Обнаружение периодичности изменений массивов данных Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

шения эффективности системы внутреннего контроля имеет смысл использовать информационные системы, которые позволяют решить ряд вопросов, обеспечивая качественную и своевременную информацию для целей менеджмента.

Список литературы

1. О бухгалтерском учете: федер. закон Российской Федерации от 06.12.2011 г. № 402-ФЗ (с изм. и доп. на 2017 г.). М.: ЭКСМО, 2017. 32 с.

2. Организация и осуществление экономическим субъектом внутреннего контроля совершаемых фактов хозяйственной жизни, ведения бухгалтерского учета и составления бухгалтерской (финансовой) отчетности: информация Минфина России от 25.12.2013 г. № ПЗ-11/2013 // Министерство финансов Российской Федерации:

официальный сайт. URL: https://www.minfin.ru (дата обращения: 10.11.2017).

3. Деминг Э. Выход из кризиса. Новая парадигма управления людьми, системами и процессами / пер. с англ. М.: Альпина Бизнес Букс, 2007. 370 с.

4. Елисеев А.А. Система внутреннего контроля и ее документальное обеспечение в крупнейших организациях России // Экономика и управление: теория, практика, инновации: сб. материалов Междунар. заоч. науч.-практ. конф., посв. памяти засл. работника образования Чувашской Республики, д-ра экон. наук, проф. Е.А. Еленевской (29 апреля 2014 г.). Чебоксары, 2014. С. 58-62.

5. TAdviser: Государство. Бизнес. ИТ. URL: http://www.tadviser.ru (дата обращения: 10.11.2017).

ЕЛИСЕЕВ Александр Анатольевич - кандидат экономических наук, доцент кафедры бухгалтерского учета, анализа и аудита. Чувашская государственная сельскохозяйственная академия. Россия. Чебоксары. E-mail: eliseev9@gmail.com.

ИВАНОВ Евгений Алексеевич - кандидат экономических наук, заведующий кафедрой бухгалтерского учета, анализа и аудита. Чувашская государственная сельскохозяйственная академия. Россия. Чебоксары. E-mail: ivanoveacoop@gmail.com.

ХРИСТОЛЮБОВА Вера Васильевна - кандидат экономических наук, доцент кафедры бухгалтерского учета, анализа и аудита. Чувашская государственная сельскохозяйственная академия. Россия. Чебоксары. E-mail: vervas-08@yandex.ru.

ELISEEV, Alexander Anatolyevich - Candidate of Science (Economics), Associate Professor of the Department of Accounting, Analysis and Audit. Chuvash State Agricultural Academy. Russia. Cheboksary. E-mail: eliseev9@gmail.com.

IVANOV, Evgeny Alexeyevich - Candidate of Science (Economics), Head of the Department of Accounting, Analysis and Audit. Chuvash State Agricultural Academy. Russia. Cheboksary. E-mail: ivanoveacoop@gmail.com.

HRISTOLYUBOVA, Vera Vasilyevna - Candidate of Science (Economics), Associate Professor of the Department of Accounting, Analysis and Audit. Chuvash State Agricultural Academy. Russia. Cheboksary. E-mail: vervas-08@yandex.ru.

УДК 330.42:519.86

ОБНАРУЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧНОСТИ ИЗМЕНЕНИЙ

МАССИВОВ ДАННЫХ

М.М. Ермилов, Л.Е. Суркова

В статье исследуется возможность применения экономической модели «наилучшего линейного индекса» к наблюдениям, которые повторяются периодически и имеют выраженный сезонный характер изменения признака. Целью работы ставится выявление математических зависимостей для определения периодичности изменений массивов экономических данных, имеющих сезонный характер. При этом используются матричные методы, метод условной оптимизации, метод неопределенных множителей Лагранжа. В результате получен алгоритм, позволяющий обнаруживать сезонные изменения наблюдаемых величин на протяжении определенного количества лет при неизменности характера сезонных колебаний.

Ключевые слова: наилучший линейный индекс; матрица; след; собственные величины; условная оптимизация.

30

Вестник Российского УНИВЕРСИТЕТА КООПЕРАЦИИ. 2018. № 2(32)

M.M. Yermilov, L.E. Surkova. DETECTION OF PERIODICITY OF CHANGING DATA FILE The article explores the possibility of applying the economic model of the «best linear index» to observations that are repeated periodically, and have a pronounced seasonal character attribute changes. It is necessary to obtain an algorithm for detecting seasonal changes. Matrix methods, conditional optimization method, Lagrange uncertain multipliers method are used in the work. An algorithm that allows to detect seasonal changes in observable values over a certain number of years is obtained. Keywords: best linear index; matrix; trace; eigenvalues; conditional optimization.

В данной статье исследуются возможности модификации результатов, опубликованных Р. Алленом [1], который дал им название «наилучший линейный индекс». В оригинале ставилась задача аппроксимации массива данных (матрицы) с помощью двух векторов. Первый из них описывал распределение интенсивности признака, например спроса на некоторый товар по городам, а второй показывал, как этот признак меняется во времени. Исходная предпосылка состояла в том, что зависимость признака от времени во всех городах примерно одинакова. Обобщение данного метода и его модификации расширяют возможности его применения [4].

Предполагается, что наблюдения повторяются периодически, например с интервалом в год, а изменения признака носят выраженный сезонный характер. Допускается, что интенсивность может меняться от года к году, однако характер сезонных изменений от года к году остается неизменным. Необходимо получить математический критерий подтверждения сезонности колебаний в большом объеме наблюдаемых данных. При большом объеме наблюдений сложно выявить закономерности в колебаниях. Математический критерий позволит дать однозначную оценку.

Матрицы, представляющие массивы данных, обозначены At, где t = 0,1,2,... - номер наблюдения, например, года. В качестве критерия близости реальных наблюдений и их аппроксимации используется сумма квадратов [2; 3; 5], которая применительно к нашему случаю имеет следующий вид:

S2 = tr^ct (At - atuvT ATt - atvuT ) ^ min(u, v),

t

где tr - операция вычисления следа (trace) матрицы;

ct, а - заранее заданные коэффициенты, выбор которых в той или иной мере определяется пользователем.

Переменная t может, в частности, интерпретироваться как время. Другая возможная интерпретация: массивы At представляют собой спрос на различные товары и услуги и, соответственно, цены на них.

Коэффициенты ct обычно выбирают так,

чтобы выделить слагаемые, представляющие наибольший интерес. Что касается множителей а, то их значения желательно подобрать с целью уменьшения суммы £2 . На самом деле этот подбор - отдельная нетривиальная проблема, с трудом поддающаяся строгому формальному решению.

Задачей является определение пары векторов и, V, минимизирующих значение £ 2 при уже заданных коэффициентах с{. Заметим, что оба вектора целесообразно нормировать, поскольку они входят в выражение для суммы только как множители произведений, в которых присутствуют также и заранее неизвестные коэффициенты а. После введения нормировки (т.е. наложения требования, чтобы оба вектора имели единичную длину) задача переходит в разряд условной оптимизации, которая обычно предусматривает введение множителей Лагранжа. Сначала образуется функция Лагранжа, в данном случае принимающая следующий вид:

Ь = с, (А - (АТ - а1 vuт) + ¡лй V1 V + ¡¡ити

/ Т 2 Т 2 \

( V V = ст0; и и = ^

где л л - множители Лагранжа. Их значения заранее неизвестны, они определяются свойствами конкретной модели;

<г0, а1 ^ 0 - произвольно задаваемые два числа, не равные нулю.

Приравнивая к нулю дифференциал dL = 0 при произвольных значениях дифференциалов векторов du, dv и множителей dat, приходим к равенствам, которые обязательно должны выполняться:

(1)

Z ca ( At -at ™ )u = w

t

Zc A -auvT)v = Mu

v A u = 0)^1

Введем обозначения:

A=Z ca A

t

Z

2 2 a = > ctat

В этих обозначениях с учетом нормировки векторов предыдущая система может быть записана так:

2_2

(3)

AT u = (aVj2 + ¿и0) v < Av = (aVQ2 + )u

T T 2 2

v Atu = at°2°i

Выясним некоторые следствия из полученных равенств.

Умножим первое уравнение на vT, а второе - на uT. С учетом нормировки векторов (1) будем иметь:

\АТ u = (а2а2 +^0 )^q2 (4)

uTAv = (а2а02 + /их )aj2

Слева стоят две совпадающие величины. Совпасть поэтому должны и правые части. Отсюда следует: = Р\а\

Далее, умножим обе части последнего равенства системы (3) на ctat и просуммируем их по переменной t:

ZT ЛТ 2 2^ 2

ctatv At u = ctqctI X ctat

(5)

Т T A T AT , L T T

L = Sn — u Av - v A u + a u u • v v =

(12 T rp 2 T T

= S 0 — a T a + a u u • v v;

где введены обозначения:

S2 = tr X ctAtAT; T =

f 0 A ) f u 1

; a =

v AT 0 J V v J

(6)

(7)

Предполагается, что матрица А имеет п строк и т столбцов, т.е.

То есть с учетом (2)

Т аТ 2 2 2

v А u = « а

Отсюда и из (4) следуют равенства:

=0; = 0

По условию <, < ф 0; следовательно, в данном случае оба множителя Лагранжа равны нулю: /и0 = ¡л1 = 0

Этот предварительный анализ показывает, что в данной задаче ключевую роль играет матрица А, определенная в (2). Поэтому наиболее естественно с самого начала выразить критерий близости, т.е. сумму квадратов, непосредственно с помощью этой матрицы.

Если раскрыть скобки в выражении для функции Лагранжа (2), то нетрудно убедиться, что если сразу положить равными нулю множители Лагранжа - то, что это действительно так, уже было доказано выше, - это выражение может быть представлено следующим образом:

Рассмотрим критерий, равный следу матричного выражения, аналогичному сумме квадратов £2; главное его отличие в том, что в него входят объединенный вектор a и объединенная матрица Т :

% = 1г(ааТ -Т)(aaг -Т) = 1г(Т2) + (аТа)' -2aгTa,

1т (Т2 ) = Ит (ААТ)

Дифференциал этого выражения, соответствующий изменению вектора а на произвольную величину йаТ:

dS? = 4йаТа • аТа - 4йаТТа

Требование равенства этого дифференциала нулю при произвольном приращении йаТ приводит к необходимости выполнения уравнения:

Та = Ла

(Л = аТ а) (9)

Приходим к выводу, что оптимальный вектор а должен быть собственным вектором матрицы Т. Этому вектору соответствует определенное собственное число .

Согласно (8) значение критерия (9) в таком случае равно:

S12 = г (Т2) + (аТа)2 - 2аТТа = Г (Т2) + Л2 - 2аТ • Ла;

S12 = г (Т2 )-Л2

Поскольку решается задача минимизации значения критерия £12, то, согласно (10), следует выбирать собственный вектор с наибольшим собственным числом .

Векторы и, V, образующие объединенный вектор а, также являются собственными векторами определенных матриц. Чтобы доказать это, умножим обе части уравнения (9) на матрицу Т: Т 2а = ЛТа

Согласно (7)

T2 =

(10)

f 0 A) f 0 A1 AT q )

v AT 0 J V AT 0 J v 0 AtAj

Правая часть будет равна:

2 Л и ЛТа = Л • Ла = Л а =

и2 v)

Отсюда получаем два уравнения \ ААТ и = Л2и

I ATAv = Л2 V

(11)

Как следует из (9), (11), векторам и и V соответствует одно и то же собственное число, равное квадрату собственного числа в (9). Таким образом, проблема обнаружения пе-

32

вестник Российского университета кооперации. 2018. № 2(32)

риодичности изменений массивов в математическом плане сводится к задаче обнаружения собственных величин специальным образом вычисленной объединенной матрицы. Эта матрица образована из массивов данных, собранных за всю имеющуюся историю наблюдений. В качестве критерия наличия периодичности может выступать величина ее наибольшего собственного числа. Если отношение наибольшего собственного числа к сумме собственных чисел объединенной матрицы близка к единице, то можно однозначно утверждать, что сезонные совместные колебания (изменения) присутствуют.

Вывод: получен алгоритм, позволяющий обнаруживать сезонные изменения многомерных величин, наблюдаемых на протяжении определенного количества лет. При этом использовалась та основная предпосылка, что характер сезонных изменений в каждом году оставался качественно неизменным.

Последующее применение полученного алгоритма для извлечения практических результатов на основе анализа экспериментальных данных является следующим шагом в рамках представленного научного исследования.

Список литературы

1. Аллен Р. Экономические индексы / пер. с англ. М.: Статистика, 1980. 256 с.

2. Грин Уильям Г. Эконометрический анализ. Кн. 1 / пер. с англ.; под науч. ред. С.С. Синельникова и М.Ю. Турунцевой. М.: ИД «Дело» РАНХиГС, 2016. 760 с.

3. Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы: учебник. М.: Финансы и статистика, 2003. 352 с.

4. Ермилов М.М., Суркова Л.Е. Обобщение метода наилучшего индекса // Вестник Российского университета кооперации. 2017. № 3 (29). С.41-43.

5. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применения. М.: Наука, 1968. 548 с.

ЕРМИЛОВ Михаил Михайлович - преподаватель колледжа. Российский университет кооперации. Россия. Москва. E-mail: mmermilov@rambler.ru.

СУРКОВА Людмила Евгеньевна - кандидат технических наук, доцент кафедры информационных технологий и математики. Российский университет кооперации. Россия. Москва. E-mail: lsurkova2004@yandex. ru.

YERMILOV, Mikhail Mikhaylovich - College Teacher. Russian University of Cooperation. Russia. Moscow. E-mail: of mmermilov@rambler.ru.

SURKOVA, Lyudmila Evgenyevna - Candidate of Science (Technical), Associate Professor of the Department of Information Technologies and Mathematics. Russian University of Cooperation. Russia. Moscow. E-mail: lsurkova2004@yandex.ru.

УДК 338.31

ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ ТРУДА В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ: СОСТОЯНИЕ, ДИНАМИКА, ФАКТОРЫ

Т.А. Иванова, Н.В. Бубеннова

В статье приводятся результаты анализа уровня производительности труда в России в сравнении с развитыми и развивающимися странами, выявляется период, начиная с которого рост производительности труда в России начал замедляться. Анализируется, каким образом на производительность труда влияет степень диверсификации экономики. Производительность труда рассматривается с позиции разных отраслей, проводится анализ рентабельности и инвестиционной активности различных отраслей экономики в увязке с производительностью труда.

Ключевые слова: производительность труда; рентабельность; инвестиции; диверсификация; инновации.

T.A. Ivanova, N.V. Bubennova. LABOR PRODUCTIVITY IN THE RUSSIAN FEDERATION: CONDITION, DYNAMICS, FACTORS

The article presents an analysis of the level of labor productivity in Russia in comparison with developed and developing countries. The period from which the growth of labor productivity in Russia