CC BY
2А.Д. Мижидон, д-р техн. наук, проф., e-mail: [email protected] М.Ж. Дабаева, преподаватель, e-mail: [email protected] Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления, г. Улан-Удэ
УДК 517.98
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, УЧЕТ ДЕМПФИРУЮЩИХ СВОЙСТВ УПРУГИХ СВЯЗЕЙ В ОБОБЩЕННОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ, УСТАНОВЛЕННЫХ НА УПРУГОМ СТЕРЖНЕ
При исследовании механических колебаний элементов различных конструкций, деталей и механизмов во многих случаях расчетными схемами исследования является твердое тело (или система твердых тел), соединенное упругими связями со стержнем. Ранее авторами стати была предложена обобщенная математическая модель в виде системы гибридных дифференциальных уравнений заданной структуры, описывающая динамику произвольных систем взаимосвязанных твердых тел, прикрепленных упругими связями к упругому стержню (балке Эйлера-Бернулли). Для исследования собственных колебаний таких систем был разработан аналитико-численный метод построения частотных уравнений. Данная работа посвящена дальнейшему развитию аналитико-численного метода исследований свободных колебаний на основе обобщенной математической модели системы твердых тел, установленных на упругом стержне, с учетом демпфирующих свойств упругих связей.
Ключевые слова: собственные колебания, твердые тела, упругий стержень, краевая задача, обобщенное решение, частотное уравнение.
A.D. Mizhidon, D.Sc. Engineering, Prof.
M.Zh. Dabaeva, teacher
ACCOUNTING FOR ELASTIC TIES DAMPING PROPERTIES IN GENERALISED MATHEMATICAL MODEL OF SOLIDS SYSTEM MOUNTED ON ELASTIC ROD
When studying mechanical vibrations of various detail and mechanism members in many cases solid (or solid system) elastically mounted on elastic rod is a design scheme of researching. Previously authors proposed a generalized mathematical model in the form of hybrid differential equations system of given structure that describes dynamics of any systems of interrelated solids elastically mounted on elastic rod (Euler-Bernoulli beam). Analytical and numerical method of frequency equation construction has been drawn up in order to research natural oscillation of such a system. The article is devoted to further development offree oscillations researching analytical and numerical methods based on the generalized mathematical model of solids mounted on elastic rod taking into account damping properties of elastic ties.
Key words: natural oscillations, solids, elastic rod, boundary value problem, generalized solution, frequency equation.
Введение
Анализ уравнений движения математических моделей типовых расчетных схем с упруго присоединенными твердыми телами, рассмотренных в работах [1-5], позволил предложить обобщенную математическую модель балки Эйлера-Бернулли с закрепленными краями и прикрепленными на нем с помощью упругих связей системы твердых тел, соединенных между собой упругими связями [6]. Для обобщенной математической модели на основе единого подхода был разработан аналитико-численный метод построения частотного уравнения [6].
В данной работе учитываются демпфирующие свойства в упругих связях в обобщенной математической модели [6] и развит аналитико-численный метод исследования свободных колебаний на этот случай. Отметим, что учет демпфирования в упругих связях при исследовании собственных колебаний для конкретной расчетной схемы - балка с упруго прикрепленными твердыми телами, был произведен в [7].
<
Постановка задачи
Рассмотрим гибридную систему дифференциальных уравнений обобщенной математической модели [6] механических систем, представляющих собой балку Эйлера-Бернулли с закрепленными краями и прикрепленными на нем с помощью упругодемпфирующих связей системы твердых тел, соединенных между собой упругодемпфирующими связями:
' АН + С,г + С2 фг - и) + В,г + В2 (Гй - и) = О,
г)1 и г)4и т ( г)и Л (1)
+ = + кх-а,). У '
от дх от )
где г ($) - и-мерная вектор-функция; и( х, t) - скалярная функция; и (?) - m -мерная вектор-
функция с компонентами М^,/),-• -,и{ат,(); А,ВХ,СХ - заданные постоянные ЙХИ - матрицы;
В2,С2 - заданная постоянная ПХШ-матрица; О - заданная постоянная ШХП - матрица; & -
и-мерный вектор, составленный из /-ной строки матрицы О ; к, Ь, а., , Р (} = 1, т ) - заданные
постоянные, причем 0 < а; < I; (-)Т - здесь и ниже операция транспонирования.
В случае жесткой заделки левого и свободного правого концов стержня функция и( х, t) удовлетворяет следующим граничным условиям:
и(0,t) = 0, |й(0,о = 0, |22(1,0 = 0, |33(/,0 = 0 . (2)
ох ох ох
Решение гибридной системы дифференциальных уравнений (1) следует понимать в обобщенном смысле. Для введения определения обобщенного решения гибридной системы дифференциальных уравнений (1) рассмотрим множество вектор-функций
К = {(у(),Ч-,-))Т : у(-) е С: [о т], у(-,-) е С2,„,0 } , (3)
где О = {(х, () е Я2: 0 < х < I, 0 < t < Т} - прямоугольник. Вектор-функции из множества (3),
назовем основными.
Определение 1. Вектор-функцию г(-) е т^, скалярную функцию и(-, -) е С\ 2 0 назовем
обобщенным решением краевой задачи для гибридной системы дифференциальных уравнений (1), если функция и( х, t) удовлетворяет граничным условиям (2) краевой задачи и для любой основной вектор-функции (у(-), г(-, -))Т е К имеет место тождество
т
| [м + Сх2 + С2 (£>г -й) + В1г + В2 (Ей - и)), у(0)Л +
0
..( £)2и £)4и т С ди Л Л
+Д (X, 0 + Ъ — (х, 0 - X^ -и{х, 0) + рг " (х> -аг)) • у(х,г)<Ш1 = 0.
Для системы, описываемой гибридной системой дифференциальных уравнений (1), произведем обобщения аналитико-численного метода построения частотного уравнения [8].
Вспомогательная краевая задача
Подставив в систему (1) функции г^) = I еА, и(х,t) = V(х)еА, где А- собственная частота, Z — и-мерный вектор амплитуд колебаний масс, V (х) — амплитуда колебаний точек упругого стержня, после преобразований получим
(А2 А + С + СО + А(В + В2П)1 — (С2 + АВ2) V = 0, (4)
А2кУ (х) + Ь & V(х) = £ (Ч (ЯТ1 - V(х)) + АР (&Т1 - V(х))) ё(х - а), (5)
где V -да-мерный вектор с компонентами V(ау(^) .
У(0) = 0, — (0) = 0, — (¡) = 0, -^(¡) = 0. (6)
В силу того, что функция и( х, г) удовлетворяет граничным условиям (2), функция V (х) должна удовлетворять условиям:
£ (0) = 0, ^ (I) = 0, £
ах ах ах
Таким образом, суть исследования свелась к исследованию вспомогательной краевой задачи для алгеброическо-дифференциальной системы (4)-(5) с граничными условиями (6).
Определение 2. Функцию V(•) е ^ и вектор 2 е Я" назовем обобщенным решением
вспомогательной краевой задачи, если они удовлетворяют системе алгебраических уравнений (4), функция V (х) удовлетворяет заданному граничному условию и для любой компоненты
•) основной вектор-функции (у(), •))Т е К, при любом г е [0, Т] имеет место следую-
щее тождество:
I г
11 ЛгШ(х) + Ь - £ (д. (а,Т 2 2 - V(х)) + Лрг {ёгТ2 - V(х))) 3(х - а1) ■ л(х, г)с1х = 0.
0 V — г=1
Теорема 1. При любых значениях Л и 2 для обобщенного решения V(х) дифференциального уравнения (5) справедливо представление
т
V(х) = £ О, (х - а {) (дг (СТ2 - V^ )) + Лр , (СТ2 - V(а,))), (7)
г=1
где функции а (х), ( = 1,--,т) - обобщенные решения уравнения
- АОг (х) -х4
Доказательство. Отметим, если функция V(х) - обобщенное решение дифференциального уравнения (7), то для любой компоненты •) основной вектор-функции (у(), -))е К, при любом г е [0, Т] справедливо тождество
| (лЛ(х) + Ь-^) у(х, г— = £ [(д,-Т21 - V (а,)) + Лрг (-Т22 )) ) ^^, г)]. (9)
0 V ах ) ,=1
Непосредственной подстановкой (7) в левую часть (9) убедимся в том, что для обобщенного решения дифференциального уравнения (5) справедливо представление (7). Для этого представим (7) в виде
т 1
V(x) = £{а(х-%)(д,(-Т2-V®)) + Лр,(-Т2-V®)))*(£-а1.). (10)
,=1 0
Подставим (10) в левую часть соотношения (9). Далее, меняя порядок интегрирования и учитывая (8), получим
I (1
Л2кО,(х) + Ь-атх1 = й(х), ^ = 1, -,т) . (8)
0 I 0 ^
I
}|}£( кЛ2Ог(х-%) + Ь - ^ % I(д(-Т2 - V® + Лр, (-Т2 - V(%)))8(£ -аг)
!• • ^^х, г)сх =
, =1 0
£| (д, (-Т2 -V®)) + Лрг(-Т2 -V(g)j)S(g-аг)• Ц кЛ2Ог(х-О) + Ь -О Iг)сСх
¿=1 0
т 1 1
£| (д1 (-Т2-V®) + Лр1 (-Т2-V(О))а,)•¡у(х,гЩх-%-х
= £{[( д1—2 - V (%)) + Лр1 —2 - V (%))) V®, г)5%-а1)] -% = £[{ д1 (-Т2-V (%)) + Лр1 —2 - V (%))) у(а,, г)
¿=l 0
что совпадает с правой частью (9).
Таким образом, для обобщенного решения V(х) дифференциального уравнения (5) справедливо представление (7). Теорема доказана.
Следствие 1. Если обобщенные решения О(х), ( = 1,...,т) уравнения (8) удовлетворяют краевым условиям
О (-а) = 0, ^ (-а,) = 0, ^(1 - а) = 0, ^(1 - а ) = о, а = 1,-, т), (11) ах ах ах
то функция V (х), удовлетворяющая (7), является обобщенным решением дифференциального уравнения (5), удовлетворяющего краевым условиям (6).
Действительно, для функции V (х), удовлетворяющей представлению (7), справедливость выполнения краевых условий (6) непосредственно следует из краевых условий (11) для функций О(х), (, = 1,...,т) .
Частотные уравнения
Для нахождения функций О(х),О(х),...,От(х), входящих в (7), имеем т краевых задач для уравнения
а 4О( х)
ах4
с краевыми условиями (11).
Общее решение О( х) уравнения (12) можно найти в виде суммы общего обобщенного
решения О0 (х) однородного уравнения
а 4О( х) с/х4
и некоторого частного обобщенного решения 0(х) неоднородного уравнения (12), т.е.
О(х) = О (х) + О(х) . (14)
Общее решение О0 (х) однородного уравнения (13) можно записать в виде
О (х) = + сгекгх + съгкъх + с/4х,
где с, С, С, С - произвольные постоянные; кх, к2, к3, к4 - корни характеристического уравнения, которые определяются следующим образом \[2 .72"
Я2кО(х) + Ь а Ох = $(х) (12)
Я2кО(х) + Ь X' = 0 (13)
комплексное решение уравнения (13). Для нахождения частного обобщенного решения 0(х) неоднородного уравнения (12) воспользуемся следующим утверждением, которое является следствием общего правила нахождения фундаментального решения для линейных дифференциальных уравнений [8].
Утверждение. Если функция /(х) решение однородного уравнения (13), удовлетворяющее условиям
/(0) = /' (0) = /" (0) = 0, (0) =1, (15)
Ь
тогда функция
О(х) = в(х)/(х),
где в( х) - функция Хэвисайда,
Г1, х > 0, в(х) = Г , ,
|0, х <0,
удовлетворяет уравнению (12) в обобщенном смысле.
Отметим, что решение однородного уравнения (13), удовлетворяющее условиям (15), найдется в виде
/(х) = а1 (
где
= а (ек2х - екх ) + а2 (ек^х - екх ) + а3 (ек^х - екх ),
1 1
1 Ь(к2 - кх)(к2 - кз)(к2 - к4У 2 Ь(кз - к!)(кз - к2)(кз - к4У 3 Ь(к4 - к!)(к4 - к2)(к4 - к3) Таким образом, функция
О(х) = 0(х) (а (ек2х - ек'х ) + а2 (екзх - ек'х ) + а3 (ек4х - ек'х ))
является частным обобщенным решением неоднородного уравнения (12).
Для нахождения обобщенных решений О(х),02(х),...,О(х) уравнения (8), удовлетворяющих заданным согласно поставленной задаче краевым условиям, определим произвольные константы с, С, С, С, входящие в общее решение из условий выполнения соответствующих граничных условий.
Далее, принимая в (7) последовательно значения х = а, х = а2 ,• • •, х = ат, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно V(а), V(а2(ат):
т т
(1 + О] Щ (1 + ) + Е0 а - а X (1+АУ(а,)) = Е0 а - а, )Ч&Т (1 + А)1, (] = 1,..., т) (16)
1=1,
,=1
Используя матричные обозначения, систему (16) можно записать в виде
N1 - ЫУ = 0,
где Ы - матрица системы размерности т х т :
' 1 + 01(0)Ч О2(а1 - а2)Ч2..........От (а1 - ат )Чт ^
О1 (а2 - а1 )Ч1 1 + О2 (0)Ч2..............От (а2 - ат )Чт
(17)
О1 (ат - а1 )Ч1 О2 (ат - а2 )Ч2.............1 + От (0)Чт J
N - матрица размерности т х п
т т т ^
Е ° (а1- а Е ° (а1- а )ч,&2......Е 0 (а1- а
,=1 ,=1 ,=1
N =
т т т
Е ° (а2- а Е ° (а2- а 2......Е 0 (а2- а
т т т
Е ° (ат- а Е 0 (ат- а И&2......Е 0 (ат- а
V,=1 1=1 ,=1
Таким образом, объединив (17) с системой (4), получим систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно вектора амплитуд I и V :
Г (А2 А + С + С2О + А(В + ВО)1 - (С2 + АВ2) V = 0, {N1 - ЫТ = 0.
Система (18) имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю. Приравняв определитель системы (18) к нулю, получим уравнение собственных частот:
(18)
( А2 А + С + С 2О + А( В + ВО) С2 + АВ2 Л
N
Ы
= 0.
(19)
1
Отметим, что уравнение собственных частот (19) является трансцендентным, имеющим бесконечный дискретный набор собственных частот.
Пример. Сравнительный анализ
Рассмотрим консольный стержень с установленными на пружинах тремя твердыми телами (рис.). Левый конец стержня жестко закреплен, а правый свободен. Твердые тела массы т, т, т3 установлены на пружинах с коэффициентами жесткости с, с2, С3 на расстояниях а1, а2, а3 от левого конца стержня и совершают поступательные перемещения ^ (х), г2 (х), ^ (х) в направлении осей 0Х2Х, 0ггг, О^ъ ■ Здесь точки О, 02, 03 совпадают с положениями равновесия тел. Перемещения точек стержня описываются функцией и (х, х) .
u
к ^ г
О-
к ^2
О2
к ^ъ
0.3
а
x
Рис. Расчетная схема системы «консольный стержень с тремя осцилляторами с демпфированием»
Гибридная система дифференциальных уравнений, описывающая движение рассматриваемой системы, полученная на основании принципа Гамильтона, имеет вид:
т
'Л + \ (¿1 0) + с1^1-и(а1, ?)) = О,
т2г2 + Ъ2(¿2 t)) + с2(г2-и(а2,?)) = О,
ди
( фу \
<\ -и(х^)) + Ъх (¿1 - (х, г))\д(х-а1) +
т323 + Ь3(¿з 0) + с3 [г3 - и (а3,?)) =
0,
г д2и „ Т д4и р¥ + Ы
(20)
д I'
дх 4
Ы
+
с2(г2-и(х,{)) + Ь2(г2-^(х,0) \д(х-а2) +
+
Ы
ди
с3(г3 -и(х,{)) + Ъ3(¿з - — (х,t)) |З(х-а3)_
где р- объемная плотность материала стержня; ¥ — площадь поперечного сечения стержня; Е, J — соответственно модуль упругости первого рода материала стержня и момент инерции поперечного сечения стержня относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения, перпендикулярной плоскости изгибных колебаний стержня соответственно; Ь - коэффициент вязкого трения материала пружины. На функцию и (х, х) наложены краевые условия (2). Гибридная система дифференциальных уравнений (20) является частным случаем, предложенной обобщенной математической модели (1).
Для проведения сравнительного анализа предложенного подхода были использованы данные модели и расчеты, приведенные в работе [7]: I = 1т - длина консольного стержня;
р¥ = 0,675 kg/m - масса единицы длины стержня; J= 5, 20833-10"10 m4 - масса единицы
а
3
2
<
длины стержня в момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси, проходящей через центр тяжести сечения и перпендикулярной плоскости колебаний стержня; a1=0,1 m, a2=0,1 m, a3=0,1 m - точки, в которых крепятся осцилляторы; b = 0,1 Ns/m, b2 = 0,1 Ns/m, b3=0,1 Ns/m - коэффициенты вязкого трения; q = 0,1 N/m, c2 = 0,1 N/m, c3 = 0,1 N/m,
- коэффициенты жесткости пружин в осцилляторах; E = 7 • 1010N / m2 - модуль Юнга.
Расчеты первых двух собственных частот, полученные методом, предложенным в данной статье:
4 = -0,255 + 25,839/, 4 = -0,235 +161,938/.
Расчеты соответствующих частот, приведенные в работе [9]:
о\ = -0,255 + 25,839/ , ю2 = -0,235 +161,941/.
Как видно, полученные результаты имеют хорошее совпадение.
Заключение
К обобщенной математической модели, представляющей собой систему взаимосвязанных твердых тел, прикрепленных упругодемпфирующими связями к упругому стержню, предложен единый подход к построению частотного уравнения. Выполненный сравнительный анализ численных расчетов предложенным методом с расчетами, проведенными другими способами, известными из литературы, показал достоверность и универсальность предлагаемого подхода.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научных проектов № 12-08-00309а, № 15-08-00973а.
Библиография
1. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д. Определение собственных частот простейшей механической системы на упругом основании // Вестник БГУ. - 2009. - № 9 - С. 58-66.
2. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г., Лебедева Н.В. К исследованию виброзащитной системы с упругим основанием // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2009. - № 2 (22). -С. 13-20.
3. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г. О собственных колебаниях механической системы каскадного типа, установленной на упругом стержне // Вестник ВСГТУ. - 2010. - № 1. - С. 26-32.
4. Баргуев С.Г., Елтошкина Е.В., Мижидон А.Д. и др. Исследование возможности гашения П масс, установленных на упругом стержне // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2010. - № 4 (28). - С. 78-84.
5. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д. Решение начально-краевой задачи о колебаниях осциллятора на упругом стержне // Вестник БГУ. - 2012. - Ч. 2 - С. 63-68.
6. Мижидон А.Д., Дабаева М.Ж. (Цыцыренова М.Ж.). Обобщенная математическая модель системы твердых тел, установленных на упругом стержне // Вестник ВСГТУ. - 2013. - № 6. - С. 5-12.
7. Ву Д.С., Чен Д.В. Динамический анализ однородной консольной балки, несущей ряд упруго закрепленных масс с учетом демпфирования // Звук и вибрация. - 2000. - № 229 (3). - С. 549-578.
8. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. - М.: Наука, 1976. - 280 с.
9. Кукла С., Посиадала Б. Свободные колебания балок с упруго закрепленными массами // Звук и вибрация.- 1994. - № 175 (4). - С. 557-564.
Bibliography
1. Barguev S.G., Mizhidon A.D. Determination of the natural frequencies of the simplest mechanical system on an elastic foundation // Vestnik of BSU. - 2009. - N 9 - P. 58-66.
2. Mizhidon A.D., Barguev S.G., Lebedeva N.V. On the study of vibration-proof system with elastic base // Modern technologies. System analysis. Modeling. - 2009. - N 2 (22) - P. 13-20.
3.MizhidonA.D., BarguevS.G. On eigen oscillations of a mechanical system of cascade type, installed on an elastic rod // Vestnik of ESSTU. - 2010 - N 1. - P. 26-32.
4. Barguev S.G., Eltoshkina E.V., Mizhidon A.D. et al. Study of the possibility of mass extinction, installed on an elastic rod // Modern technologies. System analysis. Modeling. - 2010. - N 4 (28) - P. 78-84.
5. Barguev S.G., Mizhidon A.D. Solution of the initial-boundary value problem of the oscillator on the elastic rod. // Vestnik of BSU -2012. - N 2 - P. 63-68.
6. Mizhidon A.D., Dabaeva M.J. (Tsytsyrenova M.J.) Generalized mathematical model of solids, mounted on elastic rods // Vestnik of ESSTU. - 2013. - N 6. - P. 5-12.
7. J.-S.Wu andD.-W.Chen. Dynamic analysis of uniform cantilever Beam carrying a number of elas-tically mounted point masses with dampers. Sound and vibration. - 2000. - N 229 (3) - P. 549-578.
8. Vladimirov V.S. Generalized functions in mathematical physics. - M.: Nauka, 1976 - 280 p.
9. Kukla S., Posiadala B. Free vibrations of beams with elastically mounted masses // Sound and vibration. - 1994 - N 175 (4). - P. 557-564.
