О характерных частотах изотропного ферромагнетика Текст научной статьи по специальности «Физика»

96

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

О ХАРАКТЕРНЫХ ЧАСТОТАХ ИЗОТРОПНОГО ФЕРРОМАГНЕТИКА

Евтихов М. Г., *Никитов С.А.

Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова, Фрязинский филиал, Российская академия наук, http://fire.relarn.ru

141120 Фрязино, Московская область, Российская Федерация

“Институт радиотехники и электроники им. В.А.Котельникова, Российская академия наук, http://wwwcplire.ru 125009 Москва, Российская Федерация

Поступила в редакцию 18.05.2011

Представлена чл.-корр. РАЕН В.И. Грачевым 23.05.2011

Сформулированы математические соотношения между функциями, содержащими основные характерные частоты изотропного ферромагнетика, полезные для применения теории волн в магнитных средах. Приводится таблица теоретически рассчитанных характерных частот.

Ключевые слова.: одноосные ферромагнетики, спектры электромагнитных волн, магнитостатические волны, магнитные пленки. * 1 2 3 4 5 6

УДК 539.2, 537.877__________________________

содержание

1. Введение (96)

2. Функции с заданными корнями (97).

3. Соотношения, связывающие характерные частоты и компоненты тензора Полдера (98).

4. Характерные частоты объемных и поверхностных волн (99).

5. О вычислении характерных частот (100).

6. Заключение (101).

Литература (101).

1. ББЕДЕНИЕ

Исследованию физических принципов распространения электромагнитных волн в ферромагнетиках посвящено большое количество работ, выполненных в основном в конце 20 века [1-5]. Хотя в общем виде математическое описание таких волн оказалось бы слишком сложным для анализа, теоретически оно возможно. Практически используют довольно сложную иерархию математических моделей, позволяющую в определенных приближениях количественно описать большинство существенных явлений.

С развитием вычислительной техники увеличиваются и возможности математических средств, позволяющих строить и анализировать как численные математические модели конкретных сред, так и совершенствовать работу с формулами. Эти возможности

также ограничены, но представляется перспективным пытаться их использовать для некоторого совершенствования теории волн в ферромагнетиках. Важными типами приближений, упрощающих модели

электромагнитных волн в магнитных средах, являются модель ТЕ-волн (transverse electric) и магнитостатическое приближение. В [1] рассматривается линеаризированная модель изотропного ферромагнетика, намагниченного до насыщения. В настоящей работе мы ограничимся этой моделью. Подчеркнем, что после намагничивания среда становится анизотропной. Модель изотропного ферромагнетика достаточно хорошо описывает свойства феррита-граната иттрия (железоиттриевый гранат, ЖИГ), применяющегося в целом ряде устройств, функционирование которых основано на свойствах распространения магнитостатических волн [3,4].

В упрощенной модели ТЕ-волн рассматриваются волны, содержащие только 3 из 6 возможных компонент электромагнитного поля, т.е. волны вида: (H1, H2, E^exp(iwt — ik1x — iky).

Примером волн этого типа служат волны, распространяющиеся в ферромагнетиках, намагниченных до насыщения ортогонально магнитному полю. На границе диэлектрика и

2 НОМЕР | ТОМ 3 | 2011 | РЭНСИТ

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

О ХАРАКТЕРНЫХ ЧАСТОТАХ 97 ИЗОТРОПНОГО ФЕРРОМАГНЕТИКА

ферромагнетика возникают поверхностные ТЕ-волны. Теория поверхностных волн этого типа построена в [5-7], спектр волн интерпретируется как спектр магнитных поверхностных поляритонов. Большое практическое значение имеют магнитостатические волны (МСВ) [34], медленные электромагнитные волны с волновым вектором k >> k0 = w/c. Спектр ТЕ-волн (магнитных поверхностных поляритонов) в одноосной ферромагнитной пленке рассматривался в [7]. Хотя модель ТЕ-волн проще, чем общий случай, и позволяет обоснованно исключить из рассмотрения сложные явления, связанные с поляризацией, полное решение соответствующего уравнения возможно лишь численными методами. Расчеты по модели [7] показывают, что при уменьшении толщины ферромагнитного слоя одна из ветвей спектра ТЕ-волн оказывается МСВ-подобной. В соответствии с теорией МСВ, при достаточно малых толщинах пленки ее длина волны и характерные длины поперечного затухания становятся порядка толщины пленки. Вторая ветвь спектра имеет большие характерные длины, значительно превышающие толщину (и другие размеры) пленки. Математические вопросы, связанные с ТЕ-волнами, рассмотрены в [8]. В [9] обсуждалась важность изучения спектров волн в сложных пленках с магнитными слоями для дальнейшего развития телекоммуникаций.

И в общем случае, и в случае ТЕ-волн, и в магнитостатическом приближении теоретический вывод следствий из достаточно хорошо изученных и экспериментально проверенных принципов оказывается довольно трудоемким. Формулы, возникающие в более простых моделях, используются далее при изучении более сложных сред и явлений для проверок результатов, а также как заготовки для последующих модификаций формул. Поэтому представляется актуальным представить некоторые из соотношений между характерными частотами как математические теоремы и их следствия, сокращающие трудоемкие выкладки.

Цель данной работы состоит в том, чтобы привести формулы, облегчающих громоздкие выкладки в модели изотропного ферромагнетика при вычислении характерных частот ТЕ-волн, возникающих на границе раздела с диэлектриком. При этом предполагается использовать единые

обозначения, учесть диэлектрические и магнитные проницаемости.

2. ФУНКЦИИ С ЗАДАННЫМИ КОРНЯМИ

Пусть магнитное поле Н0 направлено по оси Z и намагничивает изотропный ферромагнетик до насыщения MQ. Граница ферромагнетика и диэлектрика совпадает с плоскостью x = 0. Тогда в направлении оси у возможно распространение ТЕ-волн. Высокочастотную магнитную проницаемость записывают в виде тензора Полдера [1-5]:

V iv 0

-iv V 0

0 0 1

(1)

И

= 1 +

тм тн

2 2 тн -т

; v =

тм т

22 тн -т

у4лМ0; (2)

юн = YHv (3)

у - гиромагнитное отношение. Для учета магнитного затухания в (3) вносят следующие поправки [1]:

ын = yH0 + iau, (4)

где a — константа магнитной диссипации, входящая в уравнение движения намагниченности, записанное в форме Гильберта. В [2] рассмотрены более сложные модификации тензора Полдера, применимые к анизотропным средам.

Рассмотрим монотонно возрастающий ряд из 4 частот, возникающих в модели изотропного ферромагнетика

Ю1 Юн; Ю2 4Юн (Юн + Юм ) ;

ю3 = Юн + Юм / 2; Ю4 = Юн + Юм

(5)

Введем ряд функций, каждая из которых на своей частоте обращается в нуль и меняет знак “—” на “+” при увеличении частоты.

Для n = 1, 2, 3, 4

W^ (ю) = ю — ю ; W. (ю) = ю + ю ;

(+n)^ / n (-n)' ' n

Wn*№ = W(+n)H W^) = ю2 - юя2. (6)

Для n = 0 положим

W(0)H = ююм (7)

Далее мы будем опускать аргумент ю у функций W. W обращается в нуль на нулевой частоте. Функции W и W обращаются в нуль на частоте ферромагнитного резонанса ю1 =

РЭНСИТ | 2011 | ТОМ 3 | НОМЕР 2

98 ЕВТИХОВ М.Г., НИКИТОВ С.А.

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

ы

H

W,

+2_

(2L

обращаются в нуль на частоте обращаются в

Щ, = ^юн (rnH +rnM). W(+3) и W(3) нуль на частоте Деймона-Эшбаха Ы3

W „ и обращаются в нуль на частоте ыи = ы

ын + 1/2Ым

(+4)

(4)

н

+ ы

M

Справедливы следующие соотношения:

W + W = 2W (1-) (4-) (3-)’ 2 W - W = —м п(2) ^(3) 4 (8)

(9)

W2 - W2 = W W "(2) (0) "(1) (4) (10)

W + 2W + W = 4W (1) (2) (4) ^W(3) (11)

W + W — W = 2W W (1) W(2) W (0) ^ W (-1)W (+3) (12)

Неочевидна и эффективна формула (10). Соотношения (8), (9) непосредственно вытекают из (5) и (6). Для доказательства (10), (11), (12) следует подставить в них выражения из (5)-

(7) и раскрыть скобки. Знание соотношений

(8) -(12) позволяет значительно сокращать математические выкладки. Перечень формул не является исчерпывающим и может быть продолжен.

3. СООТНОШЕНИЯ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ ХАРАКТЕРНЫЕ ЧАСТОТЫ И КОМПОНЕНТЫ ТЕНЗОРА ПОАДЕРА

Компоненты тензора Полдера запишем в виде

М =

W

УУ<2) .

w .

УУ<1)

v = -

W

^(0)

W

<1)

(13)

Выведем из них ряд следствий, полезных для применений модели изотропного ферромагнетика:

v = - Woy = ам (0 .

М W(2) ЩН (ЩН + ЩМ ) — Щ

' M iv2

l-iv Mi

1

W

п(1)

( w

"(2)

iW

V 40)

iW

(0)

W

(2) J

(14)

(15)

( p det II 1 II

l-V Mj

W _ (4) _ (WH + WM ) — ®

W n(\) 2 2 Wh -®

(16)

f ■ \-1

р IV y-iv р j

f

W

(4)

W

"(2)

-iWt

iW

l"(0)

W

(0) п(2) J

(17)

T =

1 EH

1

f vVo О

p iv

V-iv pj

-1 0

(

iW,

(4)

W(0)

-iW(

V

IW(2)Л

(18)

W

(2) "(0) j

Ml =

2 2

M -v

W

(4)

W(2

M "(2) \2 2

(19)

(ЩН + Щм ) Щ

юн (щ +®м) -Щ

2

(p^ + 2)^u +1 — (p +1) —v — 4

W

(3)

W

(1)

—4

(®H + / 2)2 — со2

(20)

(ан a )

В пособии [3] приведен большой список дисперсионных соотношений для магнитостатических волн, которые могли бы представлять интерес для конструкторов устройств на МСВ. Например, дисперсионные соотношения для поверхностных магнитостатических волн (ПМСВ) в металлизированной пластине описываются в [3] уравнением:

р2 — v2 = 0.

(21)

Применяя (16), получим одну допустимую частоту для таких волн:

Ы = (ын + ыи)2. (22)

Поверхностные МСВ (ПМСВ) волны в свободной одиночной пластине толщины d, вблизи частоты Деймона-Эшбаха описываются уравнением [3]

1 + 2pcth(kd) + р2 — V = 0 (23)

Каким образом из (23) вывести факт, что при приближении к частоте Деймона-Эшбаха + /ы M волновой вектор ПМСВ резко

ы

н

возрастает? Преобразуем (23) к виду 1 + 2р + р2 — v2 = 2р(1 — cth(kt)). Используя (13) и (16) получим

2W

(3)

W

= (1 - cth(kd))

(24)

(2)

1

2 НОМЕР | ТОМ 3 | 2011 | РЭНСИТ

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

О ХАРАКТЕРНЫХ ЧАСТОТАХ 99 ИЗОТРОПНОГО ФЕРРОМАГНЕТИКА

Левая часть по определению обращается в 0 при частоте Деймона-Эшбаха. В правой части cth(kt) —— 1 при k—>Ю, t > 0. Из (24) явно выразим:

к = 2^ (ln(4(w2 - w2)/ w2M)), (25)

что совпадает с формулой из [1].

В [3] приведены сложные дисперсионные

соотношения для магнитостатических волн

в многослойной металлизированной пленке,

состоящей из 2-х слоев ферромагнетика,

разделенных слоями диэлектрика (всего

7 слоев). Большая часть реализуемых

ферромагнитных пленок описывается

упрощенными вариантами этой модели.

Можно надеяться, что приведенные выше

соотношения помогут в интерпретации

общих и сложных выражений из [3Y

- 1 дВ

закон индукции Фарадея V х E =----для

ТЕ-волны в ферромагнетике преобразуемся! виду:

Л, ,, YV о 1 \Гь Л

-1 0

Й = Е

Bll Bl2

\Mii M22 J

=E Еь =

ik W

lY"(4) V

V

W

ГГ(0>)

-iWr

(2)

ki

V k2 J

iW

(2)

W

n(0)

k.

При w

w.

WH — WM выполняется k ^ 0 ,

M

длина волны значительно возрастает, имеет место явление “селективной прозрачности” [5].

о

4. ХАРАКТЕРНЫЕ ЧАСТОТЫ ОБЪЕМНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН

Теория спектров плоских поверхностных ТЕ-волн, возникающих на границах вакуума и касательно намагниченных до насыщения одноосных ферромагнетиков, развивалась в работах [5, 6]. Дисперсионное уравнение имеет две ветви: ветвь МСВ-подобных

волн и вторая ветвь. Поверхностные МСВ существуют в интервале частот (w2, w3). Далее будем выражать принадлежность параметров к различным средам нижним индексом в квадратных скобках, —диэлектрик, — ферромагнетик. В условиях нормального скин-эффекта проводимость объединяют с диэлектрической проницаемостью, , 4по . ,

£ = £+---1 , где £ — диэлектрическая

w

проницаемость, о — проводимость. В [8] показано, что поверхностные ТЕ-волны,

распространяющиеся в направлении оси у на поверхности x = 0, зависят только от компонент е и е33[2] в первой и второй среде. Формулы для характерных частот зависят только от отношения е3 и е33[2] (при условии, что найдено направление, в котором имеют место ТЕ-волны), поэтому формулы, полученные в [6], оказываются применимыми не только к случаю границы раздела вакуума и ферромагнетика, но и к случаю границы раздела ферромагнетика и анизотропного диэлектрика. Обозначим

е = = е~1 (26)

с33[12] с33[21] • А'Ф

e33[2]

Ниже приведем условия возникновения характерных частот и получающиеся из них формулы.

Характерная частота, выше которой возникают объемные ТЕ-волны, характеризуется условием:

W1[2^ 11[1] — (£33[21] + £33[12])Ц11[1] W2[2] + W4[2] = 0

и дается формулой

1

2 2 _ /

W1 № 11[1] — V^33[21] + ^33[12]

22 K[1] w2 + w4

№ 11[1] (£: Нижняя граница подобных волн:

w2 =yl wl(wl + wM )

. (27)

поверхностных МСВ-

33[21] + S33[12] )№11[1] + 1

Нижняя граница поверхностных волн на второй ветви определяется условием:

W4H(W1[2/'11[1] - W2,2,£33[21]) = 0 (28)

Ее частота

w

Wj +

w,

M

1 АщД:

1[1]°33[12]

WA =

(29)

Поверхностная резонансная частота Деймона-Эшбаха является верхней границей поверхностных МСВ-подобных волн.

W4[2] Р21Ш - Wm + 2W0^11[1] = 0 (30)

WDE1 ~ WM/2 + WH + 2ПХ[1] + °(X[1]). (31)

Частота не зависит от £...

33

завершение области поверхностных волн на второй ветви wB определяется условием:

£ ((W ц )2 - W2 ) + W W ц = 0.

33[21]\\ 0[2Г 11 [1Y 4[2у 42 2[2] Г11[1]

РЭНСИТ | 2011 | ТОМ 3 | НОМЕР 2

100 ЕВТИХОВ М.Г., НИКИТОВ С.А.

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

Решение дается биквадратным уравнением

W (Р-Ц[1] — £33[21]) +

+ W (^33[21]((WM^11[1]) + 2w4) —

-A1[1](w4 + w2)) +

+ ^11[1] W4 W2 — £33[21] W4 = 05. О ВЫЧИСЛЕНИИ ХАРАКТЕРНЫХ ЧАСТОТ

Магнитное затухание и наличие проводимости у рассматриваемых сред приводит к тому, что параметры wH и д становятся комплексными и зависят от частоты. Можно ли пользоваться такими формулами? Формально говоря, необходимо решение довольно сложных нелинейных уравнений. Однако существует простой способ их численного решения, метод простой итерации. Формулы для частот следует рассматривать как непрерывные дроби и вычислять рекурсивно. В результате этих вычислений у частот появляются мнимые части. Этот факт можно интерпретировать по-разному. Будем полагать, что величина мнимых частей ограничивает точность, с которой определена соответствующая характерная частота. Расчет таковых частот приведен в таблице (частоты даны в гигагерцах, рассчитаны по параметрам, приведенным в [1]).

В первой колонке таблицы приведены характерные частоты, рассчитанные по параметрам для образца ЖИГ в вакууме. 2

Таблица

вакуум- ЖИГ £[121 = = 1/15.1 парафин- ЖИГ Д[12 = =22/15.1 вакуум- железо

II 1.065 = 1.065 0.0112

w, b 2.135 1.26 0.82

w2 2.54 =2.54 0.8

WA 2.612 2.712 0.8

isT II J 3.559 =3.559 30.2

WB 4.078 4.109 37.3

WM 4.988 =4.988 60.48

w, 4 6.053 =6.053 60.49

В настоящее время большой интерес представляют задачи взаимодействия волн с неоднородностями образцов и пленок [9]. Прежде чем пытаться манипулировать неоднородностями, было бы полезно знать свойства волн при однородном изменении параметров. Во второй колонке приведены рассчитанные частоты, в предположении, что образец ЖИГ находится не в вакууме, а в парафине. Наибольшее относительное изменение частоты проявляется в смещении w^ нижней границы возникновения объемных ТЕ-волн. Неизменяющиеся частоты

помечены знаком равенства (=). Отметим такой факт. Увеличение как магнитной, так и диэлектрической проницаемости уменьшает частоту wA- Увеличение 8^ увеличивает wB и уменьшает wb, в то же время увеличение р^ действует на эти частоты противоположным образом. Для диа- и парамагнетиков р^ отличается от единицы на малую величину порядка 10-6, но в формулах сохранены р^ для того, чтобы обеспечить возможность оценок при аномально больших р возможных в композитных материалах. В последней колонке приведены для контраста характерные частоты для железа.

Результаты, полученные в виде формул, устанавливают связь между различными физическими величинами и позволяют предложить многообразные способы

вычисления неизвестных параметров по известным, наблюдаемым параметрам. Например, характерные частоты спектра МСВ

W2 и w} позволяют вычислить параметры, определяющие тензор Полдера

wM = 2у[щ - Щ

2

2

w

2

2

WH = w3 -

2

Частоту wb возможно использовать для оценки величины диэлектрической проницаемости, используя соотношение:

(^33[21] + £33[12])

wb (М 11[1] + 1) (М 11[1] wn + (wn + wm ) )

Al[1]K2 - WH (wH + WM ))

2 НОМЕР | ТОМ 3 | 2011 | РЭНСИТ

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

Применимость приведенных в работе формул ограничена применимостью модели изотропного ферромагнетика. В [2] рассмотрены различные модификации тензора Полдера. Для одноосного ферромагнетика, намагниченного вдоль легкой оси, заменяется на более сложное выражение, зависящее от константы и тензора анизотропии. Это обстоятельство позволяет использовать ТЕ-модель. Тензор анизотропии зависит от волновых векторов, поэтому для анизотропных монокристаллов спектры могут значительно отличаться.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведенные в данной работе формулы описывают все характерные частоты ТЕ-волн, возникающих на границе касательно намагниченных изотропных ферромагнетиков с диэлектриками. Они учитывают магнитные и диэлектрические проницаемости, магнитное затухание, а также и проводимость в условиях нормального скин-эффекта. однако, даже в касательно намагниченных ферромагнетиках ТЕ-волны распространяются лишь только по определенным, выделенным, направлениям. В неизотропных средах они являются аналогом линейно поляризованных волн в изотропных средах. Волны, распространяющиеся по другим направлениям, при других направлениях намагниченности, требуют дополнительного изучения. Знание соотношений (5)-(8) и их следствий ускоряет и облегчает интерпретацию теоретических результатов исследований волн в магнитных средах, сокращая выкладки. В настоящее время большой интерес представляют задачи взаимодействия волн с неоднородностями образцов и пленок. Для систематического изучения таких сложных вопросов полезно предварительное знание поведения более простых волн и их характерных частот, приведенных в данной работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гуревич АГ, Мелков ГА. Магнитные колебания и

волны. М., Физматлит, 1994, 464 с.

2. Ахиезер АИ, Барьяхтар ВГ, Пелетминский СВ.

Спиновые волны. М., Наука, 1967, 367 с.

3. Вашковский ВА, Стальмахов ВС, Шараевский

ЮП. Магнитостатические волны в электронике

сверхвысоких частот. Саратов, Изд. СГУ, 1993, 311 с.

О ХАРАКТЕРНЫХ ЧАСТОТАХ 101 ИЗОТРОПНОГО ФЕРРОМАГНЕТИКА

4. Зубков ВИ. Магнитостатические волны в многослойных структурах. Диссертация ИРЭ АН СССР, М., 1985.

5. Каганов МИ, Пустыльник НБ, Шалаева ТИ. Магноны, магнитные поляритоны, магнитостатические волны. УФН, 1997, 167:191—237.

6. Каганов МИ, Шалаева ТИ. ЖЭТФ, 1989, 96(6):2185-2196.

7. Беспятых ЮИ, Бугаев АС, Дикштейн ИЕ. Поверхностные поляритоны в композитных средах с временной дисперсией диэлектрической и магнитной проницаемостей. ФТТ, 2001, 43(11):2043-2047.

8. Евтихов МГ. Соотношения Снеллиуса и Френеля для электромагнитных волн с постоянной линейной поляризацией. Радиотехника и электроника, 2010, 55(8):915—922.

9. Гуляев ЮВ, Никитов СА. Перспективы развития телекоммуникаций. Нелинейный мир, 2003, 1(1-2):4-11.

Евтихов Михаил Георгиевич,

к.ф.-м.н, с. н. с.

ИРЭ им. В.А.Котельникова РАН, Фрязинский филиал,

141120 г.Фрязино, Моск. обл., пл.введенского, 1 тел. +7 929 577-0197, [email protected]

Никитов Сергей Аполлонович,

д.ф.-м.н. член-корр. РАН,

ИРЭ им. В.А.Котельникова РАН 125009 Москва, ул. Моховая, 11/7, тел. +7 495 629 3387, [email protected]

РЭНСИТ | 2011 | ТОМ 3 | НОМЕР 2

102 EVTIKHOV M.G., NIKITOV S.A.

BRIEF REPORTS

ABOUT ISOTROPIC FERROMAGNET CHARACTERISTIC FREQUENCIES

Evtikhov M. G.

Kotel’nikov Institute of Radio Engineering and Electronics, Fryazino Branch, Russian Academy of Science, http://fire. relarn.ru

1, Vvedensky sq., 141120 Fryazino, Moscow region, Russian Federation [email protected]

Nikitov S. A.

Kotel’nikov Institute of Radio Engineering and Electronics, Russian Academy of Sciences, http://www.cplire.ru 11/7, Mokhovaya str., 125009 Moscow, Russian Federation nikitov@cplire .ru

mathematical parities between the functions containing the basic frequencies of isotropic ferromagnet, and their consequence, theories of waves useful to application in magnetic environments are stated. The table of theoretically calculated characteristic frequencies is resulted.

Keywords: isotropic ferromagnet, spectra of electromagnetic waves, magnetostatic waves, magnetic films UDC 539.2, 537.877

Bibliography - 9 references Received 18.05.2011

RENSIT, 2011, 3(2):96-102__________________________________________________________________________

REFERENCES

1. Gurevich AG, Melkov GA. Magnitnye kolebaniya i 8. Evtikhov MG. Radiotekhnika i elektronika. 2010, volny [Magnetic oscillations and waves]. Moscow, 55(8):915-922 (in Russ.).

Fizmatlit Publ., 1994, 464 p. 9. Guljaev YuV, Nikitov SA. Nelineyny mir, 2003, 1(1-

2. Akhiezer AI, Bar’yakhtar VG, Peletminsky SV. 2):4-11 (in Russ.).

Spinovye volny [Spin waves]. Moscow, Nauka Publ.,

1967, 367 p.

3. Vashkovsky VA, Stal’makhov VS, Sharaevsky YuP.

Magnitostaticheskie volny v elektronike sverkhvysokikh chastot [Magnetostatic waves in electronics of ultrahigh frequencies]. Saratov, SGU Publ., 1993,

311 p.

4. Zubkov VI. Magnitostaticheskie volny v mnogosloynykh strukturakh [Magnetostatic waves in multilayered structures]. Dissertatsiya IRE AN SSSR, Moscow,

1985.

5. Kaganov MI, Pustylnik NB, Shalaeva TI. UFN,

1997, 167:191-237 (in Russ.).

6. Kaganov MI, ShalaevaTI. JETF, 96(6):2185-2196 (in Russ.).

7. Bespyatykh YuI, Bugaev AS, Dikshtein IE. FTT,

2001, 43(11):2043-2047 (in Russ.).

2 НОМЕР | ТОМ 3 | 2011 | РЭНСИТ