Обобщенная модель для анализа напряженно-деформированного состояния дискретно непрерывных гетерогенных структур Текст научной статьи по специальности «Физика»

Литвинов А. Н., Литвинов М.А., Смогунов В.В.

ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ АНАЛИЗА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ДИСКРЕТНО НЕПРЕРЫВНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СТРУКТУР

Гетерогенные структуры широко применяются в конструкциях технических систем различного назначения, работающих в сложных условиях эксплуатации при действии статических и динамических нагрузок [1]. К таким структурам относятся микросборки приборов, микросхемы, упругие элементы датчиков для измерения механических величин, многослойные вибродемпфирующие покрытия различного конструктивного исполнения для радиоэлектронной и специальной аппаратуры, а также авиационных, автомобильных и других типов конструкций [2]. Как правило, расчет таких гетерогенных структур при внешних воздействиях связан с использованием моделей, основанных на различных теориях механики многослойных конструкций [3], учитывающих геометрические и физико-механические характеристики различных слоев, а также гипотезы относительно напряженно-деформированного состояния каждого слоя в отдельности. Существенной особенностью такого подхода является то, что при большом количестве разнородных слоев в гетерогенной системе, решения можно получить только для ограниченного числа расчетных схем [2] при небольшом количестве слоев.

Для построения обобщенной модели рассмотрим плоскую многослойную структуру в координатах х, у, z, состоящую из п слоев (рисунок 1). Считаем, что все слои являются упругими, изотропными и характеризуются толщинами Ьк, модулями упругости Ек, коэффициентами Пуассона V*, где к = 1, 2, ..., п

- номер слоя.

В соответствии с классификацией, введенной в [3], все слои считаем жесткими, т. е. они работают на растяжение (сжатие) и изгиб. Трансверсальной податливостью слоев в направлении оси z пренебрегаем.

Для построения обобщенной модели заменим рассматриваемую плоскую многослойную гетерогенную систему эквивалентной ей в смысле жесткости однослойной конструкцией, которая характеризуется приведенными модулем упругости Е, толщиной Н и коэффициентом Пуассона V. В качестве приведенной толП

щины принимаем суммарную толщину пакета Н = ^^ , а в качестве приведенного коэффициента Пуассона

к=1

- V =— Уук , где к - номер слоя структуры (рисунок 1).

Пк=1

__ . ___. __ - срединная поверхность к-ого слоя

Рисунок 1 - Схема гетерогенной структуры

Цилиндрическая жесткость эквивалентной обобщенной модели системы в этом случае определяется выражением

еН

О = —------га , (1)

12 (1 -V2)

а приведенная цилиндрическая жесткость многослойной системы вычисляется как

ВПр — 2 (Вк + Ак 2к ) , (2)

к—1

ЕЛ л ЕкНк

где Вк ——т------------------------------------------------------т - цилиндрическая жесткость; А —- - жесткость на растяжение к-ого слоя

12 (1 ~У2к)

гетерогенной структуры; zk - расстояние от срединной поверхности к-ого слоя до нейтральной поверхности всего пакета, которая совпадает с плоскостью хоу, в которой расположено начало координат (см. рисунок 1).

Положение нейтральной поверхности определяем выражением

П

24а — о . (3)

к—1

и будем его характеризовать параметром Ъ = z1, который отсчитывается от срединной поверхности первого слоя (см. рисунок 1).

Представим приведенную жесткость обобщенной модели в виде

Опр =РО , (4)

где р - безразмерный коэффициент приведения, учитывающий переход от многослойной системы к эквивалентной однослойной; - цилиндрическая жесткость первого слоя (к = 1).

Приравнивая выражения (1) и (2) с учетом (3) и (4) получим следующую зависимость для коэффициента (3:

р=1+121 ^|. (5)

к=2 V к=2 )

- Л н

Здесь кк — — ; Ек

„ Ек (1 -'1)

Еі (1 -'2)

безразмерные толщины и модули упругости слоев; 2

н

- безраз-

мерные параметры.

Параметр, определяющий положение нейтральной поверхности с учетом (3), определяется выражением:

2 Екккк1к

к — 2 — ^--------------

1 П______

1 + 2 Ек

к—2

(6)

це к1к — 0,5(1 + кп )+2 кк ,

(к

2, 3,

п)

В соответствии с (1) и, учитывая введенные безразмерные параметры окончательно получим следующее выражение для приведенного модуля упругости эквивалентной системы:

Е—Е (1 -'2)(к!3в Е — Е1 (1 — '2 )1 н )Р •

(7)

Применяя предложенную обобщенную модель и заменяя многослойную гетерогенную систему однослой-

[4] можно решать В том числе до-

при статическом

ной с приведенными характеристиками Е, V, Н известными методами теории упругости задачи на воздействие различных видов внешних нагрузок на гетерогенную систему. статочно просто рассматриваются и контактные задачи [4].

Анализ напряженно-деформированного состояния плоской гетерогенной структуры нагружении следует проводить в следующей последовательности:

Используя предложенную модель, заменить слоистую гетерогенную структуру эквивалентной ей приведенной системой и рассчитать ее характеристики Е, V, Н. Остальные геометрические размеры конструкции не изменяются.

Решить задачу по определению поля перемещений і^(х, у), и(х, у), и(х, у) по осям z, х, у соот-

ветственно и, используя соотношения Коши (к)

определить поле относительных деформаций Є

Є

в каждом слое.

Используя обобщенный закон Гука определить поле напряжений в любом слое гетерогенной структуры с учетом характеристик соответствующего слоя (Ек, Vk), т. е. осуществляется обратный переход от эквивалентной однослойной системы с приведенными характеристиками к исследуемой слоистой гетерогенной системе:

ст(к)—. *к

1 -V,

-{ЄХ] +'кЄу));

1 -V;

-(ЄУ ] +'єХ*) ,

(8)

где к - номер слоя, в котором определяются напряжения.

Предложенная обобщенная модель позволяет исследовать напряженно-деформированное состояние дискретно непрерывных слоистых гетерогенных структур при любом числе слоев и допускает следующие упрощения и предельные переходы:

если коэффициенты Пуассона для материалов слоев близки между собой, то, полагая Vk = V, из (7) получим выражение для приведенного модуля упругости

е—4 н

в ; (9)

если некоторые слои являются мягкими и работают только на сдвиг, то в выражении (5) следует для этих слоев принять Ек = 0 и перейти к модели, предложенной в [2];

если между соседними слоями нет жесткой связи и имеет место проскальзывание, то в (2) следует положить Ак = 0 и в этом случае выражение для приведенного модуля упругости (7) принимает вид

П

2

Екк3

Е —

2к к к—1

(10)

п, то в модели можно принять Н = Ъ1 и [2] . В этом случае в (5) и (7) следует

то именно его

если в гетерогенной структуре Ь{>>ЬкГ при к = 2, 3, ...,

всю структуру привести к нижнему слою (к = 1) аналогично заменить Н на Ъ1г а выражение (9) примет вид

Е = Еф ; (11)

если в гетерогенной структуре один слой (к = т) обладает большей жесткостью, следует брать в качестве слоя приведения и принять Н = Ьт, т. к. Ьт>>Ь^ при ^ Ф т.

В зависимости от конструктивных особенностей конкретной гетерогенной структуры возможны и другие варианты выбора толщины Н эквивалентной структуры в рамках предложенной модели.

На рисунках 2.4 показаны результаты численных расчетов коэффициента (3 для трехслойной гетерогенной системы (п = 3) при различных значениях параметров, соответствующих реальным микросборкам приборов. При расчете принято, что Vk = V =0,3.

к

3

—1

3

зо

25

20

15

10

5

у'

У /У /X / /

/. /У

// /У '/

/ ^ —*' _

/ у

И3=2

к3=І,5

=1

Щ=0,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1-3

--------/*2=0,1; ------- ^=0,05

Рисунок 2 - Зависимость коэффициента приведенной жесткости р от физико-механических и геометрических характеристик слоев при Е2 = 0,05

40

35

30

25

20

15

10

5

Р

/ / у /

/ / /

/ / / > / /

/г / / / / / *

4 / / ' / / / / / / X / / / _ — —

/

к3=2

/)3 =1,5

к}=1

к3 =0,5

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1 3

--------/*2=0,1; ------- /^ = 0,05

Рисунок 3 - Зависимость коэффициента приведенной жесткости (3 от физико-механических и геометрических характеристик слоев при Е2 = 0,1

25

20

15

10

Р

! к

/ / }/,

/ / > /А

$ 4 / //// '/А / 'У/'/ V/} / / // / ' У * / / / / У / / //

Л /УЪГУ Г у/

Е} =0,5

>Е3 =0,25

0 0,5 1 1,5 2 3

-------/*2=0,1; ------ /*2=0,05

Рисунок 4 - Зависимость коэффициента приведенной жесткости (3 от физико-механических и геометрических характеристик слоев при Е2 = 0,1

Приведенные зависимости показывают влияние характеристик слоев гетерогенной структуры на коэффициент приведенной жесткости и соответственно на величину приведенного модуля упругости.

Предложенная модель позволяет выполнять дальнейшие обобщения при переходе к вязкоупругим гетерогенным структурам, а также использовать ее при учете ползучести и пластичности слоев гетерогенных структур различного назначения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Динамика гетерогенных структур. В 12 т. Т. 5. Моделирование гетерогенных структур преобразователей информации ракетно-космических систем/ В.А. Васильев, Н.И. Волчихина, В.В. Смогунов; под общ. ред. В.В. Смогунова. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. - 468 с.

2. Литвинов А.Н. Прикладные модели механики гетерогенных структур изделий приборостроения: монография/ А.Н. Литвинов, М.А. Литвинов, В.В. Смогунов; под ред. В.В. Смогунова. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та. - 2009. - 320с.

3. Болотин В.В. Механика многослойных конструкций/ В.В. Болотин, Ю.Н. Новичков. - М.: Машиностроение. - 1980. - 374с.

4. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности/ В.И. Самуль. - М.: Высшая школа. -

1982. - 264с.