CC BY
24
Авдеев А.А., Гамазов А.Б., Гамазов И.Б., Смогунов В.В., Вдовикина О.А., Артамонов Д.В. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛЕНТОЧНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ МНОГОСЛОЙНЫХ СТРУКТУР ДОРОГ ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЖЕНИЯХ
Наиболее общие закономерности поведения ленточных гетерогенных структур дорог при динамических нагружениях могут быть сформулированы следующим образом. При динамических нагружениях типа удар о неровности на дороге - выбоина, ступенька и т.п. всегда возникают волны по типу Релеевских на поверхности дорожной одежды. Волновые процессы в дискретно-непрерывных структурах приводят к возникновению колебаний. Наложение продольных волн и волн сдвига приводят к возникновению бегущей волны.
Другой общей закономерностью поведения ленточных гетерогенных многослойных структур при динамических нагружениях автотранспортом по идеально ровной дороге является процесс генерирования параболических бегущих волн, распространяющихся в основном, во всей многослойной структуре как упругой структуре.
При нагружениях большегрузным автотранспортом в многослойной гетерогенной структуре, особенно при увлажнении грунта и дискретных слоев, возникают упругопластические деформации, приводящие к нарушению геометрии верхнего слоя структуры.
Таким образом, самой общей закономерностью поведения ленточных гетерогенных многослойных структур при динамических нагружениях является закономерность генерирования волн движущимся автотранспортом. При этом фундаментальным соотношением волнообразования является соотношение, связывающее равенством фазовую скорость волн с произведением длины волн на частоту.
Вероятно, наиболее общими закономерностями поведения ленточных гетерогенных многослойных структур при динамических нагружениях являются закономерности колебаний структур [1,2,3].
Колебания сосредоточенной массы автомобиля М при перемещении груза могут быть описаны с помощью интеграла Дюамеля, позволяющего определять реакцию системы на приложение нагрузки любой формы.
Динамика балок по завершении прохождения груза может рассматриваться в условиях наложения на имеющуюся нагрузку дополнительной инверсной нагрузки в момент схода груза.
Собственные частоты колебаний о могут быть определены аналитически на основе теории колебаний фундаментальных и континуальных систем.
В основу модели динамики дорожного полотна при движении по нему транспортного средства положена фундаментальная модель: абсолютно твердая пластина на упругом основании. Математическая модель представлена уравнениями Лагранжа второго рода для системы с тремя степенями свободы:
а_т
Л\ді
где 2,
8Т
дг
фх ' фу
А. ІЕ.
ЛI дфх
■— = &' ~
дфх
Г 8ТЛ
дф
У)
--^ = 6 ,
дфу ^'
[1]
обобщенные координаты, Т - кинетическая энергия системы, (^2, (^х,
обобщен-
ные силы.
Уравнения Лагранжа для рассматриваемой колебательной системы имеют вид:
ті = -4 С2 ;
та
12"
тЬ2 і І2~ а и
~сЬ1фу ,
где т - масса пластины, а и Ь - геометрические размеры в плане, ент жесткости упругого основания.
Динамическая модель представлена собственными частотами вертикальных и угловых колебаний соответственно:
с
приведенный коэффици-
[3]
т V т
Вычислительный эксперимент для определения частот свободных колебаний фрагмента дорожного полотна размерами 24 х 6 м и толщиной 0,05 м при разных значениях модуля упругости первого рода Е, коэффициента Пуассона (I и плотности р асфальтобетона дал ряд значений собственных частот колебаний о .
Вычислительный эксперимент проводился в несколько этапов.
На первом этапе - для фиксированного значения массогабаритных показателей фрагмента дорожного полотна (асфальтобетона) при варьировании значений коэффициента Пауссона и модуля упругости первого рода.
На втором этапе проводилось определение собственных частот колебаний на основе теорий колебаний континуальных систем для пластинчатой и балочной моделей.
Согласно теории колебаний континуальных систем для пластины размерами а х Ь толщиной ^ шарнирно опертой по краям, низшая частота собственных колебаний определяется по формуле (без учета влияния коэффициента Пуассона)
2 , *2 2 а + Ь
2
а Ь \12р
Сравнение результатов вычисления собственных частот пластины, выполненных двумя способами, показало, что значения при аналогичных исходных данных имеют одинаковый порядок и удовлетворительно совпадают:
при значениях р = 2,8 • 103
м3 и
Е =1000•106 Па циклическая частота абсолютно твердой пластины
равна кг = 2,503 3 = 0,4 %);
упругой
кг = 2,513
(абсолютная погрешность Д = 0,01
относительная
при значениях р = 2,8 • 103
3 Па циклическая частота абсолютно твердой пластины (Е = 2600 • 10 Па)
6
равна кх = 4,035 с1, упругой ( Е = 2500• 10 Па) - кх = 3,973 с1 (абсолютная погрешность А = 0,062 с-1 относительная - 8 = 1,5 %, что вызвано некоторым расхождением исходных данных).
Низшая собственная частота изгибных колебаний (основной тон) шарнирно опертой балки определя ется по формуле
і
с
с
с
. ж~ IEJ
kz = —т-
где а - длина балки, р
поперечного сечения,
J
bh
Т2
плотность материала, Е - модуль упругости первого рода, Е - площадь осевой момент инерции сечения, Ь - ширина поперечного сечения, Л
- высота поперечного сечения (толщина балки).
Сравнение результатов ( к = 0,087...0,277 с-1) с данными решения, полученного в рамках теоретической механики ( к = 1,486...4,701 с-1 ) для прямоугольного фрагмента дорожного полотна, состоящего из слоя асфальтобетона на подушке из щебня, с аналогичными исходными данными, отличаются в 16,97...17,08 раз во всем диапазоне полученных значений.
Для установления границ применимости моделей для ленточной многослойной гетерогенной структуры дорожного полотна были проведены расчеты собственных частот в зависимости от длины ленты: а1 = 0,6...300 м. Ширина ленты принималась равной Ь = 6 м, толщина к = 0,05 м, для балочной модели
площадь поперечного сечения
F = b x h = 0,3
момент инерции сечения
J =
bh
12
= 6,25-10"
Плотность
асфальтобетона принималась равной р = 2,8 • 10 кг/м2, модуль упругости первого рода для асфальтобетона на подушке из щебня Е = 3,5 • 109 Па.
Собственные частоты колебаний балки и пластины в Герцах определялись соответственно по форму-
kbf =
[7] и kpf = — ж ------------------------------ . [В]
2ж al гЬ1 V 12p
Зависимости значений собственных частот балок и пластин от длины ленты приведены на рисунке 1, а) и б) соответственно.
а
При малых соотношениях — = 0,1...0,5 значения собственных частот обеих моделей при увеличении
Ь
а
длины резко снижаются, при больших значениях — = 50...500 - стабилизируются.
Ь
kbfal
o
ч
o
25
5o
75
100
125
15o 175
al
а) - Зависимость собственных частот балки от длины
1oo
kpf(al)
6o
4o
2o
o
o
25
5o
75
100
125
2oo
225
25o
275
3oo
150 175
аі
б) - Зависимость собственных частот пластины от длины Рисунок 1
Зависимости отношений собственных частот балки к собственным частотам пластины кЬ/Ікр/ от длины ленты и обратные соотношения крЦкЬ/ приведены на рисунке 2, а) и б) соответственно.
a
5
м
м
лам
кЬ^аІ)
крАаІ)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
\ V
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300
аІ
а)
б)
Рисунок 2.
Зависимости могут быть пронормированы и использованы для выбора масштабного коэффициента при моделировании. Причем предпочтительной для нормирования следует считать зависимость на рисунке 2, б.
На рисунках 3 и 4 приведены характерные участки совмещенных зависимостей.
Анализ результатов показал, что при соотношениях
ь
= 0,1...0,2 (рис. 3, а) результаты расчетов по
обеим моделям удовлетворительно совпадают (относительная погрешность составляет 0,5...17,5 %), при
соотношениях
соотношениях
= 0,5...1 (рис. 3, б) относительная погрешность возрастает от 17,5
= 1...2 - от 50 % до 78 % (рис. 3, в).
до 50
при
кЬЛаІ)
крЛаІ)
3 3,5 4 4,5 5 5,5 6
аІ
а
а
ь
а) б) в)
Рисунок 3 - Зависимость собственных частот от длины а1 = 0,6...12 м
кЬ^аї)
крЦаї)
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
кЬ^аї)
крЦаТ)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
12 15 4
5 27 30
0
30
кЬЦаґ)
крАаІ)
35 40
45 50
аї
55 60
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
60 100 140 180 220 260 300
аї
а)
б)
в)
Рисунок 4
При дальнейшем увеличении соотношения
Зависимость собственных частот от длины а1 = 12...300
а Ь
стигая 100 %.
При этом абсолютная погрешность остается во приблизительно равной 0,7 Гц.
относительная погрешность еще больше возрастает, до-
сем интервале изменения длины ленты постоянной и
ЛИТЕРАТУРА
1. Динамика гетерогенных структур. Виброударозащита гетерогенных структур. / Вдовикина О.А., Смогунов В.В., Климинов И.П. и др. Под общ. ред. В.В. Смогунова - Пенза: Изд-во Пенз. Гос. ун-та,
2005.- 497 с.
2. Вибрации в технике: - М.: Машиностроение,197 8 - Т. 1. Под ред. В.В. Болотина, 1978, 352 с.
3. Прикладные модели механики гетерогенных структур. Монография /А.Н. Литвинов, М.А. Литвинов, В.В.Смогунов; под ред. В.В. Смогунова. -Пенза: Изд-во ПензГУ, 2009 - 320 с.
м
