CC BY
7сударственным санитарным врачом РФ Г.Г. Они- системы «КонсультантПлюс» (дата обращения: щенко 29.07.2005 г. Доступ из справ.-правовой 12.05.2017).
ГОЛЕВА Елена Васильевна - аспирант. Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации. Россия. Москва. E-mail: alenka-06@ mail.ru.
GOLEVA, Elena Vasilyevna - Graduate Student. Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration. Russia. Moscow. E-mail: alenka-06@mail.ru.
УДК 519.86
ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА НАИЛУЧШЕГО ИНДЕКСА
М.М. Ермилов, Л.Е. Суркова
В статье рассматривается задача определения общности между наблюдаемыми матрицами экономических показателей. За основу берется математическая модель наилучшего линейного индекса. Предложен один из возможных вариантов модификации модели с применением метода наименьших квадратов. Решение задачи сводится к определению собственных величин матриц.
Ключевые слова: аппроксимация; метод наименьших квадратов; линейный индекс; след матрицы; диада; собственные векторы.
M.M. Yermilov, L.E. Surkova. THE GENERALIZATION OF THE BEST INDEX METHOD
The article deals with the problem of determining the generality between the observed matrices of economic indicators. The mathematical model of the best linear index is taken as a basis. One of the possible variants of modifying the model using the method of least squares is proposed. The solution of the problem reduces to determining the eigenvalues of the matrices.
Keywords: approximation; least squares method; linear index; trace of the matrix; dyad, eigenvectors.
Экономическая теория индексов в настоящее время сохраняет свою важность [5]. Теория построения наилучших линейных индексов изложена Р. Алленом в книге «Экономические индексы» [1]. Рассмотренная методика матричного представления позволяет аппроксимировать массивы исходных данных различных экономических показателей с помощью двух векторов, определенных специальным образом. Модификация изложенного метода расширяет рамки его применения [2-4].
Изложим один из возможных вариантов развития математической модели наилучшего линейного индекса.
Предполагаем, что в течение определенного времени с некоторым временным интервалом происходят наблюдения массивов одинакового размера. В дальнейшем эти массивы будут обозначаться в виде матриц А, где t = 0,1,2,... - временной параметр. Например, эти наблюдения могут производиться ежегодно, или ежемесячно, или с каким-то иным периодом. В любом случае без ограничения общности можно считать, что t - целочисленная переменная. Ставится цель - выявить существование общности между этими матрицами. В
наиболее простом, но, возможно, и наиболее важном случае применяется аппроксимация матриц диадами, образованными произведением векторов-столбцов ut на вектор-стро ку vT. Выбор этих векторов будет производиться исходя из общих принципов метода наименьших квадратов (МНК), а именно: мы будем стремиться достичь минимума суммы квадратов элементов разностной матрицы, представляющей собой разность между реально наблюдаемыми матрицами и их аппроксимациями.
Известно, что найти сумму квадратов элементов любой матрицы можно, вычислив так называемый след от произведения этой матрицы на саму себя, но транспонированную. Исходя из этих предварительных соображений, приходим к выводу, что понадобится минимизировать сумму:
S2 = trXС, (A -u,vT)(AT - vu,T ) ^ min (1)
t
Весовые коэффициенты ct здесь заданы; их роль - в выделении тех слагаемых в сумме, которые представляют наибольший интерес. Если предпочтительных слагаемых нет, все эти коэффициенты можно положить равными единице.
42
Вестник Российского УНИВЕРСИТЕТА КООПЕРАЦИИ. 2017. № 3(29)
Для дальнейшего изложения имеет смысл предложить следующую полезную лемму.
Лемма. Пусть равенство № (dU -V) = 0 выполняется для любой (согласованной по размерам) матрицы dU. Тогда V может быть только нулевой матрицей.
Доказательство проще всего провести методом от противного. Допустим обратное: у матрицы V имеются не равные нулю элементы. Тогда мы можем положить, в частности, dU = V1' . В этом случае, как уже было замечено выше, все выражение станет равным сумме квадратов всех элементов матрицы V, т.е. станет строго положительным, а не равным нулю. Полученное противоречие и доказывает утверждение.
При минимизации суммы квадратов целесообразно учесть следующее. Допустим, найдены конкретные оптимальные векторы и,, V1. Но ясно, что диады не изменятся, если вектор V1 умножить на произвольный ненулевой множитель, одновременно поделив на него все и,. Следовательно, на вектор V1 можно наложить какое-либо дополнительное условие. Положим, что модуль этого вектора равен единице V1 V = 1.
Поскольку теперь речь пойдет об условной оптимизации, введем функцию Лагранжа:
^ = (гX ^ (А - и,V1)(А' - vuí1) + /у1V
г
Здесь / - множитель Лагранжа.
Дифференциал этой функции имеет вид:
сСЬ = -2гXctdvт (А1 - Уи/)и, - 2гХс^/* (А - и,V1 )у + 2/у1V
, г
При оптимальных значениях векторов этот дифференциал обращается в ноль. Следовательно, в соответствии с доказанной леммой, должны выполняться уравнения:
X С (А - уи,т)и, =/
(А, - и, V1) V = 0 (, = 0,1,2,..)
(2)
Из второго из этих уравнений с учетом условия (1) имеем:
и, = А, V (3)
В свою очередь, с учетом данного равенства, первое из уравнений (2) примет следующий вид:
Xc>AlA> ▼ = Хс уи,ти + /
или:
Av = XV,
а =Х сАА, х=/+Хс уи,ти
(4)
Таким образом, выясняется, что оптимальный вектор V принадлежит множеству собственных векторов матрицы А.
С учетом (3), (4) сумма квадратов оказывается равной:
52 = ,г X с, (а, - а, уу1 )(А - уу1А1 ) = /
= ,г X с, А, (I - уу1 ) (I - уу1 ) А1 = ,г X с, А, (I - уу1 )А,1 =
/ /
= К X с1А1А11 - V1 X с,А1А1 у = ГА - у1Ау То есть, с учетом (4)
52 = ,гА-X
(5)
Так как мы решаем задачу минимизации этой суммы квадратов, то приходим к выводу, что в качестве у следует выбрать тот собственный вектор матрицы А, которому соответствует максимальное собственное число X.
В порядке дальнейшего развития алгоритма рассмотрим модель, в которой в качестве аппроксимации взамен диад применяются матричные произведения вида UVT, где V - матрица со столбцами, равными собственным векторам матрицы А, определенной выше в (4). Нетрудно видеть, что эта матрица симметрична - она не меняется при транспортировании. Как известно [2], собственные векторы таких матриц взаимно ортогональны. Пусть модули всех столбцов матрицы V равны единице. В таком случае произведение VTV = I есть единичная матрица. В свою очередь каждый столбец матрицы и( будет равен произведению матрицы А на соответствующий столбец матрицы V, т.е. полагаем и, = .
Посмотрим, как в таком случае будет выглядеть произведение двух выражений в скобках, аналогичных стоящим в сумме (1):
(А, - UVT ) (А,1 - уи1) = (А, - Ауу1) (А,1 - УУ1А1) =
= А (I - vvт)(I - vvт) А1 = а, (I - 2^ + vvтvvт) А1 = = а (I - 2^т + VIVT) А1 = А (I - vvт) А1
Следовательно, сумма квадратов примет вид:
52 = ,г X с,А (I - ) Ат = ^ с,АтА - ,г (у X clATAУ ] =
= Ы - ,г (УTAУ) = Ы - ,г (утул) = Ы - ,гЛ
Здесь Л - диагональная матрица, диагональ которой образована соответствующими собственными числами матрицы А : Л = Х Х2, ... Хт ) Число т здесь есть выбранное число столбцов в матрице V, в частности, значению т = 1 соответствует диада. Таким образом, доказана теорема.
Теорема. Если матрица V образована т столбцами, то наилучшая аппроксимация достигается, когда в качестве столбцов выбираются собственные векторы матрицы А, которым соответствуют наибольшие собственные числа, по нисходящей. При этом минимальная сумма квадратов равна:
S2m = п-А-\-Л2 -...-1 (6)
т 12 т ^ '
Отсюда становится ясно, что выбранное число т должно быть таким, чтобы сумма квадратов стала гораздо меньше следа ^А, т.е. выполнялось неравенство:
1 -1т < 1
1гА
Как известно, след ^А равен сумме всех собственных чисел А, поэтому в принципе такое неравенство всегда выполнимо. Разумеется, чем больше т, тем размерность матриц Vи Ц становится больше, а модель сложнее.
Таким образом, получено некоторое обобщение известной модели наилучшего индекса. В оригинальной работе был предложен метод аппроксимации какого-либо исходного массива данных (матрицы) с помощью всего лишь двух векторов, образующих диаду. Нам удалось распространить аналогичную методику на последовательность массивов, т.е. на временной ряд, элементы которого есть произвольные матрицы одинакового размера. Так же, как и в оригинальной статье, оказалось, что оптимальная обработка данных сводится к классической задаче определения собственных величин определенной матрицы. Показано, что полученный алгоритм обработки данных допускает разви-
тие, позволяющее получать большую точность аппроксимации, чем та, что достижима с использованием только одной диады. Указан критерий качества аппроксимации.
Список литературы
1. Аллен Р. Экономические индексы / пер. с англ. Л.С. Кучаева; предисл. В.В. Мартынова. М.: Статистика, 1980. 256 с.
2. Ермилов М.М., Лебедева А.Л. Многомерный мониторинг: билинейная аппроксимация. Прикладные задачи // Перспективные научные исследования и разработки в кооперативном секторе экономики: материалы Междунар. науч.-практ. конф. в рамках ежегодных Чаяновских чтений (19 ноября 2015 г.). Ярославль-Москва: Канцлер, 2015. Ч. 1. С. 293-299.
3. Ермилов М.М., Лебедева А.Л. Мониторинг многомерного ряда // Проблемы и перспективы развития экономики, управления и кооперации: материалы Междунар. науч.-практ. конф. проф.-преподават. состава, сотрудников, докторантов и аспирантов вузов по итогам научно-исследовательской работы в 2015 г. / Российский университет кооперации. М., 2016. С. 111-114.
4. Ермилов М.М., Лебедева А.Л. Наилучший линейный индекс: пути обобщения теории и возможные прикладные задачи // Кооперация в науке и инновациях: материалы Междунар. науч.-практ. конф. проф.-преподават. состава, сотрудников, докторантов и аспирантов вузов по итогам работы за 2014 г. / Российский университет кооперации. М., 2015. С. 211-215.
5. Захорошко С.С. Анализ экономической теории индексов // Проблемы управления. 2011. № 3 (40). С. 64-69.
ЕРМИЛОВ Михаил Михайлович - преподаватель кафедры информационных технологий и математики. Российский университет кооперации. Россия. Москва. E-mail: mmermilov@ rambler.ru.
СУРКОВА Людмила Евгеньевна - кандидат технических наук, доцент кафедры информационных технологий и математики. Российский университет кооперации. Россия. Москва. E-mail: lsurkova2004@yandex.ru.
YERMILOV, Mikhail Mikhaylovich - Senior Lecturer of the Department of Information Technologies and Mathematics. Russian University of Cooperation. Russia. Moscow. E-mail: mmermilov@ rambler.ru.
SURKOVA, Lyudmila Evgenyevna - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Information Technologies and Mathematics. Russian University of Cooperation. Russia. Moscow. E-mail: lsurkova2004@yandex.ru.
