Об уточнении оценки веса произвольной пороговой функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБ УТОЧНЕНИИ ОЦЕНКИ ВЕСА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПОРОГОВОЙ ФУНКЦИИ

В.Б. НЕТЫКШО, доц. каф. высшей математикиМГУЛ, канд. техн. наук

Оценка веса произвольной пороговой функции сводится к оценке вероятности единичного значения функции. В статье [3] были разработаны принципиально новые методы оценки вероятностей выходных значений пороговых функций, их подфункций, а также апостериорных вероятностей значений входных переменных по известным выходным значениям пороговых функций. Причем первоначально рассматривались вероятности переоценок значений переменных для пороговых функций с определенными ограничениями на весовые коэффициенты, при которых задача переоценки вероятностей решалась с помощью одной из центральных предельных теорем теории вероятностей. Хотя скорость сходимости к предельному распределению невысока и оценивается как

1 ^

О

где п - количество входных переменных, п ^<х>, приемлемая точность вычислений достигается уже при небольших п. В дальнейшем апостериорные вероятности удалось оценить с использованием геометрического подхода. Необходимо отметить, что никакие ограничения на пороговые функции при этом не накладываются. Формула оценки вероятности единичного значения пороговой функции на основе геометрического подхода была приведена без доказательства. В настоящей статье этот недостаток будет устранен.

В [3] новый метод был распространен и на булевы функции с ограниченной пороговой структурой. Оценка соответствующей вероятности также была дана без указания точности. Суммарная погрешность в худшем случае складывается из погрешностей для каждого события в отдельности. Поэтому достаточно привести доказательство точности оценки единичной вероятности для пороговой функции.

Напомним, в чем состоит сущность геометрического метода оценки вероятностей единичного (нулевого) значения произвольной пороговой функции.

Пусть пороговая функция задана следующим образом

/ f (х) = 1

а.х. > с .

а, >...>а

I И I п I

Опишем около п-мерного единичного куба Уп, на котором задана функция £ сферу 8п с центром в точке с координатами

Г1/ 1/ ^

'2'"

и радиусом

Я =

= >[п/

Очевидно, что все вершины куба Уп лежат на построенной сфере. Введем в п-мерном пространстве евклидову метрику

11а -Ь11 = -Ь)2, Определим множества

Ь е Яп

А =

х е S

I х х. х х.

для всех у = 1,2п, у Ф 7

где х, х. - точки с координатами из множества

'(0, 1}, 1,. = 1Г и множества

А=

х е S

х - х. < х - х.

для всех у = 1,2", у Ф 7 Введенные множества удовлетворяют следующим соотношениям:

2п _

и А = 5 , А п А = о и \А.\ = \А.\

1 =1

для всех 1 Фу;

2п

у\А] = 5 I, |А.| = 5 12-п

¿ш^ |ч I п I I ' I I п I

1=1

для любого 1.

Здесь |5п| - площадь поверхности сферы 5п, |А.| - площадь А.;

Площадь поверхности п-мерной сферы с радиусом

I = у[п/

равна

Я=

\5 I = k п } R"-1 = k п[/2 ] пУг 21-п.

пп

где кп - константа, зависящая от п.

Рассмотрим геометрическую модель пороговой функции. Псевдобулевое равенство задает п-мерную гиперплоскость Ь, которая разбивает п-мерный единичный куб на две части: по одну сторону от плоскости все вершины куба единич-

п

а

1=1

ные, по другую - нулевые. Если удастся вычислить площадь части сферы, расположенной по одну сторону от секущей сферу гиперплоскости, то тем самым будет с некоторой точностью оценена одна из вероятностей р{/ = 1} или р{/ = 0}.

Уравнения построенной сферы и секущей ее плоскости Ь имеют вид соответственно

V Г 112 п V

>1 г — I = — и> ах. = с .

£ I ' 2) 4 1=1 "

Произведем несколько преобразований координат [1].

1 шаг. Осуществим параллельный перенос системы координат так, что центром новой системы является точка с координатами

Г1/ V1 /2

в старой системе. Тогда в новых координатах уравнения сферы и плоскости Ь примут вид

п

Z2 " x = — и

,=, ' 4

1

Еа. I х. + — I = с ^ Е ах. = с - Е —11 = с .

1=1 V 2 / 1=1 I=1 2

Пусть без ограничения общности с' > 0. 2 шаг. Повернем систему координат в плоскости Х1ОХ2 на угол а2, косинус которого равен

а

yR

2 . 2 а, + а2

а синус равен

■vfi

22 + а2

В новой системе уравнения Sn и Ь будут выглядеть следующим образом

п

2 2 а + а2

Z2 » "1 "Т" Ч2 ,

x = — и , г x + 7 ax. = c .

' Л /1 1 1 i i

1=1 4 + а22 I=з

1-й шаг. Повернем систему в плоскости Х1ОХ. на угол а , косинус которого равен

i-1 /

7 а,' N 7 а;

s=1 / V ,=1

а синус равен

Уравнения преобразуются

п п ' п

Е Х =~ и \ Е а2 Х1 + Е а;X = с' .

1=1 4 V ^=1 ^=1+1

После п-го шага получим следующие уравнения сферы и плоскости соответственно

Е2 п 2 I

х = — и . > ах = с.

1=1 ' 4 ' 1

Пересечением п-мерных сферы и гиперплоскости является (п - 1)-мерная сфера Sn_1(R'), уравнение которой в последней системе координат имеет вид

Е x2 = (о2

где

R' =

±1

п

77 а2

- радиус сферы Sn_1(R').

Ее площадь поверхности в (n _ 1)-мерном пространстве обозначим через I Sn-1(R') |.

Любая единичная вершина куба V является корнем уравнения n-мерной плоскости Lt

n

7 at xt = t > c (1)

i=1

при некотором t > c. Оценкой вероятности p{f= 1} служит величина, равная площади поверхностей семейства (n _ 1)-мерных сфер, являющихся пересечением n-мерных сферы и плоскости L, заданной уравнением (1), для всех t > c, деленной на площадь поверхности n-мерной сферы, то есть

Р = Р {f = 1}« b b j (R cos ф)| Rdф j cosn-2 фdф

S (R)

где

а = arcsin

Г 1 n ]

c —7 a

2 t=1

R

2

j cosn 2 фdф

b =n, R = 22

Е а

1=1 ;

Рассмотрим интегралы I и I для нечетного числа п = 2т + 1 (для четного числа п будем решать эту задачу для подфункций исходной функции)

т f 2m+1 J

i1 = 1 cos фа ф =

j(1 -12)m at=£Г](-1)

t=o V t

V 1 -(а)

2i +1

i = j cos2m+' фаф = j (1 -12 )m at = 27I m ( 1V

t=0 V i У

2i +1

i =2

i =1

а

2

а

а

b

а

а

а

b

где

а =

1 п

с —V а.

2 1=1

Я

ь=п,Я=^

I а2

2

2

Теорема

Для вероятности р{/ = 1} верна следующая оценка

Р {Г = 1}-^

(а'-а") sup

фе[а",а']

п-2

cos ф

где

а = arcsm

| cosп 2 ф dф

Г 1 п Л

с -~1 а

21=1

(2)

^ I а;

V •=1 у

а = arcsm

Г 1 п Л

с - а1 --Е а

21=1

ЯI'

для всех п > 1.

Доказательство

Рассмотрим множество

R = <! х

ах. > с >.

Без ограничения общности считаем, что а1 > 0, с > 0.

Лемма

Если некоторая вершина Ь = (Ь1,..., Ьп) куба У принадлежит множеству Я, то любая соседняя для нее вершина Ь' = (Ь1,.,Ь. © 1,.,Ьп) принадлежит множеству

R х

I а х >с - а1 [.

Имеем Ь. © 1 = 1 - Ь.. Доказательство леммы следует из цепочки равносильностей

а,Ь + ... + а. (Ь © 1) + ... + аЬ > с - а

11 7 V 7 / п п 1

^ а.Ь +... - аЬ. +... + аЬ > с - а - а. ^

1 1 7 7 п п 1 7

^ а.Ь +... + аЬ. + ... + а Ь > с - а. - а. + 2а. Ь .

1 1 7 7 п п 1 7 7 7

Но

аЬ +. +аЬ +. + а Ь > с

1 1 7 7 п п

тогда

а.Ь +... + аЬ. + ... + а Ь > с - а - а + 2а.Ь..

1 1 7 7 п п 1 7 7 7

так как

а + а > 2а > 2а Ь..

1 1 1 11

Справедливость оценки (2) покажем с помощью математической индукции по размерности пространства п.

Обозначим через |5с| площадь поверхности части сферы, расположенной по одну сторону от плоскости Ь, которая задается уравнением

п

Еа.х = с,

/ / '

1=1

и содержащей единичные и не содержащей нулевые вершины пороговой функции £

1. Пусть п = 2. Будем предполагать, что выполняется неравенство

51

И < р . 5,1

В противном случае перейдем к рассмотрению вероятности 1 - р = р {f = 0}= р = 1}. Легко показать, что существует единственная плоскость Ь такая, при которой Ьр||Ь и

5

15

= р ,

где Ь^ задается уравнением

2

Еа.х. = -,

1 1 '

1=1

а - площадь части окружности, удовлетворяющей неравенству

2

Еа.х. > - .

1 1

1=1

Тогда, сдвигая плоскость Ь на величину -а1 и используя лемму, получим

5 I

I с-а11 >

5

>р

При этом плоскость Ьр также задает функцию £ то есть

п

f (х) = 1« I а,х > - .

Итак, для п = 2 получили двойное нера-

венство

51 5 I

с ^ с-а1

-р^- < Р —р.

5*2

2. Предположим, что для любого т < п и любой пороговой функции верна формула

15,

Ь-Ь1 |

5Ь

т-Ч < Р < 5 5 Г

\ т\ \ т\

где Ь и Ь1 - ее порог и максимальный по модулю весовой коэффициент, соответственно. 3. Пусть т = п. Рассмотрим подфункции и £0 исходной функции £ в которой переменную с номером п зафиксируем единицей и нулем.

¡=1

Ь

2

1 =1

1=1

1=1

1=2

Эти подфункции - пороговые. Они задаются формулами

f1 (x,..., x , ) = 1 «7 a.x. > c - a и

J n \ 1 ' ' n-1 / ^J i i n

i=1

n-1

f0 (x,...,x , ) = 1 «7 a.x. > c .

J n \ 1 ' ' n-1 / ^J i i

i=1

Обозначим их единичные вероятности

через

P1 = Pifl = 1} и P» = P{fl = 1}. Для рассмотренных подфункций выполняется предположение индукции. То есть справедливы следующие двойные неравенства:

|s I к I |S i S I

<P, и pà- <p» . (3)

S J S . S J S .

n 1 n 1 n 1 n 1

Проведем над неравенствами (3) некоторые преобразования, получим цепочку равносильных двойных неравенств:

f

S

S

Л

1

< — 2

S j + |S n

I n-1| | n—1 | J

1

<

P = "( P1 + P» )<

S

S

с—a—a с—a

S J S

y I n—1 | | n—1| J

II/" Il +1 f II

К c,n к c,n « --u—u-11 <

2n

Kc—a ,n + •fc—a. ,n II nfc I L^c—a < p <--——u—< p <--—,

2n 2n 2n где f и f - пороговые функции со свойством

l|/c|| SI ||f~J| \S— J

2n S

и

S

/'1 /"» /"1 /"» i

, f , f и f - их подфункции при

c,n ' J c,n ' j c —0;,n J c—0;,n т •/ ' r

фиксации n-й переменной значениями 1 и 0. Следовательно,

|S I |Sc —„ |

M < p <-

S

S

Тогда для оценки вероятности верна формула погрешности

|S 1 < S c—a1 Si

p \\

S S S

n 1 n \ 1 n \

a

j | Sn—1 (R cos ф)| Rd ф

a i

cos

a —a

<

j cosn 2 ф dф j cosn 2 ф dф

где

a = arcsin

r 1 n N\

c—a

2 i=1

R

\S 1 1 tl 1

n—2 P cos ф al

ф d ф

c — a1 1 n n. ai 2 1=1

Ri n Z a" i=1

, а = а1гат

п

I а

"=1 )

Доказательство окончено.

Следствие При п ^ да точность оценки (2) асимптотически совпадает с погрешностью оценки, полученной с помощью ЦПТ Линдеберга-Леви для функций 1-го и 2-го типов [2, 3], и составляет величину порядка

° Йт).

Библиографический список

1. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1984.

2. Нетыкшо, В.Б. О некоторых вероятностных свойствах пороговых функций / В.Б. Нетыкшо // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. - 2002. - № 11. - С. 48-56.

3. Нетыкшо, В.Б. Об исследовании и применении вероятностных и геометрических свойств пороговых функций / В.Б. Нетыкшо // Вестн. Моск. гос. ун-та леса - Лесной вестник. - 2003. - № 1(26). - С. 102-112.

b

b

n

2