CC BY
57
УДК 531.3: 681.2.08
Литвинов А.Н..
ОБОБЩЕННАЯ БАЛОЧНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ВИБРОДЕМПФИРОВАНИЯ В СЛОИСТЫХ
СТРУКТУРАХ
Для расчета гетерогенных структур аппаратуры военного назначения на действие статических, динамических и тепловых нагрузок часто используют простейшие балочные модели, основанные, как правило, на рассмотрении двух или трехслойных балок, работающих на изгиб. Обычный путь решения состоит в получении выражений для динамической изгибной жесткости слоистой гетерогенной балочной структуры, предложенной Оберстом, Ленардом и Кервином для двух- и трехслойных балок. Развитие этого подхода применительно к задачам вибродемпфирования предложено в работах [1,2].
Задача оптимизации порядка расположения слоев в многослойной конструкции, содержащей n жестких слоев, рассмотрена в работе [3] для балочной конструкции. При решении этой задачи принимается гипотеза Кирхгофа-Лява для всего пакета в целом, а относительное рассеяние энергии в многослойной балке вычисляется по формуле
П
X ykEkIk
y=—n-------, (1)
X EkIk
k=1
где yk, Ek, Ik - относительное рассеяние, модуль упругости и момент
инерции k -ого слоя; n - число слоев. Оптимальным считается расположение слоев, обеспечивающее максимальное демпфирование в системе с учетом воздействия температурного поля на гетерогенную систему.
Существенным недостатком многослойных балочных моделей, основанных на принятии гипотез Кирхгофа-Лява для всего пакета в целом, является ограниченная область их практического применения, так как их следует применять только для гетерогенных структур, у которых все слои имеют близкие жесткости на изгиб. Кроме того, в этих моделях не учтены жесткости слоев на растяжение (сжатие).
В качестве обобщенной балочной модели рассмотрим пятислойную балку, работающую на изгиб. Для каждого слоя принимаем гипотезы Кирхгофа-Лява, проскальзывание между слоями отсутствует. В этом случае для всего пакета выполняется гипотеза ломаной нормали (рисунок 1), а слой характеризуется модулем упругости Ek, толщиной 2hk, шириной b, площадью поперечного сечения Sk = 2hkb и моментом инерции поперечного
1
b (2hk) 2
сечения на изгиб Jk = v = — bhl, где к = - номер слоя в
гетерогенной структуре.
Уравнения изгибных колебаний составной балки имеет вид:
M
Э 2W * Э 4W
Эг2
+ 5
Эх4
0,
(2)
где M = X рк£к - распределенная масса гетерогенной структуры; рк -
к=1
плотность материала к-го слоя; В - жесткость гетерогенной структуры, которая для данной модели определяется выражением:
3 55 1 ( 5 \2
В = X (Ьк + ск)+X ік + X (Вк + N) —тт X N
к=1 к=3 к=1 В0 V к=1 У
(3)
Здесь введены следующие обозначения:
b1 = E1J1 + h12 ES; b2 = 2h1h2 E1S1; b3 = h1h2 E1S1
C1 = b2 ; C2 = E2J2 + h2 (4E1S1 + E2S2) ; C3 = h2h3 (2E1S1 + E2S2) ;
2 5
d1 = b3; d2 = C3; d3 = E3 J3 + h3 X EkSk ; d4 = *3; d5 = r3;
к=1
t3 = h3h4(2E5S5 + E4S4); t4 = E4J4 + h42(4E5S5 + E4S4);
*5 = r4 ; r3 = h3h5E5S5 ; r4 = 2h4h5E5S5 r5 = E5J5 + h5 E5S5 ;
N! = h1E1S1; N2 = — h2 (2 E1S1 + E2S2 ) ;
N3 = h3(E4S4 + E5S5 — E1S1 — E2S2);N4 = h4(2E5S5 + E4S4); N5 = h5E5F5;
2
5
B0 = X EkSk - суммарная жесткость всей структуры на растяжение
k=0
(сжатие).
При решении динамических задач с учетом демпфирования в системе считаем, что все жесткие слои является вязкоупругими, а их динамические свойства характеризуются комплексными модулями
Ek
■■ Ек >(w) + iEkn(w) = Ekr )(1 + Ihk (w)).
(4)
Здесь Ek ) (w) и eP (w)- действительная и мнимая части комплексного
модуля, которые являются функциями частоты колебаний w; hk (w)
Ef
Ek''
тангенс потерь для материала k -го слоя, характеризующий его диссипативные свойства. В общем случае динамический модуль Е^ и
тангенс потерь hk зависит от частот и температуры, при которых
эксплуатируется конструкция.
С учетом (4) получим выражение для комплексной динамической жесткости балочной модели гетерогенной структуры:
B* = B(') + iB(i) = B(')(1 + Щв) . (5)
Здесь B('), B(;) - действительная и мнимая части комплексной жесткости B*
соответственно, а hB - коэффициент потерь, характеризующий
диссипативные свойства всей гетерогенной структуры.
Выражение (3) с учетом (4) позволяет получить различные частные случаи гетерогенных систем, состоящих из четырех (h5 = 0), трех (h4 = h5 = 0) и двух (h3 = h4 = h5 = 0) жестких слоев.
Выделяя действительные и мнимые части в (3), получим аналитические выражения для расчета коэффициента потерь hB .
Рассмотрим случай, когда несущая конструкция (при к=1) является достаточно жесткой, а ее материал является упругим, т. е. выполняются условия: E1S1 >> Е2S2; E1S1 >> E3S3; hE = 0. В этом случае выражение для
коэффициента потерь существенно упрощается. Применяя в (3)
перенумерацию слоев, получим выражения для коэффициента потерь, которые соответствуют различным вариантам расположения слоев покрытия. Результаты этих исследований покрытий сведены в таблицу, где вязкоупругие слои покрытий заштрихованы. Индекс j в выражениях для hBj- соответствует
варианту схемы расположения покрытия (j = 1,2,3), в соответствии с таблтцей:
hB1
Е212 + ( h1 + h2 ) E2 S2
hE2 +
2
E3I3 + (h1 + 2h2 + h3) E3S:
3 ^3°3
hE
E1I1 + E2I2 + E3I3 + (h1 + h2 )2 E2 S2 + (h1 + 2h2 + h3 )2 E3S3
(6)
3
Ля 2
E3I3 +( h3 + h1) E3S3 hE3 + E212 +( h1 + h2 ) E2S2
Ле2
E1I1 + E2I2 + E3I3 + (h3 + h1)2 E3S3 + (h3 + h1)2 E2 S2
о
h _ E 212 +( h1 + h2 ) E2 S 2 h
hя3 _ /т т ч2 he2
Ex I1 + E212 +(h1 + h2)2 E 2 S2 2
(7)
(8)
Таблица - Схемы расположения слоев
Вариант 1
2
3
Схема
Из сопоставления соотношений (6) и (7) следует, что при одинаковых толщинах и физико-механических характеристиках наиболее рациональным является одностороннее расположение обоих вязкоупругих слоев (вариант 1), обеспечивающих их максимальное демпфирование в конструкции.
Анализ формулы (8) для двухслойной конструкции показывает, что чрезмерное увеличение толщины вязкоупругого слоя h2 не является целесообразным, так как максимальное значение коэффициента потерь стремится к величине тангенса потерь материала этого слоя hE . Из рисунка
2 следует, что максимальный диссипативный эффект достигается при выполнении условия h2 _ (3...4)h1.
Рисунок 2 - Зависимость коэффициента потерь от относительной толщины слоев в двухслойной конструкции.
4
Другим типом балочных моделей являются модели типа «сэндвич», в которых мягкие слои чередуются с жесткими слоями [1]. При этом мягкие слои являются вязкоупругими, работают на сдвиг, а их динамические свойства характеризуются комплексным модулем сдвига G = Gr + iGi = G2(1 + щ), где Gr и Gi - действительная и мнимая части
комплексного модуля сдвига; h
G,
тангенс потерь мягкого вязкоупругого
слоя. Проскальзывание между слоями отсутствует.
Для трехслойной балочной модели с мягким промежуточным слоем (к = 2), выражение для действительной части динамической жесткости (5) принимает вид:
B = а + « 2g , (9)
1 + g-hBgh
а коэффициент потерь в трехслойной модели вычисляется по формуле
hi
«1 -1
у a 2 у
gh
1+
+1
у « 2 У
g +
а 2
у а1 у
g2 (1+h2)
(10)
Здесь введены следующие параметры, характеризующие свойства системы:
b1 .
а1 = a1 - а2
а2 = а1 + а2 + b1 + b2;
а1 = E1 h + E313 + (h2 + 2 h1h2 ) E1s1 + h3 (E1s1 + E3s3 ) +
1 - E3 h3 s3
E1h1s1
і E3 s3
1 + 33
-Eh S1;
E1s1
a2 = 2 Elslhlh2
b2 = 4E1s1h2 (1'
f і \
1 h
h2 у 1
b1 = 2 E1 shh2
1 h3 1 + — +
h
1 - ^3
h2 1 + ^3*3
E1 s1 у
(11)
1 E3s3
1 + 3 3
).
E1s1
Безразмерный параметр сдвига, характеризующий относительную жесткость вязкоупругого слоя, определяется выражением
Gs>
g /7 2
2
(к^
(12)
2
где к ■ - волновое число, характеризующее у-ю форму изгибных колебаний балки (у = 1, 2, 3, ...).
Формула (10) позволяет оценить влияние всех параметров системы на эффективность ее вибродемпфирования на любых формах колебаний. 5
5
Анализ полученных соотношений показывает, что максимальное значение коэффициента потерь достигается при параметре сдвига, равном
Sc =П----1-----(13)
V
(1 + h2 )
a 2 a,
и определяется выражением
max hi
a2
V а1
Л
-1
h
a2 ( a2 11 — +1
+
a1 V a1 J
(14)
Для симметричной гетерогенной системы (h1 = h3 и Е1 = Е3 )выражения (13) и (14) принимают вид
3h 1
h
при Sc =
I----- <ЬС г~
5 + 4yj 1 + h 2^1 + h2
Из анализа выражения (15) следует, что для симметричной
трехслойной вязкоупругой гетерогенной системы балочного типа
максимальное значение коэффициента потерь теоретически не превышает
0,75, так как maxh £0,75.
Если армирующий слой (к = 3) также является вязкоупругим и характеризуется комплексным модулем Е3* = Е3 (1 + z'h3) и в нем происходит
рассеяние энергии за счет деформаций растяжения и сжатия, то выражение (10) для коэффициента потерь принимает вид
(15)
a
1 -1
_ V a2
s-h+h3 (E3 /3/ a) [1+2 s+(1+h2) s 2
1 +
a1
v a 2
+1
S +
a 2
v a1 J
S2 (1 + h2)
(16)
и позволяет оценить вклад вязкоупругого армирующего слоя в величину коэффициента потерь всей гетерогенной системы.
Рассмотренные балочные модели являются простейшими, позволяют рассматривать гетерогенные структуры с малым числом слоев и решать ограниченный круг одномерных задач. В тоже время данные модели позволяют получить достаточно простые расчетные формулы для вычисления изгибной жесткости и коэффициента потерь всей гетерогенной системы. Это особенно важно при проведении предварительных оценочных расчетов гетерогенных систем, являющихся составными частями
аппаратуры, приборов, устройств и оборудования различного назначения.
2
6
Литература
1. Литвинов, А.Н. Прикладные модели механики гетерогенных
структур изделий приборостроения: монография/ А.Н. Литвинов,
М.А. Литвинов, В.В. Смогунов; под ред. В.В. Смогунова. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та. - 2009. - 320с.
2. Литвинов, А.Н. Характеристики эффективности вибродемпфирующих покрытий/ А.Н.Литвинов//Надежность и катечтво: тр. Междунар.симп. В 2т., Т2. - Пенза: Изд-во Пенз.гос.ун-та. - 2008. - с.127-129
3. Чернышов, В.М. Условие максимального демпфирования колебаний механических систем/В.М. Чернышов, В. А. Боголепов// Известия вузов. - М.: Машиностроение. - 1977. - №1. - С.28-31.
7
Аннотация. Проведен анализ балочных моделей гетерогенных структур, применяемых при динамических расчетах. Предложена модель для пятислойной балки, состоящей из жестких слоев.
Ключевые слова: балка, модель, слой, структура, вибродемпфирование.
Abstract. The analysis beam models of the heterogeneous structures applied at dynamic calculations is carried out. The model for a five-layer beam consisting of stiff layers is offered.
Keywords: beam, model, layer, structure, antihunting. 8
8
