CC BY
25
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 152, кн. 1
Физико-математические пауки
2010
УДК 517.982.1^517.983.27
ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМ КРЕЙНА ^ШМУЛЬЯНА
И ЛОЗАНОВСКОГО НА СЛУЧАЙ МЕТРИЗУЕМЫХ ПРОСТРАНСТВ С КОНУСОМ
Л. В. Веселова, O.E. Тихонов
Аннотация
Теорема Крейпа Шмульяпа о песплющешгости замкнутого порождающего конуса в банаховом пространстве и результат Лозаповского об автоматической непрерывности линейных положительных операторов обобщены па случай полных метризуемых топологических векторных пространств.
Ключевые слова: метризуемое топологическое векторное пространство, копус. положительный линейный оператор, теорема Крейпа Шмульяпа.
Цель настоящей статьи обобщить на случай полных метризуемых топологических векторных пространств классическую теорему Крейна Шмульяпа о несплющенности замкнутого порождающего конуса в банаховом пространстве и перенести на этот случай результат Г. Я. Лозаповского об автоматической непрерывности линейных положительных операторов. Заметим, что в работе П.П. Забрейко [1] было получено некоторое расширение теоремы Крейна Шмульяпа на метризуе-мые пространства, однако наш подход отличается от подхода [1] как по технике доказательства, так и по форме полученного результата. Более того, мы несколько ослабляем требования на рассматриваемый конус, заменяя обычное требование замкнутости на условие, которое называем «наполненностью». Таким образом, уже в случае банаховых пространств мы получаем определенное усиление известных до сих пор результатов в рассматриваемом направлении.
Некоторые вспомогательные утверждения представляется естественным формулировать в рамках метризуемых топологических абелевых групп.
Определение 1. Пусть С - абелева группа по сложению. Функцию || • ||: С ^ ^ М+ будем называть д-нормой, если она удовлетворяет следующим условиям:
(a) ||х|| =0 ^ х = 0 (х е С);
(b) ||х + у||<||х|| + ||у|| (х,у е С);
(c) ||—х|| = ||х|| (х е С).
Отметим, что формула р(х, у) = ||ж — у|| задает взаимнооднозначное соответствие между инвариантными относительно сдвигов метриками р и д-нормами || • || на С и, говоря о сходимости, полноте и т. п. относительно д-нормы, будем подразумевать выполнение того или иного свойства относительно соответствующей
д
называть эквивалентными, если соответствующие им инвариантные метрики эквивалентны, то есть задают одну и ту же топологию.
Предложение 1. Для подполугруппы Б абелевой группы С с д-нормои У • У эквивалентны, следующие условия:
(1) любая фундаментальная последовательность {хп} элементов из Б такая, что х„+1 — хп £ Б для всех п £ N сходится к некоторому х е Б;
(ii) если xn G S и ^^ ||xn|| < ж, то ряд сходится по g-норме к неко-
n=1 n=1
торому x G S.
Доказательство. Заметим сразу, что доказательство этого предложения практически ничем не отличается от доказательства хорошо известного критерия полноты нормированного пространства (см.. например. [2. п. 148.4]).
(i) (ii). Эта импликация сразу следует из того, что сходимость ряда ^^ ||xn ||
n=1
Г n ч
x
М=1
(ii) (i). Пусть выполнено условие (ii) и пусть {xn} - такая фундаментальная последовательность элементов из S, что xn+1 — xn G S для всех n G N. Переходя, если нужно, к подпоследовательности, мы можем считать, не ограничивая тем
оо оо
самым общности, что ^^ ||xn+1 — xn|| < ж. Тогда ряд — xn) сходится
п п
к некоторому х G S, и поэтому хп —> х\ + х G S. □
Замечание 1. Взяв в предложении 1 в качестве S саму группу G, мы получаем
g
Определение 2. Подполугруппу S абелевой группы G с g-нормой || • || будем называть наполненной, если для иее выполняется одно из эквивалентных условий предложения 1.
Замечание 2. Используя условие (i), нетрудно убедиться, что свойство быть
наполненной для подполугруппы инвариантно относительно перехода к эквива-g
Определение 3. Пусть (G, || • ||) - абелева группа с g-нормой. Подполугруппа S называется порождающей, если любой x G G может быть представлен в виде x = x' — x'', где x', x'' G S. Если для некоторого A > 0 такиe x', x'' всегда можно подобрать так, что ||x'|| + ||x''|| < A||x||, то S будем называть A-порождающей.
S A G
Лемма 1. Пусть подполугруппа S абелевой группы G с g-нормой || • || является наполненной и A-порождающей при некотором A > 0. Тогда G как метрическое пространство полно.
Доказательство. Воспользуемся замечанием 1. Пусть xn из G таковы, что
||xn|| < ж. Для каждого n найдем x^, x^ G S такие, что xn = x^ — и ||xn| +
oo ^
+ ||xf || < A||xn||. Тогда ^^ ||xn| < ж и ^^ ||x^|| < ж, следовательно, сходятся
n=1 n=1
ряды х'п И х" , поэтому СХОДИТСЯ И хп . □
= 1 n=1
X.
Лемма 2. Пусть S - наполненная и содержащая 0 подполугруппа абелевой группы G с g-нормой |H|G, E - подгруппа, порожденная полугруппой S. Формула
||x||e = inf{||x'||G + ||x''||g | x',x'' G S, x = x' — x''}
задает g-норму на E, относительно которой пространство E как метрическое пространство полно. Для любого x G E имеем: ||x||E > ||x||G, а для x G S имеем: ||x||E = ||x||G. В группе E с g-нормой || • ||E полугруппа S наполненная и А-порождающая при любом А > 1. Если полугру ппа S замкнут а в (G, || • ||G), то она замкнута и в (E, || • ||E).
Доказательство. Изучим прежде всего взаимосвязь функций 11 • | e и 11 • | g на E и на S. Для любого представления x G E в виде разности x = x' — x'' элементов из S имеется оценка нормы ||x||G = ||x' — x''||G < ||x'||G + ||x''||G, поэтому
||x||g < inf{||x'||g + ||x''|g | x',x'' G K, x = x' — x''} = ||x||e.
Если x G S, то x = x — 0 - одно го представлений x в виде разности элементов из S
||x||E = inf{||x'||g + ||x''||g | x',x'' G K, x = x' — x''} < ||x|g + ||0||g = ||x||g.
Проверим теперь выполнение для функции || • ||e на E аксиом g-нормы. Неотрицательность функции || • ||e очевидна. Ее точность следует из неравенства ||x||G < ||x||E. Свойство (с), ||—x||E = ||x||E, проверяется тривиально. Докажем неравенство треугольника. Пусть x = xi + x2 (xi, x2 G E). Для произвольного £ > 0 и i =1, 2 выберем xi, xi' G S так, что xi = xi — xi' и ||x£||g + ||xi'|G < ||xi+ + £/2. Тогда x = (xi + x2) — (xi' + x2') и
||x||e < ||xi + x2|g + |xi' + x2'|g <
<|xi|G + |xi'|G + ||x2||g + ||x2'|g <
< ||xi|E + ||x2|E + £.
Отсюда в силу произвольности £ следует, что ||x|E < ||xi+ ||x2||E.
Докажем, что S является наполненной в (E, || • ||e). Пусть xn G S таковы, что xn+i — xn G S для всех n G N и последовательность {xn} фундаментальна по g-норме || • ||E. Тогда {xn} фундаментальна и по g-норме || • ||G, следовательно, ||x — xn||G ^ 0 для некоторого x G S. Однако x — xn = lim (xm — xn) по g-норме
m—
|| • ||g при каждом n G N, поэтому x — xn G S и, следовательно, ||x — xn||E ^ 0.
Из определения || • | e и совпадения || • | e с || • | g на S ясно, что S А-порождает E при любом А > 1. Из леммы 1 тогда следует, что отпосительпо || • ||E пространство E
Если полугруппа S замкнута в (G, || • ||G), то замкнутость S в (E, || • ||E) тривиально выводится из неравенства ||ж||с < ||ж||в (х G Е). □
Пусть теперь X - векторное пространство над полем R. Напомним, что подмножество K называется клином, если K + K С K и aK С K для любого а G R+. Если дополнительно Kp|(—K) = {0}, то такой клин называется конусом.
Векторное пространство является абелевой группой по сложению, а клин в
g
ном пространстве и говорить о наполненности клина в векторном пространстве с g
g-норма || • || та векторном пространстве X называется F -нормой, если умножение (a, x) — ax (a G R, x G X) совместно непрерывно. F-норма ||^|| называется неубывающей, если ||ax|| < ||x|| для любых x G X, 0 < a < 1. Полное пространство FF
Лемма 3. Пусть || • ||X - неубывающая F-норма на X, клин K в пространстве (X, || • ||X) является наполненным. Построим (E, || • ||E) как в лемме 2, взяв X в качестве G, a K в качестве S, то есть положим: E = K — K, ||x||E = = inf{||x'||X + ||x''||X | x',x'' G K, x = x' — x''}. Тогда (E, ||-||E) - F-пространство.
EX
Остается установить совместную непрерывность в (E, || • ||e) операции умножения на скаляр. Согласно теореме II.1.12 [3] для этого достаточно проверить раздельную непрерывность, а значит, показать, что
1) ||ax„||£ — 0, если ||xn||.E — 0 (a G R);
2) ||anx||E — 0, если an — 0 (x G E).
a>0
и обозначим через [a] целую часть a. Для каждого натурального n подберем G K так, что x„ = x^ — x^ и ||xn||x + Hx^x — 0. Тогда
|ax„|E < ||axn|x + ||axn||x <
< || [a]xn|x + ||(a — [a])xn|x + || + ||(a — [a])x^x <
< ([a] + 1)(|xn|x + K||x) - 0.
Для доказательства 2) возьмем такие x', x'' G K, что x = x' — x''. Тогда ||a„x|E = |||a„| x ||e < || |a„| x' ||x + || |a„| x'' ||x — 0, так как || • ||д- есть F-норма и \an \ —»■О. □
K
ющий наполненный клин в F-пространстве (X, || • ||). Тогда относительно неко-
KA
A>1
Доказательство. Согласно теореме 1.2.2 [4] формула
||x||o = sup ||ex|, x G X,
0<в<1
определяет неубывающую F-норму || • ||0, эквивалентную исходной F-норме || • ||. Построим || • ||1 аналогично конструкции леммы 2:
||x|1 = inf{||x'||0 + ||x''||0 | x',x'' G K, x = x' — x''}, x G X.
Согласно леммам 2 и 3 пространство (X, || • ||1) является F-пространством, в кото-
K A A > 1 | x| 1 < | x| 0
всех x G X, то F-норма || • эквивалентна || • ||0 (см. теорему II.2.5 [3]), а значит, эквивалентна и || • ||. □
В [5] доказан ряд следствий теоремы 1 аналогичных следствиям из теоремы Крейна Шмульяна, приведенным в [6, 7]. Здесь мы ограничимся одним из них. Заметим, что утверждение, сформулированное в замечании 2, позволяет нам говорить о наполненности клина в метризуемом топологическом векторном пространстве.
Следствие 1. Пусть Х1 и Х2 - полные метризуемые топологические векторные пространства, К - порождающий наполненный клин в Х1, К2 - замкнутый конус в Х2. Тогда любой линейный оператор из Х1 в Х2, отображающий К^ в К2, является непрерывным.
Доказательство. Согласно теореме 1 можем считать, что Х1 теть Е-пространство с Е-нормой || • || 1, относительно которой клин К1 является наполненным и А-порождающим при некотором А > 1.
По теореме о замкнутом графике (см., например, теорему II.2.4 [3]) для доказательства непрерывности оператора Т достаточно доказать его замкнутость. Пусть |х„} - последовательность в Х1 такая, что ||хп| 1 ^ 0 и Тхп ^ у в пространстве Х2. Нужно показать, что у = 0. Не ограничивая общности, будем считать, что
о
< то. Для каждого хп возьмем хП,хП е К1 такие, что хп = х^ — х^ и
п=1
КЦ1 + ||хП||1 < А|х„|1, и положим и„ = х^ + х^. Так как
оо ОО О О
||пип|1 < ^ та|М1 <12 п(|хП|1 + ||хП|1) < ^П|х„|1 < +
П=1 П=1 П=1 П=1
о
то ряд пи„ сходится к пекоторому т е К1. Используя обозначение в < £, если
П=1
£ — в е К (в, ^ е Х^), имеем:
—т < —пм„ < пх„ < пм„ < т,
откуда
--Тги < Тхп < — Тик
п п
К2
и получить 0 < у < 0, то есть у = 0. □
Следствие 1 обобщает результат Г.Я. Лозановского (впервые опубликованный, по всей видимости, в [8]) об автоматической непрерывности положительных операторов в упорядоченных банаховых пространствах, который, как отмечалось в [6], являлся сильнейшим в этом направлении на тот момент. Отмстим, что приведенное выше доказательство представляет из себя приспособленное к рассматриваемой ситуации доказательство теоремы 2.1 из [9].
В заключение обсудим свойство наполненности, введенное в определении 2.
Ясно, что этим свойством обладают замкнутые подгруппы абелевой группы с д
К
в нормированном пространстве является наполненным тогда и только тогда, когда он идеально выпуклый в смысле Е.А. Лифшица [10] (см. также раздел 1.6 [9]): для произвольной ограниченной последовательности {хп} С К и любой такой по-
оо
следовательпости {ап} С М+, что ^^ ап = 1, ряд ^^ а„х„ сходится к элементу
П=1 П=1
К
странстве является наполненным. Другой содержательный пример можно привести в рамках подхода к теории интегрирования относительно точного нормального полуконечного веса ^ та алгебре фон Неймана М, предложенного А.Н. Шерст-невым (см. [11, 12]): в банаховом пространстве ¿х(^) эрмитовых интегрируемых билинейных форм конус замыкаемых положительных интегрируемых билинейных
форм, вообще говоря, незамкнут, в то же время порождает Lh(^>) и является наполненным.
Работа второго автора поддержана Федеральным агентством по науке и инновациям (госконтракт Л* 02.740.11.0193).
Summary
L. V. Veselova, О.Е. Tikhonov. An Extension of the Krein Smulian and Lozanovskii Theorems to the Case of Met.rizable Spaces with a Cone.
The Krein Smulian theorem and a Lozanovskii result 011 automatical continuity of positive linear operators are extended to the case of complete met.rizable topological vector spaces.
Key words: met.rizable topological vector spaces, cone, positive linear operator. Krein Smulian theorem.
Литература
1. Забрейко П. П. Об одной теореме для полуадднтнвпых функционалов // Фупкц. анализ и его прилож. 1969. Т. 3, Вып. 1. С. 86 87.
2. Шерстнев А.Н. Конспект лекций по математическому анализу. Казань: Казан, гос. уп-т, 2005. 374 с.
3. Даифорд Н., Шварц Док:. Лилейные операторы. Общая теория. М.: Изд-во ипостр. лит.. 1962. 896 с.
4. Rolewicz S. Metric linear spaces. Warszawa: PWN. 1972. 287 p.
5. Веселова Л.В., Тихонов О.Е. Обобщение теоремы М. Крейпа Шмульяпа па случай метризуемых пространств с конусом. Препринт 0003-2006. Казань: НИИММ КРУ. 2006. URL: litt.p://www.iiiiiiiiii.ksu.ru/data/prcpriiits/tlicprcpriiits/0003-2006.pdf
6. Abramuvich Y.A., Aliprantis G.D. Positive operators // Handbook of the Geometry of Banach Spaces. Amsterdam: Elsevier. 2001. V. 1. P. 85 122.
7. Abramuvich Y.A., Aliprantis C.D., Burkinshaw O. Positive operators 011 Krein spaces // Acta Appl. Math. 1992. V. 27. P. 1 22.
8. By л их Б.З. Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах. Калинин: Калин. гос. уп-т. 1978. 84 с.
9. Красносельский М.А., Лифпииц Е.А., Соболев А.В. Позитивные лилейные системы: метод положительных операторов. М.: Наука, 1985. 255 с.
10. Лифшиц Е.А. Идеально выпуклые множества // Фупкц. анализ и его прил. 1970. Т. 4, Вып. 4. С. 76 77.
11. Трунов Н.В., Шерстнев А.Н. Введение в теорию некоммутативного интегрирования // Итоги пауки и техп. Сер. Соврем, пробл. мат. Нов. достиж. М.: ВИНИТИ. 1985. Т. 27. С. 167 190.
12. Шерстнев А.Н. Методы билинейных форм в некоммутативной теории меры и интеграла. М.: Физматлит. 2008. 264 с.
Поступила в редакцию 21.09.09
Веселова Лидия Владимировна кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры высшей математики Казанского государственного технологического университета.
Тихонов Олег Евгеньевич кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры математической статистики Казанского государственного университета.
Е-шаП: (Лед. TikhonovQksu.ru
