Обобщения тензора Полдера Текст научной статьи по специальности «Математика»

44

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ОБОБЩЕНИЯ ТЕНЗОРА ПОЛДЕРА

Евтихов М. Г.

Институт радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова, Фрязинский филиал, Российская академия наук, http://fire.relarn.ru

141190 г. Фрязино, Московская область, Российская Федерация Поступила врадакцию 05.04.2014 Представлена чл.-корр. РАЕН В.И. Грачевым

Тензор Полдера описывает (в линейном приближении) высокочастотную магнитную проницаемость изотропных ферромагнетиков, намагниченных до насыщения полем, направленным по одной из осей координат. Этот тензор используется при описании магнитных колебаний и волн (включая спиновые волны) в ферромагнетиках и пленках на их основе [1-4]. В качестве математического средства, позволяющего записать обобщения тензора Полдера в координатно-независимой форме, используются диады (произведение Кронекера векторов). Ранее этот прием успешно использовался в теории гиротропии [5]. Известны попытки его применения к спиновым волнам [4]. Эффективность применения современных алгебраических методов в физике может быть увеличена с помощью автоматизированного вывода математических теорем в системах символьных вычислений. В настоящей работе тензор Полдера обобщен на случай произвольного направления намагниченности изотропного ферромагнетика и записан в координатно-независимой форме. На основе результатов [2] получена более общая координатно-независимая запись тензора высокочастотной магнитной проницаемости, учитывающая магнитное затухание, неоднородный обмен и одноосную анизотропию однородно намагниченных до насыщения ферромагнетиков. Выведенные обобщения тензора Полдера расширяют возможности построения моделей магнитных колебаний и волн в ферромагнетиках для их изучения как аналитическими, так и численными методами. Обсуждаемые обобщения получены из одних и тех же принципов, одними и теми же методами, поэтому построенные с их помощью модели сравнимы не только качественно, но и количественно.

Ключевые слова: спиновые волны, тензор Полдера, тензор высокочастотной магнитной проницаемости, изотропные ферромагнетики, одноосные ферромагнетики, диады, ковариантный метод.

УДК: 537.611.44, 537.621.3, 512.643.8___

содержание

1. введение (44)

2. три вида произведений векторов (45)

3. изотропный ферромагнетик (45)

4. одноосный ферромагнетик (46)

5. сравнение записи тензоров высокочастотной магнитной восприимчивости (46)

6. заключение (47) приложение 1 (48) приложение 2 (49)

литература (50)

1. ВВЕДЕНИЕ

Сложные математические модели малых магнитных колебаний и волн в ферромагнетике принимают наиболее простую форму в предположении, что ферромагнетик намагничен до насыщения и имеет форму эллипсоида, стержня или плоскопараллельной пластины. При этих условиях, стационарное внешнее 1

однородное магнитное поле намагничивает образец однородным образом. Если намагниченность ферромагнетика, относящегося к классу изотропных ферромагнетиков, направлена по одной из осей координат (обычно по оси z), то тензор высокочастотной магнитной проницаемости записывается в относительно простой форме и называется тензором Полдера. Основываясь на тензоре Полдера, строят математические модели физических явлений, включающих магнитные колебания и волны как в массивных образцах, так и в многослойных пленках, содержащих слои ферромагнетиков [1-4]. Запись тензора Полдера в координатнонезависимой форме позволила бы перейти к рассмотрению более общих и сложных моделей, предназначенных для аналитического и численного исследования.

Математические модели малых магнитных колебаний и волн в одноосных ферромагнетиках

1 НОМЕР | ТОМ 6 | 2014 | РЭНСИТ

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

значительно сложнее моделей изотропных ферромагнетиков. Задача вывода высокочастотной магнитной проницаемости одноосных

ферромагнетиков решена в [2], получены формулы для наиболее важных частных случаев. Записать этот тензор для произвольного направления намагниченности в середине прошлого века было трудно из-за чисто математических проблем, тогда как физические принципы вывода этого тензора были подробно описаны в [2] и эта монография оказала большое влияние на развитие исследований спиновых волн.

Цель настоящей работы состоит в том, чтобы записать тензор Полдера для произвольного направления намагниченности (в координатно-независимом виде) и обобщить эту запись на тензор высокочастотной магнитной проницаемости для одноосных ферромагнетиков, основываясь на результатах [2]. В итоге получается возможность построения множества моделей высокочастотной магнитной проницаемости однородно намагниченных до насыщения ферромагнетиков, позволяющее учитывать такие факторы как магнитное затухание, неоднородный обмен, одноосная анизотропия (или абстрагироваться от них). Поскольку эти модели выведены одними и теми же методами из одних и тех же принципов, эти результаты исследований этих моделей должны быть сравнимы не только качественно, но и количественно. При рассмотрении одноосных ферромагнетиков возникает задача об определении направлений и равновесных значений магнитного поля и намагниченности, этот вопрос в данной работе не рассматривается.

2. ТРИ ВИДА ПРОИЗВЕДЕНИЙ ВЕКТОРОВ

Математический прием, позволяющий записать обобщения уравнения Полдера в координатно-независимом виде, основан на использовании диад [6]. Известно, по крайней мере, три вида векторных произведений, инвариантных относительно поворотов осей координат, сохраняющих расстояния. Два из них, скалярное и векторное произведение, широко применяются в физике. Третий вид, известный как диады (произведение Кронекера, диадное произведение, диадики), позволил в [5] описать в общем координатно-независимом виде многие оптические свойства одноосных

45

ОБОБЩЕНИЯ ТЕНЗОРА ПОЛДЕРА ^

кристаллов. Поэтому перспективно применить этот математический прием для обобщений тензора Полдера. Определение и некоторые алгебраические свойства диад рассматриваются в [4, 6]. В [7] обсуждалось “экстенсивное

произведение” объединяющее свойства произведения Кронекера и произведения матриц.

В арсенале современной математики в последнее время появились средства, позволяющие во многих случаях обойтись при доказательстве теорем без применения сложных алгебраических теорий. Прямая проверка формул в системах символьных вычислений является одним из видов доказательства теорем на компьютере и может быть использована при решении задач математической физики. У этого подхода имеются определенные издержки. Хотя уменьшается необходимость в сложных алгебраических выкладках, проводимых вручную, но повышаются требования к строгости использования математической символики и требования к общей математической культуре. Попытки автоматизированного вывода формул без предварительной формулировки и доказательства обобщающих теорем обычно дают плохо интерпретируемые результаты. Обсуждению используемых обозначений посвящено Приложение 1. В Приложении 2 приводятся формулы, проверенные в системе символьных вычислений и используемые в основном тексте статьи как теоремы.

3. ИЗОТРОПНЫЙ ФЕРРОМАГНЕТИК

В условиях, когда можно пренебречь неоднородным обменом в изотропном ферромагнетике, линеаризованное уравнение для малых комплексных амплитуд колебаний с частотой w намагниченности (m) и магнитного поля (h) записывается в виде [1, стр.27]: iaw

iwm +-----mхM0 +vmхH0 =-vM0 xh,

M0 0 0 0 (1)

где M0 — стационарная составляющая

намагниченности, H0 — стационарная

составляющая внутреннего магнитного поля. у — гиромагнитное отношение, а — коэффициент магнитного затухания. В изотропном ферромагнетике векторы М0 и Н0 параллельны. Пусть единичный вектор u соответствует направлению М0 и Н0, пусть далее wM = уцМс? wH = yHp тогда при отсутствии магнитного затухания iwm - wHuXm = -wMuXh. (2)

РЭНСИТ | 2014 | ТОМ 6 | НОМЕР 1

46

ЕВТИХОВ М. Г.

Для учета магнитного затухания в [1] используют уравнение движения намагниченности с записью релаксационного члена в форме Гильберта

дМ а ЭМ (3)

---= -уМ х H + — М х----. (3)

dt M dt

Учет релаксационного члена в уравнении

намагниченности (1) приводит к появлению члена iaw

----m х M 0. Введение этого члена эквивалентно

введению поправки в параметр wH, w = wH + iwa. Поэтому все формулы, полученные в [1] для изотропного ферромагнетика в предположении отсутствия магнитного затухания, остаются верными и при наличии магнитного затухания. Достаточно учесть поправку n>H. При учете неоднородного обмена и при переходе к уравнениям одноосных ферромагнетиков поправки wH становятся более сложными и будут рассмотрены ниже.

В операторных обозначениях,

обсуждающихся в Приложении 1 уравнение (2.1) перепишется в виде

(iw Т - wHI [u]x )m = -wM [u]x h. (4)

Соотношение (4) выражает линейную зависимость вектора m от вектора h: Ш * jf ■ Ь. Запишем тензор магнитной восприимчивости изотропного ферромагнетика / с помощью обратного оператора

Мг.,1 (5)

7 = 'Мтйю -г»Т) ‘[и]

Пользуясь формулой (П2.1) Приложения 2, получим

Ч\, ,

1 =

Ч\

Чъг -

ТЧГ

Если

направленный по оси & то

Г1 0 0 3 Г 0 -1 0 л

I - u ® u = 0 1 0 ,[u]x = 1 0 0

10 0 0; X 0 0 0,

и (6) превращается в известную формулу

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

Полдера

У 1 У. 0

ц=л 1 J _2 V 1 0

ч- -ч£

■■ 1 0 0 1

И + ч;,.

(8)

Выражение Р-.Ч 1+ Jj-.ч

(*■ -Н‘ )1 + -Rj, |' ъ,..и Фи + оф!)

(9)

обобщает формулу Полдера на случай произвольного направления намагниченности в пространстве.

4. ОДНООСНЫЙ ФЕРРОМАГНЕТИК

Линеаризованное уравнение для амплитуды малых колебаний намагниченности m без учета магнитного затухания для одноосного равномерно намагниченного ферромагнетика выведено в [2, стр. 61]

-iwm =

L , , , М0 ■ И'1» ч ■ n)2 2 (10)

= f(M0 xl h - Ai ,kik m-0 2 0 m + fSn(n ■ m) -Д-—0 .. m |

Mi

Mi

тгО')

где H0 - внешнее магнитное поле, n - единичный вектор вдоль оси анизотропии, в - константа

одноосной анизотропии, A,jkikjm = ^ jkikj m

V '■j

- член, учитывающий неоднородный обмен. Член

M • H(i)

Mi

М„

H

учитывает несовпадение направлений (i)

В одноосном ферромагнетике могут не совпадать направления равновесных

значений внутреннего магнитного поля

H

(i)

^(1(6)

4^ ' '

u = I3 (т.е. единичный вектор,

и намагниченности образца MQ. Вычисление равновесных значений М0 и Н*) является отдельной сложной задачей, рассматривавшейся в [2] для случая однородно намагниченного ферромагнетика в форме эллипсоида, пластины, цилиндра.

В соответствии с [1] добавим в (10) магнитное iaw Т-,-

затухание в виде члена m х M0. Получим

М„

iaw

-iwm-----m х Mo

M« 0

= 7(M0 х I h - (Al k,k + Mo'H0> + в (Mo '2n) )m + pa(a ■ m)

(7)

Магнитная проницаемость н связана с магнитной восприимчивостью соотношением Ц ш р. ^ I ■+■ -f J [4], что приводит к формулам

,2 (И)

„ . _ )m + вп(п■ m) 1

m2 m2

Пусть u - единичный вектор, задающий направление намагниченности М0, v - вектор (действительный, но не единичный), задающий направление внутреннего магнитного поля Hi" = H 0 v.

Используем теорему n(n • m) = (n ® n)m из Приложения 2 и преобразуем (11) к виду:

1 НОМЕР | ТОМ 6 | 2014 | РЭНСИТ

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ОБОБЩЕНИЯ ТЕНЗОРА ПОЛДЕРА

47

-iwm - iawm х u =

= wM u х ( - (jkikj + в (u • n)2)m + в (n ® n)m) - (12)

-wH u х (u • v)m.

При множителях типа цХш соберем числокоэффициент и обозначим его wHJJJ, получим iwm - wHIIIu х m - wM0u x (n ® n)m = -wMu x h, (13)

где wmn = WhU • v + iaw + wM(AiJkikj + 0(u • n)2).

Оператор высокочастотной магнитной восприимчивости запишется как 7 = [и.], - (п®п))-: [и\. д| 4)

Формула (14) отличается от формулы для изотропного ферромагнетика (5) наличием дополнительного члена в обратном операторе, это — значительная трудность, но она преодолевается с помощью теоремы (П2.2) из Приложения 2.

Wjtj (I - U i'U'i - EW[u', + Дп* 11) ЕЧ'п:-: U))

■ w^- - IT + w№1 WvfiQ. - (n nf) (15)

F-.4(I + 7.)-

н;тт {1 -u £■ u) - гн(и]_ + м u) Ф{п -я u)f

-*z u):)

~ W '¥ + ''aV+ j + Xf)- (16)

5. СРАВНЕНИЕ ЗАПИСИ ТЕНЗОРОВ ВЫСОКОЧАСТОТНОЙ МАГНИТНОЙ ВОСПРИИМЧИВОСТИ

Тензоры высокочастотной магнитной восприимчивости изотропных и одноосных ферромагнетиков выведены в [1, 2] из одних и тех же представлений о видах энергии ферромагнетика, поэтому имеют много общего. Отметим, что (13) отличается от (2) лишь более сложными поправками в коэффициент wH и наличием члена wM (3u х (n ® n)m. С математической точки зрения для того чтобы формула (15) превратилась в формулу для изотропных ферромагнетиков должны быть выполнены 3 замены:

в ^ 0; v ^ u; wMA.,jk.kj ^ nk2. Тогда получим

wHJJ — wH + iaw + rjk2.

Поправки iaw и rjk2 в wH и их влияние на свойства изотропных ферромагнетиков подробно обсуждались в [1]. Поправка

rjk2 естественно возникает из требования изотропности тензора неоднородного обмена. В случае одноосного ферромагнетика поправка wH, учитывающая магнитное затухание и неоднородный обмен имеет вид iaw + w^A-kk Возникает возможность достаточно точно учесть влияния магнитного затухания и неоднородного обмена численными методами. Для такого учета достаточно воспользоваться методом простой итерации.

Замена v^u кажется естественной, поскольку направление внутреннего магнитного поля и намагниченностив изотропныхферромагнетиках совпадают, однако с физической точки зрения говорить о таком переходе проблематично, так как изотропные ферромагнетики поликристаллы, а одноосные ферромагнетики — некоторое описание монокристаллов. v - находится из решения уравнения равновесия намагниченности [2]. В одноосных ферромагнетиках имеет значение не только коэффициент в, но и угол 0 между направлением намагниченности и внутренним магнитным полем. Кроме изменения w изменяется общий множитель

H

w.

- w + whiiiwmesin °

w

появляется

Hill

дополнительное слагаемое пропорциональное

wM в(п X u) ® (n X u).

Если направить u по n, тогда в (15) исчезают члены с параметром в и

ъл-

7. = *' ' (w«*С1-”®”)-Mil),

Hill

т.е. параметр в входит только в wHET

Высокочастотная магнитная проницаемость одноосных ферромагнетиков представляется как ряд поправок к тензору Полдера, что дает возможность упрощать математические модели, и возможность оценить и учесть в них существенные факторы. Получается возможность получить набор математических моделей, в которых магнитное затухание, неоднородный обмен, одноосная анизотропия присутствуют как факторы, которые могут учитываться или не учитываться. Особое преимущество этого набора математических моделей состоит в том, что модели получены из одних и тех же принципов, одними и теми же методами, в них используются одинаковые параметры, поэтому модели являются сравнимыми не только качественно, но и количественно.

РЭНСИТ | 2014 | ТОМ 6 | НОМЕР 1

48 ЕВТИХОВ М. Г.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрение более сложных явлений предполагает некоторое обобщение ранее полученных результатов. Для применения и развития результатов физических исследований, проводившихся в середине прошлого века, необходимо придать этим результатам несколько иную математическую форму. Возможности использования тензорных методов для обобщения теоретических моделей ограничены тем фактом, что для тензоров нет таких эффективных и развитых методов, которые накоплены для матриц. Тензорные задачи приходится редуцировать к матричным задачам. Поэтому остро встает вопрос о координатнонезависимой векторно-матричной записи физических задач и их результатов. Полезные приемы и идей, по этому вопросу имеются в [5].

В физике магнитных колебаний и волн в ферромагнетиках особое значение имеет тензор высокочастотной магнитной проницаемости изотропных ферромагнетиков, тензор Полдера. Основываясь на тензоре Полдера, строят математические модели физических явлений, включающих магнитные колебания и волны, как в массивных образцах, так и в многослойных пленках, содержащих слои ферромагнетиков [1-4]. Формулу (16), полученную на основе результатов [2], можно рассматривать как общую координатнонезависимую запись матрицы высокочастотной магнитной проницаемости для одноосных и изотропных ферромагнетиков, позволяющую учесть магнитное затухание, неоднородный обмен, наличие одноосной анизотропии ферромагнетика. Выражение (15) - матрица

магнитной восприимчивости. Учет одноосной анизотропии требует также решения задачи вычисления или экспериментального определения направлений и значений равновесного магнитного поля и намагниченности ферромагнетика. Эта задача в данной работе не рассматривается. Более простые формулы высокочастотной магнитной проницаемости и восприимчивости для изотропных ферромагнетиков даются формулами (6), (9), (17). При направлении намагниченности по оси z эти формулы переходят в известные формулы Полдера. Обобщенные записи тензора Полдера позволяют строить модели спиновых волн, распространяющихся под произвольным углом к намагниченности. 1

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

В последнее время повышаются требования к строгости использования математической символики. Эти вопросы обсуждаются в приложениях. Результаты статьи являются примером применения неочевидных

математических теорем выведенных в системах символьных вычислений.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Обозначения для векторно-матричных операций

Казалось бы,что все вопросы о математической символике векторов и матриц в трехмерном пространстве в декартовой системе координат должны бы быть давно решены и описаны в аналитической геометрии. Но это оказывается не совсем так. Нельзя даже сказать, что имеется общепринятая символика для обозначения векторов, матриц и их произведений. Этому есть причины. При решении сложных задач их постановку удобно записывать в тензорной форме или же с помощью специальных произведений векторов. Однако набор эффективных методов решения тензорных задач весьма узок, поэтому для нахождения решений задачи, приходится переформулировать ее в матричном виде. В свою очередь, для эффективного решения матричных задач с комплексными коэффициентами, задачи также приходится сводить к задачам о более узких математических объектах. В данном приложении речь идет о векторах и матрицах с комплексными коэффициентами. При этом особого внимания заслуживает вопрос о своеобразии свойств векторов и матриц с действительными коэффициентами. В Приложении 2 обсуждаются теоремы, основанные на учете особых свойств еще более специфического математического объекта, векторов единичной длины.

Переменные, числа, действительные и комплексные, обозначаются латинскими и греческими наклонными буквами (италикой). Имена функции — обычным шрифтом. В отличие от чисел, векторы (в трехмерном пространстве) обозначаются жирным прямым шрифтом. Линейные операторы, действующие на векторы, помечаются чертой сверху. Такая разметка формул соответствует стандартам, принятым в некоторых редакторах формул (например, Equation).

Для единичной матрицы и единичных векторов, направленных по осям координат, будем использовать обозначения

1 НОМЕР | ТОМ 6 | 2014 | РЭНСИТ

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ОБОБЩЕНИЯ ТЕНЗОРА ПОЛДЕРА

49

0 0 Г i ^ Г 0 ^

I = 0 0 , Ii = 0 , 12 = 1

V0 0 1 у V 0 у V 0 у

ab - произведение матрицы

Дз =

Г о ^ 0

v1 у

а (линейного

оператора) на вектор b,

ab - произведение двух матриц (линейных операторов).

Предлагается более строго следовать следующим правилам. Произведение матриц определено не для любых матриц, оно допустимо, если число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй. Поэтому запись ab, если векторы рассматриваются как вырожденные матрицы, недопустима, однако, она часто используется в литературе для обозначений особых произведений векторов. Для различных видов произведений векторов было бы более корректным использовать особые значки. a^b - скалярное произведение векторов а и b, aXb - векторное произведение векторов а и b.

Кроме этих двух хорошо известных видов произведений векторов будем использовать диады, обозначим их a® b в соответствии с [6]. Диада является не вектором, а матрицей. В декартовой системе координат эта матрица записывается как

л ab ab abл

a® b = aib a2b2 a2b3

v a3b a3b2 a3b3;

Диады линейны по

своим аргументам, инвариантны относительно поворотов осей координат, сохраняющих расстояния. a® b называют также произведением Кронекера векторов, диадикой, диадным произведением.

Векторное произведение aXb является линейной функцией своих сомножителей, поэтому его можно представить как произведение матрицы на вектор b: aXb = [a]xb.

В декартовой системе координат

' 0 -a3 a2 '

X 11 a3 0 -ax

V-a2 ax 0 ,

В [4] для [а]х используют обозначение а. Мы не будем использовать такой прием для того, чтобы не смешивать матрицу специального вида с матрицами общего вида.

Вектор a можно рассматривать как вырожденную матрицу с одним столбцом. Транспонированный вектор bT - вектор с одной строкой, поэтому произведение abT формально не противоречит правилу умножения матриц и дает a® b. Тогда как скалярное произведение a'b = a^b, а' - транспонированный и комплексно-сопряженный вектор. Используя ассоциативность умножения матриц можно записать a(b • c) = ab'c = (a ® b )c, где b - вектор b с комплексно-сопряженными коэффициентами (но не транспонированный). В [4] скалярное произведение обобщается на матрицы. Мы не будем использовать такое обобщение, поскольку оно оказывается неассоциативным. Для векторов запись a^b = a'b корректна и удобна, она будет использоваться.

Существует ряд полезных формул, справедливых только при условии, что компоненты векторов являются действительными, но не комплексными.

a^b = b^a, если векторы действительные. В общем случае a^b = (b^a)'.

Известное тождество Лагранжа ax(b*c) = b(ac) - c(a-b) справедливо только для векторов a с действительными коэффициентами. В общем случае комплексных векторов в декартовой системе координат ax(b^c) = b(arc) - c(arb). Различие аг и а' несущественно, если коэффициенты вектора действительные, но в случаекомплексныхкоэффициентовэторазличие может приводить к ошибкам и паралогизмам. Например, a(b • c) = ab'c = (a ® b)c Ф (a ® b)c.

Еще более тонкий пример: a-b = a'b Ф b'a. Тонкость последнего примера состоит не только в формальном неравенстве. Если выбрать в качестве определения скалярного произведения a^b = b'a, то аксиомы скалярного произведения будут выполнены, но это будет уже другое скалярное произведение, можно предложить и другие модификации скалярного произведения, формально соответствующие аксиомам.

Если коэффициенты вектора действительны, это обстоятельство мы будем оговаривать в тексте.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Теоремы для единичных векторов

Используемые векторно-матричные обозначения обсуждаются в Приложении 1.

Для вывода высокочастотной магнитной восприимчивости оказалось необходимо

РЭНСИТ | 2014 | ТОМ 6 | НОМЕР 1

50

ЕВТИХОВ М. Г.

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

соотношение, позволяющее вынести вектор как множитель из скалярного произведения n(u • n) = (n ® n)u.

В последнем равенстве векторы должны быть действительными,нонеобязательно единичными. Для комплексных векторов справедливо a(b • c) = (a ® lb)c (см. Приложение 1), где lb - вектор b с комплексно-сопряженными коэффициентами (но не транспонированный). Для действительных векторов a(b • c) = (a ® b)c = (a ® c)b,, а также a(b • a) = (a ® a)b.

Рассмотрим выражение (I — u ® u,), где I - единичная матрица, u - единичный вектор, сумма квадратов коэффициентов которого равна единице. Пусть u = I тогда

I - u ® u =

а

0

V 0

0

1

0

у

это

Заметим, что это выражение совпадает с удвоенным тензором размагничивающих коэффициентов для ферромагнитного цилиндра, ось которого направлена по вектору u [1, 2]. Так как I и u ® u инвариантны относительно поворотов осей координат, сохраняющих расстояния, то (I — u ® u,) описывает тензор размагничивающих коэффициентов в координатно-независимом виде. Выражение u ® u описывает тензор размагничивающих коэффициентов плоскопараллельной пластины с нормалью, направленной вдоль u.

Если положить u = I3, то матрица [u]

Поэтому матрицы вида

И iv 0

-iv И 0

0 0 0

0 -10 1 о о

встречающиеся

в теории ферроманетиков, сегнетоэлектриков, гиротропных кристаллов, можно представить в координатно-независимом виде как

К(1 - u ® и) - iv[u]x = -(К[и]2 + i'v[u]x).

Возможность упрощения выражений,

содержащих [u]x, следует из факта, что степени

этого оператора, большие 2, выражаются через его первую и вторую степень. Если u - вектор, у которого сумма квадратов коэффициентов равна единице, тогда [u]x (u ® u) = 0,

[u]x* 1 2 3 4 5 6 7 = (u ® u) -1; [u]3 = -[u]x.

Сформулируем две неочевидные теоремы. Пусть u - единичный действительный вектор, сумма квадратов его коэффициентов равна единице. Параметры a, b — произвольные комплексные числа, такие, что а Ф 0 и а2 + b2 Ф 0, тогда

х Y ,г л л 4u]x + b(l - u ® u)

(аI + 4М,) ВД,=---------Т+-,-------■ (П2.1)

Удалось вывести более общую теорему. Пусть u и n - единичные действительные векторы, сумма квадратов коэффициентов каждого равна единице. Параметры a, b, с — произвольные комплексные числа, такие, что а Ф 0 и а2 + Ь + bc(1 - (n-u)2) Ф 0, тогда (a! + b[ u]x + c [ u]x (n ® n))-1[ u]x =

a[u]x + b( I - u ® u) + c(n x u) ® (n x u)

a2 + b2 + bc(1 - (n • u)2) (П2.2)

Теоремы (П2.1) и (П2.2) являются не приближенными, а точными. На этих теоремах основаны обобщения тензора Полдера, обсуждаемые в данной работе. Возможны различные способы доказательства этих теорем. При их формулировке автор использовал теорию “экстенсивного умножения” [6]. Однако наиболее удобный, простой и надежный метод доказательства подобных теорем, не требующий никаких сложных алгебраических теорий, состоит в прямой проверке формул в системе символьных вычислений, которая также была выполнена.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гуревич АГ, Мелков ГА. Магнитные колебания и волны. М., Физматлит, 1994, 464 с.

2. Ахиезер АИ, Барьяхтар ВГ, Пелитминский СВ. Спиновые волны. М., Наука, 1967, 378 с.

3. Вашковский ВА, Стальмахов ВС, Шараевский ЮП. Магнитостатические волны в электронике сверхвысоких частот. Саратов, СГУ, 1993, 311 с.

4. Stancil DD, Prabhakar A. Spin Waves:

Theory and Applications. New-York, Springer Science+Business Media, 2009, 355 p.

5. Федоров ФИ. Теория гиротропии. Минск,

Наука и техника, 1976, 456 с.

6. Победря БЕ. Лекции по тензорному анализу. М., МГУ, 1976, 264 с.

7. Евтихов МГ. Экстенсивное умножение. РЭНСИТ, 2013, 5(1):143-151.

Евтихов Михаил Георгиевич

k. ф.-м.н, с.н.с.

ФИРЭ им В.А. Котельникова РАН

l, пл. Введенского, 141120 г.Фрязино Моск.обл. emg2002@mail.ru

1 НОМЕР | ТОМ 6 | 2014 | РЭНСИТ

INFORMATION TECHNOLOGIES

51

POLDER TENSOR GENERALIZATIONS

Evtikhov Mikhail G.

Kotel’nikov Institute of Radio Engineering and Electronics, Branch in Fryazino, Russian Academy of Ssience, http://fire.relarn.ru

141120 Fryazino, Moscow region, Russian Federation emg2002@mail.ru

Polder tensor describes the linear approximation in the high-frequency permeability of isotropic ferromag-nets, magnetized to saturation by a field, directed along one of the axes. This tensor is used to describe the magnetic oscillations and waves (including spin waves) in ferromagnets and the films based on them [1-4]. As a mathematical tool that allows to record generalizations Polder tensor in a coordinate-independent form used dyadic (Kronecker product of vectors). Previously, this technique has been successfully used in the theory gyrotropy [5]. There have been attempts to use his spin waves [4]. Effectiveness of modern algebraic methods in physics can be increased by using an theorem proving in symbolic computation systems. In this paper isotropic ferromagnet Polder tensor generalized to arbitrary magnetization direction and written in a coordinate-independent form. On the basis of the results of [2], a more general coordinate- independent record high magnetic permeability tensor, taking into account the magnetic damping , inhomogeneous exchange and uniaxial anisotropy uniformly magnetized to saturation ferromagnets. Generalizations derived tensor Polder extend the capabilities of constructing models of magnetic oscillations and waves in ferromagnets and study them both numerical, and analytical methods. Discussed generalizations derived from the same principles , the same methods, so built with the help of their comparable model not only qualitatively but also quantitatively.

Keywords: spin waves Polder tensor, high magnetic permeability tensor, isotropic ferromagnets, uniaxial ferromagnets, dyadic, covariant method.

UDC 537.611.44, 537.621.3, 512.643.8

Bibliography — 7 references Received 05.04.2014 * 1 2 3

RENSIT, 2014, 6(1):44-51______________________

REFERENCES

1. Gurevich AG, Melkov GA. Magnitnye kolebaniya i volny [Magnetic Oscillations and Waves].

Moscow, Fizmatlit Publ., 1994, 464 p.

2. Akhiezer AI, Bar'yakhtar VG, Peletminsky SV.

Spinovye volny [Spin Waves]. Moscow, Nauka Publ., 1967, 378 p.

3. Vashkovsky VA, Stal'makhov VS, Sharaevsky YuP Magnitostalicbeskie volny v ekktronike sverkhvysokikh chastot [Magnetostatic waves in microwave electronics]. Saratov, SGU Publ., 1993, 311 p.

4. Stancil DD, Prabhakar A. Spin Waves:

Theory and Applications. New-York, Springer Science+Business Media, 2009, 355 p.

5. Fedorov FI. Teoriyagirotropii [Theory gyrotropy]. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 1976, 456 p.

6. Pobedrya BE. Lektsiipo tenyornomu analiyu [Lectures on Tensor Analysis]. Moscow, Moscow Stat Univ. Publ.,1976, 264 p.

7. Evtikhov MG. Ekstensivnoe umnozhenie [Extensive product]. RENSIT, 2013, 5(1):143-151.

РЭНСИТ | 2014 | ТОМ 6 | НОМЕР 1