Объемное сканирование и моделирование Текст научной статьи по специальности «Физика»

СПЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ, ОТРАЖЕННОГО ОТ УЧАСТКА СРЕДЫ С ДИНАМИЧЕСКОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ Ал.С. Киселев, Ан.С. Киселев Научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор Н.Н. Розанов

В сообщении рассматриваются релятивистские эффекты первого порядка при распространении излучения через прозрачную среду, включающую неоднородность скорости ее движения сферической формы ограниченных геометрических размеров. Показано, что прямолинейно распространяющийся объект, представляющий собой неоднородность, способствует отражению электромагнитного излучения от его поверхности. Изучена аналитическая теория и продемонстрированы результаты численного моделирования эффекта отражения от сферических частиц различных размеров при различных состояниях поляризации падающего излучения. Выведено выражение для доплеровской поправки частоты излучения при его отражении от такого рода объектов.

Введение

Теория электромагнитных явлений в движущихся сплошных средах, основывающаяся на дифференциальных уравнениях Максвелла и материальных уравнениях Мин-ковского [1, 2], описывает целый ряд эффектов, но количество выполненных экспериментов невелико. Исследования ограничивались случаем пространственно однородной скорости движения среды, влияние неоднородности движения на распространение оптического излучения рассмотрено недостаточно полно. Еще в 1818 г. Френель на основе теории частичного увлечения эфира движущейся средой получил выражение для показателя преломления п в этой среде [3]. Это явление экспериментально подтверждено Физо в 1851 г. Интересно, что, несмотря на отказ от теории эфира, в дальнейшем формула Френеля оказалась верной и была выведена в частной теории относительности.

В работах [4-7] рассмотрены релятивистское рассеяние и дифракция электромагнитного излучения на неоднородностях скорости движения среды для частиц цилиндрической и сферической формы различных размеров. В случае неоднородности цилиндрической формы получены аналитические выражения для напряженностей рассеянного электромагнитного поля, а для случая сферической частицы не удалось получить решения задачи в явной форме, поэтому продемонстрировано влияние неоднородности скорости движения среды сферической формы на результат рассеяния световой энергии численно.

В данном сообщении мы рассмотрим релятивистские эффекты, связанные с отражением электромагнитного излучения от поверхности движущейся неоднородности, окруженной средой с теми же электрической и магнитной постоянными, что и у самой неоднородности. Также описаны соотношения для доплеровской поправки частоты оптического излучения, сформировавшейся вследствие отражения света от поверхности неоднородности скорости движения среды.

Подобный эффект описывался ранее при рассмотрении отражения от поверхности неоднородности, не ограниченной по размеру в поперечном направлении относительно волнового вектора падающего излучения [8]. В данном сообщении в рассмотрение включены дифракционные эффекты, связанные с конечными размерами неоднородности скорости движения среды в поперечных направлениях по отношению к распространению падающего излучения в принятой системе координат. В используемой модели мы ограничимся рассмотрением случая однонаправленного распространения рассматриваемого объекта и падающей волны. Это связано с тем, что продольные составляющие вектора скорости движения объекта по отношению с волновым вектором падающего излучения приводят к доплеровскому смещению частоты первого порядка малости по параметру у/с ( Vс — соответственно, скорость движения объекта и ско-

рость света в вакууме), а ортогональные компоненты того же вектора - к смещению второго порядка малости по тому же параметру [9], что в данной работе не рассматривается.

Общие соотношения

Как уже отмечалось ранее, в качестве исходных соотношений будем использовать уравнения Максвелла в дифференциальной форме (1) и приближенные с точностью до первого порядка по параметру Vе материальные уравнения Минковского (2) [10]:

1 дВ

с ,

1 д) е дг '

30 А) -1

гогЕ = -

гогН = -

ШУВ = 0,

ШУБ = 0,

(1)

Б = з0 Е + -

-[у х Н] + 3Б, В = и0 Н + 3 Д| 1 [Е х у] + 3В, (2)

е е

где Е, Н - напряженности электрического и магнитного полей; Б, В - электрическая и

магнитная индукции; е0 и /и0 - диэлектрическая и магнитная проницаемости однородной неподвижной среды (при у = 0); г - время. Величины ЗБ и ЗВ, соответственно, описывают динамооптические и гиромагнитные явления, а также другие возможные малые возмущения среды. Эти величины характеризуют нерелятивистские эффекты, которые при условии малости скорости V по отношению к скорости света в вакууме е вызовут незначительное по сравнению с релятивистскими возмущение среды. Влияние этих эффектов в дальнейшем не рассматривается.

В случае малых скоростей движения среды V из уравнений (1) и (2) получаем волновые уравнения для Б и В :

□ Б = ^, □ В = Г,

(3)

где

□ =Д--0 ^ д2

дг2 30 ^0 -1

е

30 ^0 -1

4 д2 д2 д2 -, Д =-7 +-7 + —7,

дх2 ду2 дг2 з д

гоггог [у хН ]—-—гог [Е ху ]

д

гоггог [Е х у]+—гог [у х Н] е дг

(4)

(5)

Для решения (3) воспользуемся теорией возмущения и положим, что

Е = Е0 + Е

л^ -^0 отр

и Н = Н0 + Нотр + к, где Е_, Н

отр>--отр - напряженности поля отражен-

ной от поверхности неоднородности волны. В нулевом порядке по параметру у/е теории возмущений решение Е0 и Н0 считаем известным, а излучение отраженной волны находится из первого порядка теории возмущений решением (3). Тогда запишем:

П Еотр = ,

П Нотр = .

Здесь величины {Е и {н определяются из выражений

30 ^0 -1

ез

^аёа™[у хН0[у хН0]-—^гог[Е0 х у]

дг2

е дг

30 ^0 -1

е ^0

^аёШу [Е0 х у]—-^у [Е0 х у ] +——гог [у х Н0 ]

дг2

е дг

(6)

(7)

(8)

Решение уравнения (6) дается в форме запаздывающих потенциалов [11]:

4пГ

4П Г

Е =---^ ё¥, (9)

н- (10)

В выражениях (9) и (10) интегрирование ведется по объему движущейся области неоднородности. Здесь Я — расстояние от объема интегрирования ёУ до точки непосредственной регистрации поля отраженной волны. Обозначим через Я0 радиус-вектор

из начала координат в точку наблюдения, так что Я0 = Я + V г + г , где Я — радиус-

вектор от объема интегрирования в точку наблюдения, V — вектор скорости движения рассматриваемого объекта, г — радиус-вектор объема интегрирования. На большом расстоянии от области неоднородности скорости движения Я в (9) и (10) можно заменить на Я0. Тогда в случае отражающей поверхности сферической формы указанные интегралы преобразуются к виду:

Е--^К-Т-^Ь (Ч)

н- (12)

где п = )пх, пу, пг) — орт в направлении вектора наблюдения.

Падающую на поверхность неоднородности скорости движения среды плоскую монохроматическую волну следует записать в виде:

Е0 = ехр(—¡а г + ¡кг));Ь2 ;0), (13)

Н0 = /—ехр(—¡а г + ¡кг))Ь2; —Ь1;0), (14)

где а — частота излучения; к = 2ж/Я = па/с — волновое число (п — показатель преломления однородной неподвижной среды; Я — длина волны излучения); Ь1з Ь2 — параметры,

характеризующие поляризацию падающего излучения (в общем виде - комплексные функции).

Ввиду определенной геометрии и конечных геометрических размеров движущейся неоднородности вектор скорости V в волновых уравнениях представляется в следующей форме:

V = Ф)х, у, г, г))0,0, V), (15)

где Ф )х, у, г, г) — пространственно-временная функция роста.

Дальнейшие вычисления и расчеты целесообразно проводить только применительно к электрическому полю, поскольку для магнитного поля справедлива та же математика, за небольшой лишь разницей: напряженности магнитного и электрического полей связаны друг с другом посредством коэффициента пересчета [10]:

^е )Е- )2 =^е )Н - )2. (16)

Математическое моделирование

В данном разделе представлены результаты математического описания неоднородности скорости движения среды с определенным уточнением зависимости функции роста Ф от пространственных координат. Первая из них является случаем скачкооб-