Об исследовании и применении вероятностных и геометрических свойств пороговых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

у<’> =

+ 1<|/|<г.

Мы исходили из произвольного решения у и, поскольку на всех изложенных этапах целевая функция не уменьшалась, то для решения у 1 ’ целевая сумма самая большая, то есть ~ . Остается

тить, что

5Х’=2'-' +

ІЄА

г-3

заме-

/єА

Ґ г

Утверждение 4 доказано.

Более простой вид по сравнению с точным значением имеет асимптотическое соотношение для С(г). При г—>ос по формуле Стирлинга имеем

C(r) = 2r -\1~' (1 + о(1))

Полученные результаты позволяют нам оценить сверху число D(r) упрощенных МНГ графов, которые могут быть представлены в виде объединения г своих максимальных клик.

Следствие. Для любого натурального г > 1 верно неравенство

D{r)<

ґС(г) + С(г)

(7)

в частности, при г—*оо

l0g2(D(r))<C(r)-(l + 0(l)).

В заключение отметим, что для любого натурального г > 1 существует упрощенный МНГ граф, представляемый в виде объединения г своих максимальных клик, и не представляемый в виде объединения меньшего, чем г, числа максимальных клик. Этот граф можно задать через значения «/, / С R, R - {l,...,r}: nR - г - 1; п/ = 0 при 2 < |/|< г - 1; пщ = 1 для всех ie 1, г.

Литература

1. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. -М.:Наука, 1990.

2. Харари Ф. Теория графов: Монография, -М.:Мир, 1973.-С. 86-87.

3. Bondy J.A. Variations on the Hamiltonian theme. Canad. Math. Bull. 14 (1972), № 1, 57-62.

4. Ролдугин П.В. Максимально негамильтоновые графы. В сб.: Третий Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Тезисы докладов. - М.: ТВП, 2002. - С. 238-239.

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ И ПРИМЕНЕНИИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПОРОГОВЫХ ФУНКЦИЙ

В.Б. НЕТЫКШО, сотрудник организации «ТВП», Москва

В статье рассматривается метод восстановления неизвестной пороговой функции, а также изучается геометрический подход к оценке апостериорных вероятностей значений входных переменных и весов произвольных пороговых и одного более общего класса булевых функций.

Возможность задания пороговых функций и порождаемых ими систем уравнений [4] с помощью линейных неравенств позволяет привлечь для анализа и решения

таких систем математический аппарат действительных линейных соотношений. Значительное число работ, посвященных данной проблематике, направлено на использование этого аппарата в строго детерминированных целях, например, для проверки совместности и поиска решений систем уравнений, разработки алгоритмов настройки нейросетей [3], описываемых с помощью линейных неравенств и т. д. Вместе с тем, аддитивный характер вхождения перемен-

ных в линейную форму, задающую пороговое ограничение, дает возможность сравнительно легко и естественно установить зависимость между вероятностями появления знаков на входе и на выходе пороговой функции. Такой подход позволяет переоценить вероятности значений переменных, поступающих на вход пороговой функции на наблюдаемых выходных значениях. Эта идея может быть положена в основу построения методов решения различных прикладных задач, в том числе и традиционных, относящихся к алгоритмически сложным.

В данной статье рассмотрены задачи двух важнейших классов. Первая - задача распознавания, ориентированная на определение параметров пороговой функции с помощью вероятностно-статистического пере-оценивания. Вторая имеет целью выделение статистическими методами наиболее вероятных решений системы линейных неравенств.

Методика решения этих двух задач имеет общее логическое ядро и базируется на возможности с помощью линейных пороговых соотношений установить связь между вероятностями появления знаков на входе и на выходе пороговой функции.

При анализе систем линейных неравенств с помощью вероятностностатистических методов оказалось возможным получить дополнительную информацию о значениях переменных по одному неравенству или подсистеме неравенств. Эта задача решена для двух классов пороговых функций. В §1 приводятся основные определения, условия и утверждения без доказательства. В §2 решается задача восстановления неизвестной пороговой функции, а именно, по входной и выходной последовательностям строится пороговая функция, стремящаяся по вероятности к исходной. В §3 разработан принципиально иной метод оценки вероятностей на основе геометрического подхода, в результате чего появляется возможность переноса меры из действительной области в булевую не только для любой пороговой функции, но и для произвольной

двоичной функции с ограниченным числом неравенств в ее псевдобулевом задании.

§1. Постановка задачи, результаты

Рассмотрим систему линейных псев-добулевых неравенств

{Ь(хи))5,с, (1)

где Ь(хи))=^а.х. - действительная линей-

1 = 1

ная форма; х1 - п двоичных переменных; 81 - знак «>» или «<»; с - константа. В §1 и

§2 будут изучаться линейные формы с некоторыми ограничениями.

Определение. Двоичная функция от п переменных /:{0,1}'—> {ОД}, со свойством

/(х)=1 <*=> <гх > с называется пороговой

М

функцией.

а +... + а -Пусть п —»°°, с- ——------------; без ог-

раничения общности считаем, что |а,) > |а21 >... > |а, |; последовательность двоичных переменных удовлетворяет некоторому линейному рекуррентному закону над полем ОБ [21: х =а х ,®...®а х ;

-* т т-1 т-1 ш-11 т-п 7

т = п + \,Т, то есть является линейной рекуррентной последовательностью (ЛРП). Такие системы являются системами рекуррентного типа [6].

Будем предполагать, что двоичные переменные л:|(0),...,л:‘0) являются независимыми равномерно распределенными на множестве {ОД} случайными величинами. Для упрощения модели переменные функции / во всех неравенствах системы также рассматриваем как независимые равномерно распределенные на множестве {0,1} случайные величины. Семейство вероятностных мер на выходе функции определяется стандартным образом. При таких условиях система (1) превращается в случайную систему.

Поставим задачу получения дополнительной информации о первых п переменных х(0),...,х(0).

1 7 7 /I

Очевидно, что разности между номерами переменных, входящих в произвольное фиксированное неравенство, влияют на подсчет апостериорных вероятностей. Пусть

А =

L-,l

, s = l,N - набор таких разно-

стей между любыми двумя переменными, а запись К/. [Г',...,(Г — 1)*"-'], 5 = 1,УУ , означает, что в Аз содержится к] чисел, равных ],

7 = 1,Т — 1, 0 < к. < п -1.

Определение. Число к1 назовем

кратностью расстояния у, число к-та.хк.

назовем максимальной кратностью.

Определение. Будем говорить о появлении в системе биграммы (1*1) =

(1,е,1), где е,.....ем,1е{од}с расстоянием

/, если ей принадлежат два неравенства: а,х, +... + а х +... + а х >с и

|| II п п

а1у1 +... + аЧ(х. +... + а11уи > с с общей переменной х с коэффициентами а. и аы соответственно. Аналогично определяются другие биграммы, а также мультиграммы большей длины - индуктивно.

Введем в рассмотрение два класса пороговых функций.

Определение. Пороговую функцию / назовем пороговой функцией 1-го типа,

если для нее найдется коэффициент а., такой, что а. есть величина, не меньшая по порядку,

чем

5Х , И при этом ам = °| J Ja2

пороговую функцию / назовем пороговой функцией 2-го типа, если все пороговые коэффициенты удовлетворяют условию: а=о(В") при п—>°о. Условия, которым

удовлетворяют функции 1-го и 2-го типов, назовем условиями (*) и(**) соответственно. Определение. Вероятность

{х0, - є

= р

V'> =

(і,....,о

_ р({*0) =£]П{/; =»,

-л|)

называется вероятностью переоценки входного значения х0) по V-грамме (г,,...,/ ) (по подсистеме из V неравенств с номерами гД или апостериорной вероятностью

хи].

Утверждение 1. Для пороговой функции 1-го типа выполняются неравенства при п —> оо ;

'X. -I/

Р1 /т=і

гх, =0,

и р

f(x)= О

N 1

> А0 > —, если а > 0;

И Р{Х' '/f(x)=l)-A°>\’GCJlii а><°’ где Ав - const.

Утверждение 2. Если / - пороговая функция 2-го типа, то верны формулы:

"="|"=Х(1)=1

■'’(* %<?)=О1'®

а

2 В1'

1+0

)>

причем р = ф ЛҐ

2 В'

1 + 0

1 +

+ о

ґ

а

, 2fli

і—n^=+0

\a \yj2m

r ^

a,

j -Jn

где =

ll

і2л •

Утверждение 3. Для пороговой функции 2-го типа при к -1 с вероятностью, не меньшей числа /3, О<0<- в систе-ме (1) найдется подсистема, вероятность пе-

реоценки по которой не меньше фиксиро-1

ванной величины а, — < а < 1.

2

Пример. Рассматривается система, состоящая из п линейных псевдобулевых неравенств с известной одинаковой линейной формой от 10 переменных в каждом. Определить вероятности переоценок значений переменных по одному произвольному

§2. О восстановлении пороговой функции

Одной из важнейших прикладных задач математики является восстановление неизвестной булевой функции. Существуют различные формы задания булевой функции с помощью некоторого набора коэффициентов. Это могут быть, например, коэффициенты многочлена Жегалкина, ДНФ, значения функции на всех двоичных векторах при ее табличном задании, весовые - при рассмотрении псевдобулевого задания. Под восстановлением пороговой функции будем понимать нахождение весовых коэффициентов в соответствующем ей действительном неравенстве.

Очевидно, что для того, чтобы полностью и точно восстановить произвольную булевую функцию, необходимо наличие по меньшей мере 2" знаков выходной последовательности и соответствующих им входных векторов. Тем не менее, в некоторых случаях, задачу можно решить при наличии меньшего количества входов и выходов, пожертвовав при этом точностью восстановления. Так, справедливо следующее общее положение: поскольку восстановить неизвестную пороговую функцию означает решить систему линейных неравенств, в которой переменными являются искомые весовые коэффициенты, следовательно, с помощью любого из известных полиномиальных алгоритмов решения систем линейных неравенств функция

неравенству. (Иначе, по значению известной пороговой функции переоценить вероятности входов). Пороговая функция от 10 переменных имеет вид

= 1 <=> 6х1 + 5х: + 4,5*, +

+ 4х4 + Зх, + 2,5х6 + 2,4х7 + 2хй + 2х, + 1,9х|0 > 16,65.

Воспользовавшись утверждением 2, получим следующие оценки вероятностей:

будет найдена. Однако реализация таких алгоритмов на практике, при большом числе переменных, сама по себе является трудоемкой задачей. В этом параграфе, используя полученные ранее оценки апостериорных вероятностей, будет построен алгоритм, позволяющий на длине 0(п) выходных значений задать пороговую функцию, стремящуюся к исходной по вероятности. Этот факт, иными словами, означает, что системы действительных линейных неравенств вида

£а?}хг > с , аУ*£ {0Д}> х ,се Я,

5=1

г = 1, Г, 5 = 1, п,

X', 5 = 1 ,п, удовлетворяют условию (*) или (**), достаточно точно и быстро разрешимы.

В предыдущем параграфе были изложены результаты для вероятностей переоценок значений переменных, поступающих на входы пороговой функции, по подсистемам. Выведенные формулы позволяют сделать вывод, что имеется возможность построения оценки неизвестных весовых коэффициентов порогового соотношения с помощью соответствующих апостериорных вероятностей по известным входной и выходной последовательностям.

Пусть для функции / имеет место

/(х)=1« ^ад>с. (2)

*=1

'—— 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Оценка р|л'1 ^ 0,732 0,687 0,666 0,646 0,607 0,589 0,585 0,571 0,571 0,567

0,732 0,674 0,658 0,635 0,596 0,584 0,584 0,568 0,568 0,568

Если левую и правую части неравенства умножить на произвольное положительное действительное число, то равносильность останется справедливой, иными

II

словами, неравенство ^ках >кс разбива-

*»1

ет пространство п -мерных двоичных векторов на такие же непересекающиеся подмножества, что и неравенство (2), то есть для любого г > 0 выполняется условие

II

/(х) = 1 <?=>][) гах< > гс.

2B[i)

= ф-

/(*)=!

1 + 0

ку[п jj

ґ \ а

2 В{

\ "

\

=ф"(р.)

1 + 0

V,

4 В

0)

1 + 0

Введем в рассмотрение две новые пороговые функции /, и /6:

•' 1 ' ' о д(/) 1 ^ я р(4

Пусть с = 2Ігт-, а,, 1 = 1, и,

л=! L

вестные г

весовые

неиз-коэффициенты,

tf 2B)i] f а 4

25м

г? 4В

ґ

х, г у v

и

У

= 25 = , тогда исходная функция

где v

с \ а

/ может быть задана в виде

а _ с

25(‘

И V

/■ л а

4В

>-Ъ

i=I

, і = 1,п

а

У

4д<'>

- оценки,

полученные в результате применения алгоритма.

Утверждение 4. Пусть a - const. То-

Алгоритм решения задачи следую- гда выполняются следующие соотношения:

щий:

- по входной и выходной последовательностям оцениваются вероятности

х = I,

7(*)=i

, і = 1, п, (а также вероят-

ности

V

/(*) = !

. Р

х = L

7(*) = о

' /у(зс) = о р - обозначим их чеРез ?! >

р2, р} и р4 соответственно;

- для апостериорной вероятности справедливо

х=ь 1 = <Я

Л“»/ при л, £ СО

(Все сходимости означают сходимости по вероятности).

Доказательство. Рассмотрим псев-добулевое ограничение

V а> .. чУ а, ^ V а> В„ .. -.У1 а, Д. . .

' 2^45<-> д(') ' в(<)

= 1 II 1 II II 1 = 1 II

f{x)= 1

У а, № х

' if A B„^fra

<=>

2 В(‘

(1 + 0(1))

<=>

ai

*2В

при п —> , отсюда вычисляются значения

аргументов функции стандартного нормального распределения и их оценок:

z' ^ ( 2 л \

і 1 н—^ + о а: > У -£l_ 1 + -V + 0 а,

в- "45 в-

\ ' К " ; ) К V " /

при п —»°°.

Тогда для равновероятной функции / справедлива следующая оценка при е >0:

р{{/ = 1}&(/,=0}}=

= р\У—*,>— & Т-^х + У-^х.+ у0|5.

>4г^2В 9.Д I 1^?Д 1 ^ 16R’ ' ^-Н RJ

з А

, /2В

(-1 п

с v я а'

<------+> ------------V О > —

4д t-і в3

о:

<32В>

i5J

2В„

У -%-х, > — 1 & ] У -^-х, + V

' 9Я I I "2В "

2 В,

г /ЗКГ(1+в)

З2|а„|3л/^

Для неравновероятной функции верно при е > 0:

16В.

4 В,,

32 В]

(1 + £?(!))—> О при п —» оо .

-Ф(о)

верно р{{/= !}&{/, =0}}<

( (

Ф

С | ЗЩ (1 + е) у| а. 2В„ З2\а\3 ч/п н 4Д

А / -Ф

У

с

ж

-Х5-М»

/4В

==1 л

/ « 3|а,| (1 + £) 31(2,1 (1+е)

01))< г <_1А±> _»

32|а |’л/2яп 32|а„|3-\/2яп

при П —> '

Аналогично показывается стремление

бытий {{х = 1}& {/ = 1}} и {{/ = 1}} и обозна-

к нулю вероятности р{{/ = 0}&{/, = 1}} при чим их через _ , г - 1,п, и , где V. коли-

п —> оо. Следовательно, /, —> / при и —> .

Замечание. Покажем, насколько мо-

Г Г

чество единиц во входной, а ^ - количество единиц в выходной последовательностях; Г

гут измениться пороговые коэффициенты и длина выходной последовательности. Учи-порог некоторой пороговой функции, чтобы тывая распределение входных переменных,

новая функция стремилась по вероятности к можно показать, что для величин — и —

ГГ

выполняется универсальный закон больших чисел, то есть

исходной.

Пусть /=!«=> ^а,х > с,, определим

и

новую функцию § = 1 О

ы

Рассмотрим вероятность

р{{/= !}&{§ =0}}<

V

г"-> р{{х, = 1}& {/■ = 1}} И р{/ = 1} при Г —> .

Тогда для равновероятной функции / 2-го типа

( г

Ф

^а,х, > с, & ■ ^ах, < с, + ]Г|<5,.

В

-Ф

1 г.

\\

V,. [х=1

-—>/г '

в.

(1+0(1))

F ‘I // = 1 при П, Г —» оо ,

2 В

0)

1 + 0

\^))

(

\\

2Я(,)

1 + 0

\ \ при И —» <*> .

Отсюда следует, что достаточным ус- в силу непрерывности Ф, то есть ловием сходимости функции g к функции / по вероятности является сходимость к

г_1_

/м

^ л

а.

~1о

2В"

не сходится к

а

2 В

0)

= 0.

нулю выражения

Вернемся к доказательству теоремы.

Для оценки вероятностей р\^Х< ~ 11

подсчитаем по входной и выходной последовательностям относительные частоты со-

Рассмотрим функцию :

\

а

лМ=к*Х

и

где с = ^

25<0

X > С ,

Отсюда легко показать, что —» /

— Р

при п, I, —> оо, а следовательно, и /, —»/ при и, Ь —> оо .

Пусть теперь функция / - 1-го типа. В этом случае по входной и выходной последовательностям будем оценивать вероятности

(х=1,х X = £./ 1

р\ //• = 1/ и

р\х'=[’х'=е'’-’х‘=У/=1{.

они равны соответственно

^ ' Л

Ф

Ф

4=2

25°.0

+ ХИГЧ

(

1 + 0

)

у yfft J J

2 В

о......../)

1 + 0

Применим Ф"1 и сложим, получим оценку величины ,■)'• Проделаем то же

самое для переменных х , 5 = 2, г. Для оценок а

величин 0 рассмотрим вероятности

2 5(|

л

х, = е,,...,х, =е,,х =1>

7 = 1

и

„X, = £,..., X. = £ ,Х =1/

Р1 1 1 ' ‘ /у _Л,ИЛИ

X, = £,,..., X. ==£„*, =1

7 = о

и т. п.

I X, £,,..., X, — £. ,Xt — О/ I

р\ л=ч

Определим функцию /,:

/.=!<=»

^ V* V а> -> V1 а. V1

^ Д* 2Я(| ‘)А:’ + ^ 7_й(| “ -"4Вя(| 0 +

s = г +1, и,

5

->0

(см. замечание), а следовательно, /, —> /

При И —> оо .

Для функции

4В

о..о

2В

а.

4В

О......>■<)

Здесь 8 -

+ о

1 2(в'!......Ы)У 2(В;............и))

выполняется, очевидно, условие fL -> fx при n,L->°°. Доказательство закончено. Пример. Рассматривается система, состоящая из 500 линейных псевдобулевых неравенств с одинаковой линейной формой от 20 переменных в каждом. Известны все входные переменные и знаки неравенств: «^» или «<». Определить неизвестные весовые коэффициенты. (Иначе, по пятистам входным векторам и выходным значениям восстановить неизвестную пороговую функцию). Входные последовательности сгенерированы с помощью съемов с линейной рекуррентной последовательности большого периода, выходная последовательность получена в результате применения равновероятной пороговой функции от 20 переменных:

/(*...,*,0) = 1 <=> 6,4*, -5,5*2 +5*3 +4,8х„ -

- 4,5*5 + 4*s + 3,7*, - 3,4*s + 3,2*, + 2,9хш + +2,7*,, -2,5*,2 +2,3*|з +2Д*,4 —1,7*15 +

+1,3*16 +0,9хп +0,5xls -0,3х19 +0,1х20 >11. После оценки весовых коэффициентов построена равновероятная пороговая функция от 18 переменных:

/50С(*,,...,*п,*19)= 1 <=>0,44*, -0,36*,+0,35*з +

+ 0,2*4 -0,26*5 +0,14х6 + 0,16*7 -0,18*, + +0,22*, + 0,16*,0 +0,2*ц -0,15*,, +0,2*|з +0,2*,4 --0,77*,, +0,07х1б +0,03х17 -0,03хп > 0,69. Вероятность совпадения новой функции с исходной удовлетворяет равенству

№=/„}= 0,94.

§3. О геометрическом подходе к оценке одна из вероятностей р{/ = 1} или Н/ = 0}

вероятностей с некоторой точностью, которая также будет

Рассмотрим еще один метод оценки указана, вероятностей единичного (нулевого) значе- Уравнение сферы имеет вид

ния произвольной пороговой функции. 1Ї П „ г

Пусть 2-і хі~~^ ~ Т ’ а секущей ее плоскости ь

4

я 4 у

/•/(*)-1 ^ - с ■ (3) ^а.х. = с. Произведем несколько преобра-

Здесь никакие ограничения на а1 и п, зований координат.

г=1 ,п, не накладываются, за исключением 1-й шаг. Осуществим параллельный

п > 1. Опишем около п -мерного единичного перенос системы координат так, чтобы цен-куба V, на котором задана функция /, сферу тром новой системы являлась точка с коор-

в старой системе. Тогда

с центром в точке с координатами

ДИНёГГаМИ

V V 72"'" Уг

V і/ /2 ’"' ’ / 2

и радиусом г = ^п/, обозначим

в новых координатах уравнение сферы 5, ее через 5 . Очевидно, что все вершины ку- вид £ х, = п ' а плоскосш ь _

ба V лежат на сфере 5:1. Введем в и-мерном м ^

^ /» У 5. ^ II ^

II 7» Г7 Уа *+- = с <=> У\а х. = с-V'— = с\

пространстве метрику |а-&| =, 2/а' ~Ъ>> ’ м 1 ' 2 1 м м2

„ не ограничивая общности, полагаем с > 0.

а, Ь<= Я . Определим множества ~ ~ ^

г ___ 1 2-й шаг. Повернем систему коорди-

А 5. ||х-х||<||х-х.||, ./= 1,2", ]Фі\, нат в плоскости ХрХг на угол а2, косинус

где X- точки с координатами из множества которого равен В новой системе

{од}, і = 1, 2" , и множества Vа! + а2

А = {с є 5,я || л: - х.\\ < ||;с - *.||, ] = ЇТ, ]Фі\ Уравнения 5 и I будут выглядеть следую-

^ щим образом:

Выполняются следующие СООТНОШЄ- „ 2 2

ния: и А = 5„; АпА.=ф и |Д.| = |А.| при ~ 4 И ^а'+аі *' + « ~ ° '

. ^, . і _ _ і-й шаг. Повернем систему в плоско-

іФ /; > А ->5, 5- площадь поверхности

“Г сти на угол а., косинус которого ра-

сферы 5,; |А|-я(Л|'г = о(1) при вен /|Г7 / /|Г7 уравнения сферы „ря.

тіп||х - * II = 1. Площадь поверхности

II 1 ■'II л ^

п -мерной сферы с радиусом И равна МУТ вид 2,х, = > а уравнение плоскости -

2"“’я:і?'"1. Пороговая функция определяется, г-------

как известно, следующим образом: п- и £а*х1+'£/а1хг= с'.

мерный единичный куб пересечен п -мерной V 1-1 ’■'+|

гиперплоскостью, по одну сторону от кото- После п-го шага окончательно полу-

рой все вершины куба - единичные; по дру- чим следующие уравнения сферы и плоско-

гую - нулевые. Таким образом, если удастся сти соответственно:

вычислить площадь части сферы, располо- уі 2_^_и _ с'

женной по одну сторону от секущей ее ГИ- ы 1 4 ‘ '

перплоскости, то тем самым будет оценена

Пересечением п-мерных сферы и гиперплоскости является (п - 1)-мерная сфера М, уравнение которой в последней системе

(с'У п

координат имеет вид Ух2 + = — .

- £*• 4

Площадь поверхности М равна

р-2

ґ \—

» (с'У

л "

4

ІІЄ/

5 , =2-2я

(4)

Любая вершина куба V, удовлетворяющая неравенству (3), является корнем уравнения

£а,х=Г>с (5)

при некотором г. Следовательно, площадь поверхностей семейства (п - 1)-мерных сфер, являющихся пересечением сферы 5, и плоскостей (5) для всех г>с, деленная на площадь поверхности сферы £_, совпадает с определенной точностью с вероятностью р{/ = 1}. Найдем интеграл

/=}г-

П

----Г

4

(к,

где а =■

, 4п

’’ Т'

Рассмотрим интеграл для четного п = 2&, так как для нечетного п будем решать эту задачу для подфункций исходной функции:

1 = 2

:М 2і +1

Ч2/+І

№ У

Можно показать, что нормированная площадь совпадает с искомой вероятностью с точностью до площади поверхности М, то есть верна следующая оценка при п> 1:

ш

! 4 И

___________Й4

4п

Правая часть неравенства при и —> Ъ

эквивалентна величине

где & = ехр

-2

>1

2*.'

/(х)=1 о

Рассмотрим задачу оценки вероятности единичного значения р следующей функции:

п

1М)=^а<х‘ ~с':

/*) и

Без ограничения общности полагаем ]^Га2 = ^62 =1, секущие куб V плоскости

обозначим соответственно и и

Идея подсчета вероятности />{/(*)= 1} заключается в вычислении площади поверхности части сферы, заключенной между граничными плоскостями Ц и Ц. Площадь будем вычислять двумя способами, второй способ является универсальным - то есть он применим для вычисления площади части сферы, являющейся пересечением ограниченного числа гиперполупространств.

1 способ. Рассмотрим пучок плоскостей, проходящих через гиперпрямую, являющуюся пересечением плоскостей Ц и Д. Общее уравнение произвольной плоскости пучка имеет вид 1Ь1(х)-1с] +тЬ7(х)-тс2 = 0, |/| + |т|*0. (6)

Будем изучать плоскости Ь, в уравнении (6) которой / = т-1 - г; 0 < Г < 1. Если точка п-мерного пространства ха е Ь для некоторого / е [од] , то

х0 е А = {хе /?“|^(л:)>с1 и Ь2(х)<с2], или

хое й = {хе К“\Ь1(х)<с1 и Ь2(х)>с2}.

Обратно, если х0е А или х„ей, то ге [ОД]:

х0 е {х е Л" |?1, (х)+ (1 - (х) = гс, + (1 - ?)с2}.

Назовем эту равносильность условием (7). Пересечением плоскости Ь и сферы

5 является (и - 1)-мерная сфера пло-

щадь поверхности которой равна

2 "тГ.

гдег= к__к±М^.

' ^ |>-у ,у>

Эта формула выводится в точности так же, как и формула (4). Условию (7) удовлетворяют и вершины куба V. Подсчитав площадь участка сферы , расположенного «между» плоскостями Ц и Ь2, разделив ее на площадь сферы 5;|, оценим вероятность события АиВ с точностью до меры граничного слоя точек.

Для этой цели рассмотрим интеграл

Для нечетного п подынтегральное выражение является рациональной функцией. Для четного п задачу оценки вероятности можно решить, используя понижение размерности разложением, например, по первой переменной. Вероятность р(Аи£?) удовлетворяет неравенству при п> 1:

/

р(АиВ)—

ш

+т~2

"-Х

,(В)

где < = < = с2-

1=1 / = |

Далее, легко показать, что Р = \ ІР(Ц > с,)+ РІк > с2)- р(Аи В)).

2-й способ. Произведем преобразования системы координат, описанные выше, в результате получим следующие уравнения плоскостей и сферы:

п

Еа2х = х =г,

і ч п 7

(9)

4п

(10)

где

= *,

/*|

где — > ^ > с2 = с2 - ;

2* /=1 2*

Поскольку пересечение является ассоциативной операцией, найдем сначала пересечение Ь\ и 5„- это (п - 1)-мерная сфера с уравнением

(П)

где — > г > с, ■■ 2

л-1

(12)

затем - пересе-

чение п 5„) и 12, проделав предварительно новые преобразования координат, - это (п - 2)-мерная сфера с уравнением

/=1 4

с некоторыми ( и Тогда вероятность р удовлетворяет неравенству (8), где

I = 2-я} *} Л1~ - С,

I I “ £(ру

уП ЫП

ш

Аналогично можно получить оценки весов для произвольных булевых функций и их подфункций с ограниченной пороговой структурой [4, 5]. Исследователя в этом случае могут сдерживать лишь трудности вычислительного характера.

Необходимо заметить, что нахождение интегралов I в обоих случаях носит предварительный характер, формула (8) вер-

на для произвольного п, большего 1, отсутствуют какие-либо ограничения на весовые коэффициенты в формулах плоскостей I, и Ц. Предложенные методы значительно расширяют класс булевых функций, для которых можно получать дополнительную информацию о входных переменных по выходным значениям.

Заключение

Таким образом, в статье рассматриваются задачи выделения наиболее вероятного решения системы линейных неравенств и определения параметров пороговой функции. При решении задач в асимптотике, то есть при большом числе входных переменных, выведены простые формулы, по которым нетрудно производить вычисления на практике. Учитывая полученные результаты, необходимо сделать вывод о том, что веро-ятностно-статистический подход к анализу систем линейных псевдобулевых (псевдо-/:-значных) неравенств имеет право на жизнь и

может найти применение при решении различных прикладных задач.

Литература

1. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. 3-е изд., перераб. - М.: Наука, Гл. ред. физмат. лит., 1987.

2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения / Пер. с пересмотренного третьего английского издания Ю.В. Прохорова; Пред. А.Н. Колмогорова. - М.: Мир, 1984.

3. Гаврилкевич М. Введение в нейроматематику / Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: ТВП, 1994.

4. Балакин Г.В., Никонов В.Г. Методы сведения булевых уравнений к системам пороговых соот-ношений/Обозрение прикладной и промышленной математики. Сер.: «Дискретная математика» Т. 1,Вып. З.-М., 1994. -С. 389-401.

5. Никонов В.Г. Пороговые представления булевых функций / Обозрение прикладной и промышленной математики. Сер. «Дискретная математика». Т. 1, Вып. З.-М., 1994. - С. 402-457.

6. Смирнов В.Г. Системы булевых уравнений рекуррентного типа / Обозрение прикладной и промышленной математики. Сер. «Дискретная математика». Т. 2, Вып. 3. - М., 1995. - С. 477-482.

О РАЗВИТИИ СИСТЕМ ОБРАБОТКИ НЕЧЕТКОЙ ИНФОРМАЦИИ НА БАЗЕ ПОЛНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СЕМАНТИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

О.М. ПОЛЕЩУК, доцент МГУЛа, к. ф.-м. н.

Успешное функционирование любой системы гуманистических областей - областей деятельности человека - главным образом зависит от того, как этой системой управляют. Своевременные и адекватные управляющие решения принимаются на основе информации о внутренней структуре этой системы, внешней среде ее функционирования, связи этой системы с другими системами и т. д. Разноплановая информация, определяющая состояние управляемой системы, определяется как количественными, так и качественными показателями, некоторые из которых в силу своей трудноформа-лизуемости могут быть представлены только в вербальном - описательном - варианте. Различный характер поступающей инфор-

мации определяет тип заложенной в этой информации неопределенности и соответственно требует дифференцированных подходов к методам ее обработки. Методы обработки информации направлены на получение адекватной реальности выводов с целью принятия на их основе эффективных и своевременных управленческих решений. В обычном разговорном языке понятия случайности и неопределенности имеют тенденцию смешиваться в одно понятие, но в языке науки достаточно давно произошло разграничение этих понятий [1]. В связи с этим при рассмотрении такого философского понятия, как неопределенность, предлагается пользоваться следующей классификацией [2]: