Объект кривизны фундаментально-групповой связности 2-го порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

Н. А. Рязанов

ОБЪЕКТ КРИВИЗНЫ ФУНДАМЕНТАЛЬНО-ГРУППОВОЙ СВЯЗНОСТИ 2-ГО ПОРЯДКА

Объект кривизны 2-го порядка содержит объект кривизны фундаментально-групповой связности, задаваемой в главном расслоении; объ-

--ект кривизны аффинной связности над многообразием; компоненты

10 2-го порядка. Выведены дифференциальные сравнения на компоненты

объекта кривизны фундаментально-групповой связности 2-го порядка. Эти сравнения показывают, что объект кривизны образует геометрический объект лишь в совокупности c компонентами 2-го порядка объекта связности. В общем случае объект кривизны фундаментально-групповой связности 2-го порядка не образует тензор.

The second-order curvature object contains the curvature object of the fundamental-group connection defined in the principal bundle; the curvature object of an affine connection over a manifold; second-order components. Differential comparisons for the components of the object of curvature of the second-order fundamental-group connection are made. These comparisons show that the curvature object forms a geometric object only in combination with components of the second-order connectivity object. In the general case, the object of curvature of the fundamental group connection of the second order does not form a tensor.

Ключевые слова: структурные уравнения Лаптева, фундаментально-групповая связность, объект кривизны 2-го порядка, полуголономное гладкое многообразие.

Key words: structure equations of Laptev; fundamental-group connection, the second order curvature object; semi-holonomic smooth manifold.

Рассмотрим главное расслоение Gr (Mn), базой которого служит n-мерное гладкое многообразие Mn, а типовом слоем является r-член-ная группа Ли Gr. Его структурные уравнения Лаптева имеют вид [1]

Da' =ы' ли', i, j, k,... = 1, n, (1)

Оюа= Срауюрлюу+ю' люа, а, р, у,... = п +1, п + г, (2)

где О — символ внешнего дифференциала; л — знак внешнего умножения; ю1 — базисные линейные дифференциальные формы; аа — слоевые дифференциальные формы; а ■ — вторичные базисные формы; а" — вторичные слоевые формы; Сру — структурные константы группы Ли Ог, удовлетворяющие условиям антисимметрии по ниж-

© Рязанов Н. А., 2017

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта.

Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 4. С. 10-15.

ним индексам С(|у) = 0, а также тождествам Якоби СвауС§Е} = 0, где

круглые скобки обозначают симметрирование, а фигурные — цикли-рование.

Для задания связности по Лаптеву в главном расслоении Ог (Мп) введем формы связности

= «а - Г>1. (3)

Дифференцируя формы (3) внешним образом с учетом (1, 2), получим Ша = С^Р А ^ + «* А (йГа - Га«{ + ГР+ «а) -

- са/в г/ « а «, «а=сР>у. (4)

Компонентах объекта фундаментально-групповой связности Г™ удовлетворяют дифференциальным уравнениям [1]:

дг?+«а=га«, (5)

где тензорный дифференциальный оператор Д действует следующим образом:

дг а=йг а - г а«+ г щ.

DQa = C?YQP A Q-Y + Rawi A wj, (6)

Тогда уравнения (4) можно записать в вице

^QP a Qy + Ra

где

Raa = Г. - qjrfrj, (7)

а квадратные скобки обозначают альтернирование. Получили структурные уравнения (6) для форм связности Qa, включающие компоненты объекта кривизны Rj, выражающиеся по формуле (7).

Продолжим уравнения (1, 2), т. е., дифференцируя внешним образом и применяя обобщенную лемму Картана, получим:

Dwj = a w'k + wk a wjk, wjk a w' a wk = 0;

Dffl" = w{ A w° + wf A Wp + wj A wa, wa A Wi A Wj = 0.

Продолжая уравнения (5) с учетом их самих, а также (1, 2, 8), получим дифференциальные сравнения

Arja.] - rpwkj] + CpYrfwj + wj = 0 (mod wj).

Тогда дифференциальные сравнения объекта кривизны фундаментально-групповой связности 1-го порядка имеют следующий вид:

ARiP - Г awj + wj = 0 . (9)

11

12

Утверждение 1. В случае полуголономности [4] гладкого многообразия Mn 1-го порядка, когда w— = 0, сравнения (9) примут вид AR? + w— = 0. В случае слоевой полуголономности (см.: [4]) расслоения Gr(Mn) 1-го порядка, когда wj*j] = 0, сравнения (9) примут вид AR? - Г^w^] = 0 . В обоих случаях объект кривизны R? фундаментально-групповой связности 1-го порядка не является тензором. В полуголономном случае, когда wf-] = 0, w— = 0, объект Raa - тензор.

Формы аффинной связности имеют виц [3]

Qj = wj - j wk. (10)

Дифференцируя их внешним образом с учетом (81), получим

DQj = Qk л Qk + wk л (d— + j wi - Г\кwj - Г-w[ - jГ1иwf + w)k).

Компоненты объекта аффинной связности Г-к удовлетворяют дифференциальным уравнениям [3]:

АГ-к + wj-k = Гj„w', (11)

где тензорный дифференциальный оператор А действует следующим образом:

APjk = dr)k + гIjkw¡ - r''kw'j - Г)Мk.

Тогда уравнения (10) можно записать в виде

DQj = Qk лQk + wk л(— w' -Г-kПwf).

Вынося общие базисные формы за скобки, получим:

DQj = Qk л Qk + (Гijkl - ГjkГt' )wk л w'.

Альтернируя коэффициенты в последнем слагаемом, введем обозначение

DQj = Qk л Qk + Цы wk л w', R)kl = Г}[И] - rj[кГ\ц, (12)

где альтернирование выполняется по крайним индексам в квадратных скобках. Получили структурные уравнения (12i) для форм связности Qj, включающие в себя компоненты объекта кривизны Rjk', выражающиеся по формулам (122).

Продолжая уравнения (11) с учетом их самих, а также (1), получим дифференциальные сравнения (ср.: [3])

аг.[kl] - Гj[k] + Г'[kю j] + rjt®ik'] + ®}[kl] = 0(mod ю'), (13)

где альтернирование выполняется по крайним индексам в квадратных скобках. Тогда дифференциальные сравнения объекта кривизны аффинной связности имеют следующий вид:

ДЯ)к' - Г.«[И] + «.[И] = 0 .

Вместе с формами й? и й. рассмотрим формы

й? = «а - Ь? «*, (14)

где Ь? — некоторые функции продолженных базисных и слоевых параметров. Дифференцируя внешним образом формы (14), получим: вй? = й{ А й? + с^й? а й* + + «* А(Дь? + с^г.«У + Гк«к + «?) -(г'Ь? + Срауьв Г?)«* А «к.

Связность в главном продолженном расслоении задается с помощью поля объекта Г2 = {Г?, Г.к, Ь?}, компоненты которого удовлетворяют уравнениям (5), (11) и следующим:

дь? - Сауг/«р + гк«а + «а = ь*к«к. (15)

Утверждение 2. Формы фундаментально-групповой связности 2-го порядка П, Ц, Ц подчинены структурным уравнениям (6), (121) и следующим уравнениям:

БЦ = Ц а П. + СрауЦ ао'+ К°к<ю * а юк, (16)

где компоненты 2-го порядка К. объекта кривизны Я2 = {Я?, Щы, Как} выражаются по формуле

К?к = Ь?[]к] - Г'[]Ь<1к] - Сру Ьв[.Г1]. (17)

Найдем дифференциальные сравнения для пфаффовых производных Ь?" объекта Ь? . Для этого замкнем уравнения (15):

йЬрк А «" - Ь.«'к А «" + Ь.«р А «" - Цк«I А «к - ь?1к«. А «" +

+ Ь^«! А « к - Ь?.«'к А « к - Ь?« .к А « к + Г .к «? А « к + + Г.«? А «к - Ср?уГ]к«в А «к - Ср?уГ]«|к А «к + «?к А «к = 0.

Вынося общие базисные формы «к за скобки и собирая первые пять слагаемых под дифференциальный оператор ДЬ., имеем

(ДЬЬр]к + Ь1/Сру«1 - Щ«1'" - ЬЬр'«)к + г'ук«? + г.«;к -- СИ«Р - Срауг/«вк + «?к) А «к = 0.

13

14

Разрешая эти уравнения по лемме Картана и альтернируя по индексам j и k, получим следующие сравнения:

AL?[jk] + L?[jCPY®I] - Li[j®lk] - Ltf®[jk] + г/[jk]®" + Гil[j®/k] - (18) - C pY^Yk ]®f - ОД®?] + jk ] = 0 (mod ®k).

Теперь найдем результат действия дифференциального оператора на компоненты Kj объекта кривизны R2 фундаментально-групповой

связности 2-го порядка. Для этого запишем дифференциальные сравнения для свернутых произведений, входящих в формулу (17), и проальтернируем их по индексам j и k :

дг/[jLTk] = -L/[k®ij] - г/[jrm]®m + сРУГ/[jrY]®f - г/[j®ft], (19)

дСр>ед ^ -Ср^'д®!3 + Ср^да^6 - c^Y® ] - c^ Ц ;®Y]. 19

Применяя дифференциальный оператор Л к обеим частям равенства (17), а также учитывая (18) и (19), получим

ДКщ = La®[jk] - Rijk®Г + cPyr[Yk]®f - cPyC6er[Ejrk]®I6 - ®i[jk]. (20) Выражая из уравнений (7) компоненты Г^ ] через компоненты кривизны R "Jk и подставляя в (20), получим

дкщ = La®[jk] - Rjk®r + CPyRYk®f - ®Г[jk], (21)

В случае полуголономного главного расслоения Gr (Mn) 2-го порядка (®ijk] = 0, ®0[jk] = 0) дифференциальные сравнения (21) для компонент Кщ объекта кривизны связности 2-го порядка примут вид

ДКа =-Rjk®r + CpYR/k®f . (22)

Выводы

1. Фундаментально-групповая связность 2-го порядка задается в продолженном главном расслоении С2 (Мп) со структурными уравнениями (1, 2, 8) с помощью поля объекта Г2 = (Г?, Г^к, Щ}, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным уравнениям (5, 11, 15). Объект определяет формы связности (14), удовлетворяющие структурным уравнениям (16), в которые входят компоненты Кщ (17) объекта кривизны фундаментально-групповой связности 2-го порядка Г2.

2. Объект кривизны 2-го порядка R2 = {Rp, R^kl, Kpk} содержит:

а) объект кривизны Rp фундаментально-групповой связности, задаваемой в главном расслоении Gr (Mn);

б) объект кривизны R^ аффинной связности над многообразием Mn;

в) компоненты 2-го порядка KPk.

3. Объект кривизны R2 образует геометрический объект лишь в совокупности c компонентами 2-го порядка La объекта связности 2-го

порядка Г2. В общем случае объект кривизны R2 фундаментально-групповой связности 2-го порядка не образует тензор (см.: [2; 3]).

Список литературы

1. Лаптев Г. Ф. Структурные уравнения главного расслоенного многообразия // Тр. геом. семин. ВИНИТИ. М., 1969. Т. 2. С. 161-178.

2. Рыбников А. К. Об аффинных связностях второго порядка // Матем. заметки. 1981. Т. 29, вып. 2. С. 279-290.

3. Рязанов Н. А. Дифференциальные сравнения компонент объекта кривизны аффинной связности 2-го порядка в несимметричном случае // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 2017. Вып. 48. С. 95-104.

4. Шевченко Ю. И. Голономные и полуголономные подмногообразия гладких многообразий // Там же. 2015. Вып. 46. С. 168 — 177.

Об авторе

Никита Андреевич Рязанов — асп., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия.

E-mail: ryazanov-92@mail.ru

The author

15

Nikita Ryazanov, PhD student, I. Kant Baltic Federal University, Russia. E-mail: ryazanov-92@mail.ru