CC BY
63
X
информационные каналы и среды
УДК 519.248, 621.384.3
анализ проблемы обнаружения в инфракрасных системах
М. О. Колбанев,
доктор техн. наук, профессор В. А. Рогачев,
канд. техн. наук, доцент
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций
Проблема обнаружения сигнала в общем режиме в инфракрасных системах формулируется как задача обнаружения двухпараметрического сигнала. Применение критерия Неймана — Пирсона и принципа инвариантности позволяет получить решение — модифицированную статистику Фишера. Сравнение с известными статистиками определяет диапазоны значений сигнала и уровней помех, при которых обеспечивается максимальная вероятность правильного обнаружения.
Ключевые слова — обнаружение, инфракрасные системы, критерий Неймана — Пирсона, модифицированная статистика Фишера.
Введение
В инфракрасных системах при обнаружении, как правило, реализуется контрастный метод обнаружения, обусловленный наличием помехи неизвестного уровня. При этом выполняется сравнение контраста, вычисляемого по некоторому алгоритму для сигнальной и помеховой выборок, с пороговым уровнем [1].
Выбор того или иного алгоритма обнаружения в существенной мере зависит от режима, в котором находится инфракрасная система [2]. Для режимов обнаружения: ограничение внутренним шумом (определяющим в системе является внутренний шум), обнаружение случайного сигнала (в системе выполняется обнаружение случайного сигнала) и режима ограничения фоном (определяющим в системе является фоновый шум) — получены оптимальные алгоритмы обнаружения, обеспечивающие максимальную вероятность правильного обнаружения при всех амплитудах сигнала и заданной вероятности ложной тревоги [3].
Гораздо менее определенной остается ситуация с оптимальным алгоритмом обнаружения для общего режима. В этом случае выходной сигнал фотоприемника представляет собой случайный сигнал с нормальным распределением, являющийся суммой сигнала объекта, внутренней и внешней помехи. Причем внутренняя помеха имеет математическое ожидание, равное темно-
вому току, и дисперсию, определяемую внутренним шумом. Для внешней помехи математическое ожидание равно фоновому току, а дисперсия определяется фоновым шумом, при этом математическое ожидание и дисперсия, как правило, связаны друг с другом коэффициентом пропорциональности, зависящим от типа фотоприемника.
Появление обнаруживаемого объекта в поле зрения системы вызывает изменение как математического ожидания, так и дисперсии выходного сигнала фотоприемника [3].
В случае полностью известных параметров задача достаточно легко решается с помощью критерия Неймана — Пирсона вычислением отношения правдоподобия [4].
Однако в реальных условиях, как правило, определены только объемы сигнальной и помехо-вой выборок, а параметры помехи и сигнала объекта полностью неизвестны.
Проблеме обнаружения сигнала объекта в инфракрасных системах в условиях априорной неопределенности и посвящена данная работа.
Формулирование подходов к решению задачи обнаружения
Поскольку обнаруживаемый сигнал объекта имеет два полезных признака — математическое ожидание и дисперсию, то задача обнаружения может быть сформулирована по-разному.
Если дисперсия сигнала объекта — «сигнальные шумы» — не учитывается как признак, то задача обнаружения формулируется как задача сравнения математических ожиданий двух выборок при неравных дисперсиях. Такая задача эквивалентна проблеме Беренса — Фишера, не имеющей непрерывного решения [5, 6].
При учете как математического ожидания, так и дисперсии, определяемых сигналом объекта, задача формулируется как задача обнаружения двух независимых параметров одновременно. Такая задача эквивалентна обнаружению многомерного (двумерного) сигнала и не имеет решения для всех амплитуд полезного сигнала (равномерно наиболее мощного — РНМ-решения) [5].
При обнаружении сигнала объекта с учетом того, что дисперсия сигнала объекта пропорциональна его математическому ожиданию, задача формулируется как задача обнаружения одного параметра. В этом случае размерность статистики больше размерности параметра и, следовательно, статистика не полна [5]. Такая задача эквивалентна обнаружению при двух функционально связанных параметрах и не имеет решений неймановской структуры [5].
Применение критерия Неймана — Пирсона
Рассмотрим, что дает применение критерия Неймана — Пирсона для обнаружения сигнала в инфракрасной системе, находящейся в общем режиме.
Синтез оптимального правила обнаружения произведем на основе распределения выходного сигнала фотоприемника, которое имеет следующий вид:
— при отсутствии сигнала объекта:
Но : х € N(<& + Ь, о + аЬ), у € №($ + Ь, о + аЬ);
— при наличии сигнала объекта:
Н: х € N(d + Ь, о2 +аЬ), у € N(d + Ь + s, о2 + аЬ + as),
где d — уровень темнового тока; Ь — уровень фонового тока; о2 — дисперсия внутреннего шума; аЬ — дисперсия фонового шума, as — дисперсия сигнала, а — коэффициент пропорциональности между током и шумами, зависящий от типа фотоприемника; s — математическое ожидание сигнала объекта.
Совместная плотность распределения элементов сигнальной и помеховой выборок для этого класса
2
р(х, у) = С^ + Ь,s, о + аЬ, as)x X вхр(01Т1 + 02^2 + 03 Тз + ^4^4 ), где С — постоянная.
Это экспоненциальное семейство с четырьмя параметрами
01 =-1 /(2(о2 + аЬ)), 02 =-1 / (2(о2 + аЬ + ав)),
0з = ^ + Ь)/(2 (а2 + аЬ)),
04 = ^ + Ь + s)/(2(о2 + аЪ + as))
и четырьмя достаточными статистиками
М N М N
Т = Е*?, Т = &/, тв = £*;, тА = ^У1.
1=1 у=1 1=1 у=1
В данном случае существует четыре достаточные статистики: две — для математического ожидания и две — для дисперсии.
В качестве мешающих параметров с априорно неизвестными значениями в данном случае выступают математическое ожидание помеховой выборки, являющееся суммой темнового и фонового тока, и дисперсия помеховой выборки, представляющая собой сумму дисперсии внутреннего и фонового шумов. Для устранения влияния мешающих параметров применим принцип инвариантности [1, 5].
Применение этого принципа основано на использовании преобразований, инвариантных относительно проверяемых гипотез. Для нормального распределения такими преобразованиями являются преобразования из группы сдвигов и масштабов [5]. В результате приходим к решающей статистике следующего вида [3]:
N
£ (у - х)2 / N }='
м
£ X- х)2 1(М-1)
1=1
_ м
где х = ^ х^ / М — среднее значение помеховой ;=1 выборки.
Данная решающая статистика для проверки выдвигаемой гипотезы о наличии сигнала представляет отношение оценки дисперсии сигнальной выборки к оценке дисперсии помеховой выборки. В отличие от обычной статистики Фишера в числителе используется оценка математического ожидания помеховой выборки, в которой отсутствует сигнал объекта. В этом случае учитывается то, что при появлении полезного сигнала произойдет увеличение как математического ожидания, так и дисперсии.
Применение теории инвариантности дает возможность получить статистику для проверки выдвинутой гипотезы, однако судить о степени ее близости к статистике, обеспечивающей максимальную вероятность правильного обнаружения при всех значениях сигнала (РНМ), можно лишь в сравнении с решающими статистиками для сходных задач.
Вычисление распределения полученной решающей статистики — модифицированной статистики Фишера — приводит к нецентральному распределению Фишера, зависящему от двух параметров: отношения дисперсии сигнальной
и помеховой выборок и отношения сигнал / шум. Плотность распределения имеет следующий вид [3]:
р(г) = ((М - 1)р / N)(M-1)/2 ехр(-т / 2) х
ТО
х ^/2-1 ^ (1 / к!)(^г / 2)к х
к=0
х (г + (М - 1)р / щ-И/2^М-1)/2-к /
/В((М-1)/2, N / 2 + к)
где р = (о2 + аЬ + as + о2 / М + аЬ / М)/(а2 + аЬ) — параметр, равный отношению дисперсий сигнальной и помеховой выборок; т = s2 / (о2 + аЬ + + as + о2 / М + аЬ / М) — параметр, связанный с отношением сигнал / шум; В((М - 1)/2, N/2 + к) — бета-функция.
При отсутствии сигнала объекта распределение превращается в стандартное распределение Фишера и пороговый уровень определяется из центрального распределения Фишера [5]
^ г = ^]м-\0--
где Г-М-і(1-а) — квантиль распределения Фишера уровня а и с N и М степенями свободы.
Сравнение вероятностей правильного обнаружения
Для определения качества полученной статистики сравним ее вероятность правильного обнаружения со следующими статистиками:
— статистика Гаусса (при всех известных параметрах) для определения максимально возможной вероятности правильного обнаружения;
— статистика Стьюдента, учитывающая только математическое ожидание сигнала объекта;
— статистика Фишера, учитывающая только дисперсию сигнала объекта;
— дважды нецентральная статистика Фишера, учитывающая математическое ожидание и дисперсию сигнала объекта, связанные друг с другом.
Вычисления вероятностей правильного обнаружения были произведены при изменении относительного уровня фонового тока в диапазоне от 0,1 до 10 и изменении нормированного коэффициента пропорциональности между средним и дисперсией в диапазоне от 0,1 до 10 для вероятности ложной тревоги 0,1; 0,01; 0,001 и объемов выборок от 10 до 100.
Как видно из приведенных графиков, при малом уровне дисперсии сигнала (рисунок, а) модифицированная статистика Фишера в основном обеспечивает превосходство по сравнению с остальными статистиками.
При средних уровнях дисперсии сигнала (рисунок, б) модифицированная статистика Фишера
■ Вероятности правильного обнаружения в в зависимости от отношения сигнал / шум £ при а = 0,1 (а); 1 (б); 10 (в), относительном уровне фона 10, вероятности ложной тревоги 0,1 и объеме выборок, равном 10: Ф — статистика Фишера; мФ — модифицированная статистика Фишера; нФ — нецентральная статистика Фишера; С — статистика Стьюдента; Г — статистика Гаусса
также в основном обеспечивает превосходство над остальными статистиками.
При большом уровне дисперсии сигнала (рисунок, в) хотя модифицированная статистика Фишера и проигрывает нецентральной статистике Фишера, по-прежнему обеспечивает уверенное превышение над статистиками Стьюдента и Фишера.
Однако при небольших уровнях дисперсии сигнала и малых отношениях сигнал / шум модифицированная статистика Фишера проигрывает статистике Стьюдента и нецентральной статистике Фишера.
Заключение
Проблема обнаружения сигнала в общем режиме в инфракрасных системах формулируется как задача обнаружения двухпараметрического сигнала на фоне внутренних и внешних помех.
Для решения задачи обнаружения двухпараметрического сигнала было сформулировано три подхода.
Показано, что эти подходы не обеспечивают максимальную вероятность правильного обнаружения для всех значений сигнала и уровней помех.
Метод, основанный на достаточных статистиках, критерии Неймана - Пирсона и принципе
инвариантности, позволяет получить решение — модифицированную статистику Фишера.
Сравнение с такими статистиками, как статистика Стьюдента, статистика Фишера и нецентральная статистика Фишера позволяет определить диапазоны значений сигнала и уровней помех, при которых обеспечивается максимальная вероятность правильного обнаружения.
Литература
1. Теория обнаружения сигналов / Под ред. П. А. Ба-кута. — М.: Радио и связь, 1984. — 440 с.
2. Хадсон Р. Инфракрасные системы. — М.: Мир, 1972. — 536 с.
3. Колбанев М. О., Рогачев В. А. Оптимизация выделения полезного сигнала в многорежимных информационных системах // Вопросы радиоэлектроники. Сер. ЭВТ. 2010. Вып. 2. С. 92-103.
4. Кендал М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Мир, 1966, — 900 с.
5. Леман Э. Л. Проверка статистических гипотез. — М.: Наука, 1978. — 452 с.
6. Линник Ю. В. Статистические задачи с мешающими параметрами. — М.: Наука, 1966. — 252 с.
