Обобщенная математическая модель системы твердых тел, установленных на упругом стержне Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.Д. Мижидон, д-р техн. наук, проф., e-mail: [email protected] М.Ж. Цыцыренова, преподаватель, e-mail: [email protected] Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления, г. Улан-Удэ

УДК 517.98

ОБОБЩЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ, УСТАНОВЛЕННЫХ НА УПРУГОМ СТЕРЖНЕ

В статье предлагается единый подход к построению частотных уравнений для одного класса гибридных систем дифференциальных уравнений. Такого класса гибридная система дифференциальных уравнений имеет место при описании динамики механических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, представляющими собой упругий стержень с закрепленными краями и прикрепленными на нем с помощью пружин твердыми телами.

Ключевые слова: гибридная система дифференциальных уравнений, краевая задача, обобщенное решение, частотное уравнение.

A.D. Mizhidon, D. Sc. Engineering, Prof.

M.Zh. Tsytsyrenova, teacher

A GENERALIZED MATHEMATICAL MODEL OF RIGID BODIES MOUNTED ON ELASTIC ROD

The paper proposes a unified approach to the construction of frequency equations ^ for a class of hybrid systems of differential equations. This class of hybrid system of differential equations has a place in the description of the mechanical systems dynamics with lumped and distributed parameters, which are elastic rod with _ fixed edges and attached to it by means of springs solids.

Key words: hybrid system of differential equations, boundary value problem, generalized solution, frequency equation.

Введение

При исследовании механических колебаний элементов различных конструкций довольно часто расчетными схемами исследования является твердое тело (или любая система твердых тел), соединенное упругими связями со стержнем [1-6]. Для вывода уравнений движения таких систем применяется вариационный принцип Гамильтона, который справедлив как для систем с сосредоточенными, так и для систем с распределенными параметрами. При этом уравнения движений систем, полученные на основании принципа Гамильтона, представляют собой гибридные системы дифференциальных уравнений. Под гибридными системами дифференциальных уравнений понимается система дифференциальных уравнений, состоящая из обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Общая математическая модель

Рассмотрим гибридную систему дифференциальных уравнений

f Az + Bz + C (Dz - u ) = 0,

d2u d4u m (1)

x, t) + b — (x, t) = £ q (d''z(t) - u(x, t))d(x - a),

dt dx 1=1

где z(t) - n-мерная вектор-функция; u(x, t) - скалярная функция; u (t) - m -мерная вектор-функция с компонентами u(ax, t),---, u (am, t); A, B - заданные постоянные n x n -матрицы; C - заданная постоянная n x m -матрица; D - заданная постоянная mxn-матрица; d' - n-

мерный вектор, составленный из строк матрицы Б; к, Ь, аг, qi, (г = 1, да) - заданные постоянные, причем 0 £ а{ £ I; штрих ()' - здесь и ниже операция транспонирования.

Отметим, что система (1) является общей математической моделью механических систем, представляющих собой упругий стержень с закрепленными краями и прикрепленной на нем с помощью упругих связей системой твердых тел, соединенных между собой упругими связями.

Рассмотрим механические системы, расчетные модели которых представлены на рисунке 1:

1. Механическая система (рис. а), состоящая из массы т, установленной с помощью пружины жесткости с на упругом стержне. Масса т может перемещаться только поступательно в направлении оси 0хг. Колебания массы характеризуются функцией г (I) .

2. Механическая система (рис. б), состоящая из массы т, установленной с помощью двух пружин жесткости сх и сх на упругом стержне. Масса т может перемещаться поступательно в направлении оси 01г и совершать угловые отклонения р .

3. Механическая система (рис. в), состоящая из трех масс да2, да3, установленных с помощью пружин жесткости сх, с2, с3 соответственно на упругом стрежне. Массы

да2, т3 перемещаются только поступательно в направлении осей 0Хг1, 02г2 и 03г3. Точки 01, 02, 03 совпадают с положениями равновесия масс. Колебания масс характеризуются функциями г1 (I), г2 (I) и г3 (I) . Пружины присоединены к стержню на расстояниях а1, а2, а3 от левого конца стержня соответственно.

4. Механическая система (рис. г), состоящая из трех масс да2, да3, каскадно-присоединенных к упругому стержню с помощью пружин жесткости с1з с2, с3. Концы стержня жестко закреплены. Массы да2, т3 перемещаются только поступательно в направлении осей 0Х, 02г2 и 03г3. Точки 0Х, 02 , 03 совпадают с положениями равновесия масс. Колебания масс характеризуются функциями г1 (I), г2 (I) и г3 (I) . Пружина присоединена к стержню на расстоянии а от левого конца стержня соответственно.

Полученные на основании принципа Гамильтона уравнения движений для приведенных выше механических систем имеют вид [3, 5, 7]:

- для первой расчетной модели

Здесь и ниже р - плотность материала стержня, Е - площадь поперечного сечения, Е — модуль упругости стержня, I — момент инерции поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси сечения, перпендикулярной плоскости колебаний; - для второй расчетной модели

тг + с (г — и( а, ^)) = 0,

д2и д4и рЕ~Г + Е1— с=г — и(х, Г))5(х — а), д^ дх

(2)

где 1ф - момент инерции твердого тела относительно центра масс при повороте на угол ф . d1 - расстояние от центра масс до оси пружины, закрепленной в точке а1, d2 - соответственно до оси пружины, закрепленной в точке а2;

J к г

О1

б

А ^ г

О1

ф

а2

^ г1 i , г2 ▲

О1

0 а1

О2

гэ

Оз

1 х

1

гз

Оз

тз

Сз

г2

О2

с2

т2

г1

тх

С1

1 х

Рис. Расчетные схемы механических систем

а

и

и

0

0

х

1

1

а

х

в

г

и

и

0

а

для третьей расчетной модели п\21 + с1 (г1 - и( а1, = 0,

щ '¿2 + с2 (г2 - и( а2, = 0,

т23 + с3 (г3 -и(а3,= 0,

рР-^ + Ы^. с(=21 -и(х^))5(х-а)+ с2(г2 -и(х,^)5(х-а2) + с3(г3 -и(х^))5(х-а3), ; д дх

для четвертой расчетной модели

т121 + с1 (г1 - и (а, t))- с2 (г2 - г1) = 0,

т222 + с2 ( 22 - 2) - сз ( 2з - 22) = 0 т323 + с3 (г3 - г2) = 0,

(4)

рР

д2 и дt2

Е1

д 4и дх4

(с1 =21 - и (х, t)))£ (х - а).

Гибридные системы дифференциальных уравнений (2)-(5) являются частным случаем системы (1). При этом функция u (x, t) описывает поперечные перемещения точек стержня. В соответствии с этим на функцию u(x, t) наложим граничные условия. Будем считать, что концы стержня жестко закреплены, в этом случае граничные условия имеют вид:

ñu ñu

u(0, t) = u (l, t) =, — (0=) — (l=) 0, (6)

ñx ñx

где l - длина стержня.

Введем понятие обобщенного решения гибридной системы дифференциальных уравнений (1), удовлетворяющей краевым условиям (6).

Для этого рассмотрим множество вектор-функций

к = {(y(0, v(-,•)): y(-) е С;,[0,Г], v(-,•) е C¥,d}, (7)

где D = {(x, t) е R2 : 0 < x < l, 0 < t < T} - прямоугольник.

Потребуем, чтобы любая вектор-функция из множества функций к удовлетворяла условиям

y(0) = y (T) = 0,

v( x, 0) = v( x, T) = 0, (8)

v(0, t) = v (l, t) 0, |V (0,==) ñV (l=) 0.

ñx ñx

Введенные вектор-функции назовем основными.

Определение 1. Вектор-функцию z(•) е C2"[o T], скалярную функцию u(•, •) е С2А2 D назовем обобщенным решением гибридной системы дифференциальных уравнений (1), удовлетворяющей краевым условиям (6), если для любой основной вектор-функции (У(•), v(, •)) е K имеет место тождество

T ..f ñ2u ñ4u m t Л

[ ( Az + Bz + С (Dz - u), y(t)) dt + [[I k—r + b—--У q (d''z(t) - u (x, t))5(x - a ) • v(x, t)dxdt = 0.

o D l ñt ñx i=i 0

Вспомогательная краевая задача

Подставив в систему (1) z(t), u(x, t) в виде

z(t) = Z sin wt, u(x, t) = V(x)sin wt, где w- собственная частота; Z — n-мерный вектор амплитуд колебаний масс; V(x) — амплитуда колебаний точек упругого стержня, после преобразований получим

(-w2 A + B + CD)Z-CV = 0; (9)

d4V( X) m

-w2kV(x) + b -V-Z = ^ q (d¿'Z - V(x))d (x - a ), (10)

dx i=1

где V - m-мерный вектор с компонентами V(a1),L,V(am) .

В силу граничных условий (6) функция V(x) должна удовлетворять условиям

-V -V

V (0) = V (l) 0, -V (0) -V (= 0. (11)

dx -x

Рассмотрим вспомогательную краевую задачу (10)-(11).

Определение 2. Скалярную функцию V(•) е С4 [0 T] назовем обобщенным решением краевой задачи (10)-(11), если для любой компоненты v(-, •) основной вектор-функции (У (•), v(, •)) е K, имеет место тождество при любом t е [0, T].

11 -ю2к¥(х) + Ъ а У (4х) - £ дг (ё''2 - V(х))8(х - аг) • V(х, х)0х = 0.

их

0 V их г =1

Теорема 1. При любых значениях ю и Z функция

V(х) = £ ^ (х - аг )д (Иг' 7 - V(аг))

является обобщенным решением краевой задачи (10)-(11), где функции (х), (г = 1,...,т) , обобщенные решения уравнения

а 4Ог (х)

-ю2 квг (х) + Ъ-

Их4

= 5( х), (г = 1,..., т),

удовлетворяющие краевым условиям

<а, (-а,) = о, (I - а)=0,

(-а) = (, - а)=0, (г=т).

ах ах

(13)

(14)

Доказательство. Для функции (12) справедливость выполнения краевых условий (11) непосредственно следует из краевых условий (14) для функций Ог(х), (г = 1,...,т) .

В том, что (12) является решением уравнения (10), убедимся непосредственной подстановкой (12) в исходное уравнение (10). Для этого представим (12) в виде

т 1 /

V (х) = £ До (х -х)дг (а' г - V (X) • щ(х - а)) ах.

г=1 0

(15)

Подставим (15) в левую часть уравнения (10), умножив на v(x, х) из класса основных функций, проинтегрируем по х в пределах от 0 до I. Далее, меняя порядок интегрирования и учитывая (13), получим

I I

Ш£

0 [_ 0 г=1

1

-кю2О (х-X) + Ъа 4°г (х4-Х)

г ах4

1,

\

д, (а ' - V (х)щ(х-а)

а ао1 (х -х) ^

£| дг(аг'г-V(X))S(X-аг)• П -ы2аг(х-X) + а

г=1 0 |_ 0 V Сах

т 1 1

£ I дг (аг'г - V(Х)Щ(Х - а,) • |v(х, хщ(х - Х)ах

v( х, х )ах = v( х, х) ах

г=1 0 1

т * г~ -| п г-

= £|1 дг(аг'г-V(x))v(x,х)3(х-аг) ах £=--д,(аг'г-V(alма,х)

г=1 о г=1

Аналогично, подставив (15) в правую часть уравнения (10), после преобразований по-

лучим

I

£ д, (а-'2 - V(х)Щ(х - а)

v( х, х )ах =

= £ Iдг (с? 2 - V(х)Щ(х -аг )v(х, х)Ос = £ [дг (а 2 - V(аг )^(аг, х)],

г=1 0 г=1

то есть в результате проделанных преобразований левая и правая части исходного уравнения тождественно совпадают. Таким образом, выражение (12), является решением уравнения (10) в обобщенном смысле. Теорема доказана.

г=1

0

Для нахождения функций Ох(х),О2(х),...,От(х), входящих в (12), имеем т краевых задач для уравнения

-ю2кв (х) + Ъ ,4 = 0, (17)

-ю2 кв (х) + Ъ^ = 5( х), (16)

йх

с условиями (14).

Общее решение в(х) уравнения (16) можно найти в виде суммы общего обобщенного решения в0(х) однородного уравнения

й 4в (х)

йх4

и некоторого обобщенного решения в(х) неоднородного уравнения (19), то есть

в ( х) = в0( х) + в (х). (18)

Общее решение в0(х) однородного уравнения (17) можно записать в виде во(х) = сДОЗх) + С2 ^(Ьх) + ^(Ьх) + С4 ЗДх), где с1,с2,с3,с4 - произвольные постоянные; ^(Дт), Б2(Рх), Бъ(Рх), ^4(^х) - функции Крылова, которые определяются следующим образом

£ (Ь) = СЧРх) + С05(Ьх) £ (Ьх) = 5Ь(Ьх) + 51П(ЬХ)

^3(ЬХ) = СЬ(Ьх) - С°5(ьх), £4(Ьх) = 5Ь(Ьх) - 51п(Ьх).

Здесь Ь = 4. Отметим, что выражение для обобщенного решения в0(х) совпадает

с классическим решением.

Частное обобщенное решение в(х) неоднородного уравнения (16) можно определить в виде [6]:

в(х) = в(х)к?Ь1, (19)

где в(х) - функция, определяемая следующим образом:

[1, х > 0, в(х) = \

|0, х <0.

Частотные уравнения

Для нахождения функций Ог(х),в2(х),...,вт(х), согласно представлению (18), определим произвольные константы сх, с2, с3, с4 из условий выполнения соответствующих граничных условий.

Далее, принимая в (12) последовательно значения х = а1, х = а2,..., х = ат, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно V(сч)у(а2)...У(ат):

т т

(1 + в]ту(а]) + ^01(а] -аЪУ(а)) 1=в,(а} -а^й'^, (] = 1,...,т). (20)

'=1, '=1

Используя матричные обозначения, систему (20) можно записать в виде

ЫУ = N2,

где Ы - матрица системы размерности т х т :

M =

{ 1 + G2(al — a2)q2..........^ (а1 — ада )qда ^

G1 (а2 — а1 И 1 + ^ (0)q2..............^ (а2 — ада К

— al)ql ^(ада—a2)q2.............1+^(0)qi

да 0

N — матрица размерности да х п ,

да да да \

Е G (а1— а Е G (а1— аИ'^......Е Gг (а1— а

N =

Е ^ (а2 — аг ^ Е ^ (а2 — а ......Е ^ (а2 — а ^

Е G (ада — а Е G (ада — а ......Е G (ада — а Н^

V г=1

г=1

г=1

Таким образом, решение линейной системы алгебраических уравнений (20), представим в виде

К = М-'Ш.

(21)

Подставив (21) в систему (9), получим систему линейных, однородных алгебраических уравнений относительно вектора амплитуд 2 :

(—ю2 А + В + СБ — СМ— N) 2 = 0. (22)

Система (22) имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю. Приравняв определитель системы (22) к нулю, получим уравнение собственных частот

¿й {—ю2 А + В + СБ — СМ—N1 = 0. (23)

Отметим, что уравнение собственных частот (23) является трансцендентным, содержащим периодические тригонометрические функции, а также монотонные гиперболические функции, в силу чего появляется бесконечный дискретный набор собственных частот.

Заключение

Предложен единый подход к построению частотных уравнений для одного класса динамических систем, описываемый гибридной системой дифференциальных уравнений. Рассматриваемая система дифференциальных уравнений является общей математической моделью механических систем, представляющих собой упругий стержень с закрепленными краями и прикрепленной на нем с помощью упругих связей системой твердых тел, соединенных между собой упругими связями. Сравнительный анализ численных расчетов, проведенных предложенным методом с расчетами проведенными другими способами, известными из литературы, показал достоверность и универсальность предлагаемого подхода [7, 8].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 12-0800309 а.

Библиография

1. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г., Лебедева Н.В. К исследованию виброзащитной системы с упругим основанием // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. — 2009. — №2 (22). - С. 13—203.

2. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д. Определение собственных частот простейшей механической системы на упругом основании // Вестник Бурятского государственного университета. Вып. 9. Математика и информатика. — 2009. - С. 58—66.

3. Баргуев С.Г., Елтошкина Е.В., Мижидон А.Д. и др. Исследование возможности гашения

колебаний «-масс, установленных на упругом стержне // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2010. - №4 (28). - С. 78-84.

4. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д., Цыцыренова М.Ж. О пределах применимости классической схемы расчета собственных частот в виброзащитной системе с двумя защищаемыми объектами // Вестник Бурятского государственного университета. Вып. 9. Математика и информатика. - 2010. -С.135-144.

5. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г. О собственных колебаниях механической системы каскадного типа, установленной на упругом стержне // Вестник Восточно-Сибирского государственного технологического университета. - 2010. - № 1. - С. 26-33.

6. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д., Цыцыренова М.Ж. Об одном способе определения собственных частот и форм колебаний стержня с осциллятором // Математика, ее приложения и математическое образование: материалы IV Междунар. конф. - Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2011. - Ч. 1. -С. 93-96.

7. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г. Краевая задача для одной гибридной системы дифференциальных уравнений // Вестник Бурятского государственного университета. Вып. 9. Математика и информатика. - 2013. - С. 130-137.

Bibliography

1. Mizhidon A.D., Barguev S.G., Lebedeva N.V. The investigation of vibration-proof system with elastic foundation // Modern technologies. System analysis. Modeling. - 2009. - N 2 (22). - P. 13-203.

2. Barguev S.G., Mizhidon A.D. Determination of the natural frequencies of the simplest mechanical systems on the elastic base // Bulletin of the Buryat State University. Issue 9. Mathematics and Computer Science. - 2009. - P. 58-66.

3. Barguev S.G., Eltoshkina E.V., Mizhidon A.D., Tsytsyrenova M.Zh. Investigation of the possibility of damping n mass mounted on elastic rod // Modern technologies. System analysis. Simulations. - 2010. - N 4 (28). - P. 78-84.

4. Barguev S.G., Mizhidon A.D., Tsytsyrenova M.Zh. On the limits of applicability of the classical scheme for calculating the natural frequencies in vibration-proof system with two protected objects // Bulletin of Buryat State University. Issue 9. Mathematics and computer science. - 2010. - P. 135-144.

5. Mizhidon A.D., Barguev S.G. Natural vibrations of the cascade type mechanical system, mounted on elastic rod // East-Siberian State Technical University Bulletin. - 2010. - N 1. - P. 26-33.

6. Barguev S.G., Mizhidon A.D., Tsytsyrenova M.Zh. A definition method of the natural frequencies and mode shapes of the rod with the oscillator // Mathematics, applications and mathematical education: Proceedings of the IV International Conference. - Ulan-Ude: ESSTU Press, 2011. - P. 1. - P. 93-96.

7. Mizhidon A.D., Barguev S.G. The boundary value problem for a hybrid system of differential equations // Buryat State University Bulletin. Issue 9. Mathematics and Computer Science. - 2013. - P. 130-137.