CC BY
30
2014 Математика и механика № 1(27)
УДК 532.5:532.517.4
И.В. Ершов
ЛИНЕЙНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕВЯЗКОГО СДВИГОВОГО ТЕЧЕНИЯ ТЕРМИЧЕСКИ НЕРАВНОВЕСНОГО МОЛЕКУЛЯРНОГО ГАЗА1
В рамках модели двухтемпературной газовой динамики исследуется задача линейной устойчивости плоскопараллельных сдвиговых течений колебательно-возбужденного молекулярного газа. Проведено обобщение условий Рэлея и теоремы о полукруге (теорема Ховарда) на случай термически неравновесного газа. Показано, что для развития неустойчивости в сдвиговом течении термически неравновесного газа необходимо выполнение первого условия Рэлея в той же форме, что и для случаев однородной и стратифицированной несжимаемой жидкости и идеального газа. Однако более жесткое условие на комплексную фазовую скорость, известное как теорема о полукруге, удается получить лишь при некоторых дополнительных условиях. Также для случая колебательно-неравновесного газа получено обобщенное условие о необходимости существования точки перегиба на неустойчивом профиле скорости (второе условие Рэлея).
Ключевые слова: линейная теория устойчивости, условия Рэлея, теорема о полукруге (теорема Ховарда), колебательная релаксация, уравнения двухтемпературной газовой динамики.
Классические результаты по линейной устойчивости плоскопараллельных течений, полученные Гельмгольцем, Кельвином и Рэлеем, рассмотревшими случай идеальной несжимаемой жидкости, были распространены на задачи о течениях идеального газа неоднородной стратифицированной и проводящей жидкостей в полях различных массовых сил [1]. В последние годы в связи с проблемами управления потоками химически реагирующих, частично ионизированных, оптически возбужденных сред возник интерес к устойчивости термически неравновесных течений молекулярных газов. Обзор результатов исследований в этой области можно найти в монографии [2].
В работах [3-6] рассматривалась диссипация крупной вихревой структуры в сдвиговом потоке слабо неравновесного и колебательно-возбужденного газов. Изучалось воздействие релаксации колебательной моды на вихревую дорожку Кармана за цилиндром [7]. На основе энергетической теории устойчивости получены оценки влияния релаксационного процесса на критическое число Рейнольд-са в течении Куэтта [8-11]. Результаты всех этих работ позволяют заключить, что термическая неравновесность может существенно влиять на процессы эволюции возмущений различных пространственно-временных масштабов, ускоряя их диссипацию.
В данной работе цитированные выше результаты по устойчивости плоскопараллельных течений обобщаются на течения колебательно-возбужденного сжимаемого газа.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 11-01-00064).
Основные уравнения
В координатной плоскости (х, у) рассматривается плоскопараллельное сдвиговое течение, в котором основной (несущий) поток плотности рх (у) и температуры Т8 (у) направлен вдоль оси абсцисс х и имеет профиль скорости П8 =П8 (у). Возмущенное течение описывается системой уравнений двухтемпературной газовой динамики [2, 12]. Используя в качестве масштабирующих величин некоторые характерные длину Ь, скорость и0, плотность р0, температуру Т0 и образованные из них время т0=Ь/и0 и давление р0=р0и02, получим, что в безразмерных переменных эта система уравнений примет вид
( ъ ъ \
д± + ^ = 0,р
дt дхг
диг ди
— + и,—:
дt 1 дх, V 1
д р дхг
р I дТ+игЩ + (У -1) рт^и = ^ Р (ТУ1Ь - Т), (1)
V д1: дхг ) дхг ТУТ(1 - ТУ1Ъ)
^+и,^ + (Т^Ъ-т) = 0, ум2р = рТ, г, 1 = 1,2,
дt дхг хуТ
где р, иг, р, Т, Тт1Ъ, хуТ - плотность, компоненты вектора скорости, давление, статическая и колебательные температуры газа и время колебательной релаксации соответственно, а по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Параметры, входящие в уравнения системы (1), определяются следующим образом. Параметр уУ1Ъ = сУ1Ъ /(с4г + сго(. + сУ1Ъ) определяет долю внутренней энергии газа, приходящуюся на колебательные моды молекул, и в каком-то смысле характеризует степень неравновесности последних; М = П0 /^уЯТ0 - число Маха, у = (с4г + сго(. + Я)/(с1г + сго1) - показатель адиабаты, Я - газовая постоянная и с4г, со, сУ1Ъ - удельные теплоемкости при постоянном объеме, определяющие соответственно энергоемкость поступательных, вращательных и колебательной мод молекул газа. Все определенные здесь теплоемкости предполагаются постоянными.
Система (1) описывает распространенную в аэродинамике ситуацию, когда характерные времена микроскопических процессов энергообмена между различными степенями свободы молекул газа оцениваются системой неравенств [2, 12]: тТТ ~ %Т << хУу << тУТ ~ т0. Причем в этом случае поступательные и вращательные степени свободы молекул с малыми соизмеримыми временами релаксации тТТ ~ %Т на временах порядка характерного времени течения т0 образуют квазиравновесный термостат с температурой потока Т. В подсистеме же колебательных уровней энергии по истечению времени хУТ устанавливается квазиравновесное распределение с колебательной температурой Т„1Ъ. Обмен энергией между колебательной модой и квазиравновесными степенями свободы молекул газа описывается релаксационным уравнением Ландау - Теллера с характерным временем хУТ.
Нижний предел уУ1ь = 0 соответствует случаю невозбуждения колебательной моды молекул. С другой стороны, равнораспределение энергии по степеням свободы молекул не является здесь верхним пределом для параметра ут1Ъ, поскольку закон равнораспределения энергии неприменим в неравновесной ситуации, опи-
сываемой системой уравнений (1), когда разрыв между статической температурой потока Т и колебательной температурой ТУ1Ь может быть достаточно велик. В [12] показано, что при Т = 300 К неравновесная теплоемкость сУ1Ь«1,8,К. Используя равнораспределение энергии в состоянии термодинамического квазиравновесия по поступательным и вращательным модам молекул, получаем, что параметр уУ1Ь «0,42. С ростом разрыва между температурами ТУ1Ь и Т значение уУ1ь увеличивается, приближаясь в пределе к единице, когда энергия колебательной моды молекул существенно превышает температуру квазиравновесного термостата, определяемого поступательными и вращательными степенями свободы молекул. Таким образом, параметр уУ1Ь может изменяться в пределах 0 < уУ1Ь < 1.
Мгновенные значения полей возмущенного течения представим как суммы стационарных величин несущего потока и малых пульсаций, зависящих от времени и координат:
их = и8 (У) + , иу = йу , Р = Р, (У) + Р
Т = Т,(у) + Т, Ту1Ь = Т,(у) + Ту1Ь, р = + р. (3)
у М2
Подстановка (3) в систему (1) и ее линеаризация относительно стационарного решения приводит к системе уравнений для малых возмущений:
дР+и, дР+р, 1+и у др,=0,
диv тт дйг „ dUS 1 d p
—- + US—x + иy-- l+ —
д t д x д y ) д x
д и y л д и y 1 , д p
psl HT+U' \+t=(4)
Ps+ US 0L + и y Sl ) + (Y -,) [X+4 1-Yvibp S (t. - Ъ = 0,
дt дx удy ) ^ дx дy ) xVT (1 -yvlb)
Щ^Г + US + *y ^ + = 0, y M2 p = p ST + p Ts .
д t д x д y tvt
Принимается, что при y = y1 и y = y2 все возмущения обращаются в нуль и периодичны по продольной координате x.
Характеристики устойчивости
Периодические по x возмущения рассматривались в виде бегущих плоских волн
q (x, y, t) = qo(y)exp [ ia (x - et)],
q(x,y,t) = (Ux, Uy, p, T, Tvib,p), qo(y) = (и, av,p, 0, 0v, p), (5)
где a - волновое число вдоль периодической переменной x, e = er + iei - комплексная фазовая скорость, i - мнимая единица. Подставляя (5) в уравнения системы (4), получаем, что компоненты вектора амплитуд q 0(y) будут удовлетво-
рять следующим уравнениям:
Dp + ар'у + р5с = 0, р^и + + гаp = 0, ар^у + p' = 0,
р^ 0 + ар5 уТ' + (у -1)с -
Ту1Ъ Р'
ТУТ (1 - Ту1Ъ)
(0 V - 0 ) = 0,
D0V + ауТ' + = 0, уМ2р = р5 0 + рТ8,
(6)
где D = /а(П8 - с), с = а(у' + ги), а штрихи у функций здесь и далее обозначают дифференцирование по переменной у. Система (6) вместе с однородными граничными условиями
и\ у=у = у у=у
и\ у=у2 = у у=у2
= Р| у=у! = 01 = Р| у=у2 = 01
у=у1
^ у=у
= 0, = 0
у=у2 I у=у2 ^ у=у2 определяет спектральную задачу, в которой собственными значениями являются комплексные фазовые скорости возмущений с = сг + /с,, а число Маха М и вещественное волновое число а служат параметрами.
После исключения части зависимых переменных система (6) сводится к двум уравнениям для амплитудных функций возмущений поперечной скорости и давления:
где
и' у .
Ш
гР
Т' - М*2Ш2 Ш
= 0, р' +
/а2 Ш
Т
1 с
V = 0,
VI у = у = У у = = а р| у = р| у= у = 0,
у=у
у=у2
М*2 = М2 ш2 , ш2 = ш2 +
у=у2 2
(7)
2 = Я1(1 + уV + ат Ут с,) + А2 Шг = Я2 +А2
2 IV
т, = -
IV (У -1) А
У Я12 +А2
IV = У^ъ/( 1 - TvlЪ ) , Я1 = 1 + Т^Т + аТУТ сг , А = аТУТ Шг
ш = шг + гш, шг = и „ - сг, ш = -сг.
г г ' г ' г у г г
Из (7) путем дифференцирования получаются замкнутые уравнения для V и р. В самосопряженной форме уравнение для амплитудной функции возмущения давления записывается следующим образом:
р'1 - а2 - М*2 | р = 0.
ш2 ) V Ш2
(8)
Для дальнейшего необходимо рассмотреть для (8) квадратичную форму, которая получается умножением уравнения на комплексно-сопряженную функцию р и интегрированием по у в интервале от у\ до у2 с граничными условиями (7).
После интегрирования по частям квадратичная форма принимает вид
у2
А . |
£ 1р'!2
Т
Ш 2
--М
*2
ёу = 0.
(9)
УТ
Действительная часть квадратичной формы A
У2 У2
Re( A) = Ar = J[ Wr2 - of ] Qdy - K = 0, K = a2M2 J mr2| P f dy > 0, (10)
У1 У1
а мнимая часть соответственно дается выражением
У2
Im(A) = Ai = J Wr [ 2cQ + a2M2Qj p |2 ] dy = 0, (11)
У1
Q = JL(( +a2,p,2)>0, Qi = ^R>°
Для проверки первого условия Рэлея достаточно заметить, что выражение в квадратных скобках под интегралом в (11) неотрицательно. Поэтому для нарастающих возмущений при c > 0 мнимая часть A,= 0 тогда и только тогда, когда разность Wr = US - cr меняет знак в поле течения. Следовательно, для развития неустойчивости в рассматриваемом течении термически неравновесного газа необходимо выполнение первого условия Рэлея в той же форме, что и для случаев однородной и стратифицированной несжимаемой жидкости [1, 13] и идеального газа [14]:
min US = u < cr < U = max US. (12)
Из (12) следует, что для любого нарастающего невязкого возмущения комплексная фазовая скорость c = cr + ic, должна лежать в верхней полуплоскости c, > 0 в полуполосе, ширина которой определяется условием (12).
Однако более жесткое условие на фазовую скорость c = cr+ici, известное как теорема о полукруге (Howards's semicircle theorem [1, 13]), здесь удается получить лишь при некоторых дополнительных условиях (см. условие (14)).
При доказательстве теоремы о полукруге в качестве исходного соотношения рассматривается неравенство [1, 13]
У2
J (US -u)(US -U)Qdy = I2 -(U + u)I1 + uUI0 < 0, (13)
I0 = J Qdy, I1 = J UsQdy, I2 = J U2Qdy.
У2 У2 У2
где
У1 У1 У1 Используя выражения (10) и (11), перепишем интегралы ¡к (к= 1, 2) следующим образом:
I У2
¡1 = сг1о -—, ¡2 = 2сг1х - (с2 - с2)10 + К, I = а2М2 { р |2 ¿У.
' У1
Подстановка этих выражений в неравенство (13) позволяет преобразовать его к виду
22
cr -u+UI2 + c,2 -(U - u)2
J ( u + U . „
I0 + -(—— cr |+K < 0.
При выполнении условия
имеет место неравенство
3\и±и - Сг 1 + Сгк > 0 (14)
и + и 12 2 (и - и )2 с„--I + с,2 -
и тогда справедлива теорема о полукруге [1, 13]: « Для любой неустойчивой моды при с1 > 0 значения комплексной фазовой скорости с = сг + ¡с, лежат в верхней полуплоскости в полукруге радиуса г0 = \и - и|/ 2 с центром в точке сг = (и + и)/ 2». Таким образом, условие (14) является достаточным для справедливости теоремы о полукруге.
Для идеального газа (т.е. когда уУ1Ь=0) получаем, что J ^ 0 и для нарастающих возмущений при с, > 0 из (10) следует неравенство с, К > 0. В результате достаточное условие (14) выполняется и имеет место теорема о полукруге. В силу отмеченной непрерывности перехода к случаю идеального газа неравенство (14) и теорема о полукруге будут справедливы и при малых, но конечных уровнях возбуждения, пока незнакоопределенное слагаемое в неравенстве (14) не меняет знак всего выражения. В общем же случае для произвольного уровня возбуждения выполнение неравенства (14) надо проверять при конкретных значениях входящих в него параметров.
В качестве примера проведем проверку условия (14) для плоского сжимаемого течения Кутта колебательно-возбужденного молекулярного газа с параболическим профилем статической температуры потока:
(у - 1)РгМ2
т
где Рг - число Прандтля несущего потока. Отметим, что подобные профиля несущего потока использовались в работах [15-17] при исследовании устойчивости сжимаемого течения Куэтта идеального газа по отношению к малым возмущениям гидродинамических переменных.
Из условия (12) следует, что первое условие Рэлея для (15) примет вид
0 < сг < 1. (16)
Тогда условие (14) следует рассмотреть отдельно для интервалов 0 < сг < 1/2 и 1/2 < сг < 1. При 0 < сг < 1/2 из развернутой записи (14) следует оценка снизу:
и, (у) = у, Т, (у) = 1 + (У )2Г-(1 - у2 ), 0 < у < 1, (15)
J [ 2 - сг 1 + с,К = [ 2 - сг ] а2м2} 1
+а2М2с, |
уу(у -1) атуТ
[_ у (Л2 +А2) ]
(у - сг )| Р |2 ¿у +
^(1 + у у + атут с,) + А2
(Л12 + А2)
РI2 ¿у >
(2 - сг ] а4М2 тУт с, | (у2 + 2 гу + д) ¿у
Уу(У -1) 1 1 уу(у-1) Лс Уу1Ь
где г = —---, д =------1—, уУ =-
2 Уатут 2 4 2 Уатут атУТ 1 - Уу1Ь
Из последнего интеграла видно, что неравенство (14) будет выполнено, если квадратный трехчлен в подынтегральном выражении не будет иметь действительных корней на интервале интегрирования >"£[0, 1]. В свою очередь, для этого достаточно, чтобы у2 + 2 гу + д > 0 на интервале 0 < у < 1. Условие комплексной сопряженности (кратности) корней выражается неравенствами
У У1Ь(У -1) уатут (1 - Уу1Ь)
< 1,
Я
< 1.
ат
(17)
После исключения из (17) комплекса атут получается неравенство
У
Уу1Ь < 2(1-у)'
которое при рассматриваемых уровнях возбуждения 0 < уУ1Ь < 1 всегда выполнено.
При 1/2 < сг < 1 для (14) оценка снизу получается в виде
7 (1 - Сг ) + ^ = (2 - Сг
2М2{
Уу (у - 1) атут
[_ у (Я2 +Д2) ]
(у - Сг )1 Р |2 ¿у +
+а2М2сг |
0
>( Сг- I) а4М2 т'-т ^
Яг(1 + У у + ат ут сг) + Д
(Я2 +Д2)
р|2 ¿у >
2 +Д2)
(у - Сг )2-(у - Сг + Ж
уатут атут J
¿у.
В данном случае для выполнения неравенства (14) достаточно, чтобы выделенный в подынтегральном выражении квадратный трехчлен не обращался в нуль на интервале интегрирования уе[0, 1]. Анализ соответствующего условия комплексной сопряженности (кратности) его корней также приводит к неравенствам (17), которые не являются ограничительными для комплекса атут, так как при атут —^0 неравенство (14) будет выполнено. Одновременно, как было отмечено, из (14) не следует ограничения на глубину возбуждения уУ1Ь.
Таким образом, получаем, что для плоского течения Кутта колебательно-возбужденного молекулярного газа достаточное условие (14) выполняется и имеет место теорема о полукруге.
Далее рассмотрим второе условие Рэлея (обобщенное условие точки перегиба [1, 13]). Будем исходить из уравнения для амплитуды возмущения продольной скорости V (7), которое в самосопряженной форме имеет вид
щ
Ts Ж V X
1
+
V = 0, V 0 = V . = 0, ' 1у=0 1у=1
(18)
где х = Т5 - М2 ш2 Ж2. Введем новую переменную V = . После ее подстановки в уравнение (18) последнее примет вид
н"- X17 2 (х-1/2) н-
щ
Ts Ж V X
1
+
X н = 0 Ну=0 = Н| у=1 = 0. (19)
у=1
Помножим уравнение (19) на комплексно-сопряженную функцию Н и полученное равенство проинтегрируем по У в интервале от у1 до У2 с учетом однородных граничных условий. В результате получим следующую квадратичную форму:
У2
F = Í
У1
(
' I2
+а Г Уц +
Ts W V X
х1/2 ( х-1/2 )
H\3
dy = 0.
Представим х в виде
-1/2 I |± 1/2 ± iф I |± 1/2 r i ■ • 1
= | e Y=| х\ [cos ф ± i sin ф], ф = arctg
X"
Г £Л
V х r J
(20)
(21)
где
Xr = Ts - M2 (m2 e2 - m2 e2), x, = -M2(mr2 ег2 + m,2 e2) e2 = Wr2 - W2, e2 = 2 WW .
2/„.2 2 , „.2 2,
Используя равенства (21), выделим из квадратичной формы (20) ее мнимую часть В результате получим, что запишется следующим образом:
У2 2
У1
F = j I -ГЦ w\2 + (хг Wr -хr W) к'г- (Xr Wr + хг Wi) к; +
+1 x |1/2| w| 2
(|x|-1/2cos ф) sinф -(x|-12sinф) cos ф
H W
-dy = 0, (22)
где
K = XlEL k = ML
1х| |х
При с^0 (или можно считать, что
2 ~ 2 = (1+ УУ )(1 + Уу / У) + а2т^х И2
m и m, = -
(1 + yv / у)2 + а2tVt Wr2
mÍ и m,2 = -
Yv (У-1аТут Wr Y[(1 + Yv/Y)2 + а2tVT Wr2;
X r и X r = Ts - mm2 M2 Wr2 , x, и X; = -m? M2 Wr2, ф и ф = arctg ( х;Д r),
K ~ K = X r Us к ~ K = X i US Y = Yvib
Yv =
|Х|
а квадратичную форму (22) записать в виде
Ъ «^ = у2 / (у)
1 - Yvib
H
-dy.
У1 И2
Здесь функция /(у) определяется следующим образом:
(23)
f (У) =
а2 Wr2 х,
+(X, Wr - X r W) Kr- (x r Wr + x, W) K; +
1/2 2 + X Wr
II n
(|x|-1/2cosф) sin ф - (| X|-12 sin ф) cosф
S
2
S
Поскольку всегда | Н |2/| Ж |2 > 0, то квадратичная форма (23) равна нулю тогда и только тогда, когда найдутся такие точки (или точка) ур, в которых функция / (24) будет обращаться в нуль:
/ (у )| = 0.
1у=ур
(25)
Условие (25) обобщает на случай колебательно-неравновесного газа условие Рэлея о необходимости существования точки перегиба на неустойчивом профиле скорости [1, 13].
В случае идеального газа (т.е. когда уУ1Ь = 0 или yv = 0) имеем Ш2 = 1, Ш2 = 0. Тогда можно считать, что Xг ~ - М2 Ж^ , XXi = 0, Кг и Щ/ Xг, К = 0 , ф = 0 . В результате из (23) и (24) получаем следующее равенство:
у2
X г -Ц'з X г
X г
Н Й
-ёу = 0,
которое иметь место только тогда, когда выполняется условие
щXг -и;Xг"
X г
= 0.
(26)
у=ур
Например, если рассматривается плоское течение Куэтта с параболическим профилем температуры (15), то из условия (26) следует, что обобщенная точка перегиба
ур = Сг
1+
(у-1)РГ 2
и с учетом первого условия Рэлея на Сг (16) лежит внутри интервала 0 < у < 1.
Заключение
В рамках модели двухтемпературной газовой динамики исследована задача линейной устойчивости плоскопараллельных сдвиговых течений термически неравновесного молекулярного газа. В результате было проведено обобщение условий Рэлея и теоремы о полукруге (теорема Ховарда) для таких течений [1, 13].
Показано, что для развития неустойчивости в сдвиговом течении термически неравновесного газа необходимо выполнение первого условия Рэлея (12) в той же форме, что для случаев однородной и стратифицированной несжимаемой жидкости [1, 13] и идеального газа [14]. Однако более жесткое условие на комплексную фазовую скорость, известное как теорема о полукруге [1, 13], удается получить лишь при некоторых дополнительных условиях, которые определяются неравенством (14). Рассмотрен пример проверки достаточного условия (14) теоремы Хо-варда для плоского течения Кутта колебательно-возбужденного молекулярного газа с параболическим профилем статической температуры потока (15).
Для случай колебательно-неравновесного газа получено обобщенное условие о необходимости существования точки перегиба на неустойчивом профиле скорости (второе условие Рэлея), которое определяется равенствами (24), (25).
ЛИТЕРАТУРА
1. Drazin P.G., Howard L.N. Hydrodynamic stability of parallel flow of inviscid fluid // Adv. Appl. Mech. N.Y.: Acad. Press, 1966. V. 9. P. 1-89.
2. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Устойчивость течений релаксирующих молекулярных газов. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2012. 230 с.
3. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Подавление вихревых возмущений релаксационным процессом в молекулярном газе // ПМТФ. 2003. Т. 44. № 4. С. 22-34.
4. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В., Ершова Е.Е. Влияние колебательной релаксации на пуль-сационную активность в течениях возбужденного двухатомного газа // ПМТФ. 2004. Т. 45. № 3. С. 15-23.
5. Ершов И.В., Зырянов К.И. Диссипация волн Кельвина - Гельмгольца в колебательно неравновесном двухатомном газе // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. № 1(17). С. 68-80 .
6. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Диссипация вихревых возмущений в колебательно неравновесном газе // Теплофиз. и аэромех. 2012. Т. 19. № 3. С. 291-300.
7. Винниченко Н.А., Никитин Н.В., Уваров А.В. Вихревая дорожка Кармана в колебательно-неравновесном газе // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 5. С. 107-114.
8. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Влияние объемной вязкости на неустойчивость Кельвина -Гельмгольца // ПМТФ. 2008. Т. 49. № 3. С. 73-84.
9. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Энергетическая оценка критических чисел Рейнольдса в сжимаемом течении Куэтта. Влияние объемной вязкости // ПМТФ. 2010. Т. 51. № 5. С. 59-67.
10. Ершов И.В. Энергетическая оценка критических чисел Рейнольдса в течении Куэтта колебательно-неравновесного молекулярного газа // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. № 2(18). С. 99-112 .
11. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Критические числа Рейнольдса в течении Куэтта колебательно возбужденного двухатомного газа. Энергетический подход // ПМТФ. 2012. Т. 53. № 4. С. 57-73.
12. Нагнибеда Е. А., Кустова Е.В. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов. СПб.: Изд-во С.-Петербурского ун-та, 2003. 272 с.
13. Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости. М.: Физматлит, 2005. 288 с.
14. Blumen W. Shear layer instability of an inviscid compressible fluid // J. Fluid Mech. 1970. V. 40. Part 4. P. 769-781.
15. Duck P.W., Erlebacher G., Hussaini M.Y. On the linear stability of compressible plane Couette flow // J. Fluid Mech. 1994. V. 258. P. 131-165.
16. Hu S., Zhong X. Linear stability of viscous supersonic plane Couette flow // Phys. Fluids. 1998. Vol. 10. No. 3. P. 709-729.
17. MalikM., Dey J., Alam M. Linear stability, transient energy growth, and the role of viscosity stratification in compressible plane Couette flow // Physical Rev. E. 2008. V. 77. Issue 3. P. 036322-1-036322-15.
Статья поступила 20.05.2013 г.
Ershov I.V. THE LINEAR STABILITY OF AN INVISCID SHEAR FLOW OF A THERMALLY NON-EQUILIBRIUM MOLECULAR GAS. The problem of the linear stability of plane-parallel shear flows of a vibrationally excited molecular gas is investigated using a two-temperature gas dynamics model. The Rayleigh conditions and the semicircle theorem (Howard's semicircle theorem) are generalized to the case of a thermally non-equilibrium gas. It is shown that the instability in a shear flow is necessarily developed under the first Rayleigh condition stated in the same form as for a homogeneous and stratified incompressible liquid and ideal gas. However, a more rigid restriction (known as the semicircle theorem) on the complex phase speed can be obtained only under some additional conditions. In addition, a generalized condition about
the necessity of existence of an inflection point on an unstable speed profile (the second Rayleigh condition) is obtained.
Keywords: linear stability theory, Rayleigh conditions, semicircle theorem (Howard's semicircle theorem), vibrational relaxation, equations of two-temperature gas dynamics.
REFERENCES
1. Drazin P.G., Howard L.N. Hydrodynamic stability of parallel flow of inviscid fluid // Adv. Appl. Mech. N.Y.: Acad. Press, 1966. V. 9. P. 1-89.
2. Grigor'ev Yu.N., Ershov I.V. Ustoychivost' techeniy relaksiruyushchikh molekulyarnykh gazov. Novosibirsk: Izd-vo SO RAN, 2012. 230 p. (in Russian).
3. Grigor'ev Yu.N., Ershov I.V. Podavlenie vikhrevykh vozmushcheniy relaksatsionnym protses-som v molekulyarnom gaze // PMTF. 2003. V. 44. No. 4. P. 22-34(in Russian).
4. Grigor'ev Yu.N., Ershov I.V., Ershova E.E. Vliyanie kolebatel'noy relaksatsii na pul'satsion-nuyu aktivnost' v techeniyakh vozbuzhdennogo dvukhatomnogo gaza // PMTF. 2004. V. 45. No. 3. P. 15-23 (in Russian).
5. Ershov I.V., Zyryanov K.I. Dissipatsiya voln Kel'vina - Gel'mgol'tsa v kolebatel'no nerav-novesnom dvukhatomnom gaze // Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika. 2012. No. 1(17). P. 68-80 (in Russian).
6. Grigor'ev Yu.N., Ershov I.V. Dissipatsiya vikhrevykh vozmushcheniy v kolebatel'no nerav-novesnom gaze // Teplofiz. i aeromekh. 2012. V. 19. No. 3. P. 291-300 (in Russian).
7. Vinnichenko N.A., Nikitin N.V., Uvarov A.V. Vikhrevaya dorozhka Karmana v kolebatel'no-neravnovesnom gaze // Izv. RAN. MZhG. 2005. No. 5. P. 107-114 (in Russian).
8. Grigor'ev Yu.N., Ershov I.V. Vliyanie ob"emnoy vyazkosti na neustoychivost' Kel'vina -Gel'mgol'tsa // PMTF. 2008. V. 49. No. 3. P. 73-84 (in Russian).
9. Grigor'ev Yu.N., Ershov I.V. Energeticheskaya otsenka kriticheskikh chisel Reynol'dsa v szhimaemom techenii Kuetta. Vliyanie ob"emnoy vyazkosti // PMTF. 2010. V. 51. No. 5. P. 59-67 (in Russian).
10. Ershov I.V. Energeticheskaya otsenka kriticheskikh chisel Reynol'dsa v techenii Kuetta kole-batel'no-neravnovesnogo molekulyarnogo gaza // Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo uni-versiteta. Matematika i mekhanika. 2012. No. 2(18). P. 99-112 (in Russian).
11. Grigor'ev Yu.N., Ershov I.V. Kriticheskie chisla Reynol'dsa v techenii Kuetta kolebatel'no vozbuzhdennogo dvukhatomnogo gaza. Energeticheskiy podkhod // PMTF. 2012. V. 53. No. 4. P. 57-73 (in Russian).
12. Nagnibeda E.A., Kustova E.V. Kineticheskaya teoriya protsessov perenosa i relaksatsii v potokakh neravnovesnykh reagiruyushchikh gazov. SPb.: Izd-vo S.-Peterburskogo un-ta, 2003. 272 p. (in Russian).
13. Drazin F. Vvedenie v teoriyu gidrodinamicheskoy ustoychivosti. Moscow: Fizmatlit, 2005. 288 p. (in Russian).
14. Blumen W. Shear layer instability of an inviscid compressible fluid // J. Fluid Mech. 1970. V. 40. Part 4. P. 769-781.
15. Duck P.W., Erlebacher G., Hussaini M.Y. On the linear stability of compressible plane Couette flow // J. Fluid Mech. 1994. V. 258. P. 131-165.
16. Hu S., Zhong X. Linear stability of viscous supersonic plane Couette flow // Phys. Fluids. 1998. Vol. 10. No. 3. P. 709-729.
17. Malik M., Dey J., Alam M. Linear stability, transient energy growth, and the role of viscosity stratification in compressible plane Couette flow // Physical Rev. E. 2008. V. 77. Issue 3. P. 036322-1-036322-15.
ERSHOV Igor Valer'evich
(Novosibirsk State Agrarian University, Novosibirsk, Russian Federation) E-mail: [email protected]
