т+-(ьг < (¡п)*т+н Еч + Ч*"*4-1^/

у 7 3=0

р2т1)Шт+1,г (п ^ )р4*х

п

+ Е (з + 1?т+1Щ,г(/)р4*л ,

<

или, другими словами,

In

_____ £ U + (fu„x

j=n+1

> CI_m+1)um+1,r (1, f) - um+l>r (-, A

Vi П / p,dvx \n / p,dvx

Применяя аналогично (30), получим

In

£ (j + 1)2m+1Ej,r(f)p4„x > (CI2 - 1)^+1,, (_, f)

]=п+\

Принимая во внимание монотонность (/)Рг<1их и выбирая I достаточно большим, для Еп,г(1/п,/)Р4их устанавливаем асимптотическое равенство.

Чтобы доказать обратное утверждение запишем простые неравенства из [7]

Um+1,r ( —,f) ^CWm,r ,А % En,r (f)p,dvx % (¿m+1,r , f)

\П / p,dux \П / p,dux \П /

Теорема 8 доказана.

5. Заключение

В статье [7] и в настоящей работе изучены прямые и обратные задачи теории приближений в пространствах Lp(R,dv\) классом B^ целых функций экспоненциального типа не выше а и со свойством f(2s+1)(0)=0, s = 0,1,..., г—1. Это только одно из применений обобщенного гармонического анализа Данкля на прямой, зависящего от параметра г Е N. Следующее применение обобщенного гармонического анализа Данкля будет посвящено изучению модельный интегральные операторов так как, как потенциал Рисса и преобразование Рисса.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ben Said S., Kobavashi Т., Orsted В. Laguerre semigroup and Dunkl operators // Compos. Math. 2012. Vol. 148, no. 4. P. 1265-1336.

2. Dunkl C. F. Integral kernels with reflection group invariance // Canad. J. Math. 1991. Vol. 43. P. 1213-1227.

3. Rosier M. Dunkl operators. Theory and applications: in Orthogonal Polynomials and Special Functions // Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, 2002. Vol. 1817. P. 93-135.

4. Gorbachev D., Ivanov V., Tikhonov S. On the kernel of the ( к, a)-Generalized Fourier transform // Forum of Mathematics, Sigma. 2023. Vol. 11: e72 1-25. Published online by Cambridge University Press: 14 August 2023. Doi: https://doi.org/10.1017/fms.2023.69.

5. Иванов В. И. Недеформированное обобщенное преобразование Данкля на прямой // Ма-тем. заметки. 2023. Т. 114, № 4. С. 509-524.

6. Иванов В. И. Оператор сплетения для обобщенного преобразования Данкля на прямой // Чебышевский сборник. 2023. Т. 24, вып. 4. С. 48-62.

7. Иванов В. И. Обобщенное одномерное преобразование Данкля в прямых теоремах теории приближений // Матем. заметки. 2024. Т. 116, № 2. С. 269-284.

8. Платонов С. С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Сер. матем. 2007. Т. 71, № 5. С. 149-196.

9. Платонов С. С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближений функций на полупрямой // Сиб. матем. журн. 2009. Т. 50, № 1. С. 154-174.

10. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Tikhonov SYu. Positive Lp-Bounded Dunkl-Tvpe Generalized Translation Operator and Its Applications // Constr. Approx. 2023. Vol. 49, no. 3. P. 555-605.

11. Gorbachev D.V., Ivanov V.I. Fractional Smoothness in Lp with Dunkl Weight and Its Applications // Math. Notes. 2019. Vol. 106, no. 4. P. 537-561.

REFERENCES

1. Said S., Kobavashi, Т., Orsted, В., 2012. "Laguerre semigroup and Dunkl operators" , Compos. Math., vol. 148, no. 4, pp. 1265-1336.

2. Dunkl, C. F., 1991. "Integral kernels with reflection group invariance" , Canad. J. Math., vol. 43, pp. 1213-1227.

3. R'osle,r M., 2002. "Dunkl operators. Theory and applications: in Orthogonal Polynomials and Special Functions" , Lecture Notes in Math. Springer- Verlag, vol. 1817, pp. 93-135.

4. Gorbachev, D., Ivanov, V., Tikhonov, S., 2023. "On the kernel of the ( к, a)-Generalized Fourier transform" , Forum of Mathematics, Sigma, vol. 11: e72 1-25. Published online by Cambridge University Press: 14 August 2023. Doi: https://doi.org/10.1017/fms.2023.69.

5. Ivanov, V. I., 2023. "Undeformed generalized Dunkl transform on the line", Math. Notes., vol. 114, no. 4, pp. 509-524.

6. Ivanov, V. I., 2023. "The intertwining operator for the generalized Dunkl transform on the line" , Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 4, pp. 48-62.

7. Ivanov, V. I., 2024. "Generalized one-dimensional Dunkl transform in direct problems of approximation theory", Math. Notes., vol. 116, no. 2, pp. 269-284.

8. Platonov, S.S., 2007. "Bessel harmonic analysis and approximation of functions on the halfline" , Izv. Math., vol. 71, no. 5, pp. 1001-1048.

9. Platonov, S.S., 2009. "Bessel generalized translations and some problems of approximation theory for functions on the half-line" , Siberian Math. ,J., vol. 50, no. 1, pp. 123-140.

10. Gorbachev, D.V., Ivanov, V. I., Tikhonov, SYu., 2019. "Positive Lp-Bounded Dunkl-Tvpe Generalized Translation Operator and Its Applications" , Constr. Approx., vol. 49, no. 3, pp. 555-605.

11. Gorbachev, D. V., Ivanov, V. I., 2019. "Fractional Smoothness in Lp with Dunkl Weight and Its Applications" , Math. Notes., vol. 106, no. 4, pp. 537-561.

Получено: 17.02.2024 Принято в печать: 28.06.2024