Обнаружение сигналов неизвестной интенсивности в гауссовском шуме с неизвестной дисперсией (алгоритм с обучением) Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА сер. Радиофизика и радиотехника

УДК 621.396

Обнаружение сигналов неизвестной интенсивности в гауссовском шуме с неизвестной дисперсией (алгоритм с обучением)

Б.И. ШАХТАРИН, В.В. СИЗЫХ, А.В.БУЛАТОВ

Рассматривается задача обнаружения сигналов известной формы, но неизвестной интенсивности (амплитуды) при наблюдении аддитивной смеси сигнала и гауссовского шума с неизвестной дисперсией при условии

предварительного обучения устройства обнаружения с оценкой по реализации одного шума. Полученная QF -функция статистики Фишера выражается через сумму Qt - функций статистики Стьюдента. Рассчитаны

характеристики обнаружения и рабочие характеристики приемника (РХП). Приводятся также расчет этих характеристик по предлагаемым приближенным формулам и результаты сравнения с точными данными.

ВВЕДЕНИЕ

Теория обнаружения сигналов в условиях неопределенности того или иного рода была предметом многочисленных исследований [1-11]. В постановке задачи, аналогичной задаче обнаружения сигналов в данной статье, проблема рассматривается в работах [1, 4, 5, 9, 11]. Наиболее близко к теме данной статьи следует отнести пример, рассмотренный в [1]. Однако получение характеристик обнаружения в [1] без обучения довольно сложно. Авторы данной статьи вводят алгоритм обучения и обходятся без ограничений работы [1]. В результате характеристики обнаружения выражаются через статистику Фишера, чего не было сделано до сих пор. Затем в данной статье доказывается связь нецентрального распределения Фишера с суммой нецентральных распределений Стьюдента, в результате чего находится аналог результата [1] и корректируется формула справочника [12]. Авторами предлагается и испытывается приближенная формула для расчета характеристик обнаружения сигналов в данной постановке задачи.

СТАТИСТИКИ ОБНАРУЖЕНИЯ

Рассмотрим задачу обнаружения сигналов, как проверку двух альтернативных гипотез И0 и И1:

Я0: х = ц, . _1 п,

И1 : х1 _ + ц, г _ 1, п,

где 1^.}.- отсчеты известной сигнальной формы; Л - неизвестный множитель (амплитуда

сигнала); {пг}. _— - отсчеты гауссовского белого шума (ГБШ) с нулевым средним значением и

неизвестной дисперсией Б _ и2.

Предположим, что имеется возможность провести обучение устройства обнаружения для оценки дисперсии шума по его реализации {у{} —. В результате такого обучения находится

оценка неизвестной дисперсии шума методом максимального правдоподобия

1 т

Б _°- _ - ^ У. . (2)

т „1

Пусть Г - случайная величина (СВ), реализация которой Б равна неизвестной дисперсии шума, Л - СВ, реализация которой Я равна Я _ 0 при отсутствии сигнала (при гипотезе И0) и

Я_ 1 при наличии полезного сигнала (при гипотезе И1). 0 - СВ, реализация которой равна неизвестному множителю Л при сигнальной форме.

Задача обнаружения, как было отмечено, заключается в проверке двух гипотез (1). Построим оценку Л значения Л методом максимального правдоподобия.

Введем условную плотность распределения вероятности (ПРВ) WX| 0ГЛ(х|Л, Б, Я)

случайного вектора X , реализация которого х _[х1,х2,...,хп]Г представляет собой отсчеты

наблюдаемого колебания при условии 0_ Л, Г _ Э, Л_Я.

Оценка Л параметра Л находится из условия

^Г|0ГЛ (К А1) _ таХЛ *Х\0ГЛ (X|Л, А1) . (3)

В случае ГБШ {пг_— получим

W-|er*(H. A1) = (2nD)-"/2exp ± £ (x,-As, )2 ¡.. (4)

W-ler* (x\D,0)=(2nD)-“р exp|-¿x? I. (5)

Дифференцируя (4) и приравнивая к нулю полученный результат, находим оценку A максимального правдоподобия

1 п

A=э£ x(s, , (6)

Э ,=1

п

где Э = £ s2 - энергия сигнальной формы.

i=1

Алгоритм обнаружения сигнала реализует метод отношения правдоподобия (ОП). Принимается гипотеза H1, если

maxA WXler, (x|A,D,1)

Л(Х ) =-----A ->-^'1 I • ■ )> (7)

' ’ |erA (x|D,0) 1 ()

В противном случае, при Л( Хп) < у1 принимается гипотеза Н0.

После подстановки в (7) ПРВ (4), (5) с учетом (2), логарифмирования и преобразований получим, что принимается гипотеза H1 , если

У

£ x(s,

V (=1 У

лп m

—£Х

m

> In Y =Y. (8)

( =1

Здесь с учетом (6) использовано равенство

-А£ХЛ- +1 (A)2 £s2 = ^j £

1 п 1 f п \

Л ‘)2£s2 = 2Э(£**

i=1 2 (=1 2^ V (=1 У

При отсутствии полезного сигнала СВ (статистика)

1 п

% _ Э £ х'5г (9)

Э г _1

распределена по нормальному закону с нулевым средним значением, так как Е (хг |И0)_ 0, и единичной дисперсией, поскольку дисперсия СВ

_£ хА

(_1

при гипотезе И0 имеет вид

О _ЭГ^Ьх,^,£Ь^',2о(х>—2Э,

V г _1 ) ,_1

а дисперсия Б (г) _ —ЭО _ 1.

При наличии полезного сигнала (Я _ 1) СВ 2 (9) распределена также по нормальному закону с единичной дисперсией и средним значением тг _4Э/— , поскольку

Е (И )_Ё*Е (Х(|И)_ Э

(_1

Таким образом, при гипотезе И0 статистика

Г 1 п Л2 —7Э ¿ХД I

а2 _ Э (_1---¿_ (10)

—!- !

— - , _1

имеет центральное распределение Фишера F1 т, так как в общем случае СВ X, распределенная по закону Фишера Fv , , записывается в виде

х _хр., (11)

х2 / V2

2 2

где х1 ~ хV , х2 ~ Х,г, а х1 и х2 независимы.

В данном случае (10) имеем v1 _ 1; V _ т,

х1 ~ Х12 х2 ~ Хт.

Таким образом, статистика (10) имеет распределение Фишера F1m с (1, т) степенями свободы.

В случае гипотезы И в (11) имеем х ~ х, (Я); х2 ~ Х,22 (Я), где х, (л)_х12 (Я) -нецентральное распределение хи-квадрат. Показатель нецентральности Я_ т2 _ Э2/—2 . Таким образом, при гипотезе И1 статистика О2 имеет нецентральное распределение Фишера F1,- (Я) с (1, т) степенями свободы и с показателем нецентральности Я _ т2 _ Э2/—2 .

ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБНАРУЖЕНИЯ

Располагая статистикой О2, находим вероятность ложной тревоги (ВЛТ) Q0 и вероятность обнаружения Qd

Qo _ Р {О2 > у | И 0} ; Qd _ Р {О2 > г! И1} . (12)

Таким образом,

Q0 _ QF1,m (У) ; Qd _ ^'т (т), (13)

где Q (х) - Q -функция.

0 (х) = ! (х),*, і = °,1.

х

Жі (х) - соответствующее распределение Фишера.

Процентная точка распределения Фишера

г=о;і (0°). (14)

На рис. 1 и рис. 2 изображены характеристики обнаружения при т = 2,4,6,10,20,80 и

0° = 1°-к, к = 4,6 соответственно. Штриховыми линиями на рис.1 и рис.2 изображены

предельные характеристики обнаружения

0° = 0 (х) = 1 -Ф(х), 0, = о (х-3) = 1 ф( х-5), (15)

м да

где 0 (х) = --- I" е~и ^,и .

<2л і

0.8

0.6

и

а

0.4

0.2

к=4

т—-оо

т=80 т=20 /т=б/

т=10 у т=4 т=2

10 15 20 25

сі2, СІВ

Рис.1. Характеристики обнаружения Рис.2. Характеристики обнаружения

при к=4 при к=6

Характеристики (15) соответствуют обнаружению полностью известного сигнала с известной дисперсией шума и находятся по (13) при т .

На рис. 3 изображены рабочие характеристики приемника (РХП) 0, (0°) при Л = 1,4,8, т = 9.

0.6

■о

О

0.4

0.2

Х=8^

Л =4

Л=1

т=9

0.2 0.4 0.6 0.8

Оо

Рис. 3. Рабочие характеристики приемника

Поскольку при гипотезе Н° статистика О имеет вид

О =

г

т

то согласно определению, статистика О подчиняется центральному распределению Стьюдента с т степенями свободы.

Тогда по (12) ВЛТ имеет вид

0° = Р {О2 >у\И ° } = Р {IО >4г\Н ° } =

= Р {т <-4г}+р {т >4г},

где О - статистика, имеющая центральное распределение Стьюдента. Запишем интегральное распределение

-4~у

р < <—//} = | щ (х )ах,

—ад

где (х) - распределение Стьюдента с т степенями свободы [13].

(16)

т+1

С У у— 1+—

V т у

у]тж V 2

Отсюда следует, что Щ (х) - функция четная, Щ (-х) = Щ (х). Тогда

да

Р {Т < ~4т} = <2, ((г) =| (х ^.

У

По (16) получим

0° = 20, [4Ї)

и, следовательно, процентная точка

(17)

а=4г=я—1 (ОД).

Аналогично при гипотезе Н1 статистика О подчиняется нецентральному распределению Стьюдента [14]

ш т—1

Щ (х,3 = С |и 2 ехр (-и/2)

ехр

х£-/

V

т

йи,

где С11 = 2(т+1^2 Г(т/2)л/пт .

Тогда вероятность обнаружения

а=р <т <-Ц+р <т >4^},

где Т - статистика, имеющая нецентральное распределение Стьюдента с показателем нецентральности 8 = л[Я , причем

-У

Таки образом,

Р Т <-4г}= І (х,5)йх = | Щ (, ~5)с1г = ° (, -¿) .

-да У

0й = 0. (4г,5)+0. (Я, -3.

(18)

да

Сравнивая (8) и (13), приходим к соотношению

2г;, (М) = 2, {4г,з)+2,{4г,-з),

(19)

С другой стороны, сравнивая (19) и [12, ф-ла (26.6.19)] замечаем, что в [12] допущена ошибка (опечатка), так как там отсутствует второе слагаемое в правой части (19).

Сравним полученный результат с [1], где при аналогичной постановке задачи (но не тождественной, так как в [1] отсутствует обучение) получена формула

Следовательно, результат (20) [1] с точностью до обозначений и числа степеней свободы (п -1 ф т) совпадает с формулой (19).

ПРИБЛИЖЕННАЯ (АСИМПТОТИЧЕСКАЯ) ФОРМУЛА ДЛЯ ХАРАКТЕРИСТИК ОБНАРУЖЕНИЯ

Асимптотическая формула для интегрального нецентрального распределения Стьюдента имеет вид [12]

2г1(4г,д) =1 - е^(4у) ,

—да

(21)

На рис. 4 изображены сплошными линиями точные зависимости рис. 1 (при Q0 = 10 4), штриховыми линиями - с использованием приближенной формулы (21).

о.

о

5

10

15

20

25

сі2, СІВ

Рис. 4. Характеристики обнаружения

Для приближенных расчетов представим соотношение для вероятности обнаружения (8) в виде

Qí =[!-Ф( *1)] + [!-Ф( *2)],

2 Г 12 V/2

V 2vV

1+

Пусть v = m = 9; S = *J8 (A = 8); Q0 = 0.01; процентная точка ta = 3.25 (находится по (16) при Jr= ta).

Тогда x - 0.1875; x2 - 3.3907; Qd - (1 - 0.5744) + (1 - 0.9997) = 0.4260.

Точное значение по формуле (13) при процентной точке (14) Y = Qim (0.01) = Fa= 10.56 равно Qd = 0.3987 .

Точное значение по (18) при процентной точке (17) Qd = 0.3987, причем точное значение

второго слагаемого в (18) равно 2.8 -10-7.

Далее пусть S = A = 1; v = m = 9; Q0 = 0.1, тогда ta = 1.8331, Fa = 3.3603 .

Здесь x = 0.5462, x2 = 1.9428. Приближенное значение

Qd - (1 - 0.7075) + (1 - 0.9740) = 0.3185 .

Точное значение

Qd (F) = 0.2410; Qd (t) = 0.2360 + 0.0050 = 0.2410 .

Таким образом, чем больше показатель нецентральности, тем выше точность приближенной формулы, причем с ростом S уменьшается вклад второго слагаемого в (18),

(19).

ПРИБЛИЖЕННАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ХАРАКТЕРИСТИК ОБНАРУЖЕНИЯ ШАРФА [11]

Постановка задачи обнаружения в [11] аналогична (1)

H0 : x (t ) = n (t), 0 < t < T;

H : x(t) = jus(t) + n(t), 0 < t < T;’

где u = const - неизвестная амплитуда сигнала; n (t) - гауссовский случайный процесс с

нулевым средним значением, имеющий корреляционную функцию K(t,u~} = a2p(t,u); p(t,и)

- известная функция; с2 - неизвестная дисперсия.

Полученные в [11] характеристики обнаружения имеют вид

а = Q,(a); Qd = Q,(ta-s). (22)

Причем в интегральной формуле Qt (x) используется распределение Стьюдента с v = N -1 степенью свободы.

Характеристики обнаружения по (22) изображены на рис. 5 сплошными линиями, штриховыми линиями отмечены приближенные зависимости, полученные с использованием (21). На рис. 5 Q0 = 0.01, Se(0,6). Для сравнения на рис.6 построены графики Qd (S) при

Q0 = 0.05 в масштабе [11, Fig.1] при тех же обозначениях, что и на рис. 4. На рис. 5 и рис. 6 штрихпунктирной линией обозначены характеристики обнаружения, когда v .

Рис. 5. Характеристики обнаружения при Q0 = 0.01

Рис. 6. Характеристики обнаружения

при Q0 = 0.05

В заключение отметим, что характеристики обнаружения получены также в [4] при следующей постановке задачи

H0: X = о H1: X = 8 + о,

где о = (,£2,...,£,п) - вектор шума, 8 = у/уа , а = ((,a2,...,an)Г - детерминированный вектор-

столбец, нормированный условием аГа = 1; у = sгs - неизвестная интенсивность (энергия) сигнала }.=— - гауссовская СВ с нулевым средним значением Е (^ ) = 0, I = 1, п и

корреляционной матрицей Ап = £ А, 1хА = 1, £ = 1тАп.

А - полностью известная нормированная корреляционная матрица помехи, £ -

неизвестный параметр, определяющий интенсивность (среднюю энергию) помехи.

В данном случае в (22) коэффициент нецентральности 8 = у[д ; q = цу£ - эквивалентное

ОСШ, /л = атАа - коэффициент, учитывающий влияние на пороговое ОСШ объема выборки, формы сигнала, корреляции и нестационарности помехи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в данной статье получены статистики и характеристики обнаружения сигнала неизвестной амплитуды, принимаемого на фоне гауссовского шума с неизвестной дисперсией. Показано, что вероятность обнаружения выражается как через интегральную функцию Фишера, так и интегральную функцию Стьюдента и найдена связь между ними. Предложена приближенная формула для расчета характеристик обнаружения и показано ее применимость и в других аналогичных задачах обнаружения [4, 11].

ЛИТЕРАТУРА

1. Репин В.А., Тартаковский Г.П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. - М.: Сов. радио, 1977.

2. Сосулин Ю.Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. М.: Сов. радио, 1978.

3. Акимов П.С., Евстратов Ф.Ф., Захаров С.И. и др. Обнаружение радиосигналов; Под ред. А.А. Волосова. - М.: Радио и связь, 1989.

4. Корадо В.А., Захаров С.И. Оптимальное обнаружение сигнала на фоне помех с неизвестной интенсивностью. М.: Сов. радио, 1981.

5. Корадо В.А., Захаров С.И. Оптимальное обнаружение сигнала на фоне случайных стационарных помех с неизвестным спектром мощности. М.: Сов. радио, 1981.

6. Корадо В.А. Об оптимальном обнаружении сигналов при воздействии помех с неизвестными параметрами. // Радиотехника и электроника. Т. 14, №2, 1969.

7. Корадо В.А. Оптимальное обнаружении детерминированных сигналов со случайными параметрами на фоне помех с неизвестной интенсивностью при условии постоянства ложных тревог. // Радиотехника и электроника. Т. 13, №6, 1968.

8. Акимов П.С., Бакут П.А., Богданович В.А. и др. Теория обнаружения сигналов; Под ред. П.А. Бакута. М.: Радио и связь, 1984.

9. Борисов В.К., Зинчук В.М., Лимарев А.Е. и др. Помехозащищенность систем радиосвязи с расширением спектра сигналов модуляцией несущей псевдослучайной последовательностью; Под ред. В.И. Борисова. М.: Радио и связь. 2003.

10. Богданович В.А., Вострецов А.Г. Теория устойчивого обнаружения, различия и оценивания сигналов. М.: Физматлит, 2003.

11. Scharf L.L., Lyttle D.W. Signal detection in Gaussian noise of unknown level at invariance application // IEEE Transaction, V. IT-17, №4, 1971.

12. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами; Под ред. М. Абрамовица и И. Стигана. М.: Наука, 1979.

13. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: ИЛ. 1948.

14. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1964.

B.I. Shahtarin, V.V. Sizyh, A.V. Bulatov

Signals detection of with unknown intensity in Gauss noise with unknown variation (algorithm with training)

The signals detection problem of definite form with unknown intensity is considered at observation of additive mix of signal and Gauss noise with unknown variation with condition of preliminary training of detection device with an estimation on one noise realization. Obtained QF - function of Fisher statistics is expressed with sum Qt - of Student

statistics functions. The detection characteristics and receiver performance characteristics are rated. Also the calculation of these characteristics with help of offered approached equations and comparison results with exact data are considered.

Сведения об авторах

Шахтарин Борис Ильич, 1933 г.р., окончил Ленинградскую военно-воздушную инженерную академию (1958) и ЛГУ (1968), Заслуженный деятель науки и техники, лауреат Государственной премии, доктор технических наук, профессор кафедры автономных информационных и управляющих систем МГТУ им. Н.Э. Баумана, автор более 250 научных работ, область научных интересов - анализ и синтез систем обработки сигналов, фазовые системы синхронизации.

Сизых Вадим Витальевич, 1966 г.р., доцент, начальник кафедры ИКСИ, автор более 100 научных работ, область научных интересов - анализ и синтез систем обработки сигналов.

Булатов Александр Валерьевич, 1984 г.р., студент кафедры автономных информационных и управляющих систем МГТУ им. Н.Э. Баумана, автор 3 научных работ, область научных интересов - статистическая радиотехника.