Элементарное доказательство теоремыо стабилизируемости линейных управляемых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-50

Г. А. Леонов, М. М. Шумафов

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 3 (№17)

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О СТАБИЛИЗИРУЕМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

1. Введение. Одной из основных задач математической теории управления линейными объектами является задача их стабилизации с помощью линейной обратной связи. Задача построения стабилизирующей линейной обратной связи является классической и рассматривалась многими авторами. Ее решение хорошо известно (см., например, [1-7].) Однако все существующие доказательства теоремы о стабилизации для векторного (когда число управляющих воздействий больше единицы) и вещественного случая, достаточно громоздки.

В настоящей статье предлагается элементарное доказательство теоремы о стабилизации.

2. Постановка задачи. Рассмотрим линейную систему

х = Ах + Ьи, х € К", и € Кт, (1)

где А и Ь — произвольные вещественные постоянные матрицы порядков п х п и п х т соответственно, х = х(Ь) — вектор состояния, и = и(Ь) — вектор управления, т > 1.

Напомним определения полной управляемости и стабилизируемости системы (1).

Определение 1. Система (1) называется полностью управляемой (пара (А,Ь) называется полностью управляемой), если для любых векторов хо € К", Х1 € К" и любых ¿о < ¿1 существует такое управление и(Ь) (являющееся, кусочно-непрерывной функцией, заданной на [¿о, ¿1]), что для решения х(Ь) системы (1) с этим управлением и с начальным условием х(Ьо) = хо выполнено равенство х(Ь{) = XI.

Определение 2. Система (1) называется стабилизируемой (пара (А, Ь) называется стабилизируемой), если существует такая обратная связь

и = з*х, (2)

где з — вещественная постоянная (п х т)-матрица, что замкнутая система (1), (2), т.е. система

х = (А + Ьз*)х

асимптотически устойчива.

Здесь знак * означает транспонирование.

Задача стабилизации системы (1) (или пары (А,Ь)) сводится к следующей алгебраической задаче: даны вещественные (п х п) и (п х т)-матрицы А и Ь соответственно; найти вещественную (п х т)-матрицу з такую, чтобы матрица А + Ьз* была гурвицевой, т.е. чтобы все собственные значения матрицы А + Ьз* имели отрицательные вещественные части.

Все рассматриваемые в настоящей статье векторы и матрицы являются вещественными. Поэтому слово «вещественный» мы будем далее часто опускать.

3. Вспомогательные утверждения. Напомним лемму, устанавливающую некоторые хорошо известные свойства полностью управляемой системы (1).

© Г.А.Леонов, М.М. Шумафов, 2003

Лемма 1 [4, 8]. Необходимым и достаточным условием полной управляемости системы (1) является выполнение одного из следующих условий: (1у) Ранг (п х пт) -матрицы

K = \\b,Ab, ■■■ ,A

n-1.

(3)

равен п.

(11у) Не существует неособой (п х п)-матрицы Q такой, что преобразованные матрицы

A = Q-1AQ, b = Q-1b

1

(4)

вид:

A=

или

A=

A11 A12 } n1

0 A22 } n2

П1 П2

A11 0 } n1

A21 A22 } n2

n1 n2

b=

b=

} ni } П2

} n1 } П2

(5)

(сбоку и внизу указаны размерности соответствующих матриц).

Следующие четыре леммы почти очевидны и доказываются с использованием леммы 1.

Лемма 2. Если пара (А, Ь) полностью управляема, то для любой (п х т)-матрицы в пара (А + Ьв*,Ь) также полностью управляема.

Лемма 3. Пусть пара (А, Ь) полностью управляема. Тогда полностью управляема также и пара (А,Ь), где матрицы А иЬ определены формулами (4).

Лемма 4. Пусть полностью управляемая система (1) невырожденным преобразованием переменных

х = Qy, у е М" (6)

(Q — неособая матрица) приведена к виду

Í 2/1 = Ayi +biu, yi e R,

\ У2 = Cy + b2u, У2 e R

где X e R, C — .матрица порядка (n — 1) x n, ^ = (bu, ■ ■ порядка (n — 1) x m, u = (u1, ■ ■■ , um)* e Rm, y = (y1; У2) Тогда существует ортогональное преобразование

1

(7)

г)* e Rm, b2 — матрица

и = ТУ (V е Мт),

(ТТ* = Е, Е — единичная (т х т)-матрица) такое, что в преобразованной матрице-строке Ь[ = Ь\Т первый элемент Ь'и = 0 (здесь Ь[ = (Ь'и, ■ ■ ■ , Ь'1т)).

Доказательство. Пусть Ьц = 0 (если Ьц = 0, то, полагая Т := Е, получаем утверждение леммы 4). Тогда в силу полной управляемости системы (1) существует такой номер к е {2, ■ ■ ■ , т}, что Ь^ =0 (в противном случае матрицы коэффициентов

имеют

b1

при у и и системы (7) приняли бы вид (5) и, тем самым, система (1) была бы не полностью управляемой в силу леммы 1). Введем переобозначения

VI = ик, = и1, = Последние равенства можно записать в виде

и = ТУ,

(3 = 1,к).

(8)

где Т — матрица, получающаяся из единичной матрицы Е перестановкой 1-го и к-го столбцов. Очевидно, что у матрицы Ь' = ЬТ элемент Ь'ц = Ь^ = 0. Лемма 4 доказана.

Замечание 1. В силу леммы 4, без умаления общности, можно всегда считать, что в (7) Ьц =0.

Лемма 5. Пусть полностью управляемая система (1) невырожденным преобразованием переменных (6) приведена к виду

У1 = А1У1 + А2У2 + Ь^и, У2 = А3У1 + А4У2 + Ь2и, У3 = Ву + Ьзи,

У1 € К, У2 € К, Уз € К"-2,

где Аз € К (3 = 1,

• • , 4), В — матрица порядка (п — 2) х п, Ь, матрица порядка (п — 2) х т, и = (и1, • •

(Ьц,

(9)

)* € У =

€ К"

Ту такое, что в преобразо-

К" ^ = 1,2), Ь3 (У1,У2\Уз)*.

Тогда существует ортогональное преобразование и ванных матрицах-строках

ь[ = ь{Т, Ь2 = Ь2Т

по крайней мере один из первых элементов Ь'ц, Ь'21 отличен от нуля: Ь'ц = 0 или Ь'21 =0 (здесь Ц = (Ь'ц, • • • ,Ь"), г = 1, 2).

Доказательство аналогично доказательству леммы 4. Действительно, в силу полной управляемости системы (1) согласно свойству (11у) леммы 1 должно быть: Ь1 = 0 и Ь2 =0. Если Ьц = 0 или Ь21 = 0, то утверждение леммы 5 доказано (Т := Е). Пусть Ьц = Ь21 = 0. Тогда, в силу сказанного выше, по крайней мере одно из чисел Ь^2, • • • , Ъ" (г = 1, 2), скажем Ъ^и, к € {2, • • • , т}, отлично от нуля. Далее, сделав преобразование (8), получим утверждение леммы 5. Лемма 5 доказана.

Замечание 2. В силу леммы 5, без умаления общности, всегда можно считать, что в (9) или Ьц = 0, или Ь21 = 0.

Следующие две леммы просты и доказываются легко. Лемма 6. Пусть

Ь1 Ьз

В =

Ь2 Ь4

С =

—в

— матрицы порядков (2 х 2) (Ь^, а, в € К, 3 = 1, ■ |Ь4| =0.

Тогда существует вещественная матрица

, 4), причем в = 0, |Ь11 + |Ь21 + |Ьз| +

К = г1 гз

г2 Г4

(гз € К, 3 = 1, • • • , 4) такая, что матрица С + ВК имеет только вещественные собственные значения.

и

з

Доказательство. Если: 1) = 0, то положим

2) Ь2 =0, то положим

3) Ьз = 0, то положим

4) Ь4 = 0, то положим

г 1 = Г2 = г4 = 0, гз = ¡З/Ь1;

Г2 = гз = Г4 = 0, Г1 = -в/Ь2;

Г1 = Г2 = гз = 0, Г4 = в/Ьз;

Г1 = Гз = Г4 = 0, Г2 = -в/Ь4-

Во всех четырех случаях 1)-4) матрица С + БЕ имеет только вещественные собственные значения. Лемма 6 доказана. Лемма 7. Если

Б=

С =

а —в

в а

— матрицы порядков 2 х 1 и 2 х 2 соответственно (Ь] ,а,в е М, у = 1, 2), причем в = 0, |Ь11 —| |Ь21 = 0, то существует вещественная матрица-строка Е = ||Г1,Г2 У (г] е М, ] = 1, 2) такая, что матрица С + БЕ имеет только вещественные собственные значения.

Следующие две леммы позволяют по заданной матрице с невещественными собственными значениями построить другую матрицу, все собственные значения которой уже вещественны.

Лемма 8. Пусть Л и Б — вещественные (п х п)- и (п х т)-матрицы соответственно, пара (Л, Б) полностью управляема и все собственные значения матрицы Л невещественны.

Тогда существует (тхп)-матрица (вещественная) Е такая, что все собственные значения матрицы Л + БЕ вещественны.

Доказательство. Пусть А1, А1; ■ ■ ■ ; \£, \е(А], А] = а] ± гв], в] = 0,з = 1, ■ ■ ■ ,£; п = 21) — собственные значения матрицы Л с учетом их кратности.

Приведя матрицу Л с помощью преобразования подобия

Л = Q^1ЛQo,

где Qo — неособая матрица, к вещественной «нижней» жордановой нормальной форме [9,10], запишем Л в виде

С1 О2 О2 . .. О2 О2

С2 О2 . .. О2 О2

О2 ^2 Сз . .. О2 О2

О2 О2 О2

С

Л = : : : .. : , С] = а/ в , О2 =00 У = 1,2, ■ ■ ■ ,е),

в]

(10)

где ^2 либо двумерная единичная, либо двумерная нулевая матрица. Все элементы, стоящие над матрицами С], нулевые, а элементы под С] состоят из нулей или единиц.

]

Пусть

В := д-1В

Ви в 12 }2

в 21 В 22 } п — 2 (т > 2) . (11)

2 т-2

В случае т = 1 Вц и В21 — одностолбцовые матрицы размерностей 2 и п — 2 соответственно.

Так как пара (Л, В) полностью управляема, согласно лемме 5 Вц = 0 (см. замечание

2). В В В ВВ

1) Построим (т х п)-матрицу К? 1 такую, чтобы матрица Л1 := Л + ВК1 имела вид:

Л1

Вг 0 }2

П1 }п—2 (12)

2 "-2

где В1 — некоторая (2 х 2)-матрица, имеющая два (быть может равных) вещественных собственных значения, — (п — 2) х (п — 2)-матрица, собственные значения которой суть А2, Х2] • • • А£, А£, а 6*1 — некоторая (п — 2) х 2-матрица. Положим

К

Д'и 0 }2

0 0 } т — 2 (т > 2) , (13)

2

где (2 х 2)-матрица Кц подлежит определению (в случае т = 1 Кц — матрица-строка размерности 2).

Из (10), (11), (13) имеем

Л + ВВ1 =

С1 + ВцЯ'Ц 0 }2

Р + В^В'Ц П1 } п — 2, (14)

"-2

где

а

С2 02

^2 Сз 02 ^2

02 02

02

О2 02 ... С

Г :

Г2 02

02

(15)

(П1 — (п — 2) х (п — 2)-матрица, Г — (п — 2) х 2-матрица).

По лемме 6 (при т = 1 по лемме 7) существует матрица Кц такая, что матрица

С1 + Вц К[1

имеет только вещественные собственные значения. Следовательно, матрица (14) имеет вид (12), где

В1 = С1 + ВцК'ц, 61 = Г + В21 К'ц.

Очевидно, что

Л1 =Л + БК1 = Q-1(Л + . (16)

Из (12) и (16) следует, что матрица

Л1 :=Л + БЕ1, (17)

где Е1 = i?lQ-1, имеет два вещественных (быть может равных) и п — 2 невещественных собственных значений А2, А2; ■ ■ ■ ; А£, Ае. По лемме 2 пара (Л1,Б) полностью управляема, так как полностью управляема пара (Л, Б).

2 Далее, делая последовательно в матрице (12) перестановку строк и столбцов, переместим из левого верхнего угла этой матрицы вдоль главной диагонали в ее правый нижний угол. Эта операция, очевидно, эквивалентна последовательному умножению матрицы Л1 справа и слева на симметрические ортогональные матрицы Т1,Т2,..., Те— 1, получающиеся из единичной матрицы порядка '21 перестановкой строк (или столбцов) соответственно с номерами 1-й и 3-й, 2-й и 4-й (матрица Т1), 3-й и 5-й, 4-й и 6-й (матрица Т2), ..., (21 — 3)-й и (21 — 1)-й, (21 — 2)-й и '21-й (матрица Те— 1). В результате вдоль главной диагонали матрицы Т*Л1Т, где Т = Т1 Т2 ■ ■ ■ Те—1, подматрицы ^1, С] (у = 1) будут идти в следующем порядке: С2, Сз, С4,..., Се, ^1.

Так как матрица Т ортогональна, то матрица Т* В\Т подобна матрице Л1, и, следовательно, имеет тот же набор собственных чисел, что и матрица Л1. Матрица Т*Л 1Т, вообще говоря, уже не имеет нижнего треугольного вида (12). Поэтому сделаем над этой матрицей преобразование подобия Р1

Л1 = Р—1(Т*Л1Т)Р1 ^ Р1 = 0),

приводящее ее к нижнему треугольному виду, например, к вещественной «нижней» жордановой нормальной форме:

Л1 = Q—1Л

С2 О2 О2 . .. О2 О2

Сз О2 . .. О2 О2

О2 С4 . .. О2 О2

О2 О2 О2 . . Се О2

О2 О2 О2 . . о 1

(18)

Здесь Ql = ТР1, 1)1 — (2 х 2)-матрица, имеющая только вещественные собственные значения — те же, что и матрица ^1. Пусть

Б := Q—11Б

Вп ¿>12 } 2

¿>21 ¿>22 } п — 2 (т > 2)

(19)

2

При т =1 Вп и В21 — одностолбцовые матрицы размерностей 2 и п—2 соответственно.

Поскольку пара (Л1,Б) полностью управляема, то по лемме 3 полностью управляемой будет и пара (Л1, В). Поэтому БВц =0 в силу леммы 5 (см. замечание 2).

Как и в п. 1 построим (т х п)-матрицу К2 такую, чтобы матрица Л2 имела вид

Л 2

Л1 + BK2

D2 0 } 2

G2 п2 } n - 2 (20)

1-2

где В2 — некоторая (2 х 2)-матрица, собственные значения которой вещественны, ^2 — (п — 2) х (п — 2)-матрица, получающаяся из матрицы (18) вычеркиванием первых двух ее строк и столбцов, а 62 — некоторая (п — 2) х 2-матрица. Для этого, полагая

Й2

Ru 0 }2

0 0 } m - 2 (m > 2) . (21)

2 n-2

(при m = 1 Д'/i — однострочная матрица размерности 2), как и в п. 1), используя лемму 6 (при m = 1 лемму 7), найдем матрицу R'h такую, чтобы матрица

C2 + B11 R'/i

имела только вещественные собственные значения.

Из (18), (19), (21) получаем, что матрица Л' + ВцR2 имеет вид (20), где

D2 = C2 + BiiR'/i, G2 = F + B2iR'li-В силу (16)—(19) имеем

Л2 = Лl + BR2 = i + BR2Q-i)Qi = = Q-iQ-i^i + Bi?2 Q-iQ-i)QoQi.

Отсюда и из (20) следует что, матрица

Л2 := Л! + BR2,

(22)

где К2 = имеет четыре вещественных (среди которых могут быть равные)

и п — 4 невещественных собственных значений А3А3; • • • ; А£, А^, причем по лемме 2 пара (Л2, В) будет полностью управляемой.

Из (22) и (17) имеем

Л2 = Л + В(К1 + К2).

Продолжая этот процесс, как и выше, будем последовательно получать матрицы К3, К4, • • • , Ки, • • • и соответственно матрицы Лз, Л4, • • • , Ли, • • • (аналогичные (17) и (22)), при этом матрица Ли будет иметь 2к вещественных и '2(1 — к) невещественных собственных значений (к = 1, • • • ,€). Через I шагов, очевидно, получим матрицу

К = К1 + К2 + • • • + Ке,

такую, что матрица

Ле = Л + БЕ

имеет только вещественные собственные значения. Тем самым, лемма 7 доказана.

Совершенно аналогично лемме 8 доказывается

Лемма 9. Пусть А и Б — произвольные (п х п)- и (п х т)-матрицы соответственно, причем пара (А, Б) полностью управляема.

Тогда существует (т х п)-матрица Е такая, что матрица А + БЕ имеет только вещественные собственные значения.

Доказательство. Пусть матрица А имеет к вещественных 71, ■ ■ ■ и некоторое число I комплексно-сопряженных пар А1, А1; ■ ■ ■ ; Ае, Ае собственных чисел, причем к — 21 = п. Тогда, приводя матрицу А к вещественной «нижней» жордановой нормальной форме и записывая ее в виде клеточно-диагональной матрицы, состоящей из двух клеток Л и Г, соответствующих невещественным и вещественным собственным значениям, а затем для подматрицы Л повторяя рассуждения доказательства леммы 8, получим утверждение леммы 9.

4. Теорема о стабилизации. Здесь мы докажем более общее утверждение.

Теорема (о стабилизации). Пусть А и Ь — произвольные вещественные (п х п)- и (п х т) -матрицы соответственно, и пара (А, Ь) полностью управляема. Пусть, далее, (¿1, ■ ■ ■ ,(п — произвольные вещественные числа.

Тогда существует вещественная (пхт)-матрица в такая, что набор собственных чисел (спектр а) матрицы А + Ьв* совпадает с набором {(1, ■ ■ ■ ,(п}, т.е.

а(А + Ьв*) = {(1, ■ ■ ■ , (п} ((] е М, 3 = 1, ■ ■ ■ , п).

В частности, если < 0 (3 = 1, ■ ■ ■ , п), то матрица А + Ьв* гурвицева.

Доказательство. В силу лемм 8 и 9 существует (п х т)-матрица го такая, что все собственные значения матрицы А0 = А — Ьг* будут вещественными, причем в силу леммы 2 пара (Ао,Ь) полностью управляема.

Пусть А1, ■ ■ ■ ,Ап (А] е М, 3 = 1, ■ ■ ■ ,п) — собственные числа матрицы Ао с учетом их кратности и (1, ■ ■ ■ ,(п — произвольные вещественные числа (среди которых могут быть и равные).

Доказательство теоремы разобьем на несколько этапов-решений ряда промежуточных задач.

1 {Ао,Ь; А1|(1}-задача: построить (п х т)-матрицу в1 такую, чтобы выполнялось соотношение:

а(Ао + Ьв1) = {(1; А2,■ ■ ■ ,Ап}, (23)

т.е. чтобы набор собственных чисел матрицы Ао + Ьв* совпадал с аналогичным набором собственных чисел матрицы А0, в котором число А1 заменено на (1.

Для решения сформулированной задачи с помощью преобразования подобия

Ао = Q0 1AoQo,

где Qo — неособая матрица, приведем матрицу Ао к нижнему треугольному виду, на-

пример, к вещественной «нижней» жордановой нормальной форме:

Л1 0 ... ... 0

£21 Л2 0 ■ ■ ■ 0

Ао = £31 £32 ... ... 0

£п1 £п2 . . . £пп — 1 Лп

где (г = 2,- ■ ■ Пусть

,п, 1 < 3 < г) — некоторые числа.

Ь := Q—1Ь =

Ъи ъ 12 }1

£>21 Ъ 22 } п - 1

(25)

1

Решим сначала {Ао,Ь; Л1 ¡1}-задачу. Для этого ищем соответствующую матрицу в! в виде

«1

Р1 0 }1

0 0 } п - 1

(26)

1 т — 1

где число ¿>1 подлежит определению. С учетом (24) и (25) имеем

Ао + Ь«1 =

А1 + Ьцр! 0

91 Д1

} 1

} п - 1

(27)

п—1

где д1 = £1 + РФ21,

£1

£21

£п1

Д1

Л2 ...

£32 ...

£п2 . . . £пп—1 Лп

Так как пара (Ао,Ь) полностью управляема, в силу леммы 4 Ьц = 0 (см. замечание 1). Поэтому из уравнения

Л1 + Ьц ¿1 = ¡1

находим

Р1

¡1 - Л1

(28)

Ь11

Отсюда и из (27) получаем, что

а(Ао + б« ) = {¡1; Л2,■ ■ ■ ,Лп}, (29)

т.е. матрица (26) с числом ¿1, определяемым из (28), решает {Ао,Ь; Л1 ¡1}-задачу.

Отсюда следует, что и матрица

si = (Qo)-1Si

решает исходную {A, b; Ail^ij-задачу.

Действительно, матрицу Ali := Ao + ЬвЦ можно представить так:

Ali = Q-1(Ao + bli Q-1)Qo,

(30)

(31)

причем пара (^4.1,6) по лемме 2 будет полностью управляемой. Так как в силу (31) матрица А1 подобна матрице

А1 := Ао + Ьз*1, (32)

где в! — матрица (30), то из (29) получаем соотношение

<г(А1) = {^1; Л2, • • • ,Хи},

которое, с учетом (32), совпадает с (23). При этом по лемме 2 пара (А1,Ь) полностью управляема, так как полностью управляема пара (Ао, Ь).

2 {А1,Ь; Л2|/«2}-задача: построить (п х т)-матрицу в2 такую чтобы

a(Ai + bs2) = {¡1, ¡2; A3, • • • , An}.

(33)

Для решения этой задачи сначала сделаем некоторые преобразования подобия над матрицей Ai. В случае, если ¡1 = Aj (j = 2,...,n), то аналогично тому, как это было сделано нами выше с матрицей Di в (12), перестановкой строк и столбцов переместим ¡1 из левого верхнего угла матрицы Ali вдоль главной диагонали в ее правый нижний угол. Эта операция эквивалентна умножению матрицы Ali справа и слева соответственно на ортогональные матрицы T и T*, где T есть произведение ортогональных матриц Ti,T2,..., Tn-i, получающихся из единичной матрицы порядка n перестановкой строк (или столбцов) соответственно с номерами: 1-й и 2-й, 3-й и 4-й,..., (n — 1)-й и n-й. В случае, если же ¡1 = Aj0, jo G {2,... ,n}, то аналогично, как и выше, переместим ¡1 из левого верхнего угла в правый нижний угол последней в ряду жордановых клеток, соответствующих собственному числу Aj0 матрицы Ai. (При этом нумерацию жорда-новых клеток вдоль главной диагонали матрицы Ai мы ведем сверху вниз.) В обоих случаях матрица T*AiT имеет тот же спектр, что и Ai, так как T* = T-1. Далее, преобразуем T*A{T с помощью неособой матрицы Pi в подобную ей матрицу

А1 = Р-1(Т *А1Т )Р1,

имеющую нижний треугольный вид — вещественную «нижнюю» жордановую нормальную форму:

Ai = Q-^iQi

/ А2 0 0 0\

£2i А3 . 0 0

£n-11 £n-12 . An 0

V £ni £n2 °nn-1 ¡1/

(34)

Здесь Ql = ТР\, а е'^ (г = 2, ■ ■ ■ ,п, 1 < з < г) — числа равные 0 или 1. Заметим, что если ¡1 = Xj0, 30 € {3, ...,п — 1}, то на главной диагонали матрицы (34) ¡1 занимает одну из позиций Xj 3 = 4,...,п). Пусть

= " } 1

п— 1 .

b := QT'b

bn bl2

b2i b22

(35)

г-1

В (35) Ьц = 0 в силу леммы 4, так как пара (Ai, b) полностью управляема.

Теперь решим, как и выше в 1, {Ai, b; Л2 |^2}-задачу. Ищем матрицу s2 такую, чтобы матрица

A2 := Ai +bs2

приняла вид

A2 =

M2 0 } 1

92 A2 } n - 1

(36)

(37)

n— 1

где д2 — некоторая одностолбцовая матрица размерности п — 1, а Д2 — матрица, получающаяся из матрицы (34) вычеркиванием ее первой строки и первого столбца. Полагая

Pi 0 }1

0 0 } n - 1

«2 =

1 m— 1

где р2 определяется из аналогичного (28) равенства

М2 - Л2

(38)

Р2

(bii =0),

(39)

bii

и, используя (34) и (35), получим представление (37), где

92 = e'i + p2b2u ei = ||е21,---,еП1|1* •

Из (37) следует, что

v(A2) = {mi,M2; Л3, • • • ,Л„},

(40)

т. е. матрица (38) с р2 из (39) дает решение {А1, Ь; Л2 ¡2}-задачи, откуда в свою очередь следует решение {А\,Ь; Л2 ¡2}-задачи. Действительно, из (36) согласно (34), (35), (31) и (25), имеем

A2 = Q—i(Ali +bf2 Q—i)Qi

= (QoQi)—i[Ao + bfi Q—i + b?2Q—iQ—i](QoQi) = = (QoQi) — i[Ai + bs2](QoQi), (41)

(42)

(43)

где Л\ — матрица, определяемая (32), а

«2 = (д* до)-1^.

Так как в силу (41) матрицы А2 и

А2 := А1 + Ьв2

подобны, то из (40) получаем соотношение

^(А-2) = [^1,^2] Аэ, • • • ,А„},

которое совпадает с (33). Из равенств (43) и (32) имеем

А2 = Ао + Ь(«1 + 52)*,

причем в силу леммы 2 пара (А,Ь) полностью управляема.

Продолжая этот процесс решения соответствующих [А^,Ь; А^+1 |^+1}-задач (г = 0, • • • ,п — 1), последовательно заменим каждое собственное значение А3 (] = 1, • • • ,п) матрицы Ао на соответствующее число рз из заданного набора [рз }п=1, получая при этом последовательно матрицы

где

А1 = Ао + Ьв*1, А2 = Ао + Ь(«1 + 52)*,• • • ,Ап = Ао + Ь(«1 + • • • + в„)*

51 = (до)-13ь 52 = (дот-1^, • • • 5 = (д;-1 • • • до )-1«

Рз о }1

0 о } п — 1

Рз

Рз — Аз

Ь

1 ш— 1

(3) ' 11

(44)

(45)

(46)

ь(3) = (до^ • • дз-1)-1Ь:

Ь(3) } 1

Ь21 № } п — 1 (ЬЗ = 0) . (47)

1 ш— 1

В п. 1 и 2 Ь(1) = Ь, Ь(2) = Ь; ЬЦ = ЪЫ,Ь(2 = Ьы; к,1 = 1, 2.

Очевидно, что для матрицы Ап из (44) будет выполнено равенство

а(Ап) = • • ,рп}. (48)

Пусть

п

5' = Е 5з (49)

3=1

где 53 (] = 1, • • • ,п) определяются из (45)-(47). Тогда равенство (48) можно переписать так

а(Ао + Ь(5')* ) = • • ,рп}.

Отсюда, учитывая, что Ао = А + Ьг* (см. начало доказательства), получаем соотношение

а(А + Ь5*) = [^1, • • • ,рп},

п

з

где s = ro + s'.

Теорема о стабилизации полностью доказана.

Замечание. В ходе доказательства теоремы о стабилизации дан конструктивный метод построения стабилизирующей матрицы.

Summary

Leonov G. A., Shumafov M. M. Elementary proof of the stabilization theorem of linear controllable systems.

Elementary proof of the stabilization theorem of the linear completely controllable system is given.

Литература

1. Зубов В. И. Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами. Л., 1966.

2. Попов В. М. Гиперустойчивость автоматических систем. М., 1970.

3. Аксенов Г. С. К задаче стабилизации линейного объекта управления // Вестн. Ленинград. ун-та. Сер. 1. 1977. № 7. С. 5-8.

4. Гелиг А.Х., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М., 1978.

5. Смирнов Е. Я. Стабилизация программных движений. СПб., 1997.

6. Wonham W. M. On Pole Assigment in Mutli-Input Controllable Linear Systems // Trans. Aut. Contr. 1967. AC-12. N 6. P. 660-665.

7. Wonham W. M. Linear Multivariable Control: a Geometric Approach. Springer Verlag: New York, Heidelberg, Berlin, 1979.

8. Леонов Г. А. Математические проблемы теории управления. Мотивация к анализу. СПб., 1999.

9. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., 1967.

10. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967. Статья поступила в редакцию 1 октября 2002 г.