Об устойчивости течения Куэтта идеально жесткопластического тела Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика

УДК 539.3

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТЕЧЕНИЯ КУЭТТА ИДЕАЛЬНО ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЛА

В. Н. Лапин1

Исследуется обобщенная задача Рэлея об устойчивости плоских течений идеально жесткопластических тел. Для течения Куэтта с использованием техники стационарной теории рассеяния описывается строение непрерывного и точечного спектров и строится разложение по собственным и обобщенным собственным функциям. Для области, содержащей спектр задачи, устанавливаются интегральные оценки, доказывающие устойчивость данного течения.

Ключевые слова: идеальная пластичность, течение Куэтта, устойчивость, модель Фри-дрихса.

The general Rayleigh stability problem is studied for the plane flows of perfect rigid-plastic bodies. The stationary scattering theory is used for the Couette flow to describe the continuous and point spectra and to construct an expansion in eigenfunctions and generalized eigenfunctions. Some integral estimates are proposed for the stability of this flow.

Key words: perfect plasticity, Couette flow, stability, Friedrichs model.

Вопросы устойчивости деформирования вязкопластических и идеально пластических тел были впервые затронуты в классических работах [1, 2]. В [1] дана постановка задачи устойчивости плоского вязко-пластического течения в терминах возмущений функции тока и потенциала скорости. Общую постановку и методы исследования задач устойчивости деформирования вязкопластических и более сложных тел можно найти в [3].

Данная работа содержит исследование сингулярной несамосопряженной краевой задачи, возникающей при изучении устойчивости плоских течений идеально жесткопластических тел. Подход, разработанный в публикациях [4, 5], позволил выполнить спектральный анализ задачи — изучить строение спектра, получить разложение по собственным функциям непрерывного и точечного спектров. Доказывается устойчивость течения Куэтта. Проводятся численные эксперименты, демонстрирующие эффект "зарождения" точек дискретного спектра на непрерывном и их последующее движение вдоль мнимой оси. Результаты расчетов согласуются с теоретическими выводами.

1. Общая постановка задачи. Рассмотрим задачу об устойчивости течения несжимаемого идеально жесткопластического тела в полосе {x G R,z G [—1,1]}. Предполагается, что поле скоростей стационарного течения направлено вдоль оси x и зависит только от z, т.е. v0 = (u(z), 0, 0). Чтобы не вводить в рассмотрение жесткие зоны, потребуем строгой монотонности от функции u(z), задающей профиль скорости.

Замкнутая система уравнений для приведенного давления p0 и скорости v0 имеет вид

v dv

-gradpo + 2ту Div ~ =—р, divvo = 0, v = Defv0, (1)

V2v : V dt

где Def vQ = \ ^Grad vQ + (Grad , ту — безразмерный предел текучести при сдвиге. Она дополняется двумя кинематическими граничными условиями непротекания

v03 (-1)= vo3(1)=0, (2)

которые заведомо выполнены для плоских течений.

Если положить p0 = const, то система уравнений (1) будет удовлетворяться при любой функции vl = u(z) G C1 [-1; 1]. Физический смысл такой неединственности и связь с неустойчивостью описаны в работе [6].

1 Лапин Владимир Николаевич — студ. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: georgiev@mech.math.msu.su.

Дадим математическую постановку задачи об устойчивости основного течения. Для этого предположим, что на основное состояние системы наложены малые возмущения V = у0 + 5v, р = р0 + 5р. Как показано в [3], для достаточно широкого класса возмущений (г>2з = 0) справедлива обобщенная теорема Сквайра, позволяющая ограничиться рассмотрением двумерной картины возмущений вместо трехмерной. Линеаризуя уравнения движения относительно заданного стационарного течения с профилем и(г) и переходя к представлению поля скоростей через функцию тока, получим (см. [3])

Фхг

и" . те2

44ш = (Аф)* + и(Аф)*"и (3)

Граничные условия, аналогичные (2), преобразуются к виду Фх(х, ±1,£) = 0. Без ограничения общности положим и'(г) > 0. Подставляя Ф(х,г,£) в виде Ф(х,г,£) = ф(г)ехр(гвх — гЛв21) (учет всех гармоник равносилен преобразованию Фурье по переменной х), преобразуем задачу (3) к спектральной форме

ф( — 1) = ф(1) = 0, (5)

где Л — спектральный параметр, в — волновое число, т = 4ту. При обращении в нуль коэффициента при старшей производной функции ф задача (4), (5) становится сингулярной, что приводит к появлению непрерывной компоненты в спектре.

2. Операторная постановка задачи (4), (5). Заменой ф = ф" — в2ф решение задачи (4), (5) сводится к исследованию спектральных свойств оператора Н, действующего в £2 — 1,1):

1

Нф(г) = ^-г^) ф(г)+гт^-2 | ¿(Г(г, г>))ф(г>) М -

-1

1

+ (6) -1

¿2

где Г (г, г') — функция Грина дифференциального оператора ^ — в2 с краевыми условиями (5). Опера-

ит

тор Н = Но + V представляет собой возмущение оператора Но умножения на функцию (--г —- I сум-

в и'

мой интегральных операторов V = VI + У2 (см. (6)), ядра которых несимметричны и несимметризуемы (в случае, если и'' не сохраняет знак на [—1; 1] и т = 0). Таким образом, операторная постановка задачи укладывается в рамки несамосопряженной модели Фридрихса.

В предположении "малости" возмущения и самосопряженности Н = Но +еV, где Но — оператор умножения на независимую переменную, а V — интегральный оператор с гельдеровским ядром, К.О. Фридрих-сом [7, с. 109-130] построена стационарная теория рассеяния. Анализ самосопряженной модели Фридрихса без малого параметра е в возмущении выполнен в работах [8, 9] при условии достаточной гладкости V (ядро оператора удовлетворяет условию Гельдера с показателем цо > 1/2 по каждой переменной). В [10] рассмотрена задача, возникающая в теории устойчивости плоских течений идеальной жидкости. Проблема формулируется в рамках несамосопряженной модели Фридрихса, указывается строение множества собственных значений, выписывается явный вид собственных функций непрерывного спектра. Методы работы [9] развиты С.А. Степиным для несамосопряженного возмущения оператора Но и использованы для спектрального анализа гидродинамической задачи Рэлея [4, 5]. В этих работах также детализирована структура спектра, построено разложение по собственным функциям непрерывного и дискретного спектров, получена временная асимптотика решения исходного нестационарного уравнения. В настоящей работе указанный подход используется для исследования обобщенной задачи Рэлея.

3. Непрерывный спектр оператора Н и уравнение для ¿-матрицы. Оператор V = VI + вполне непрерывен, поэтому, согласно теореме Вейля, непрерывный спектр оператора Н, действующего в £2 (—1;1), совпадает с непрерывным спектром Но [11]. Последний состоит из точек образа пути

и(х) т

% : [—1; 1] —С, х(х) =--^ . Обозначим эту кривую 7.

в и ( х)

Замечание. Непрерывный спектр, который в случае задачи Рэлея заполняет отрезок [u( —1)/s; u(1)/s] и соответствует нейтральным колебаниям, при введении в определяющие соотношения среды предела текучести превращается в кривую 7 и смещается в устойчивую область.

Определение (ср. [4]). Обобщенной собственной функцией (непрерывного спектра) задачи (4), (5) назовем функцию фс, c = cr + ici G 7, удовлетворяющую уравнению (4) на интервалах — 1; u-1 (scr)) и (u-1(scr); i), граничным условиям (5) и условию непрерывности в точке zc = u-1(scr).

Заметим, что точка zc является регулярной особой точкой для уравнения (4). Комбинируя два решения из соответствующей фундаментальной системы, одно из которых имеет устранимую особенность в точке zc, можно построить обобщенную собственную функцию. Если эта функция фс оказывается регулярной, т.е. фс дифференцируема и ф'с абсолютно непрерывна, то соответствующая точка c G 7 является собственным значением задачи (4), (5), погруженным в непрерывный спектр.

Далее для исследования резольвенты R(X) = (H — \E)-1 будет использован аналитический аппарат теории рассеяния. Рассмотрим Т-оператор

Т(Л) := V — VR(X)V,

где Ro^) = (Ho — ЛЕ)-1 — оператор умножения на функцию 1/ (u/s — ir/u' — Л).

Утверждение 1. При всех Л G &(H) оператор Т определен и удовлетворяет уравнению Липпмана-Швингера

Т(Л) := V — VRo(Л)Т(Л), (7)

при этом R(X) = R0(X) — R0(Л)Т(X)R0(Л).

Решение уравнения (7) ищется в виде интегрального оператора с ядром t(z,z',Л) (так называемая t-матрица оператора H). В терминах ядер операторов уравнение (7) принимает вид

1

+( > w ! л í v(z, z)t(z, z', Л)

t(z, z , Л) = v(z, z ) - J -J^——ду- dz. (8)

Известно, что спектральные свойства операторов модели Фридрихса зависят от степени гельдеров-ской гладкости ядра оператора возмущения. Рассмотрим класс h^, 0 < ц < 1, функций ф : [-1; 1] ^ C, для которых конечна норма \\ф\\^ := supz=z/ (|ф(z)| + |ф(z) — ф(^')\ / \z - z'\м).

Поскольку для ядра r(z, z') выполнено условие Липшица, то ядро v2 оператора V2 заведомо удовлетворяет условию Гельдера с показателем ц по каждой переменной в случае, если u G C2+^[—1; 1].

д

Относительно ядра V\ такого сказать, вообще говоря, нельзя, так как — (Г(г, г')) разрывна при z = z'.

dz 4 у

Далее рассмотрим задачу об устойчивости идеально пластического течения Куэтта. По определению u(z) = z, поэтому Vi = 0. Краевая задача (4), (5) преобразуется следующим образом:

- ir - Л) {ф" - з2ф) - 1тв2ф = 0, (9)

ф (-1)= ф (1) = 0. (10)

Выражение (6) принимает вид

1

Нф(г) = (J " ir) Ф(г) - its2 J T(z, г')ф(г') dz'. (11)

-1

Непрерывный спектр 7 этой задачи совпадает с отрезком в нижней полуплоскости, параллельным действительной оси.

4. Выделение области, содержащей спектр.

Лемма 1. Любая точка X G Y не является собственным значением задачи (9), (10).

Доказательство. Пусть ф — собственная функция (с.ф.) задачи (9), (10) для собственного значения (с.з.) X = Xr + iXi G 7. Из (9) видно, что ) = 0 (для задачи Куэтта za = sXr). Делим (9) на

^--гт — Л^ = ^--Arj и умножаем скалярно в —1; 1) на ф. Интегрируя получившееся равенство по

частям с учетом граничных условии, получим

1 1

- J \ф'\2(1г-82 I \ф\2(1г-1 У т^у Лг = 0. (12)

-1 -1 -1 5

Это равенство может выполняться только для ф = 0. □

Лемма 2. Точки дискретного спектра Л = Лг + {Лг £ ир(Н) содержатся в прямоугольнике

Доказательство. Пусть ф — с.ф. задачи (9), (10), соответствующее ей с.з. Л не лежит на 7. Следовательно, выражение ^--гт — А^ не обращается в нуль. Тогда, выполняя преобразования, описанные

в доказательстве леммы 1, и выделяя вещественную и мнимую части в равенстве, аналогичном (12), получим

1

[-(*/Д - - \ф\2 Аг = 0,

^ {г/в - \г) + (г + Аг) 1 1

-1 -1

Из первого уравнения системы следует, что \г £ (--; — V Применяя ко второму равенству теорему

V в V

о среднем и неравенство Фридрихса |ф|2 ¿г ^ 4п-2/_1 \ф'\2 ¿г, для некоторого £ £ [—1; 1] получим —в2Л. тв2 (т + Лг) о п2 ( п2

^-^-у — s ^ —. Следовательно, Аi £ —г; —

□

г + А^ — Xr )2 + (г + Xi)2 " -4 —. , п2 + 4S2

Замечание. Лемма 2 обосновывает устойчивость идеально пластического течения Куэтта в случае полноты системы собственных и обобщенных собственных функций задачи.

5. T-оператор модели Фридрихса в задаче Куэтта. Как было показано, в случае течения Куэтта возмущение V представляет собой интегральный оператор с ядром v(z,z') = —irs2r(z, z'), которое удовлетворяет условию Липшица и, следовательно, заведомо принадлежит классу f)^, 0 < ß < 1, по каждой переменной. Соответствующее оператору (11) уравнение (8) естественно рассматривать для значений А, принадлежащих комплексной плоскости с разрезом 7, различая при этом края разреза. Область изменения П спектрального параметра А представляет собой поверхность с краем, полученную пополнением C\y относительно метрики р (А, А'), определяемой как точная нижняя грань длин кривых, соединяющих А и А' и не пересекающих отрезок 7. Считая z' параметром, запишем уравнение (8) в виде

t\(z) = v(z) - K(А)гх^), (13)

где K(А) = VR0(А) в случае, когда А £ 9П; если А = z/s — ir ± i0 £ 9П, то для ф £ , 0 < ß < 1, имеем

1 ^

K{z/s -гт± i0) </>(•) = v.p. [ s dz' ± imv{-, z) <f>(z).

z' - z

-1

Используя теорему Привалова о граничных значениях интеграла типа Коши и свойства гладкости ядра v, устанавливаем ограниченность оператора K(А) : ^ f)^, где 0 < v < ß < 1, для всех А £ П. Комбинируя этот факт с компактностью оператора вложения h ^ h, следуя [4, 9], получим

Предложение 1. Для каждого А £ П и произвольного v £ (0,ß) оператор K(А) : f)v ^ h вполне непрерывен, причем в соответствующей операторной норме выполнена оценка

||K(А) — K(А') II < const(v, к)р(А, А')к (14)

1

для всех А, А' £ П и любого к £ (0,v (ß — v) ß ^.

Следствие. В банаховом пространстве hv, 0 < v < равенство (13) представляет собой уравнение Фредгольма второго 'рода.

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение

ф(г) + К (Х)ф(г)=0 (15)

и обозначим через Л множество значений параметра Л G П, при которых (15) имеет нетривиальное решение в классе hv, v > 0. Согласно предложению 1, множество Л С П замкнуто. Так как оператор К (Л) является вполне непрерывным в hv и аналитически зависящим от параметра Л G П, множество особых точек Л дискретно и может иметь точки накопления только на y.

Утверждение 2. Множество Л совпадает с up(H) — множеством собственных значений оператора H.

Доказательство. Включения up(H) С Л и Л\йП С &p(H) легко следуют из того, что уравнение (15)

и уравнение Hrj(z) — Xrj(z) = 0 переходят друг в друга при замене rj(z) = ^--ît — ф(z). Как было

показано выше, up(H) П Y = 0, поэтому необходимо проверить, что Л П 9П = 0. Положим

ф(г,е)= К (с + ге)ф(г)+ ф(z), (16)

где с = cr + ici = cr — гт G Y, а ф(^) G hv — решение уравнения (15) при Л = с + г0. Заметим, что в силу оценки (14) левая часть отношения ф(z,e) = [К (Л + ге) — К (Л + г0)] ф(^) стремится к нулю по норме 0 < v < л < 1, когда е ^ +0. Подставим в (16) соотношение К (с + ге) = VRo(c + ге) = —гтв2СЕо(с + ге), где G — интегральный оператор с ядром r(z,z'). Умножим обе части получившегося равенства на элемент Rq(c + ге)ф(^); приравнивая мнимые части и учитывая симметричность r(z,z'), имеем

Im (Ro(c + ге)ф^),ф^, е)) = Im (Ro(c + ге)ф^),ф^)) —

— ts2(Ro(c + ге)ф(z), GRo(с + ге)ф(z)). (17)

Левая часть (17) стремится к нулю при е ^ +0 (лемма 3.1 из [9]). Согласно формуле Сохоцкого,

1

1т(Ко(с + {е)ф(г),ф(г)) тг J\ф(г)\2 - cr^jdz.

-1

Заметим, что (Ç(z),GÇ(z)) = J^_1C(z)y(z) dz, где y(z) — решение уравнения y"(z) — s2y(z) = £(z), у(± 1) = 0. Тогда

1 1 1 (£(*), СВД) = j(y"{z)-s2y{z))W)dz = - J \y'(z)\2dz- J s2\y(z)\2dz^0, -1 -1 -1 причем равенство возможно только при £(z) = 0. В итоге переход к пределу в соотношении (17) дает

sn^(scr )|2 — ts2 (Ro (с + (с + г0)ф(z)) = 0.

Следовательно, ф(^) = 0 для s > 0; в случае s < 0

1

Im (ф(г),По(с + {е)ф(г)) -к J \ф(г)\2 5- dz.

-1

Случай нижней границы ЙП рассматривается аналогично. □ Следствие. Из того что К и (ТР(Н) совпадают, (ТР(Н) содержится в прямоугольнике \r G (--; —

A» G -т; —

п2

п2 + 4s2

кретного спектра оператора H.

в в

а Л может иметь точки накопления лишь на Y, вытекает конечность дис

Возвращаясь к уравнению (8), заметим, что, согласно альтернативе Фредгольма, оператор Е + К (А), А £ П\Л, ограниченно обратим в ^, V < и уравнение (13) однозначно разрешимо: = (Е + К (А))- V.

6. Волновые операторы для Но и Но + V. Легко видеть, что для Ь(х, х', А) справедлива теорема 1 из [4]. С ее помощью, учитывая отсутствие собственных значений оператора Н = Но + V на непрерывном спектре и конечность ир(Н), можно показать, что волновые операторы, сплетающие Но и Но + V, удается определить явными формулами:

1

т±±/ А/ [ ^(х,х',Х— гт ± г0)

тт±А( \ \ ft(z,z,z/s - гт ± ¿0) , ,

(г — г')/в ^ г0 -1

которые следует понимать как предел соответствующего семейства операторов, заданных на плотном в Ьъ(—1; 1) множестве гельдеровских функций Н.

Лемма 3 (ср. [4]). Операторы и± : Н ^ £2 —1; 1) продолжаются до ограниченных операторов в

Ы-1;1).

Предложение 2. Для любого А £ &(Н) выполняется равенство К(А)и± = и±Ко(А). Следствие. Волновые операторы и± суть "сплетающие" операторы для пары Но, Но + V, т.е.

о.

Замечание. Таким образом, ядра

± , , г(х,х',х'/з — гт ± г0)

HU± = U ±Ho.

u±(z,z') = S(z - z') -

(z - z')/s т ¿0

операторов и± как функции от г (при всевозможных значениях х' £ [—1; 1]) представляют собой собственные функции непрерывного спектра оператора Н.

7. Разложение по собственным функциям дискретного и непрерывного спектров задачи (9), (10). Поскольку Л П 7 = 0, найдется ео > 0, такое, что для всех е £ (0; ео) контур Г£ = {А £ П : (А, 9П) = е) будет состоять из точек резольвентного множества и не содержать внутри себя собствен-

1

ных значений оператора Н. С помощью интеграла Рисса построим проектор--/ ЩХ) (IX = Е — Р,

где Р — проектор на линейную оболочку корневых функций оператора Н вдоль инвариантного подпространства непрерывного спектра. Формула разложения может быть получена из соответствующего соотношения для ((Е — Р) /,д) в результате предельного перехода при е ^ +0.

Предложение 3. Пусть /,д £ Н, причем /( —1)д( —1) = /(1)д(1) = 0. Тогда справедливо равенство эрмитовых форм

1

((Е-Р)/,д) = у и£1/(г,)17^ф})с1Л. (18)

-1

Лемма 4 (ср. [4]). При любом п £ [—1; 1]

g(n) = g(z, п) = v(z, п) = -¿ts r(z, п), U*g(z, п) = t(z, n,n/s - гт + ¿0) = (z),

где (z) — обобщенные с.ф. задачи (9), (10).

Из предложения 3 можно получить формулу разложения по собственным функциям непрерывного и

d2

дискретного спектров задачи (9), (10). Для этого положим / = Ash, где As = —^ — s2, h £ C2+v[—1; 1],

dz2

v > 0, и учтем, что g(z, ■) £ Lip, g(z, -1) = g(z, 1) = 0. Для таких f и g из соотношения (18) ввиду леммы 4 можно вывести следующую формулировку теоремы о разложении по собственным функциям.

Теорема (ср. [4]). Для задачи об устойчивости идеально пластического течения Куэтта (9), (10) существует ограниченный оператор W в L2(-1; 1), такой, что произвольная функция h £ C2+v[-1; 1], v > 0, удовлетворяющая граничным условиям h(-1) = h(1) = 0, представима в виде

i

h = / W(h'' - s2h)(c)^c)dc + Qh, -1

.здесь Q — проектор на линейную оболочку корневых функций задачи (9), (10) вдоль пространства, порожденного обобщенными собственными функциями фс(х), с € [—1; 1]. При этом оператор Ш является

интегральным оператором с ядром б(г-г') — ^ ' г ^ ^ ; г()е ¿(^ %>^ Д) — решение уравнения (8),

отвечающего задаче (9), (10).

Автор приносит благодарность С.А. Степину за полезное обсуждение результатов работы и научному руководителю Д.В. Георгиевскому.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильюшин А.А. Деформация вязкопластических тел // Уч. зап. МГУ. Механика. 1940. Вып. 39. 3-81.

2. Ишлинский А.Ю. Об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прута // Прикл. матем. и механ. 1943. 7, вып. 2. 109-130.

3. Георгиевский Д.В. Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел. М.: Изд-во УРСС, 1998.

4. С'тепин С.А. Несамосопряженная модель Фридрихса в теории гидродинамической устойчивости // Функц. анализ и его прил. 1995. 29, № 2. 22-35.

5. Степин С.А. Гидродинамическая задача Рэлея: теорема разложения по собственным функциям и устойчивость плоскопараллельных течений // Изв. РАН. Сер. матем. 1996. 60, № 6. 201-221.

6. Георгиевский Д.В. О единственности исследуемых на устойчивость решений некоторых задач МСС // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 5. 48-52.

7. Фридрихе К.О. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1969.

8. Ладыженская О.А, Фаддеев Л.Д. К теории возмущений непрерывного спектра // Докл. АН СССР. 1958. 120, № 6. 1187-1190.

9. Фаддеев Л.Д. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1964. 73. 292-313.

10. Фаддеев Л.Д. К теории устойчивости стационарных плоскопараллельных течений идеальной жидкости // Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1971. 21. 164-172.

11. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4: Анализ операторов. М.: Мир, 1982.

Поступила в редакцию 02.04.2008

УДК 539.3

ОДНООСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПЛАСТИНКИ С КРУГЛЫМ ОТВЕРСТИЕМ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ

Г. З. Шарафутдинов1

Приведены некоторые кинематические характеристики геометрически нелинейного процесса деформирования, полученные в эксперименте при одноосном растяжении пластинки с круглым отверстием, изготовленной из высокоэластичного материала. Наряду с экспериментальными данными представлены полученные при помощи метода геометрической линеаризации расчетные характеристики рассматриваемого процесса деформирования.

Ключевые слова: конечные деформации, эксперимент, метод геометрической линеаризации, комплексные потенциалы, перемещения, сравнение расчетных и экспериментальных данных.

Some kinematic characteristics of a geometrically nonlinear deformation process obtained experimentally at uniaxial tension of a plate with a round hole are given. The plate is made of

1 Шарафутдинов Геннадий Зиатдинович — доктор техн. наук, проф., вед. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: sharaf@imec.msu.ru.