Решение некоторых задач условной оптимизации линейных функций на перестановочном многограннике Текст научной статьи по специальности «Математика»

Использование алгоритма адаптации параметров целевой функции приводит к улучшению качества управления, что видно из сравнения графиков на рис. 5, 6 и рис. 7, 8.

По виду графиков на рис. 5-8 можно сделать вывод, что предлагаемый регулятор позволяет достичь требуемого качества управления, задаваемого критерием (6), для многомерного стохастического объекта с запаздыванием по каналам управления. Литература. 1. Borrison U. Self-tutning regulators for a class of multivariable systems//Automatica. 1979. №15. P. 209215. 2.Изерман P. Цифровые системы управления. M.: Мир, 1984. 541 с. 3. Cheung L.S. A new automated optimal tuning strategy for a PID controller // ISA Trans. 1988. 27. P. 69-75. 4. Cameron F, SeborgD.E. A self-tuning controller with a PID structure // Int. J. Contr. 1983. 38. P. 401-417. 5. Kim J.-H, Choi K.-K. Self-tuning discrete PID controller / / IEEE Trans. Ind. Electron. 1987. 34. P. 268-300. 6. Бодянский E.B., Котляревский C.B., Ачкасов A.E., Вороновский Г.К. Адаптивные регуляторы пониженного порядка. Харьков: ХЕАГХ, 1996. 144 с. 7. Peltomaa A., Koivo H.N. Tuning of multivariable discrete time PI controller for unknown systems // Int. J Contr. 1992. 57. P. 1387-1403. 8. Jones A.H., Porter B. Design of adaptive self-point tracking PID controllers incorporating recursive step-response matrix identifiers for multivariable plants // IEEE Trans. Autom. Contr. 1987. 32. P. 459-463. 9. Yusof R, Omatu S. A multivariable self-tuning PID controller // Int. J. Contr. 1992. 57. P. 1387-1403. 10. Yusof R., Omatu S, Khalid M. Self-tuning PID control: a multivariable derivation and application // Automatica. 1994. 30. P. 1975-1981. 11. BayomiM.M., Wong

K.J., El-Bagouri M.A. A self-tuning regulator for multivariable systems // Automatica. 1981. 17. P. 575-592. 12. Caines P.E., Lafortune S. Adaptive control with recursive identification for stochastic linear systems. Multivariable case // Proc. 21-

st IEEE Conf. Decis. and Contr. Orlando, Fla., Dec. 8-10, 1982, vol.3. N.Y.: 1982. P. 978-983. 13. CainesP.E., Lafortune S. Adaptive control with recursive identification for stochastic linear systems // IEEE Trans. Autom. Contr. 1984. 29. P. 312-321. 14. Льюнг Л. Идентификация систем. M.: Наука, 1991. 432 с. 15. Алберт A. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1977. 224с. 16. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. 384 с. 17. Toivonen H. T. Variance constrained self tuning control // Automatica. 1980. 19. P. 415-418. 18. Toivonen H.T. A selftuning regulator with on-line cost function adaptation // Int.

J. Syst. Sci. 1984. 27. P. 1189-1195. 19. Xi Y. New design method for discrete-time multi-variable predictive controller // Int. J. Contr. 1989. 49. P. 45-56. 20. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления. М.: Машиностроение, 1986. 448 с.

Рецензент: д-р техн. наук, проф. О.Г. Руденко

Бодянский Евгений Владимирович, д-р техн. наук, профессор, профессор кафедры технической кибернетики ХТУРЭ. Научные интересы: адаптивные системы, искусственные нейронные сети. Увлечения: фелинология, японская поэзия. Адрес: 310166, Харьков, пр. Ленина, 14. Тел.: 40-98-90.

E-mail: [email protected]

Колодяжный Виталий Владимирович, младший научный сотрудник ПНИЛ АСУ ХТУРЭ. Научные интересы: адаптивные системы управления. Увлечения: программирование для Win32, компьютерная графика, английский язык. Адрес: 310166, Харьков, пр. Ленина, 14. Тел.: 40-98-90

Котляревский Сергей Владимирович, канд. техн. наук, доцент кафедры технической кибернетики ХТУРЭ. Научные интересы: адаптивные системы управления. Увлечения: рыбная ловля, футбол. Адрес: 310166, Харьков, пр. Ленина, 14. Тел.: 40-93-37

УДК 519.85

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ НА ПЕРЕСТАНОВОЧНОМ МНОГОГРАННИКЕ

ГРЕБЕННИК И.В.___________________________

Рассматривается оптимизационная задача с линейной целевой функцией и линейными ограничениями-неравенствами на множестве перестановок. Находится точное решение задачи с одним ограничением на переменные. Приводятся результаты вычислительных экспериментов.

Рассмотрим задачу оптимизации следующего вида:

П

L(x) = ^а ^ mm, (1)

1=1

Cx < d , (2)

х Є Enk ^ Rl\ C = [Cij]mxn,d Є Rl\ (3)

где Enk — множество перестановок из n элементов a1, a2,...,an, a1 є R, 1 = 1,..., n , таких что

ai < a2 < ... < an. При этом k элементов из n предполагаются различными.

Известно, что элементы множества Enk и только они являются вершинами перестановочного многогранника П nk = convEnk , структура и свойства которого подробно исследованы [1].

Подходы к решению задачи (1) - (3), предпринимавшиеся ранее, в основном связаны с реализацией различных схем ветвления и содержат перебор значительного количества вариантов. Ориентируясь на сокращение перебора и на повышение эффективности подходов к решению задачи (1) - (3), рассмотрим решение некоторых ее частных случаев.

Задача 1. Пусть задача оптимизации (1) - (3) содержит единственное ограничение — неравенство вида

п

l(x) = Z cixi - d (4)

i=1

где (c1,c2,...,cn) Є Rn, d є R .

Найдем минимум функции цели (1) с ограничениями (3), (4).

Как известно [2], безусловный минимум линейной функции L(x) на множестве Enk достигается в точке x = (x1, x2,...,xn) є Enk , такой что xlj = aj. При этом последовательность {l1,l2,...,ln} такова, что а ^ > а l2 > ... > а і . Предположим, что

в точке x ограничение (4) активно, т.е. l(x) > d . Вообще, можно выделить три случая взаимного расположения гиперплоскости

РИ, 1999, № 1

55

l(x) = d , (5)

определяющей ограничение (4), и перестановочного многогранника П ^ .

1. Г иперплоскость и многогранник не пересекаются и для всех x ёПдк справедливо неравенство

l(x) < d , т.е. все точки Бдк удовлетворяют ограничению.

2. Гиперплоскость и многогранник не пересекаются и для всех x є Пдк l(x) > d , т.е. ни одна точка

Enk не удовлетворяет ограничению (4).

3. Гиперплоскость и многогранник пересекаются хотя бы в одной точке, следовательно, существует

хотя бы одна точка x є Enk , удовлетворяющая ограничению (4).

Для решения задачи оптимизации интерес представляет только случай 3. Поэтому будем считать, что пересечение гиперплоскости (5) и многогранника

П nk не пусто. Рассмотрим линию уровня функции

цели L(x), соответствующую ее точке минимума x

на множестве Enk , т.е. гиперплоскость вида

L(x) = L(x) . (6)

Поскольку в точке x по предположению ограничение (4) не выполняется, то для получения решения задачи 1 необходимо сместить гиперплоскость (6) в направлении ее нормального вектора, определяющем возрастание функции цели. Это смещение следует проводить как минимум до точки пересечения многогранника П nk и гиперплоскости — ограничения (5), ближайшей к линии уровня функции цели (6). Если эта точка будет принадлежать Enk (т.е. будет

вершиной многогранника П nk ), то это и будет решение задачи 1. В противном случае необходимо будет сместить линию уровня L(x) в том же направлении до пересечения с ближайшей допустимой точкой множества Enk , которая и станет решением

задачи. Отыщем эту точку множества Enk .

Из свойств перестановочного многогранника известно, что его вершины — точки множества Enk —

лежат на гиперсфере Sn вида

Z(x, -т)2 = rn2,

i=1

(7)

1 „-

где

=-Z n ,=1

rn =

1 ( n ^ Z a2 -1 Z a,

i—1

n

V i=1 У

Рассмотрим пересечение гиперсферы (7) и гиперплоскости l(x) = d вида (5). Поскольку многогран-

2

ник П nk вписан в сферу Sn , то пересечение П nk и гиперплоскости (5) лежит внутри пересечения гиперсферы Sn и гиперплоскости l(x) = d . Результатом пересечения сферы (7) и гиперплоскости (5) является сфера Sn-1 с центром в точке

t = (t1,t2,...,tn) є Rn и радиусом rn-1. Найдем центр и радиус сферы Sn _1.

Центр сферы Sn _1 — точка t — лежит на пересечении прямой, проходящей через центр сферы Sn —

точку T = (т,т,...,т) є Rn, направляющий вектор которой совпадает с нормальным вектором плоскости (5) и плоскости l(x) = d . Уравнение этой прямой в параметрической форме имеет вид

xj = Т + CjS, x 2 =Т+ c2s,

(8)

x

Т + c-s .

Координаты точки пересечения прямой и плоско-

сти (точки t) определим по формулам (8), подставив в них найденное значение s. Его получим из уравнения (результат подстановки соотношений (8) в уравнение (5)):

(ф + c2 +... + cn )s + (c + c2 +... + cn )t — d — 0,

s =

d ~ (c1 + c2 + ••• + cn)^

2 , л2 , , J2

c1 + c2 + ... + cn

(9)

Таким образом, координаты центра сферы Sn_1 — точки t — определим по формулам (8), (9). Отрезок

[t, T], соединяющий центры сфер Sn_j и Sn , имеет длину р . Из проведенных построений следует, что

отрезок [t, T], радиусы rn и r-4 сфер Sn и Sn_1 составляют прямоугольный треугольник, из которого можно найти величину радиуса rn-1 :

VTT

r-1 = V rn -P

2

Определим теперь точку q гиперсферы Sn _1, ближайшую к гиперплоскости (6) — линии уровня функции цели, проходящей через точку безусловно-

го минимума на Enk . Точка q может быть найдена как решение задачи оптимизации следующего вида:

(a1x1 +a 2x2 +... + anxn + d) f (x) = 11—„ 2 \----------^t------- ^ min

a1 +a 2 +... + a n

при ограничениях

n

Z cixi =d, Z (xi - ti) = r--1,

i=1

i=1

n

где d = Zaixi . i=1

В этой задаче целевая функция представляет собой квадрат расстояния от точки M(x 1,x2,...,xn)

до гиперплоскости L(x) = L(x) вида (6), а ограничения описывают гиперплоскость — ограничение (5) и сферу Sn_1. Решение сформулированной задачи оптимизации не представляет принципиальных труд-

56

РИ, 1999, № 1

ностей и может быть получено, например, методом штрафных функций.

Таким образом, полученная в результате точка q представляет собой точку пересечения сферы Sn с плоскостью l(x) = d , ближайшую к плоскости L(x) = L(x) — линии уровня функции цели, проходящей через точку безусловного минимума L(x) на множестве Enk . А это значит, что значение L(q) является нижней оценкой минимума L(x) на множестве Enk с учетом активного ограничения (4). Справедливость этого утверждения вытекает из того, что точки множества Enk , лежащие в плоскости l(x) = d , принадлежат сфере Sn-1. В тех же точках Enk , которые удовлетворяют ограничению (4), но не лежат в плоскости l(x) = d, значения функции

L(x) очевидно больше, чем L(q) .

Продолжим поиск точного решения задачи 1. Из проведенных построений следует, что таким точным решением будет допустимая (в смысле ограничения

(4)) точка множества Enk , ближайшая к гиперплос-

n

кости Za ix i = L(q), т. е. к линии уровня функции i=1

цели, проходящей через точку q .Точное решение

задачи 1 обозначим через x є Enk •

В силу специфики рассматриваемой задачи область поиска точки x — решения задачи 1 — может быть ограничена. Для формирования этой области

(обозначим ее Q) проведем следующие построения.

Определим точку у1 є Enk , ближайшую к точке q . Точка у1 может быть получена как решение [2]:

У1 = argminllq - yll2.

vc Т? , 11 11

При этом точка у1 может как удовлетворять, так и не удовлетворять ограничению (4). Однако в обоих случаях внутри сферы Sy1 с центром в точке q и

радиусом Гу1 -

q - У

нет ни одной точки множе-

ства Enk . Из этого следует, что линия уровня функции цели L(x) = L(q) может быть смещена в направлении возрастания значений L(x). При этом,

пока часть гиперплоскости L(x) = c, точки которой удовлетворяют ограничению (4) и лежат внутри гиперсферы Sn , являются также внутренними точ-

ками шара, ограниченного гиперсферой Sy , никакая точка x є Enk не может быть пройдена в ходе

смещения линии уровня функции L(x). Смещение будем проводить до тех пор, пока линия уровня L(x) не пройдет через какую-либо точку р , принадлежащую пересечению гиперсфер Sn , и S , . Найдем

n 1 у

такое положение гиперплоскости L(x) = c . Для этого рассмотрим отрезок [t, q], соединяющий центры сфер Sn_1 и Syi . Длина этого отрезка равна

радиусу rn-1 сферы Sn_1, так как q є Sn_1. Искомая точка р, принадлежащая пересечению сфер

Sn_1 и Sy1, точки t и q являются вершинами треугольника с известными длинами сторон. Определим точку h є [t, q], через которую пройдет диа-

метр сферы S = Sn _1 n Sy1 . Эта точка может быть определена путем несложных алгебраических пост-

роений, учитывающих радиусы сфер Sn _1 и Sy1 [4]:

Ґ

h — t +

r21 ^ 1------Ус

V

2r,

n-1

tq

. Проходя через точку h :

линия уровня функции цели пройдет и через точку ре S. Нижняя оценка минимума L(x) на Enk с

учетом ограничения (4) возрастает с L(q) до L(h) .

Проведенные построения позволяют задать границы области Q — области поиска решения x* е Enk задачи 1. Границами Q являются:

— сфера Sn , описанная вокруг перестановочного многогранника;

— ограничение задачи 1 — гиперплоскость l(x) =

= Z cixi = d;

i=1

— гиперплоскость w(x) = 0 с нормальным вектором tq , проходящая через точку h (а значит,

содержащая сферу S = Sn_1 n Sy1). По построению, с одной стороны от плоскости w(x) нет ни одной допустимой точки E„k ;

— линия уровня функции цели L(x) = L(h) ;

— линия уровня функции цели L(x) = L(y1) , если y1 допустима в смысле ограничения (4), или L(x) = L(x), где х = argmaxL(x) , если y1 недо-

xeEnk

пустима.

*

Для определения решения задачи 1 — точки x — рассмотрим задачу покрытия области Q гиперкуба-

РИ, 1999, № 1

57

ми П yi, плотно прилегающими или пересекающимися друг с другом. При этом соответствующие грани гиперкубов П yi параллельны, а нормальными векторами граней являются векторы построенной ортонормированной системы. Каждый гиперкуб П yi обладает таким свойством, что ни одна его внутренняя точка не является точкой множества Enk .

Гиперкубы П i будем строить следующим образом.

Выберем точку Xі gQ . Подобно сфере Syl построим сферу S i с центром в точке Xі и радиусом

ryi =

x - У ем задачи

, где точка у1 є S i является решени-

У

і

arg min

yeEnk

X

2

У

(10)

Как и сфера Sy1 , сфера Syi обладает тем свойством, что шар с границей Syi не содержит внутри ни одной точки множества Enk . В сферу Syi впишем

гиперкуб П у і, задав ориентацию его граней. Как следует из [3], радиус описанной сферы r и длина

ребра гиперкуба p связаны соотношением r

pVn

2

Значит, длина ребра гиперкуба П yi, вписанного в

2r і

сферу S і, определяется как p i = —— . Центр

y y Vn

гиперкуба П yi совпадает с центром описанной

сферы Syi. Ясно, что построенный таким образом гиперкуб не может содержать внутри точек множества Enk .

Для задания ориентации граней гиперкуба П yi сформируем ортонормированную систему векторов b1,b2,...,bn следующим образом. Обозначим

Ь1 = _tq_

— — нормальный вектор плоскости w(x), tq

ограничивающей область Q . Пусть e1,e2,...,en -

ортонормированный базис рассматриваемого пространства переменных. Среди базисных векторов выберем n -1 вектор таким образом, чтобы вместе

с b1 они образовывали линейно-независимую систему векторов. (Это легко сделать, удалив из базиса

вектор ei, такой что bj ^ 0 ). Ортогонализуем векторы полученной системы, оставив без изменения вектор b1. Полученную ортонормированную систему обозначим b1,b2,...,bn .

Опишем схему покрытия области Q . Рассмотрим ранее полученную точку h , которая принадлежит границе области Q , являясь одновременно точкой плоскости L(x) = L(h) и плоскости w(x) = 0 .

Определим точку у 2 є Enk , ближайшую к точке h, воспользовавшись соотношением (10). Построим сферу Sy2 . В случае, если y2 удовлетворяет ограничению (4) и находится ближе к гиперплоскости

n

Za ixi = L(q) , чем точка, определяющая верхнюю 1=1

оценку минимума функции цели (y1 или x ),

проведем через y2 гиперплоскость L(x) = L(y2), ограничивающую область Q . Ясно, что при этом размеры области Q уменьшатся.

Впишем в сферу Sy2 гиперкуб П 2 таким образом, чтобы векторы ортонормированной системы b1 были ортогональны его граням. Длина ребра постро-

енного гиперкуба составит py2. Из точки h — центра

y

1

П 2 — сделаем шаг длиной ~ p y в направлении

y 2 у

вектора b2; полученную точку обозначим h3:

3 1 2

h = h + — py2 ' b . Легко показать, что точка h3 лежит на грани куба Пy2. Построим сферу Sy3 с центром h3 и впишем в нее гиперкуб П 3 , ориентируя его грани так же, как Пy2 . Определим длину

1

ребра py3 и снова сделаем шаг длиной ~ py3 в

направлении b2 : h4 _ h^ + 2py3 ' ^ . Построение

точек h1 в направлении b2 прекратим, когда очередная точка выйдет за границы области Q (что можно проверить непосредственно). Затем из исходной точки h сделаем шаг в направлении, противоположном b 2 . В этом направлении также построим сферы S і и вписанные в них гиперкубы П і ,

yy

прекратив построение при выходе за границы области Q . Среди всех гиперкубов П yi , построенных в

3

1

2

y

2

направлениях b2 и - b2 от точки h, найдем

гиперкуб с минимальной длиной ребра p2 = minpy . В результате проведенных построений параллелепи-1^

пед с длинами ребер ^ ^ p yi в направлении b 2 и p 2 в остальных направлениях b1,b3,...,bn не содер-

жит точек множества E

nk

58

РИ, 1999, № 1

Продолжим процесс покрытия области Q . Сделав шаг р2 из точки h в направлении b3, проведем построения, аналогичные описанным. В результате проведения построений в направлениях b2,b3,...,bn построим нерегулярную решетку, узлами которой будут точки h1 — центры сфер Syi и гиперкубов

П yi . Гиперкубы П yi, пересекаясь и плотно прилегая друг к другу, образуют n - мерный параллелепипед, доходящий до границ области Q в направлениях b1 b2 bn и имеющий длину ребра р = minp1 в

’ 2<i<n 1

направлении b 1, который не содержит внутри точек множества Enk .

Поскольку b1 является нормальным вектором

плоскости w(x) = 0, ограничивающей область Q, и центры всех гиперкубов П yi лежат в плоскости w(x), то область Q может быть уменьшена в направлении b1. Для этого гиперплоскость w(x) должна быть смещена в направлении b1 на величину

р. Из проведенных построений следует, что в

результате ни одна допустимая точка Enk не окажется выведенной за пределы области Q . Пересечение

плоскости w(x) = 0 и отрезка [t,q] даст новую точку h — точку прохождения линии уровня функции цели — нижней оценки минимума задачи 1, что также приведет к сокращению области Q .

Таким образом, в ходе построения параллелепипедов, покрывающих область Q, сокращение ее будет идти в трех направлениях: с улучшением верхней оценки минимума функции цели будет смещаться

плоскость L(x) = L(yi); с построением очередного “слоя” сместятся плоскость w(x) = 0 и плоскость

L(x) = L(h) . Процесс поиска точки x* — решения задачи 1 — можно остановить, когда размеры области Q уменьшатся до нуля. Лучшая из верхних оценок

L(yi) и определит решение задачи 1 x*=y1.

Задача 2. Задана гиперплоскость

n

Zcixi + d = 0 . (11)

i=1

Определить точку x* є Enk , ближайшую к гиперплоскости (11). При этом дополнительно может быть наложено требование, чтобы поиск точки

*

x є Enk проводился только по одну сторону от гиперплоскости (11).

Для решения задачи рассмотрим уклонение (ориентированное расстояние) от точки x є Rn до гиперплоскости (11):

n

Ё cixi+ d

5(x)

i=1

V

2 , л2 , , 2 ci + c 2 + ••• + cn

(12)

Функция (12) линейна относительно x . Определим x0 = argmin5(x) , x1 = argmax5(x). Вычис-

xeEnk xeEnk

лим 5(x0),5(x') . Если 5(x°),5(x') имеют одинаковые знаки, то множество Enk лежит по одну

сторону гиперплоскости (11) и min| 5(x°), 5(xx) |

даст возможность определить ближайшую точку x*. Если знаки 5(x°), 5(x') разные, то гиперплоскость

(11) и многогранник Пnk пересекаются. Рассмотрим задачи оптимизации:

5(x) ^ min,

nn

^ cixi + d > 0 (или - (^ cixi + d) < 0)

i=1 i=1

и

- 5(x) ^ min,

x є E

nk

E cixi+ d -0,

i=1

x є E

nk

Решениями этих задач, представляющих собой случаи задачи 1, являются соответственно точки

x є Enk и x є Enk , ближайшие к гиперплоскости (10) с разных ее сторон. Сама же точка x* є Enk определяется как x* = argmin{б(х), - 5(x)}, а расстояние от x* до плоскости (10) составляет |8(x ) .

Результаты решения задач 1 и 2 могут быть использованы при решении широкого класса задач оптимизации на множестве перестановок.

Описанный подход к решению задач оптимизации линейной целевой функции с линейным ограничением - неравенством реализован программно. Проведены вычислительные эксперименты, в ходе которых генерировались различные тестовые задачи с количеством переменных 3, 4, 10 и 20. Решения всех задач размерностью до 10 переменных проверялись методом полного перебора и их результаты во всех случаях совпали с полученными описанным методом. Решение наибольшей из рассмотренных тестовых задач (с 20 переменными) на компьютере Pentium-150 не превысило нескольких секунд машинного времени.

Литература. 1. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук. думка, 1986. 268 с. 2. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Свойства выпуклых функций на перестановочном многограннике //Докл. АН УССР. Сер. А. 1988. №3. С. 238-240. 3. Розенфелъд Б.А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. 648 с. 4. Гребенник И.В. Оценки минимума линейных функций в задачах условной оптимизации на множестве перестановок // В кн. “Контроль 1 управління в складних системах” (за матеріалами п’ятої міжнародної науково-технічної конференції, Вінниця, 1999 р.). Т. 1. С. 147-153.

Поступила в редколлегию 14.03.99 Рецензент: д-р техн. наук. Путятин В. П.

Гребенник Игорь Валериевич, канд. физ-мат. наук, доцент кафедры системотехники ХТУРЭ. Научные интересы: дискретная оптимизация. Адрес: Украина, 310726, Харьков , пр. Ленина, 14, тел. 40-93-06.

РИ, 1999, № 1

59