CC BY
22
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.98 Мижидон Арсалан Дугарович,
д. т. н., профессор, зав. кафедрой «Прикладная математика», Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления,
тел. (3012)43-14-15,e-mail: [email protected] Баргуев Сергей Ганжурович (Гавриилович), к. ф.-м. н., доцент, зав. кафедрой «Высшая математика и общепрофессиональные дисциплины», Бурятский филиал, Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики,
тел. (3012)433526, e-mail:[email protected] Цыцыренова Мария Жалсановна, преподаватель кафедры «Прикладная математика», Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления,
тел. (914)8318596, e-mail: [email protected]
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДВУХПРОЛЕТНОЙ БАЛКИ ТИМОШЕНКО С ПРИСОЕДИНЕННЫМ ОСЦИЛЛЯТОРОМ
A.D. Mizhidon, S.G. Barguev, M.J. Tsytsyrenova
FREE OSCILLATIONS OF THE DOUBLE-SPAN TIMOSHENKO BEAM WITH AN ATTACHED OSCILLATOR
Аннотация. В статье предлагается методика исследования собственных колебаний двух-пролетной балки Тимошенко с прикрепленным осциллятором. Методика основана на обобщении аналитико-численного метода, разработанного авторами для систем, представляющих собой упругий стержень с закрепленными краями и прикрепленной на нем с помощью упругих связей системой твердых тел.
Ключевые слова: балка Тимошенко, осциллятор, уравнения движения, обобщенное решение, краевая задача, частотное уравнение.
Abstract. In the paper, a methodology for the study of oscillations of double-span Timoshenko beam with an attached oscillator is proposed. The technique is based on the generalization of the analytic-numerical method developed by the authors for systems representing an elastic rod with fixed edges and attached with elastic links system of solid.
Keywords: Timoshenko beam, movement equation, generalized solution, boundary value problem , frequency equation.
Введение
При исследовании механических колебаний элементов различных конструкций часто расчетной схемой исследования является твердое тело (или любая система твердых тел), соединенное упругими связями со стержнем. В работах авторов [1-8] для различных расчетных схем таких систем развивался единый подход к построению частотных уравнений. В [9] предложена общая математическая модель механических систем, представ-
ляющих собой упругий стержень (балка Эйлера -Бернулли) с закрепленными краями и прикрепленной к нему с помощью упругих связей системой твердых тел, соединенных между собой упругими связями, для которой на основе единого подхода разработан аналитико-численный метод построения частотного уравнения.
В данной работе предлагается методика исследования собственных колебаний двухпролет-ной балки Тимошенко длины I с прикрепленным осциллятором, основанная на обобщении аналити-ко-численного метода построения частотного уравнения [9].
1. Постановка задачи
Движение механической системы (рис. 1), представляющей собой двухпролетную балку Тимошенко с прикрепленным осциллятором, описывается гибридной системой дифференциальных уравнений
d4u( x, t) д x4
yk д u(x, t) + у д u(x, t)
FG д x дt2 EJ дt2
(z(t) - u (x, tM x - a) + B(t)S(x - a), EJ EJ
(1)
d2 z(t) dt2
+ p2( z(t) - u(a, t)) = 0,
где p = —, с m
жесткость пружины, m - масса
груза в осцилляторе, и( х, t) - поперечные смещения точек балки с координатой х в момент времени t, 1(1) - смещение груза в осцилляторе, а -координата точки крепления осциллятора к балке,
с
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
al - координата шарнирной опоры, р - объемная плотность балки, у - масса единицы длины балки, E, G - модуль Юнга и модуль сдвига балки, J - момент инерции поперечного сечения балки, k - фактор сдвига, 5 - дельта-функция Дирака, Б^) - реакция в опоре.
Аи
к2
d¿ z(t) 2 ^
—Y- + p (z(t) - u(a, t)) y(t)dt +
о V dt
+ d4u(x,t) yk d4u(x,t) + y d2u(x,t)
"Я
dx4
FG dx2dt2
EJ dt1
(z(t) - u(x 0Жx - a) -
EJ
B(t)
EJ
S(x-al) |-v(x,t)dxdt = 0
a
Рис. 1
На функцию u(x, t) необходимо наложить граничные условия, соответствующие условиям, накладываемым на правый и левый конец стержня. В случае шарнирной заделки граничные условия имеют вид
u(0, t) = u(l, t) = 0, ^(0, t) ~(l, t) = 0. (2)
dx dx
Введем понятие обобщенного решения гибридной системы дифференциальных уравнений (1), удовлетворяющей краевым условиям (2) [9].
Для этого рассмотрим множество вектор-функций
K = {(y(-),v(v)): y(-)eC v(v)eC^|,
где D = {( x, t) e R 2:0 < x < l, 0 < t < T} -
прямоугольник.
Потребуем, чтобы любая вектор-функция из множества функций K удовлетворяла условиям y(0) = y(T) = 0, v( x,0) = v( x,T) = 0,
v(0, t) = v(l, t) = 0, £ (0, t) =J(l, t) = 0,
dx dx
д 2v dv2
--2(0, t) = — (l, t) = 0.
dx dx
Введенные вектор-функции назовем основными.
Определение
1. Вектор-функцию z(-) e C2 [o T], скалярную функцию u (-,-)e C22D назовем обобщенным
решением краевой задачи (1)-(2), если для любой основной вектор-функции (y(-),v(-,-))e K имеет место тождество
2. Вспомогательная краевая задача
Подставив в систему (1) решения г(V), u (х, V) и реакцию в опоре соответственно в виде
г^) = Лът^, и(х,?) = V(x)sinюf, Б(?) = Б^тО, где V(х) - амплитудная функция (амплитуда точек балки), А - амплитуда груза, Б1 - амплитуда реакции в опоре, О - частота, получим систему
ЗУ (х) 2 Yk сС V (х) 2 V
-+ о---2Н- - О — V (х) =
сх4 FG ск2 Ы
= -С-(А - V(х))5(х - а) + Б5(х - аг), (3) Ы Ю
-о2А + р2 (А - V(а)) = 0.
В силу граничных условий (2) функция V(х) должна удовлетворять условиям
V (0) = V (l) = 0,
d 2V
dx2
d 2V
(0) =—T(l) = 0. (4)
Рассмотрим вспомогательную краевую задачу
-4V(x) 2 yk d 2V(x) 2 y
dx4
- со
FG dx2
-rn2^ V (x) = EJ
= -C-(A - V(x))S(x - a) + S(x - a), (5) EJ EJ
V (0) = V (l) = 0,
d 2V
dx2
d 2V
(0) =—T(l) = 0.
Определение 2. Скалярную функцию V()е С
4,[0, Т ] назовем обобщенным решением
краевой задачи (5), если для любой компоненты у(-,-) основной вектор-функции (у(-),у(-,-)) е К,
имеет место тождество при любом V е [0,Т]
1 р4?(х) +о2 £ссШ-(2 ^ (х) -
dx4
FG
EJ
-С (A-V(x))fi(x - a) -A S( x - a) v(x, t)dx = 0. EJ EJ
Утверждение. Для решения краевой задачи (5) имеет место представление
V (х) = е 5 (х - а)( А - V (а))+Н1 х - а), (6)
D
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
С В
где е = —, Н1 = —7; функции 5(х), 5^х) -ЕЗ ЕЗ
решения краевых задач 'д 4 5 ( х)
ах4
+ а
ук й2 5 ( х)
-а2 Е- 5 (х) = 8{ х),
ЕЗ
5(-а) = 0, 5(/ - а) = 0, 5"(-а) = 0,5"(/ - а) = 0 д4 51( х) +^2 Г к й2 51( х)
(7)
дх 4
Ев йх
-а2 -|-51( х) = 3( х),
ЕЗ
(8)
V (0) = V (/) = 0,
й V
й V
(0) = —т(1) = 0
йх2 йх2 непосредственно следует из краевых условий задач (7) и (8) для функций 5(х), 51 (х).
В том, что (6) является решением уравнения
дГ(х) 2 ук й V(х) 2 V
-^ + а ---И--а — V(х) =
дх4 Ев йх2 ЕЗ
= -С-(А - V(х))ё(х - а) + А8(х - а), ЕЗ ЕЗ
(9)
убедимся непосредственной подстановкой (6) в исходное уравнение (9).
Для этого представим (6) в виде
V (х) = | [е5 (х - Ж А - V (£)Ш - а) +
0
+ НД( х-£Ш-О.Ш.
(10)
Подставив (10) в левую часть уравнения (9), умножив на у(х, t) из класса основных функций, проинтегрируем полученное выражение по х в пределах от 0 до /. Далее, меняя порядок интегрирования и учитывая, что для функций 5(х), 51 (х) соответственно справедливы тождества
д45(х) 2 ук й25(х) 2 У а, л с*/ \
-+ а ---И--а — 5(х) = 5{х),
дх4 Ев йх2 ЕЗ
+а у^^Ш-а?^х)=5(х), дх Ев йх2 ЕЗ 1
получим
М ((
д45(х-Ж) 2 ук й25(х-Ж) 1 а
дх4
Ев
,2 У
-а 5(х - Ж))е( А - V- а) + ЕЗ
д45,(х-Ж) , 2 Ук й251(х-Ж)
дх4
а
Ев
,2 У
-а 51 (х - Ж)Нхб(Ж - а )Щ]У(х, t)йх = ЕЗ
К ' Я4
д 5(х_=!) +а2К5■(х-Ж)-
дх4
Ев
-а2^- 5(х - £))у(х, t)йх]е(А - V- аЩ -ЕЗ
5^-а!) = 0, 51(1 -ах) = 0,
51"(-а1) = 0,5Ц/ - а,) = 0.
Доказательство. Для функции, удовлетворяющей (6), справедливость выполнения краевых условий
М ((
д4Х.(х-Ж + 2 К й251(х-Ж)
+ а
дх4
Ев йх2
,2 У
-а2^- 51 (х - £))у( х, №№№ - «1Ш = ЕЗ
/ /
= |[|>( х - ¿¡)у(х, 0йх]е(А - V(Ж))S(Ж - аЩ +
0 0 / /
-£)у(х, t )йх]Н13(£ - а1 )Щ =
0 0
/
= \у{$, t)е(А - V(;)S;-аЩ +
0
/
+\у{4, t) Н,8(4- а$14 =
0
= у (а, t )е( А - V (а)) + к(а1, t) Н1 Аналогично, подставив (10) в правую часть уравнения (9), после преобразований получим
/
|[е(А - V(х)Жх - а) + Нх5( х - ах)]у( х, t )йх =
|[е(А - V(х))£(х - ау{х, t)йх
0
/
+| Нх5( х - а1У( х, t )йх =
+
= у(а, t)е(А - V(а)) + у(а1, t)Н1,
то есть в результате проделанных преобразований левая и правая части исходного уравнения тождественно совпадают. Таким образом, решение уравнения (9) в обобщенном смысле удовлетворяет представлению (6). Утверждение доказано. 3. Замечание
Для нахождения функций 5(х), 51 (х), входящих в представление (6), имеем краевые задачи
(7), (8).
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
Рассмотрим уравнение d4G(x) 2 ук d2G(x) 2 у
ex4
-+a
+c3e ¡x + c4eMX,
где л =
-а +
4D
2
s =
а +
4D
2
С1 = 0 С2 = -
s(s +Л)
2 ч ' 3
С = --
2¡(s + л )
1
С4 ='
0( X) =
Í^—X^JGX = S(X). (11) FG dx EJ
Общее решение G( x) уравнения (11) можно найти в виде суммы общего обобщенного решения G0 (x) однородного уравнения
d4G(x) rt^-02lG(x) = 0 (12)
dx4 FG dx2 EJ
и некоторого обобщенного решения G (x) неоднородного уравнения (11), то есть
G (x) = G0( x) + G (x). (13)
Общее решение G0(x) однородного уравнения (12) можно записать в виде
G0 (x) = c1 cos sx + c2 sin sx +
(14)
* = = ^ +4^, в2 =(2 Р,
G Ы
с1, с2, с3, с4 - постоянные.
С целью получения общего решения дифференциального уравнения (11) постоянные интегрирования с1, с2, с3, с4 найдем из условий [10]
0>(0) = 0, §(0) = 0, С*(0) = 0, ^(0) = 1.
ах ах ах
Таким образом, решив систему линейных алгебраических уравнений
с1 + с3 + с4 = 0,
ес2 - /ис3 + /с4 = 0, -е2сх + /и2с3 + /и2 с4 = 0, -еъс2 - /Зс3 + /Зс4 = 1,
найдем постоянные интегрирования
1 1
) 1, х > 0, [0, х < 0.
4. Частотное уравнение
Для нахождения функций 5(х), 51(х) , согласно представлению (13), определим произвольные константы с1, с2, с3, с4 из условий выполнения соответствующих граничных условий.
Далее, принимая в (11) последовательно значения х = а, х = а1, получим соотношения
V (а) = е 5 (0)(А - V(а)) + Н1 51(а - а1),
V(а1) = е 5 (а1 - а)(А - V(а)) + Н1 (0) .
Учитывая, что V (а1) = 0 из-за неподвижности опоры, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных величин V (а), Н1
Г (1 + е 5(0)) V(а) - 51(а - а1 )Н1 = е 5(0)А, [е 5(а1 - а)V(а)) - (0)Н1 = е 5(а1 - а)А.
Ее решение имеет вид
Ае (-5(0)^(0) + 5(а1 - а) 51(а - а1))
V (a) = ■
D
H =
Ae ((1 + e S(0))S(a1 - a) - eS(a1 - a) S(0))
D
где
В = -(1 + е 5 (0))51 (0) + е 5 (а1 - а)51 (а - а1). Подставив найденное выражение для V (а) во второе уравнение из (3), получим
(
2 2 epp (-S(0)S,(0)+S(a - a)S,(a- 01))
p -a--
D
Л
A=0.
Из условия нетривиальности амплитуды A получим частотное уравнение
p2 -a2 = e(-S(0)S1 (0) + S(a1 -a)S1 (a-a1)) p2 " D '
(15)
2¡u(s2 + ¡U2)' Отсюда получим общее решение дифференциального уравнения (11) [10]:
я, ч ч 1 ,shax sin sx.
G(x) = 6(x) 2-т(---),
s + ¡U ¡ s
где 0(x) - функция, определяемая следующим
образом:
Заключение
Для проведения сравнительного анализа с целью проверки адекватности предлагаемой методики получения собственных частот был произведен расчет собственных частот согласно уравнению (15). Для этого были взяты данные из работы [11], в которой для получения собственных частот многопролетной балки Тимошенко с прикрепленными осцилляторами был использован секант-метод.
Данные для расчета:
I = 1 м, EJ = 6,3 4761-104 нм2, у = 15,3875 кг/м, с = 3 • 6,34761 н/м,
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
т = 0,2-15,3875 кг , а = 0,75м, ах = 0,4м,
к = 4/3, ГО = 1,5 6 2 4 8 9 231 -108 н.
Численный расчет согласно уравнению был произведен в среде МаШСа^ Результаты расчета частот приведены в табл. 1. Из таблицы видно хорошее совпадение полученных результатов.
Т а б л и ц а 1
Частоты Секант-метод Предлагаемый подход
а>1 247,60 247,64
®2 2131,61 2139,00
0)3 4804,89 4849,50
а>4 7860,14 7980,05
а>ъ 14884,47 14884,40
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 12-08-00309а.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мижидон А. Д., Баргуев С.Г. О вынужденных колебаниях механической системы установленной на упругом стержне // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2004. № 1. С. 32-34.
2. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д. Способы расчета собственных колебаний одной механической системы и их сравнительный анализ. // Вестн. Бурят. ун-та. Сер. 13. Математика и информатика. Вып. 2. 2005. С. 192-200.
3. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д. К исследованию вынужденных колебаний упругой механической системой каскадного типа. // Вестн. Бурят. ун-та. Сер.: Математика и информатика. 2008. Вып. 9. С. 151-155
4. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г., Лебедева Н.В. К исследованию виброзащитной системы с упругим основанием. // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование, 2009. № 2 (22). С. 13-20.
5. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д. Определение собственных частот простейшей механической системы на упругом основании // Вестн. Бурят. ун-та. Сер.. Математика и информатика. 2009. Вып. 9. С. 58-66.
6. Баргуев С.Г., Елтошкина Е.В., Мижидон А.Д., Цыцыренова М.Ж. Исследование возможности гашения колебаний масс, установленных на упругом стержне // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010. № 4 (28). С. 78-84.
7. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д., Цыцыренова М.Ж. О пределах применимости классической схемы расчета собственных частот в виброзащитной системе с двумя защищаемыми объектами // Вестн. Бурят. ун-та. Сер. Математика и информатика. 2010. Вып. 9. С. 135-144.
8. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г. О собственных колебаниях механической системы каскадного типа, установленной на упругом стержне // Вестн. Вост.-Сиб. гос. ун-та технологий. 2010. № 1.С. 26-33.
9. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г. Краевая задача для одной гибридной системы дифференциальных уравнений // Вестн. Бурят. ун-та. Сер. Математика и информатика. 2013. Вып. 9. С. 130-137.
10. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М. : Наука. 1976.
11. Yusuf Yesilce, Oktay Demirdag and Seval Catal, Free vibrations of a multi-span Timoshenko beam carrying multiple spring-mass systems. Sadhana. Vol. 33,Part 4, August 2008, pp. 385-401.
