Об устойчивости стационарных режимов в одной системе нелинейных ОДУ, возникающей при моделированииавтотранспортных потоков Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 3

А. И. Назаров

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ В ОДНОЙ СИСТЕМЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ОДУ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ АВТОТРАНСПОРТНЫХ ПОТОКОВ*

В некоторых моделях автотранспортных потоков (см. [1], [2]) сеть дорог представляется в виде ориентированного графа, каждое ребро которого г = 1,...,Ж характеризуется так называемой основной диаграммой, т. е. функцией /г(рг), задающей зависимость интенсивности движения от плотности транспортного потока (£). Кроме того, задается N х Ж-матрица перемешивания (а^ (£)), определяющая распределение переходов автомобилей с одних ребер на другие. В простейшей постановке матрица (а^) считается постоянной. Кроме того, будем считать, что в системе отсутствуют источники и стоки, и, следовательно, общая масса потока остается неизменной.

Предполагается, что скорость изменения плотности потока на каждом ребре пропорциональна разности между суммарной интенсивностью потоков, поступающих на данное ребро, и интенсивностью потока на самом ребре. После естественной перенормировки (приведения всех длин ребер к единичной) соответствующий поток описывается системой ОДУ

где Ег - перенормированная функция основной диаграммы на г-м ребре.

Матрица (а^), очевидно, является стохастической, т.е. все ее элементы неотрицательны, и ^г а^ = 1 для всех Кроме того, естественно считать сеть связной (т.е. с любого ребра можно попасть на любое другое), поэтому матрица (а^) неразложима.

Для основной диаграммы в литературе часто используется т. н. модель Гриншильда, когда функции ]г (и, следовательно, Ег) предполагаются квадратичными:

при р > Кг полагают Ег = 0 (пробка на дороге). См., например, [1], [2]; см. также [3], где изучается более сложная модель одной дороги, описываемая уравнением в частных производных. Мы будем рассматривать более общую модель основной диаграммы: предположим, что каждая функция Ег непрерывно дифференцируема на сегменте 0 ^ р ^ Кг, обращается в нуль на краях сегмента и имеет на нем единственную стационарную точку (максимум). Интервал возрастания функции Ег будем называть «восходящим склоном» основной диаграммы, интервал убывания — «нисходящим склоном», а точку максимума — вершиной.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-00675a) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-8336.2006.1).

© А.И.Назаров, 2006

Введение

(1)

Е(р) = щр(К - р), 0 < р < Кг,

(2)

1N А = 01. (4)

В настоящей работе исследуется вопрос о локальной устойчивости положений равновесия (стационарных режимов) системы (1), удовлетворяющих условию отсутствия пробок: 0 < рг < Кг для всех г = 1,...,Ж.

В статье используются обозначения: е3 —вектор стандартного базиса, —единичная матрица порядка N, ^, 0N — Ж-мерные столбцы из единиц и нулей соответственно.

Исследование системы (1)

Перепишем систему (1) в матричном виде:

Л = ЛР('), (3)

где р = (рг) —вектор-столбец высоты N, Е = (Ег) —отображение ^ , А = (а^) = (агу — ) — N х Ж-матрица. Из свойств матрицы перемешивания следует, что а3 = 0 для всех или

= и N.

Кроме того, агг < 0 для всех г = 1,...,Ж, а3 ^ 0 при г = ].

Из (3) и (4) следует, что ^(1^/э) = 0, что, естественно, означает сохранение общей массы потока.

Положения равновесия системы (1) определяются системой

N

]ГРг = М, Е(рг ) = 1Хг, г = 1,...,Ж, (5)

г=1

где М — масса потока, х = (хг) —собственный вектор матрицы А, соответствующий нулевому собственному числу (по теореме Перрона — Фробениуса [4, 11.5.5] этот вектор единствен с точностью до множителя, и все хг положительны).

Вообще говоря, система (5) не обязана иметь решения при произвольном 0 < М < г Кг. При М, близких к нулю или к ^г К, существование и единственность такого решения следует из теоремы о неявной функции.

Отметим, что при заданном М среди решений (5) может быть не более одного, у которого все координаты лежат на «восходящем склоне» основной диаграммы, т.е. ЕКРг) > 0 для всех г. Это также следует из теоремы о неявной функции, поскольку из (5) вытекает

¿М N хг

¿1 г=1 ^(РгУ

и в пределах «восходящего склона» 7 зависит от М монотонно.

Пусть для данного М система (5) имеет хотя бы одно решение р. Тогда для решения вопроса об устойчивости следует рассмотреть ограничение системы (1) на инвариантное многообразие ^г рг = М, т.е. систему

, N-1 , N-1 \

+ г = 1,...,ЛГ-1. (1')

3 = 1 3 = 1

Обозначим А матрицу (Ж — 1) х N, составленную из первых N — 1 строк матрицы А. Тогда систему (1') можно переписать в матричном виде так:

где р — вектор-столбец высоты N — 1, Е — отображение ^ :

£(р)= (е(р-1),...,Ем-1(рм-1),Еы(и — рзУ) .

Лемма 1. Характеристические полиномы матриц линейного приближения систем (1) и (1') связаны соотношением

Е(А) = \Ру (X). (6)

Доказательство. Матрица линейного приближения системы (1) в точке р равна А - ВЕ(р), где ВЕ(р) = diag(Е/(рi)) —матрица Якоби отображения Е. Аналогично, матрица линейного приближения системы (1') в точке р равна А • ВЕ(р).

Заметим, что из (4) следует А = ЗА, где 3 = _1; — Т — матрица Nх N—1). С другой стороны, легко видеть, что

Вр(р) = ВЕ(р) • 3.

Как известно (см., например, [4, 1.2.15.15]), характеристические полиномы матриц 3 А^ ВЕ(р) и А • ВЕ(р)3 связаны соотношением (6). □

Таким образом, положение равновесия р локально устойчиво по линейному приближению тогда и только тогда, когда матрица А = А • ВЕ(р) полуустойчива, причем на мнимой оси лежит только нулевое собственное число кратности 1. В дальнейшем будем предполагать, что равновесие не вырождено, т. е. не более одной координаты р ц попадает на вершину основной диаграммы (в противном случае, очевидно, нуль является кратным собственным числом матрицы А).

По теореме Гершгорина [4, 111.2.2.1] в каждом круге

^ € С : \г — аЦ < ^\ац \ } , з = 1,...^,

лежит собственное число матрицы А. Поскольку, очевидно, А = , и для каждого з все ац, г = з, имеют одинаковые знаки, получаем \ацц \ = ^\ац \, и потому все круги Гершгорина касаются друг друга в начале координат. Отметим еще, что ац = а цЕ'(рц), и, следовательно, для каждой координаты р , лежащей на «восходящем склоне» основной диаграммы, центр соответствующего круга Гершгорина лежит на отрицательной вещественной полуоси, и наоборот.

Поскольку круги Гершгорина пересекаются с мнимой осью только в начале координат, важно изучить случай, когда нуль является кратным собственным числом матрицы А. Для простоты ограничимся рассмотрением случая кратности два. Следующая лемма является конкретизацией общей теории возмущений (см., например, [5, гл.11]) для нашей задачи.

Лемма 2. Пусть нуль — собственное число матрицы А кратности два. Рассмотрим .матрицу А(е) = А • diag(e, 1,..., 1). Тогда одно из собственных чисел матрицы А(е) (обозначим его Х(е)) пересекает мнимую ось при £ = 1 с ненулевой скоростью, т. е. А(1) = 0, А'(1) = 0.

Доказательство. Прежде всего покажем, что в условиях леммы Е'р) = 0, г = 1,...,Ж. Действительно, если, например, Е{(Х1) = 0, то 1ш(ВЕ(р)) ± е1, и потому X € 1ш(ВЕ(р)). Отсюда гапк(А) = гапк(ВЕ(р)) = N — 1, т.е. собственному числу нуль должна соответствовать нетривиальная жорданова клетка. Но это означает, что е1 € 1ш(А), что невозможно.

Из Е'(рг) = 0 следует гапк(А) = гапк(А) = N — 1, т. е. собственному числу нуль соответствует нетривиальная жорданова клетка. Поэтому система

Ах = 0, Ау = х (7)

„0 „,0\ „„„гшт |„.0| — 1 Л..0 „,0\

имеет нетривиальное решение (х , у0), причем можно считать, что |х0| = 1, (у0, х ) = 0. Отметим, что из разрешимости системы (7) следует (х0, ^) = 0, но (у0, ^) = 0, поскольку жорданова клетка имеет размерность два. При £, близких к единице, рассмотрим систему

0

А(£)х = 0, (х,х0) = 1; (8)

А(ф = Ау + х, (у, х0) = 0 (8)

относительно (х,у,А). Очевидно, при £ = 1 система (8) имеет решение (х0,у0,0).

Первая строка в (8) есть линейная система относительно х. Поскольку из ее N +1 уравнений только N независимых, и при £ = 1 ее решение единственно, для £, близких к единице, решение также единственно и гладко зависит от £.

Далее, вторая строка в (8) при заданном х(£) есть нелинейная система относительно (у, А). Покажем, что дифференциал отображения

Т

: (у, А) ^ (а(£)у — Ау — х(£), (у,х°))

при £ = 1 в точке (у0,0) —невырожденное отображение М-^ + 1 ^ М-^ + 1. Действительно, уравнение ВТ (к, р) = 0N+1 переписывается в виде

АН = у0р, (к, х0) = 0.

Ввиду (у0,1N) = 0 имеем у0 € 1ш(А), и потому р = 0, а тогда и к = 0.

По теореме о неявной функции система (8) при £, близких к единице, имеет единственное решение (х(£),у(£),А(£)), удовлетворяющее условию А(1) =0 и гладко зависящее от £. Полагая г(£) = А(£)у(£) + х(£), получим А(£)г(£) = А(£)г(£), т. е. А(£) — собственное число матрицы А(£).

Осталось найти А'(1). Дифференцируя первую строку в (8), получим

Ах'(1) = —А'(1)х0 = —х0Ае1,

откуда х'(1) = — х^е! + ех° и (х'(1), 1N) = — х°. Заметим, что ВЕ(р)х0 || X, и потому х? = 0.

Далее, умножив вторую строку в (8) скалярно на ^, получим А(£)(у(£), 1N) + (х(£), 1N) = 0. Дифференцируя это соотношение, получим А'(1)(у0, ^) + (х'(1), 1N) = 0, откуда А'(1) =0. □

Лемма 3. Пусть среди чисел Е'(рг), г = 1ровно т отрицательных. Тогда количество собственных чисел матрицы А, имеющих положительную вещественную часть, равно либо т, либо т — 1.

Доказательство проведем от противного. Пусть таких собственных чисел больше т. Тогда рассмотрим матрицу (А—еТN) • ВЕ(р), е > 0. Радиусы кругов Гершгорина при этом не меняются, а центры сдвигаются от мнимой оси, поэтому в правой полуплоскости образуются т кругов, не имеющих общих точек с остальными N — т кругами. Но из соображений непрерывности при достаточно малом е их объединение содержит больше т собственных чисел, что невозможно ([4, 111.2.2.5]). Аналогично рассматривается случай, когда количество собственных чисел, имеющих отрицательную вещественную часть, больше N — т.

Пусть теперь среди собственных чисел матрицы А два нулевых, N — т имеют отрицательную вещественную часть и т — 2 — положительную. Тогда рассмотрим матрицу А(е), введенную в лемме 2. При подходящем выборе знака приращения (е — 1) одно из нулевых собственных чисел сдвигается в левую полуплоскость, и дело сводится к предыдущему случаю.

Остальные вырожденные случаи рассматриваются аналогично, с использованием подходящего аналога леммы 2. □

Из леммы 3 следует, что положение равновесия, у которого все координаты лежат на «восходящем склоне» основной диаграммы, локально устойчиво. Если же хотя бы две координаты лежат на «нисходящем склоне», то равновесие локально неустойчиво.

Лемма 4. Пусть среди чисел Е'(рг), г = 1,...^, одно (для определенности, первое) отрицательно, а остальные положительны. Обозначим х0 собственный вектор матрицы А, соответствующий нулевому собственному числу. Тогда выполнение неравенства

N

х° х0 > 0 (9)

г=1

равносильно локальной устойчивости положения равновесия по линейному приближению.

Доказательство. Рассмотрим матрицу А(е), введенную в лемме 2. Собственный вектор этой матрицы, соответствующий нулевому собственному числу, равен (1 — е)х°е1 + ех0. Лемма 3 показывает, что при е = 0 остальные собственные числа находятся в левой полуплоскости. При увеличении е собственное число может пересечь мнимую ось только в нуле, причем из доказательства леммы 2 видно, что это происходит с образованием нетривиальной жордановой клетки. Последнее возможно только при ((1 — е)х°е1 + ех0, 1N) = 0, или е = ео = —хЧ/^2г=1 х0 (напомним, что ВЕ(р)х° || р, и потому все знаки х0, г = 1, одинаковы, а знак х° —другой, т. е. ео > 0).

Отсюда очевидно, что необходимым и достаточным условием локальной устойчивости положения равновесия по линейному приближению является е0 > 1, что равносильно (9). □

Подытожим полученные результаты.

Теорема 1. Положение равновесия р локально устойчиво, если выполнено любое из следующих условий:

• N — 1 из чисел Е'(Хг), г = 1,...,^ положительны, а оставшееся — неотрицательно;

• N — 1 из чисел Е'(Хг) положительны, одно — отрицательно, и

Положение равновесия р локально неустойчиво, если выполнено любое из следующих условий:

• среди чисел Е'(Хг), г = 1,...,^ есть одно отрицательное и еще одно неположительное;

• N — 1 из чисел Е'(Хг) положительны, одно — отрицательно, и

Доказательство. Утверждение теоремы следует непосредственно из лемм 2-4, если учесть, что в лемме 4 вектор можно положить х0 = (ВЕ(р))-1Е(р), при этом х01 < 0. □

Пример. Пусть все дороги в сети одинаковы (и, таким образом, одинаковы все функции Ег = Е и Кг = К). Пусть, кроме того, матрица перемешивания - бистохасти-ческая, т. е. ^^ агз = 1 для всех г (простейший случай такой матрицы соответствует сети, в которой все развязки также одинаковы, и потоки распределяются в них поровну между всеми возможными направлениями). Предположим, наконец, что основная диаграмма симметрична, т.е. Е(К — р) = Е(р), как это имеет место в классическом случае (2). Тогда легко видеть, что X = ^. Отсюда следует, что в любом положении равновесия все компоненты Ег(рг) равны между собой, и все |Е'(Хг)1 также одинаковы. Поэтому неравенство (10) не может выполняться, и единственным локально устойчивым положением равновесия остается то, у которого все координаты лежат на «восходящем склоне» основной диаграммы, что возможно только при М < NК/2. Отметим, что для некоторых простейших сетей это утверждение было получено в [6].

Некоторые обобщения

Система (1) допускает естественное обобщение на случай смешанных потоков. Рассмотрим, например, двухкомпонентную задачу, описывающую поток, состоящий из машин двух различных типов:

= Е агзЕз(Рз + ~ ЫРг + ),

¿Ъг N

= Е &заАРз +аз)~ +

г =1,...,^ (11)

где (агз) и (вз) —неразложимые стохастические матрицы, а (Ег) и (Ог) —перенормированные функции основных диаграмм для машин первого и второго типов. При этом

для каждого ребра г интервалы положительности (0, Кг) для функций Ег и Ог одинаковы.

Складывая попарно уравнения в (11), получим систему N х N

где т = (тг) = (рг + аг).

Очевидно, каждое положение равновесия системы (11) является и положением равновесия системы (12); обратное же неверно. Однако каждое положение равновесия системы (12) определяет инвариантное ^мерное многообразие системы (11), динамика на котором несущественна для модели. Поэтому достаточно изучать устойчивость положений равновесия системы (12).

Пусть т — положение равновесия системы (12). Тогда справедлив аналог леммы 1, и потому вопрос о локальной устойчивости тр сводится к вопросу о собственных числах матрицы С = А • ВЕ(г) + В • ВО(г). Очевидно, ^С = 0N. Если вдобавок для каждого 3 все Сц, г = 3, имеют одинаковые знаки, то рассуждения лемм 2-4 полностью переносятся на двухкомпонентную задачу. Таким образом получается следующая теорема.

Теорема 2. Пусть для каждого 3 все Сц, г = 3, имеют одинаковые знаки. Тогда:

1. Положение равновесия тр локально устойчиво, если выполнено любое из следующих условий:

• N — 1 из чисел Сгг, г = 1,...,^ отрицательны, а оставшееся — неположительно;

• N — 1 из чисел Сгг отрицательны, одно (для определенности, к-е) — положительно, и собственный вектор х0 матрицы С, соответствующий нулевому собствен-

N

ному числу, удовлетворяет неравенству х°к • ^ х0 > 0.

г=1

2. Положение равновесия г локально неустойчиво, если выполнено любое из следующих условий:

• среди чисел Сгг, г = 1,...,^ есть одно положительное и еще одно неотрица-

• N — 1 из чисел Сгг отрицательны, одно (для определенности, к-е) — положительно, и собственный вектор х0 матрицы С, соответствующий нулевому собствен-

N

ному числу, удовлетворяет неравенству х°к • ^ х0 < 0.

г=1

Отметим, что условие "для каждого 3 все Сц, г = 3, имеют одинаковые знаки" заведомо выполнено, если

В свою очередь, условие (13) заведомо выполнено для всех положений равновесия р, если основные диаграммы симметричны (Ег(Кг — т) = Ег(т), Ог(Кг — т) = Ог(т)).

(12)

тельное;

Е'(п) • Сг(гг) > 0, г = 1,...,^

(13)

Я признателен А. П. Буслаеву за постановку задачи.

Summary

A. I. Nazarov. On stability of stationary points in a nonlinear ODE system arising in models of traffic currents.

We study the problem of local stability of stationary points in a nonlinear ODE system on a graph. This system arises when describing traffic currents. We obtain a local stability criterion in terms of transition matrix and basic diagram functions.

Литература

1. Дрю Д. Теория транспортных потоков и управление ими. М., Транспорт, 1972. 424 с.

2. Луканин В.Н., Буслаев А. П., Трофименко Ю. В., Яшина М. В. Автотранспортные потоки и окружающая среда. Учеб. пособие для вузов / Под ред. В. Н. Луканина. М., Инфра-М, 1998. 408 с.

3. Aubin J.-P., Bayen A. M., Saint-Pierre P. A viability approach to Hamilton—Jacobi equations: application to concave highway traffic flux functions // Proc. of the 44th IEEE Conference on Decision and Control, and the European Control Conference 2005. P. 3519-3524.

4. Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. Изд. 2. М., УРСС, 2004. 232 с.

5. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М., Мир, 1972. 740 с.

6. Буслаев А. П., Таташев А. Г., Яшина М. В. О свойствах решений одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений на графах // Владикавказский математический журнал, ВНЦ РАН, 2004. Т. 6. Вып. 4. С. 4-18.

Статья поступила в редакцию 10 апреля 2006 г.