Формулы Френеля-Эйри для квазианизотропных сред Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ-ЭЙРИ ДЛЯ КВАЗИАНИЗОТРОПНЫХ СРЕД

Евтихов М. Г.

Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, Фрязинский филиал, http://fire.relarn.ru

г. Фрязино 141190, Московская область, Российская Федерация Поступила 27.05.2018

Представлена действительным членом РАЕН Бушуевым ВА.

Получены формулы Френеля-Эйри для квазианизотропных сред. В изотропных и в некоторых анизотропных средах эллиптически поляризованная плоская электромагнитная волна может быть представлена как две независимые волны с линейной поляризацией. Такие среды допускают обобщение формул Френеля и названы квазианизотропными. Цель статьи - вывод уравнений Френеля-Эйри, позволяющих решать задачи Френеля для многослойных пластин из квазианизотропных сред с произвольными толщинами. Для примера теоретически рассматриваются резонансные структуры, возникающие на угловых диаграммах коэффициентов отражения и прохождения для толстых слоев изотропного и анизотропного льда, покрытого тонким слоем воды. При таких наблюдениях возникающих резонансных структур интенсивности электромагнитных волн достаточно изменять расположение регистрирующего прибора и не требуется изменения толщины пластин. Диэлектрическая проницаемость льда, ортогональная плоскости отражения влияет только на волны с p-поляризацией. Диэлектрическая проницаемость льда, параллельная плоскости отражения влияет только на волны с s-поляризацией. Возможны резонансные влияния между волнами в пластине льда и в тонком слое воды. В приложении обсуждаются компоненты тензоров комплексных диэлектрической и магнитной проницаемостей допустимые для квазианизотропных сред, а также компоненты тензоров не влияющие на волны с s- и p-поляризацией. Класс квазианизотропных сред значительно шире, чем случаи, рассмотренные на примере, он включает в себя все изотропные среды, а также некоторые ферромагнитные и, возможно, гиротропные среды при определенных условиях.

Ключевые слова: отражение, преломление, формулы Френеля, миллиметровые волны, диэлектрическая проницаемость, лед, резонанс, многослойные пластины

УДК 535.391.4, 53.082.53, 53.083.2

Содержание

1. Введение (92)

2. представление волн s- и

5. некоторые резонансные структуры интенсивности электромагнитных волн в толстых пластинах льда (95)

предельно разреженных матриц (94)

р-поляризации как te- и тм-волн

(92)

6. заключение (98)

3. Параметры, выявляющие симметрию Приложение 1 (98)

формул френеля (94) 4. запись уравнений для

многослойных пластин с помощью

Приложение 2 (99) Литература (99)

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

1. ВВЕДЕНИЕ

Формулы Френеля для плоских монохроматических волн были впервые выведены в 1823 году, они находят применение в оптике [1, 2, 3], акустике [4], элипсометрии [5], используются как теоретическая основа для решения ряда задач дистанционного зондирования окружающей среды [6]. Формулами Френеля называют отношения амплитуд плоских монохроматических волн, отражающихся и преломляющихся на плоской гладкой границе двух изотропных линейных сред. Обобщения формул Френеля на случай одной или нескольких плоскопараллельных пластин называются формулами Френеля-Эйри, они

записываются через формулы Френеля [15].

В изотропных средах эллиптически поляризованную волну c волновым вектором, ортогональным оси z, можно представить, как две независимо распространяющиеся линейно-

поляризованных волны. Структура полей этих волн в подходящей системе координат (Н, Hy Ez) и (Ex, Ey Н). ТЕ-волны (transverse electric) со структурой полей (Н^ Ну EZ) используются также для описания процессов распространения электромагнитных волн в намагниченных до насыщения ферромагнитных пленках. В таких анизотропных средах ТЕ-волны существуют не по всем направлениям, а только по определенным выделенным направлениям [7, 8]. Ограничения на тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости, при которых существуют ТЕ- и ТМ-волны, рассматривались в [9, 10] и были получены соответствующие обобщения формул Френеля.

Назовем среды, удовлетворяющие соответствующим ограничениям,

квазианизотропными средами.

Класс квазианизотропных сред определен ниже соотношениями (1) и (2). В [9, 10] ферромагнитные пленки, намагниченные до насыщения касательно к поверхности раздела сред, интерпретировались как многослойные квазианизотропные среды.

Класс квазианизотропных сред достаточно широк, и возможно применение обобщенных формул Френеля ко многим задачам Френеля для многослойных плоскопараллельных пластин, состоящих как из магнитных, так и немагнитных сред, а также и для задач дистанционного зондирования. Более наглядно допустимые

тензоры электрической и магнитной проницаемостей представлены в Приложении 1.

Цель данной работы состоит в получении алгоритма вычисления коэффициентов Френеля-Эйри для многослойных плоскопараллельных

пластин из квазианизотропных сред с произвольным числом слоев и произвольными толщинами слоев. Для достижения этой цели, ранее выведенные в [9, 10] формулы Френеля приводятся к более симметричной форме записи и обобщаются на случай плоскопараллельных пластин с гладкими границами с помощью математического аппарата предельно разряженных матриц, предложенного в [11, 12].

2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВОЛН S- И Р-ПОЛЯРИЗАЦИИ КАК ТЕ- И ТМ-ВОЛН

В оптике при рассмотрении задач Френеля используются понятия ^-поляризации и

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

^-поляризации электромагнитных волн [3]. Используются также иные терминологии и способы представить эллиптически поляризованную волну в изотропной среде как две линейно-поляризованные волны [2]. В задачах дистанционного зондирования рассматривают

горизонтальную и вертикальную поляризации (по отношению к линии горизонта) [6].

В [1] использовалось определение понятий s - и р-поляризации, несколько отличающееся от традиционного определения. В случае s-поляризации вектор электрического поля параллелен плоскости отражения, и волна имеет вид ТЕ-волны. В случае р-поляризации параллельным плоскости отражения оказывается вектор магнитного поля, и волна имеет вид TM-волны, (E^ Ey H) Из уравнений Максвелла следует, что z компонента волнового вектора волн вида (H, Hy EZ) и (Ex, Ey H) равна 0.

В таких определениях s- и ^-поляризации не используется понятие "плоскость падения", они применимы к средам с поглощением, волнам с комплексными волновыми векторами в средах с комплексными диэлектрическими и магнитными проницаемостями. Следует отметить, что для сред с усилением рассмотрение задачи Френеля требует более сложных методов, учитывающих причинность [13].

Амплитудные коэффициенты

прохождения для р-поляризации, полученные в [1], отличаются от коэффициентов, обычно приводимых в справочниках. Для согласования записей формул достаточно учесть, что амплитуда р-волны в [1] характеризуется амплитудой магнитного поля, в то время как амплитуда s-волны характеризуется амплитудой

электрического поля.

Далее в статье будет использоваться амплитуда р-волны, определенная по магнитному полю. Для прозрачных сред амплитуда р-волны приводится к электрическому полю с помощью

коэффициента ^, называемого "волновым сопротивлением" [14].

В [9, 10] обсуждались ограничения на тензоры магнитной и диэлектрической проницаемости, приводящие к

разделению двух линейных поляризаций.

Если в обеих средах выполнено условие

£13 = £23 = 0 ^31 = ^32 = 0 (1)

то, при падающей волне с ^-поляризацией, отраженная и преломленные волны остаются волнами с ^-поляризацией (при условии отсутствия в средах внешних токов и свободных зарядов).

Если в обеих средах выполнено условие

^13 = ^23 = 0 £31 = £32 = 0 (2)

то, при падающей волне с ^-поляризацией, отраженная и преломленная волны остаются волнами с ^-поляризацией.

Если выполнено условие (1), то в дисперсионное уравнение входят только коэффициенты ^22, ^12, ^21, е33, от

остальных 9 компонент магнитной и диэлектрической проницаемости амплитуда волны с ^-поляризацией не зависит.

Если выполнено условие (2), то в дисперсионное уравнение входят только коэффициенты еп, е22, е12, е21, ^33, от остальных 9 компонент магнитной и диэлектрической проницаемости амплитуда волны с р-поляризацией не зависит. Более наглядно допустимые компоненты 8 и (о в квазианизотропных средах представлены в Приложении 1.

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

3. ПАРАМЕТРЫ, ВЫЯВЛЯЮЩИЕ СИММЕТРИЮ ФОРМУЛ ФРЕНЕЛЯ

Уравнения Максвелла для случая отсутствия внешних токов и зарядов инвариантны относительно подстановки:

Е ^ Н; Н ^ -Е; £ ^ г; г ^ ц. (3)

Эта подстановка меняет порядок уравнений Максвелла, но систему уравнений оставляет неизменной. Эта подстановка превращает волну с ^-поляризацией в волну с ^-поляризаций. Хотя подстановка (3) имеет 4-й порядок, но из-за линейности системы уравнений она проявляет себя в формулах как подстановка 2-го порядка.

В формулах при таком преобразовании диэлектрическая и магнитная

проницаемость должны заменять друг друга (см (3)). Этот факт использовался и в [1], и в [9, 10], на него указывалось в [2], как на полезный прием при обобщениях формул Френеля.

Ассоциируем подстановку (3) с параметром е, принимающим значения —1 и 1. Пусть умножение е на (—1) соответствует превращению волны ^-поляризации в волну с ^-поляризацией. Определим диэлектрическую и магнитную проницаемость как

взаимосвязанные функции, зависящие от параметра е, так, чтобы ^(е = 1) = ^ = е(е = —1) и соответственно е(е = 1) = е = [х(е = —1). В этих обозначениях, после того как будут получены формулы для ^-поляризации, для получения формул для ^-поляризации будет достаточно умножить параметр е на (—1).

В соответствии с [9, 10] при ограничениях (1) или (2) в плоскопараллельных многослойных пластинах компоненты комплексного волнового вектора к равны 0, компоненты к^ являются общими у всех волн. Различаются только компоненты к,

они оказываются решениями квадратного дисперсионного уравнения [9, 10]. В каждом слое имеют место 2 значения кх, соответствующие проходящей и отраженной волне. Введем параметр q, означающий направление распространения волны по оси х. Параметр q принимает значения —1 и 1 и используется для разрешения неоднозначности решения квадратного дисперсионного уравнения кх

кх1 кх0 кх1 ^кх0

Пусть гармоническая волна, проходит в среде с номером и слой толщины ( по оси х, тогда ее амплитуда умножается на величину ве,ч,[и] = ехр^,^^). В изотропных средах к оказывается равным нулю, q2 = 1 и множитель в не зависит от параметра q, т.е. от направления распространения волны. В общем случае квазианизотропных сред приходится учитывать направление распространения волны. Амплитудные коэффициенты отражения, прохождения и коэффициент в [и], полученные на основе [9, 10], учитывающие параметры е, q и номер среды и, представлены как функции Ще^,и), Т(е^,и), в(е^,и), и приведены в Приложении 2.

4. ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН С ПОМОЩЬЮ ПРЕДЕЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ МАТРИЦ

Систему уравнений для амплитуд волн в многослойной пластине представим в векторно-матричном виде:

иР = V. (4)

Решение этого линейного

уравнения, вектор Р, является вектором коэффициентов Френеля-Эйри, он состоит из отношений амплитуд волн, формирующихся в многослойной

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

пластине к амплитуде падающей волны. Пусть т — число слоев в пластине. 1-я и т + 2 полубесконечные среды находятся вне пластины. Падающая волна имеет номер 0. Итоговая отраженная волна имеет номер 1, итоговая прошедшая волна имеет номер 2т + 2.

Векторы V, Р и квадратная матрица и должны иметь по 2т + 2 строк. Каждой строке и матрицы и и компоненте вектора V соответствует уравнение для волны с номером и. Все компоненты предполагаются зависимыми от параметра е, при е = 1 система описывает волны с у-поляризацией, при е = —1 — волны с ^-поляризацией. Комплексные амплитуды волн с ^-поляризацией заданы магнитным полем. Вектор V описывает члены уравнений, зависящие от амплитуды падающей волны. В случае, когда падающая волна приходит из первой среды, V = К(1, е, 1), V = Т(1, е, 1), остальные компоненты V равны нулю. Компоненты матрицы и фиксируют взаимосвязь волн, учитывая многократные отражения волн в многослойной пластине.

В [11, 12] в качестве альтернативы блочным матрицам было предложено использовать предельно разреженные матрицы и экстенсивы. В нашем случае задан класс квадратных матриц размером (2т + 2)х(2т + 2). Предельно разреженной матрицей 8(н,Щ от натуральных аргументов п и к (не превосходящих 2т + 2) называется матрица заданного класса, у которой все компоненты нулевые, кроме одного, равного единице, стоящего в п-й строке и к-м столбце.

Квадратную матицу (2т + 2)х(2т + 2) можно представить как сумму

2 т+2

и = X ип,к^(пкX где и — компоненты

п=1,к=1 П

матрицы. Если в матрице есть какая-то регулярность, то ее можно выразить через разбиение общей суммы на

подсуммы. Будем формировать матрицу как сумму и = jr и„, где n — число слоев многослойной пластины. Уравнения для волн на первой и на последней границах многослойной пластины выражаются матрицей Ur Матрицы U2, ..., Um описывают волны на границах 2-й и 3-й, ..., m-й и m+1-й сред.

Т&! = S(1,1) - P(e, -1,2)T (e, -1,2)S(1,3) + +S(2,2) - в(е, -1,2)R(e, -1,2)S(2,3) + +S(2m + 1,2m +1) -

-в(е, 1, m +1) R(e, 1, m + 1)S(2m +1,2m) +

+S(2m + 2,2m + 2) -

-в(е, 1, m + 1)T (e, 1, m + 1)S(2m + 2,2m);

U n = S(2n -1,2n -1) -

-pie, 1, n)R(e, 1, n)S(2n -1,2n - 2) -

-P(e, -1, n + 1)T (e, -1, n + 1)S(2n -1,2n +1) +

+S(2n, 2n) - в(е, 1, n)T (e, 1, n)S(2n, 2n - 2) -

-в(е, -1, n + 1)R(e, -1, n + 1)S(2n, 2n +1).

5. НЕКОТОРЫЕ РЕЗОНАНСНЫЕ СТРУКТУРЫ ИНТЕНСИВНОСТИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ТОЛСТЫХ ПЛАСТИНАХ ЛЬДА

Для иллюстрации новых возможностей решения задач Френеля, использующих представления о квазианизотропных средах, построим простейший пример на основе результатов из [14], где приводится угловая диаграмма (зависимость от угла скольжения) для спектрального коэффициента излучения двухслойной пластины на частоте 1ГГц для ^-поляризации.

Толщина каждого слоя 160 см. Диэлектрические проницаемости

слоев близки к свойствам льда и воды. Обсуждается резонансная структура интенсивности плоских электромагнитных

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

волн, состоящая из 3 пиков. Аналогичные резонансные осцилляции интенсивности в пластине льда рассматривались в работе

[15].

Идея наблюдения резонансных пиков по угловым диаграммам (зависимостям от угла скольжения) очень привлекательна, такие наблюдения не требуют изменения толщины пластины, достаточно изменять ориентацию в пространстве регистрирующего прибора. Однако этот прибор должен иметь узкую полосу пропускания.

Рассмотрим теоретически при топ же частоте 1ГГц изотропную пластину льда, толщиной 320 см. Угловые диаграммы для коэффициентов Френеля-Эйр п при 8 = 3.18 + Ю.0007, (диэлектрическая проницаемость льда, для частоты 1ГТц и температуры 0 градусов Цельсия, вычисленная по формуле Дебая [16]) приведены на рис. 1. Наблюдаются 3 резонансные пика

¡рд2

О 102ОЗа4О50бО7ОВа&0

Угол [градусы]

Рис. 1. Угловые диаграммы для коэффициентов отражения и прохождения волн с .у- ир-поляризациеи 1ТТц, для пластины изотропного льда толицмой 320 см, при £ = 3.18 + Ю.0007.

интенсивности волн .(-по чярпзацпп в соответствии с [14]. Для ^-поляризации также имеют место 3 резонансные пика.

Каким образом изменятся угловые диаграммы, если диэлектрическая проницаемость станет анизотропной п уменьшится по осп х до значения е = 1.5 + Ю.003, близкого к сухому снегу [16]? На рис. 2 видно, что величина диэлектрической проницаемости по осп х не влияет на волны с ^-поляризацией, но увеличивается число резонансных пиков волн с ^-поляризацией. Волны ^-поляризации не зависят от е (см. Приложение 1).

Проверялось, что 1. Увеличение еп приводит к уменьшению

I«/

: ЛдД

0 10 20 30 40 50 IV во 70 ВО 90

. "-АД/

0 10 20 30 40 50 !кр1г во 70 ВО 90

^ЛДААШ

0 10 20 30 40 50 |Т |2 1 р' 60 70 ВО 90

■^ААЛЛЛ/V

0 10 20 30 40 50 60 70 ВО 90 Угол [градусы]

Рис. 2. Те жеугловые диаграммы, что и на рис. 1, но для анизотропного льда при £99 = £ =3.18 + Ю.0007, е = 1.5 + Ю.003, та/щчна пластины 320 см.

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

числа резонансных пиков волн с ^-поляризацией.

2. Увеличение мнимой части е приводит к затуханию этих волн.

3. Аналогичное влияние оказывает е,, на волны с ^-поляризацией.

На рис. 3 представлены угловые диаграммы той же пластины с толщиной, уменьшенной до 100 см. Если толщина пластин льда 320 см, то добавление к этой пластине слоя воды приводит к уменьшению коэффициентов пропускания, без заметного изменения структуры угловых диаграмм.

Диэлектрическая проницаемость воды, рассчитанная по формуле Дебая [16] для частоты 1ГГц при нуле градусов Цельсия, имеет значение е = 86.78 + 9.14/. Действительная часть более чем на порядок больше, чем у льда, а мнимая часть, определяющая затухание волн -

¡я/

О 10 20 30405060 70 3090

!Т/

О 10 20 30 40 50 60 70 30 90

О 10 20 30 40 50 60 70 30 90 Угол [градусы]

Рис. 3. Те же угловые диаграммы, что и на рис. 2 для анизотропного льда приуменьшении толщины пластины до 100 см.

больше чем на 3 порядка. В том случае, еслп толщина пластины уменьшена до 100 см, то между тонким слоем воды и слоем льда возможны резонансные взаимодействия, заметно изменяющие поведение угловых диаграмм. На рис. 4 приведены угловые диаграмм пластины анизотропного льда, при тех же параметрах, что и на рис. 3, но к пластине льда толщиной 100 см добавлен слой воды толщиной 3 мм. Резонансные изменение угловых диаграмм рассматривались теоретически также п для пластин изотропного льда п снега при добавлении тонких слоев воды.

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор благодарит Л.Е. Назарова, обратившего внимание автора на проблематичность корректности

обычного вывода формул Френеля, предполагающего прозрачность сред в том случае, еслп в средах имеется поглощение.

0 Ю 20 ЗО 40 50 ©0 70 ВО 90 |Та|а

О 10 20 ЗО 40 50 бО 70 ВО ЭО

^Х^Л/Л

О 10 20 ЗО 40 50 бО 70 ВО ЭО |Тр|»

О 10 20 ЗО 40 50 бО 70 ВО ЭО

Угол [градусы]

Рис. 4. Угловые диаграммы пластины анизотропного льда при тех же параметрах, что и на рис. 3, но к пластине льда толицмой 100 см добавлен слой воды толицмой 3 мм.

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выявление класса квазианизотропных сред расширяет множество задач, разрешимых с помощью формул Френеля. Обобщения формул

Френеля-Эпрп для этого класса сред позволяют исследовать теоретические модели прохождения плоских волн через плоскопараллельные пластины анизотропных диэлектриков как прозрачных, так и с поглощением, пластины могут быть ферромагнетиками, намагниченными до насыщения [9, 10].

Можно предполагать применимость описанных методов к некоторым гпротропным средам и сегнетоэлектрпкам. Класс квазпанпзотропных сред не охватывает всех анизотропных сред, допускаемых уравнениями Максвелла, но он достаточно широк. Представляется перспективным применение описанных обобщений формул Френеля для построения п исследования численных стохастических моделей, по примеру работы [15].

Существует большое число рекуррентных и матричных подходов к обобщению формул Френеля на многослойные изотропные пластины [2, 3]. С точки зрения автора, приведение формул Френеля-Эйрп для квазпанпзотропных сред к стандартному виду линейного уравнения (4) должно способствовать исследованиям

вопросов вычислительной устойчивости соответствующих численных

алгоритмов. Для сред с затуханием волн матрица и является матрицей с диагональным преобладанием и стандартные методы решения линейных уравнений должны быть вычислительно устойчивыми.

Класс квазпанпзотропных сред значительно шире, чем случаи, рассмотренные для примера, он включает в себя все изотропные среды, прозрачные п с поглощением, а также некоторые ферромагнитные [9, 10] п, возможно, гпротропные среды при определенных условиях.

Дальнейшие исследования должны уточнить границы этого класса и условия применимости, например, для сегнетоэлектрпков. Известно, что для сред с усилением формулы Френеля могут давать неверные результаты, в этом случае необходимы более сложные методы, учитывающие отношения причинности при распространении волн [13].

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

Допустимые тензоры диэлектрической

и магнитной проницаемостей для квазианизотропных сред Запишем тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей, допустимые для квазпанпзотропных сред. Крестиком помечены допустимые компоненты, от которых не зависят свойства соответствующих волн: Для л-во \п

(н^ Гх X 0 > 7'п М12

А,= Н> Л = X X 0 ; А = /'21 М22 Х

и У Vх X £зз) 1 0 0 xJ

Для ^-волн

(-ЕЛ -Е

А,=

Я.

8 =

с 21

о

(

; А =

о ^ о

Мзз

Для е- п р-во \п одновременно:

£ =

(Л

21 о

22 о

(

'33 у

М1 /"21 0

М2 0 ^ Ц22 0

0 /"ззу

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

Если в тензорах проницаемостей сред нет перекрестных членов по то для таких сред можно вычислить коэффициенты Френеля для волн с у- и ^-поляризациями при к = 0

и заданном k.

y

ПРИЛОЖЕНИЕ 2.

коэффициенты френеля для квазианизотропных сред

/(1, и, m, п) = /, п iu ] ; /( -1, и, m, n) = sm м и] D3 (e, и ) = (w / c)(ß(e, и, 1,1)/(e, u, 2,2) --/(e, и,1,2)/(e, и, 2,1));

/(e, и,1,2) + /(e, и,2,1)

к , т =-k

1,e,M y

/(e, и,1,1)

к2,в,[и] * (кШи ])

/^,и,2,2) к2 + №/^(^^,3,3) /(e, и,1,1) y c/(e, и,1,1)

Dз(e,u);

кх (e q, и) = к1,е[и ] + дк2Ми р

D2(e, q, и) = -( kx (e, q, и )/(e, и,1,1) + k/(e, и, 2,1) ) ; D2(e, q, и )_

Da(e, и )

F (e, q, и) - F (e, q, и + q)

^ (е, Ч, и ) = q, и) =

^ (е, Ч, и + ч) - (е, -ч, и) Т (е, ч, и) = 1 + Л(е, ч, и); ^(е q, и) = ехр(/1х[и ^ q, и ^ ]).

ЛИТЕРАТУРА

1. Ландау ЛД, Лифшиц ЕМ. Теоретическая физика, т. VIII. Электродинамика сплошных (ред. М., Физматлит, 2003, 656 с.

2. Борн М, Вольф Э. Основы оптики. М., Наука, 1973, 720 с.

3. Розенберг ГВ. Оптика тонкослойных покрытий. М., Гос. изд. физ.-мат. лит., 1958, 570 с.

4. Бреховских ЛМ. Волны в слоистых средах. М., Наука, 1973, 343 с.

5. Горшков ММ. Эллипсометрия. М., Сов. радио, 1974, 200 с.

6. Шутко АМ. СВЧ-радиометрия водной поверхности и почвогрунтов. М., Наука, 1986, 188 с.

7. Вашковский ВА, Стальмахов ВС, Шараевский ЮП. Магнитостатические волны в электронике сверхвысоких частот. Саратов, Изд. Саратовского университета, 1993, 311 с.

8. Беспятых ЮИ, Бугаев АС, Дикштейн ИЕ. Поверхностные поляритоны в композитных средах с временной дисперсией диэлектрической и магнитной проницаемостей. ФТТ, 2001, 43(11):2043-2047.

9. Евтихов МГ. Соотношения Снеллиуса и Френеля для электромагнитных волн с постоянной линейной поляризацией. Радиотехника и электроника, 2010, 55(8):915-922.

10. Евтихов МГ, Никитов СА, Новичихин ЕП. Теоретическое исследование спектров ТЕ-волн в многослойных пленках из ферромагнитных и диэлектрических материалов. Саратов, Изд. Сарат. ун-та, 2013, 68 с.

11. Евтихов МГ. Предельно разреженные матрицы. Радиоэлектроника. Наносистемы. Информационные технологии (РЭНСИТ), 2011, 3(1):97-101.

12. Евтихов МГ. Экстенсивное умножение. РЭНСИТ, 2013, 5(1):143-151.

13. Колоколов АА. Формулы Френеля и принцип причинности. УФН, 1999, 169:1025.

14. Башаринов АЕ, Тучков ЛТ, Поляков ВМ, Ананов НИ. Измерение радиотепловых и плазменных излучений. М., Советское радио, 1968, 390 с.

15. Евтихов МГ. Применение модели Френеля-Эйри при исследовании резонансных осцилляций плоских электромагнитных волн. Журнал

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

радиоэлектроники, 2017, 9:1684-1719.

16. Узлов ВА, Шишков ГИ, Щербаков ВВ. Основные физические параметры снежного покрова. Труды Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева. 2014, 103(1):119-129.

Евтихов Михаил Георгиевич

к.ф.-м.н., с.н.с.

Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, Фрязинский филиал 1, пл. акад. Введенского, Фрязино 141190, Московская область, Россия emg20022002@mail.ru.

FRESNEL-AIRY FORMULAS FOR QUASI-ANISOTROPIC MEDIA

Mikhail G. Evtikhov

Kotel'nikov Institute of Radioengineering and Electronics of RAS, Fryazino Branch, http://fire.relarn.ru

Fryazino 141190, Moscow region, Russian Federation

emg20022002@mail.ru

Abstract. The Fresnel-Airy equations for quasi-anisotropic media are derived. In isotropic and in some anisotropic media, an elliptically polarized plane electromagnetic wave can be represented as two independent waves with linear polarization. Such media admit a generalization of the Fresnel equations and are called quasi-isotropic. The purpose of this paper is to derive the Fresnel-Airy equations that allow solving Fresnel problems for multilayer quasi-anisotropic media plates with arbitrary thicknesses. For example, resonant structures appearing on the angular diagrams of reflection and transmission coefficients for thick layers of isotropic and anisotropic ice covered with a thin layer of water are considered. With such observations, it is sufficient to change the orientation of the recording device and there is no need to change the thickness of the plates. The dielectric constant of ice, orthogonal to the plane of reflection, affects only waves with p-polarization. The dielectric constant of ice parallel to the plane of reflection affects only waves with s-polarization. Resonance effects between the waves in the ice plate and in a thin layer of water are theoretically obtained. In the Appendix, the components of the tensors of complex permittivity and Complex permeability that are admissible for quasi-anisotropic media are discussed. The class of quasi-anisotropic media is much broader than the cases considered in the example, it includes all isotropic media, as well as some ferromagnetic and, possibly, gyrotropic media under certain conditions.

Keywords: reflection, refraction, Fresnel equations, permittivity, millimeter waves, ice, resonance, multilayer plates УДК 535.391.4, 53.082.53, 53.083.2

Bibliography - 16 references Received27.05.2018 RENSIT, 2018, 10(1):91-100_DOI: 10.17725/rensit.2018.10.091