Дифференциальные сравнения компонент объекта кривизны аффинной связности 2-го порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Попов Ю. И. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов 2-го порядка H-распределения аффинного пространства // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2016. № 2. С. 18 — 24.

4. Попов Ю. И. Поля геометрических объектов H-распределения аффинного пространства // Диф. геометрия многообр. фигур. Калининград, 2013. Вып. 44. С. 113 — 125.

5. Попов Ю. И., Столяров А. В. Специальные классы регулярных гиперполос. Калининград, 1992.

6. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Московского математического общества. 1953. Т. 2. С. 275 — 382.

Об авторе

Юрий Иванович Попов — канд. физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: yurij.popoff2015@yandex.ru

About the author

Dr Juriy Popov — Ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: yurij.popoff2015@yandex.ru

23

УДК 514.76

Н. А. Рязанов

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СРАВНЕНИЯ КОМПОНЕНТ ОБЪЕКТА КРИВИЗНЫ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ 2-ГО ПОРЯДКА

Выведены дифференциальные сравнения на компоненты объекта кривизны аффинной связности 2-го порядка. Эти сравнения показывают, что в общем случае объект кривизны 2-го порядка образует геометрический объект лишь в совокупности с объектом кривизны 1-го порядка и объектом связности 2-го порядка.

Differential comparisons for the components of the curvature object of affine connection of the second order are received. These comparisons show that, in the general case, the second-order curvature object forms a geometric object only in conjunction with the first-order curvature object and the second-order connectivity object.

Ключевые слова: структурные уравнения Лаптева, аффинная связность, объект кривизны 2-го порядка, голономное гладкое многообразие, полуголо-номное гладкое многообразие, неголономное гладкое многообразие.

Key words: Laptev structure equations, affine connection, curvature object of the second order, holonomic smooth manifold, semi-holonomic smooth manifold, non-holonomic smooth manifold.

© Рязанов Н. А., 2017

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 2. С. 23-29.

24

Рассмотрим структурные уравнения Лаптева п-мерного многообразия Мп

Вю' = ю; лю) (', ;, к, ... = 1~п), (1)

где В — символ внешнего дифференциала; л — знак внешнего умножения; ю' — главные линейные дифференциальные формы; ю) — вторичные линейные дифференциальные формы.

Продолжим структурные уравнения (1) на многообразии Мп. Замыкая их, найдем

(Вю) -юк люк)л® = 0. Разрешая эти кубичные уравнения по лемме Лаптева, получим [1]

Вю'; = юю люк +юк лю'к. (2)

Уравнения (1), (2) являются структурными уравнения Лаптева главного расслоения линейных реперов Ьп2( Мп) над гладким многообразием Мп .

Аффинная связность (без кручения) для и-мерного многообразия Мп определяется в расслоенном пространстве Ьп2(Мп) путем задания

объекта связности Г;,, компоненты которого симметричны по нижним индексам. Формы связности имеют вид [2]

Ц = ю" +Г; юк. (3)

Дифференцируя их внешним образом с учетом (1), (2), получим

вц = Ц ло, - юк л (йг)к + г), ю' - Гк ю; - Г'.,юк + г), г;( ю' - ю). (4)

Компонентах объекта аффинной связности Г', удовлетворяют дифференциальным уравнениям

ДГ'к -ю), = Г"ию', (5)

где тензорный дифференциальный оператор Д действует следующим образом:

ДГ'к = йГ)к +г), ю) -Г'к ю) -г;., юк. Тогда уравнения (4) можно переписать в виде

вц =Ц лЦ -юк л ( г;,, ю; +г), Г'й ю').

Вынося общие базисные формы ю; за скобку, получим

ВЦ = Ц лЦ - (г;,, +г',г; )юк лю;.

Альтернируя последнее слагаемое, введем обозначение

DQj = Q лЦ + лю1, Rjki = -(Гт +TjkГ'й]), (6)

где альтернирование выполняется по крайним индексам в квадратных скобках. Получили структурные уравнения для форм связности Qj,

включаюшде в себя компоненты объекта кривизны Rjkl.

Продолжая уравнения (2) с учетом их самих, а также (1), получим

Щк = юjkл ®- Чл ю j—л ®k + ®l л юjki. (7)

Найдем дифференциальные сравнения для пфаффовых производных rjkl объекта rjk. Для этого продолжим уравнения (5) с помощью

структурных уравнений (1), (2), (7). Получим

drjkl лю — Гjkt® лю, + rjkl® л® + rtkl® лю® +rjltrot люЫ +

, т—t l T~*l t l T~*l t i , t i f~\

+Г jl® лЮЫ +Г k Ю лю jt —rjk Ю лЮ + Ю л Ю jkt = 0.

Вынося общие базисные формы ю1 справа и собирая первые пять слагаемых под дифференциальный оператор ДГ jkl, имеем

(ДГ jkl +Г;г ю1й —г; ®jl — Ij ®kl —®jkl) лю1 = 0.

Разрешая эти уравнения по лемме Картана и альтернируя по индексам k и l, получим сравнения по модулю базисных форм ю1

ДГ;Ти] + rj[kю'я] — Г[k®jl] — Гj®tkl] — ®j[и] = 0 (mod ®l). (8)

Найдем результат действия дифференциального оператора на компоненты объекта кривизны Rijkl аффинной связности 1-го порядка. Для этого запишем дифференциальные сравнения для свернутых произведений ItjkI и проальтернируем их по индексам k и l:

дг;т k ril]=®j[ k rtl]+rm k ®ml]. (9)

Применяя дифференциальный оператор Д к обеим частям равенства (62), а также учитывая (8) и (9), получим

Щы =— rjm®mkl] +®j[kl]. (10)

В случае полуголономного гладкого многообразия Mn 2-го порядка (®ijk] = 0, ®j[kl] = 0) дифференциальные сравнения (10) для компонент объекта кривизны Rijkl аффинной связности примут тензорный вид

ДЦи = 0.

25

Утверждение. Аффинная связность (1-го порядка) задается в расслоении линейных кореперов Ln2(Mn) со структурными уравнениями (1), (2) с

помощью поля объекта Vjk, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным уравнениям (5). Объект Vjk определяет формы аффинной связности Qj (3), удовлетворяющие структурным уравнениям (61), в которые входит объект кривизны Rjkl. Компоненты объекта Rjkl выражаются по формулам (62) и удовлетворяют [3, с. 52] дифференциальным сравнениям (10).

Если гладкое многообразие Mn является неголономным многообразием

26 МЩ [3; 4], т. е. не выполняются сравнения ю^ = 0, И] = 0, то объект кривизны аффинной связности Rjkl образует квазитензор лишь в совокупности с объектом связности Vjk.

В случае полуголономного [4] гладкого многообразия МП, когда ю^ = 0, raj[k,] = 0, объект кривизны Rjkl - тензор.

Формы аффинной связности 2-го порядка [2] состоят из форм (3) и следующих форм:

Qjk =®)k +L>'. (11)

Дифференцируя их внешним образом с учетом (1), (2), (7), получим

DQ'jk = Qk AQj, + Qj aü; +Qjk Afi; --ю; a(dL)kl + ЦИю] - Lkp) - L]tpk - L)ktю( - T^k + (12)

+ !>;■) -<j +LjkmT>m -Lkj -L'ltmr^m).

Компонентах объекта аффинной связности 2-го порядка L'jU удовлетворяют дифференциальным уравнениям

Ц* - г>jk + - ю;и = цЫтЮт, (13)

где тензорный дифференциальный оператор Д действует следующим образом:

Aj = dL)k; + j®( - Lffl®( - L)('®ы - L'jk(®(.

Тогда уравнения (12) можно переписать в виде

DQjk = Qk AQj; +Qj aQ's +Qjk AQ' -

-ю' A (Цкыют + Ц^гю - Ц^гю - jrkfi^).

Вынося общие базисные формы ют за скобку, получим DQjk = Qk AQj; +Qj AQ'k +Qjk aQ' --(L'jk'm + ЦтГ'и - L'(kmr(fl - LjmPk, )ю' Afflm .

Альтернируя последнее слагаемое по индексам ' и т, введем обозначение

= ок лО', +о' ла;, +о'к ло; + к\, ю' лют,

;к к ;т ¿к ; ]К;т (1

Я' =-(Г' +1( Г' -1' Г( -1' Г( )

¡к'т ^^['тГ ]Чгт]! Н(['А т]; и]([^т]к>'

Найдем дифференциальные сравнения для пфаффовых производных И ;к1т объекта 1 ,,. Для этого продолжим уравнения (13) с помощью структурных уравнений (1), (2), (7). Получим

^¡Ит Л®т -1)к1тЮт ЛЮ'( + 1и(Ют ЛЮт +Дк,тЮт Лю(

+1)йтЮт ЛЮк + 1)кШЮт Лю( + Г(ИЮ(;)т ^ - 1к;тЮ^) Л' -ГйЮ)кт ЛЮ" + 1ЧтЮ)к ЛЮ" +Ют ЛЮ'к;т = 0

где симметрирование в скобках производится по индексам к и Вынося общие базисные формы ют и собирая первые шесть слагаемы под дифференциальный оператор АЬ';к;т, имеем

(А1Рт +Г(>Ю> - 1к'тЮЮ) -Г;,ЮЮкт + 1тЮк - Ют УЛ ^ = 0

Разрешая эти уравнения по лемме Картана и альтернируя по индексам ' и т, получим сравнения по модулю базисных форм ют :

Щщт] + Г(к[,Ю;)т] - Цк['т]Ю(-) - Г([,ю(кт] + ~~ ®¡Ч'т] = 0(тОС1 ю" ). (15)

Найдем результат действия дифференциального оператора на компоненты объекта кривизны ЩШт аффинной связности 2-го порядка.

Для этого запишем дифференциальные сравнения для свернутых произведений, входящих в формулу (142), и проальтернируем их по индексам ' и т:

Д1( Г' „]( = Г Г' Ю 1 [т( б']

Д1';([; Г 1]к = Г Г( ю' 1 )(1 [тк^Б']

Д1'к(1;Г( »]; = Г Г( ю' 1 к( [ т^Б']

¡Л [ткшА] 1 х [тк"*Щ ' [ткш]й] ' ^](['шт]к' (ГНЮк;] + ГКбГ(м;ЮЯ] +Г(т,Юкй] + 1'к(['Ю'т]; ■

Применяя дифференциальный оператор Д к обеим частям равенства (142), а также учитывая (15) и (16) с последовательным раскрытием альтернирования, симметрирования и приведением подобных слагаемых, получим

ДЯ)кгт = -Щт'Ю'к - Ц«'Ю'т]( + Ю^;т]. (17)

В случае полуголономного гладкого многообразия (ю'к[1т] = 0) дифференциальные сравнения (17) для компонент объекта кривизны ЩШт аффинной связности примут вид

; =-ят ю(к - 1к[;ют](. (18)

27

28

Теорема. Аффинная связность 2-го порядка задается в расслоении коре-перов 2-го порядка со структурными уравнениями (1), (2), (7) с помощью поля объекта L = (Гк, ), компоненты которого удовлетворяют дифференциальным уравнениям (5), (13). Объект L определяет формы аффинной связности 2-го порядка Ц, Цк (3), (11), удовлетворяющие структурным уравнениям (61, 141), в которые входят компоненты объекта кривизны R = (R'jkl, Rгjllm). Компоненты Rjklm выражаются по формулам (142) и удовлетворяют дифференциальным сравнениям (17).

Если гладкое многообразие Мп является неголономным многообразием

М^, т. е. не выполняются сравнения

Чт] = 0, Ю^т] = О,

то компоненты R'jllm образуют квазитензор лишь в совокупности с объектом связности L и тензором R'jll.

В случае полуголономного гладкого многообразия МП, когда

Ю[т] = 0 Юк[!т] = 0

дифференциальные сравнения (17) принимают вид (18). Для особого многообразия МБп, когда

ю'к = О,

компоненты Rгjllm самостоятельно образуют тензор.

Замечание. Дифференциальные сравнения (18) сохраняются в случае голономного гладкого многообразия М^ [3]. Об этом фактически упоминается в работе [2], где говорится о квазитензоре кривизны 2-го порядка, однако аналитическое обоснование отсутствует. В настоящей работе приведены соответствующие дифференциальные сравнения не только в случае голономного многообразия, но и для полуголономного и неголономного гладких многообразий.

Список литературы

1. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. Семинара / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 139-189.

2. Рыбников А. К. Об аффинных связностях второго порядка // Матем. заметки. 1981. Т. 29, вып. 2. С. 279-290.

3. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998.

4. Шевченко Ю. И. Голономные и полуголономные подмногообразия гладких многообразий // Диф. геом. многобр. фигур. Калининград, 2015. Вып. 46.

С. 168-177.

Об авторе

Никита Андреевич Рязанов — асп., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: ryazanov-92@mail.ru

About the author

Nikita Ryazanov — PhD student, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: ryazanov-92@mail.ru

УДК 519.6

Л. В. Зинин, А. А. Шарамет, А. Ю. Васильева

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КИСЛОРОДНОЙ ПЛАЗМЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНО ЗАРЯЖЕННЫМ МИКРОСПУТНИКОМ МЕТОДОМ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ

Приводятся результаты моделирования взаимодействия одноион-ной тепловой ионосферной плазмы, состоящей из ионов кислорода и электронов с заряженным микроспутником. Для моделирования использовался метод молекулярной динамики. Показано, что за спутником возникает так называемая ионная тень с низкой ионной концентрацией.

The results of modeling the interaction of a single-ion thermal ionospheric plasma consisting of oxygen ions and electrons with a charged microsatellite are presented. The molecular dynamics modeling method was used. It is shown that behind the satellite there is a so-called ionic shadow with a low ionic concentration.

Ключевые слова: математическое моделирование, тепловая плазма, метод молекулярной динамики, заряженный спутник.

Key words: mathematical modeling, thermal plasma, molecular dynamics method, charged satellite

Хорошо известно, что на измерения макропараметров тепловой ионо-сферно-магнитосферной плазмы значительное влияние оказывает заряд космического аппарата. Этот факт существенно осложняет интерпретацию измерений, которая и так достаточно сложная экспериментальная задача. Исследованию этой проблемы посвящено достаточно большое число работ, отметим классическую — [1]. В последние годы делались различные попытки снижения потенциала спутника во время космического полета (см.: [2; 3]).

Вместе с тем имеющиеся в настоящее время активные способы снижения положительного потенциала спутника, например с помощью инжекции ионного пучка [2], отрицательно сказываются на измерениях другими приборами. Для анализа измерений были разработаны неко-

29

© Зинин Л. В., Шарамет А. А., Васильева А. Ю., 2017

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 2. С. 29-34.