Алгоритм пошаговой стабилизации линейного объекта управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-50

алгоритм пошаговой стабилизации линейного объекта управления

© 2005 г Г.А. Леонов, М.М. Шумафов

Elementary proof of the stabilization theorem of the completely controllable system is given.

Введение

Задача стабилизации линейным объектом управления с помощью линейной обратной связи является классической и рассматривалась многими авторами [1-7]. Однако все существующие доказательства теоремы о стабилизации для векторного и вещественного случая (когда число управляющих воздействий больше единицы) достаточно громоздки. В настоящей работе предложено элементарное доказательство теоремы о стабилизации, основанное на процедуре «пошаговой» стабилизации. Эта процедура состоит в последовательном сдвиге всех комплексно-сопряженных собственных значений данной матрицы А в левую полуплоскость комплексной плоскости с последующей «поточечной» заменой вещественной части спектра матрицы А на отрицательные вещественные числа.

Постановка задачи

Рассмотрим линейную систему управления:

X = Ах + Ьи , X £ К" , и £ ят, (1)

где А и Ь - произвольные вещественные (" х ") - и (" х т) -матрицы соответственно; х = х(/) - вектор состояния; и = и(/) - вектор управления; т > 1.

Напомним определения понятий полной управляемости и стабилизируемости системы (1).

Определение 1. Система (1) называется полностью управляемой (пара (А,Ь) называется полностью

управляемой), если для любых векторов х0 £ К", х1 £ К" существует такое управление и(/), являющееся кусочно-непрерывной функцией, заданной на [/0,tl], что для решения х(/) системы (1) с этим управлением и начальным условием х^0) = х0 выполнено равенство х(^) = х1.

Определение 2. Система (1) называется стабилизируемой (пара (А, Ь) называется стабилизируемой), если существует такая обратная связь

и = s * х, (2)

где 5 - постоянная вещественная (" х т) - матрица,

что замкнутая система (1), (2), т. е. система

*

х = (А + Ь5 )х асимптотически устойчива.

*

Здесь знак означает транспонирование.

Задача стабилизации системы (1) сводится к следующей: даны вещественные (" х ") - и (" х т) -

матрицы А и Ь соответственно; найти вещественную

*

(" х т) - матрицу 5 такую, чтобы А + Ь5 была гурви-

цевой, т.е. чтобы вещественные части ее собственных чисел были отрицательными.

Все рассматриваемые в настоящей статье векторы и матрицы являются вещественными. Поэтому слово «вещественный» будем опускать часто.

Вспомогательные утверждения

Приведем без доказательства следующие три леммы, устанавливающие некоторые известные свойства полностью управляемой системы.

Лемма 1 [4, 8]. Система (1) полностью управляема тогда и только тогда, когда ранг (" х пт) -

матрицы 11 Ь, АЬ, к, А" 1Ь II равен п.

Лемма 2 [4]. Если пара (А, Ь) полностью управляема, то для любой (п х т) -матрицы 8 пара (А + Ь5*,Ь) также полностью управляема.

Лемма 3. Пусть система (1) полностью управляема и

х = ду, у £ я" - (3)

невырожденное линейное преобразование векторной переменной х (0> - неособая матрица).

Тогда полностью управляема также и система

у = Ау + Ьи, у £ я", и £ ят, (4)

где А = д- Ад, Ь = д~1Ь, получающаяся из (1) заменой переменных (3).

Лемму 3 можно переформулировать так: если пара (А, Ь) полностью управляема, то полностью управляема также пара (А, Ь ) ,где матрицы А и Ь определяются из (4).

В дальнейшем нам понадобятся следующие две простые леммы.

Лемма 4. Пусть полностью управляемая система (1) с помощью преобразования (3) приведена к виду

(у1 =4^1 + V, у1 £ я

[у2 = Су + Ь2и, у2 £ я"-1, и £ ят , где 4 £ К ; С - матрица порядка (" -1) х " ;

Ь1 = (Ь11, к, Ь1т); Ь2 - матрица порядка (" -1) х т ;

* *

и = (иь...,ит ) ; у = (у1,у2) .

Тогда существует такое преобразование вектора управления и = Ту (у£ят), что в преобразованной

матрице-строке Ь{ = Ь1Т первый элемент Ь' ^ 0 (здесь Ь1 = (Ь^,..., Ь1т)).

Лемма 5. Пусть полностью управляемая система (1) с помощью преобразования (3) приведена к виду

у1 =41 у1 + 42 у 2 + ь1и, у1 £ К у2 = 4зу1 +44у2 + Ь2и, у2 £ я (6)

у3 = Бу + Ь3и, у3 £ я"-2, и £ ят,

(5)

где А] е Я (] = 1,4); В - матрица порядка (п-2) х п;

Ъ = (Ьп,...,Ът) (' = 1,2); Ъ3 - матрица порядка

* *

(п -2)хт ; и = (иь...,ит) ; у = (уъу2,Уз) .

Тогда существует такое преобразование вектора управления и = Ту (у е Ят), что в преобразованных

матрицах-строках: ¿1 = Ь1Т, ¿2 = Ъ2Т по крайней мере один из первых элементов ¿1'1, ¿21 отличен от нуля: Ъ^ * 0 или ¿21 * 0 (здесь Ъ' = (Ьд,...,Ъ'т), ' = 1,2).

Доказательства лемм 4 и 5 следуют из того, что в силу полной управляемости системы (1) и, следовательно, в силу леммы 3 систем (5) и (6) должно быть

Ъ1 * 0 (в системе (5)) и Ъ1 * 0 или Ъ2 * 0 (в системе

(6)) (иначе в первом уравнении системы (5), а в системе (6) в первом и втором уравнениях не входило бы управление и и тем самым системы (5) и (6) были бы не полностью управляемыми).

Пусть к - номер первой отличной от нуля координаты вектор-строки Ъ1 (в (5)) и Ъ1 или Ъ2 (в(6)). Тогда, сделав переобозначения переменных и1 = ук, ик = у1, и] = у! (] * 1, к), получим утверждения лемм 4 и 5.

Замечание. В силу лемм 4 и 5 без умаления общности всегда можно считать, что в системе (5) Ъ11 * 0 , а в системе (6) или Ъ11 * 0 или Ъ21 * 0.

Следующие три леммы позволяют по заданной (2 х 2) -матрице с комплексно-сопряженными собственными значениями построить другую матрицу того же порядка, имеющую комплексно-сопряженные собственные значения с отрицательными вещественными частями.

Лемма 6. Пусть л

M =

Р =

( а,ю е R, ю Ф 0) с матрицей подобия

(pi е R , i = 1,4), причем

(7)

N (p) =

1 lb

2 - bL+.

fr2 + b22

2 I b b2 (pb + РэЬ?) + (Р2Ь + P4b>)

2 '

(P12 + P22) •bL- (P32 + P4 ) •^

Г ( P) =

A^ (bi2 + b22)

2 2 ( Plb1 + P3b2) + ( P 2 b1 + P 4 b2)

(8)

a = pip4 - p2p3'

если bi * 0

b2 * 0;

n (p) = К ( P) = N (P) = ■ К (P) = -

pi p3 + p2 p4 2 , 2 p3 + p4

A

2 2 P32 + P4

если b = 0

Pi P3 + P2 P4

2 2 Pi2 + Pi

2 2 Pi2 + P2

если bi * 0

b2 * 0:

b2 = 0.

(9)

(i0)

Далее, существует значение векторного параметра

p = p такое, что

N(p0)<0, ^(p0) >0.

(s s Л

(11) где числа

Доказательство. Пусть S =

Vs2 s 4 )

s^ е R , i = 1,4, подлежат определению. Ищем матрицу S, удовлетворяющую матричному уравнению: Л + BS = P-1 MP . (12)

По условию леммы 6 по крайней мере один из элементов bi (i = 1,4) матрицы B отличен от нуля. Поэтому или a) rank B = 2, или b) rank B = 1. В случае a) решение уравнения (12) очевидно:

S = B _1(M - Л), P := E =

i 0 0 i

Остается рассмотреть случай b): rank B = 1.

Представив (12) в виде

PBS = MP - РЛ, (13)

далее записав (13) как две системы линейных уравнений относительно si, s2, s3, s4 соответственно и учитывая, что rank PB = rank B = 1, получим, что условие разрешимости уравнения (12) относительно S имеет вид:

а-в], в> ъз

а) {¿2 ¿4/

(2 х 2) -матрицы (а, в, Ъ' е Я , ' = 1,4), причем а > 0 , в> 0, + |Ъ2| + |Ъ3| + Ъ4 * 0 .

Тогда существует матрица 8 порядка 2 х 2 такая, что матрица Л + подобна некоторой матрице вида

К® а,

Рз КР2 Р4 , а = а + вЫ(р), ю = рК(р), где р = (рх, р2, Рз , р4),

Pibi + P3b2 P2bi + P 4b2

Pi (P-a) - P2® - P3ß

Pi® + P2(a-a) - P4ß

Pibi + P3b2 Piß + P3(a-a) - P4® P2bi + P 4b2 P2ß + P3®+ P4(a-a)

bi® (Pi2 + P22)+ b2® (PiP3 + P2P4) = = a[biß + b2 (-a)],

b2® (P32 + P42 )+ bi®(PiP3 + P2P4 ) = = a[ß-bi (-a)],

= 0,

= 0,

или

(i4)

(i5)

(a =

Pi P4 - P2 P3

) -

Могут представиться три случая: 1) * 0, ¿2 * 0, 2)Ъ = 0, ¿2 * 0, 3) Ъ1 * 0, Ъ2 = 0 (в случае Ъ1 = Ъ2 = 0 равенства (14) и (15) очевидны).

Из (14) и (15) находим, что в случае 1) имеют место равенства (7), (8), в случае 2) - равенства (7), (9) и в случае 3) - равенства (7), (10). В равенствах (7) положим: 1) в случае 1) р1 = р4 = 0

и Р2,Рз: |Р2 <|РЗ|, Р2РЗ <(16) если Ъ^2 > 0, и р1 = р4 = 0

и р2,рз : \р2\чрз^ р2рз <0 (17)

A

х

2

i

Р0 =1

если Ътр2 < 0;

2) в случае 2)

Р 4 = 0 и Pi, P2, Р3 : Pi Р3 < 0 Р 2 Р3 < 0; (18)

3) в случае 3):

Р2 = 0 и Рь Р3> Р4 : Р1Р3 < 0 Р1Р 4 < (19)

В результате получим неравенства (11), где

/ 0 0 0 0 1 ,

: p , Р2 , Р3 , Р4 / - любое значение параметра р, удовлетворяющее неравенствам (16) - (19) в зависимости от случаев 1) - 3). Лемма 6 доказана.

(а -р\ Г Ъ1 ^

Лемма 7. Пусть Л = 1 I, B = 1 ,

U а J V Ъ2 J

где а, в, Ъг е Л , / = 1,2, а> 0, в> 0, ^ + |Ъ2| Ф 0.

Тогда существует матрица-строка S (порядка 1 х 2) такая, что матрица Л + BS подобна некоторой матри-

(а

це вида I I, где а < 0 и о > 0.

V® а J

Доказательство проводится аналогично доказательству леммы 6. Действительно, по условию леммы 7, В Ф 0, поэтому rank PB = rank B = i (здесь P -

та же самая неособая матрица-параметр, что и в лемме 6). Пусть S = (, s2).

Тогда условие разрешимости уравнения (17) относительно S принимает вид:

Р1Ъ1 + Р3Ъ2 = Р1(а-а)-Р 2о- Р3в = Р2h + Р4Ъ2 Pi® + Р2(а-а)- Р4в = PiP + Р3 (а-а)- Р4о

Р2в + Р3о+ Р4 (а-а)' где р j (j = 1,4 ) - параметры. Возможны три случая: i) Ъ1 Ф 0, Ъ2 Ф 0, 2) = 0, Ъ2 Ф 0, 3)Ъ1 ф 0, Ъ2 = 0. В 1) и 2) положим Р2 = 0. Тогда вышеуказанное условие разрешимости примет вид:

(а - а)2 =

— + ^ +

Р4 Pi Pi Р4

2 л / Р3 ß®-(

2

(а - а)2 =

1

Pi

2 Л

+ Рз +-Рз Рз

ß®- (ß2 +®2),

Последние равенства выполнены при а < 0 и а > 0, если ^3 - достаточно большое положительное

число, а р12 =в р3 -1. Лемма 7 доказана.

а

Лемма 8. Пусть матрицы Л и В те же самые, что и в лемме 6.

Тогда существует матрица £ такая, что матрица Л + ВБ имеет комплексно-сопряженные собственные значения с отрицательной вещественной частью.

Доказательство. По лемме 6 существует матрица такая, что Л1 = Л + подобна некоторой матрице М1 с собственными значениями = а1 ± а (они же и собственные числа матрицы Л1, так как Л1 подобна М1), для которых выполняются соотношения (7), (11), где Н и К определяются равенствами (8) или (9), или (10) в зависимости от значений Ь1 и Ь2 . Таким образом:

а1 =а + вЦр0), а =вк(р0) (20)

причем

N(p0 )< 0, к(р0)> 0. (21)

Из (20), (21) видно, что а1 <а и а>1 > 0 (так как Р > 0 ). Если а1 < 0, то лемма 8 доказана.

Пусть а1 > 0. Тогда, применяя лемму 6 к матрицам Л и В найдем, как и выше, матрицу Б2 такую, что Л 2 = Л1 + ВБ 2 имеет собственные числа /и2, /и2 =а2 ± 1а2 , причем а2 = а1 +а1 к(р0)

в

а2 < а1 и а2 > 0.

Очевидно, что Л 2 = Л + В(Б1 + Б 2) и

а 2 =а+(в + а )N (р 0), а 2 = рК(р 0).

Продолжая этот процесс последовательного применения леммы 6 к матрицам Лк ((= 1,2,.) и В (здесь Л0 .•= Л), будем получать Бк+1 (к = 0,1,2,. ) такие, что Лк+1 = Л + ВБк+1, (к = 0,1,2,. ) имеет соб-

®2 =®1к(р0). Отсюда в силу (21) следует, что

м. + р3 1® -р~.

р4Ь2 р4 ) Ь2 В случае 2) последнее равенство имеет вид:

р3

а -а =-а.

р 4

Последние равенства выполняются при а < 0 и а > 0, если: а) Ь1Ь2 < 0, р3 = 0 , р4 = 1, а р1 - достаточно большое положительное число; Ь) Ь]Ь2 > 0, или Ьх = 0 , Ь2 Ф 0, рг = р4 = 1, а р3 -достаточно большое по модулю отрицательное число.

В случае 3) положим р2 = -1, р4 = 0 . Тогда условие разрешимости уравнения (13) принимает вид:

ственные числа ^k+l, /лк+1 = ak+l ± iok+1, где

ak+i =ак +ок N(p 0 )=... = а + (в+®1+к +ок )(p 0 ),

®k+1 = ®k К

(Р1 +1)®= Рз ß.

:(р0 )= к = р (к(р0 )). (22)

Здесь а0 := а, а0 := р.

Поскольку в > 0, ау > 0, у = 1,.,к , то в силу (21), (22) существует такое значение к = ", что собственные числа /ип+1, /ип+х = ап+1 ± ¡а^ матрицы

Л "+! = Л" + ВБ"+1 = к = Л + В(£ + к + Б") будут удовлетворять неравенствам

а"+1 < 0, а"+1 > 0 (23)

Полагая Б = + „. + Б", получаем, что для собственных чисел ап+2 ± ¡а^ матрицы Л + ВБ имеют место неравенства (23). Лемма 8 доказана.

Замечание. Утверждение леммы 8 справедливо также в случае, когда В - матрица-столбец (см. лемму 7).

Теорема о стабилизации

Докажем теперь основное утверждение. Теорема (о стабилизации). Пусть А и Ь - произвольные вещественные (п х п) - и (п х т) - матрицы и пара (А, Ь) полностью управляема.

Тогда существует вещественная (п х т) - матрица

5 такая, что матрица А + Ъs * гурвицева.

Доказательство. Пусть матрица А имеет к вещественных у\,---,7к и некоторое число 1 комплексно-

сопряженных пар А1,Л1,...,А1 ,А1 ; А],А}- = а ±'в ],

в] * 0 (] = 1,1), к + 21 = п, собственных чисел (с учетом их кратности). Не умаляя общности, можно считать, что в] > 0.

Приведя матрицу А с помощью преобразования подобия А = Q0-AQ0, где Q0 - неособая матрица (det Qo * 0), к вещественной «нижней» жордановой нормальной форме [9,10], а затем перенумеровав подряд все (2 х 2) - матрицы и числа, стоящие вдоль

главной диагонали, запишем А в виде:

( С1 О 2.......О 2 о 2

Р 2 С 2....... О 2 О 2

A =

O 2 O 2.....C, O 2

O 2 O 2........ F 2 C,

O

г1 0......0 0

/ г2 .... 0 0

где

C- =

O

Ч -Ч

0 0.

. /1 г

ч 0 0

F =

1 0 0 1

1 * *

или

(24)

F = O2 =|0 0|; /1 = 1, или /1 = 0.

Пусть

~ = Q0:b =

b11 b12

Vb21 b22 у

(да > 2)

(25)

(26)

Ai =

(27)

-* I sii O si =

(да > 2),

(28)

КО О

где (2 х 2) - матрица 51'1 подлежит определению (в случае т = 1 - матрица-строка размерности 2).

Из (26) - (28) получаем, что А + Ъ имеет вид (27), если выполнено равенство

С + ¿4: = Л. (29)

В силу леммы 8 (замечания к лемме 8, если т = 1) существует 51'1 такая, что имеет место (29). Очевидно, что А1 = А + Ч* = Q 01(А + Ъ ?1* Q 01 ^ 0.

Так как пара (А, Ъ) полностью управляема, то, по

лемме 2, полностью управляема также и пара (А1, Ъ), * * ~ * 1 где А1 = А + Ьз1, 8! = 51 Q0 .

Так как А1 подобна А1 , то в силу (27)

а(Б) = а (Г) и {А2,АА2;кАг,А1 ;у1,...,ук

Здесь а обозначает спектр соответствующей матрицы.

2) Далее в (25) перестановкой 1 и 3-й, 2 и 4-й строк и 1 и 3-го, 2 и 4-го столбцов переставим местами матрицы Г1 и С2, расположенные вдоль главной диагонали. Эта операция, как легко убедиться, равносильна умножению А1 слева и справа на некоторую ортогональную матрицу Т1 , получающуюся из единичной перестановкой 1 и 3-й, 2 и 4-й строк. Матрица Т1А1Т1 имеет те же собственные числа, что и А1, но она, вообще говоря, уже не имеет нижнего треугольного вида (24), (25). Сделаем над ней преобразование подобия с матрицей подобия Р1, приводящее ее к вещественной «нижней» жордановой нормальной форме

А = Q1-1А^, где Q1 = Т^.

Пусть b = Q-1 b =

(~11 ~12 ^

b21 b22

(да > 2 ) (в случае

( в случае т = 1, Ъ11 и Ъ12 - одностолбцовые матрицы размерностей 2 и п-2 соответственно).

Так как пара (А, Ъ) полностью управляема, то, согласно лемме 5, Ъ11 * 0 .

1) Построим (п х т) - матрицу ~1 такую, чтобы А1 = А + Ъ имела вид Ч О

Ч Ч

где Г1 - гурвицева (2 х 2) - матрица; Ох - некоторая (п - 2) х 2 - матрица; - (п - 2) х (п - 2) - матрица,

получающаяся из А вычеркиванием первых двух ее строк и столбцов.

Будем искать ~1 в виде

т = 1 Ъ11 и Ъ21 - одностолбцовые матрицы размерностей 2 и п-2 соответственно).

Поскольку пара (А1,Ъ) полностью управляема, то,

по лемме 3, полностью управляема и пара ( А1 ,Ъ ) .

Поэтому в силу леммы 5 Ъ11 * 0 .

Как и в п. 1), построим (п х т) - матрицу ~2 та-

чтобы А2 = А1 + Ъ ~2*

кую,

A2 =

имела

вид

(Г 2 O ^

где Г2 - гурвицева ( 2х 2)- матрица;

02 - некоторая (п - 2) х 2 - матрица; О 2 -(п - 2) х (п - 2) - матрица, спектр которой равен

а(0.2) = а (Г) и Аз, Аз;... а А ;п,.,Гк }

тт «

Для этого, как и выше, найдем матрицу 52 вида

(28) такую, что имеет место равенство С2 + Ъ11«"1 = Г 2, где - ненулевая (2 х 2)- подматрица матрицы ~2*.

а

Учитывая, что А1 = Адо, Ь = её^ получаем:

А = А + ь?;=е1-1бА41 + ¿^гег1 ^ = = е 1-1 е о1 (а 1 + ьз г о е 1, где з2=^е^ео1-

Очевидно, что матрица

А2 = А1 + Ьзг = А + Ь^" + имеет спектр

У ( a2 ) = У (Г) и .У (Г 2) и {л

3 л 3/к л ¡,л ¡; г1,...,г k

г k}.

венными числами а j ± im j

шагов, очевидно, мы получим А(1 вида (24), в которой

все С}- заменены на Г, а у1,. и в (24). При этом будем иметь

,Yk те же самые, что

A? = Qi\ ...Qo(A + bs'c)Q0 ...QM

sc = Z s,

(30)

j=1

где ео >■■■ ,е-1 - неособые матрицы подобия,

¿у = 3]-е]--1 ■•• ео а = 1,1) , - (т х п)- матрица,

имеющая вид

-Л

sj =

(sj O

O O

J)

(m > 2,j = l,l) .

Г} = С, + bVsj

b() = Qj-1 .Q01 b =

( b()

h

11 b12

v b21

(j) ,(j)

22

(j = 1, l) - матрица

порядка (п х т) ; Ь^ - (2 х 2) - подматрица (при т=1

ьЦ и Ь21 - матрицы- столбцы размерностей 2 и (п-2) соответственно).

Заметим, что в силу леммы 5 ЬЦ Ф о. Поскольку

в силу (3о) А1 = А + Ьз" подобна А(,) , то ее спектр имеет вид у(А,) = {у 1 ± 1щ1,.,у , ±¡щ,}{,...,гк}, где

< о, ю} > о (а = 1,.,/).

Перейдем теперь от Аг к ее вещественной «нижней» жордановой нормальной форме А,. Сделаем в А1 ряд перестановок строк и столбцов (что равносильно умножению А1 слева и справа на некоторую ортогональную матрицу Т, получающуюся из единичной перестановкой некоторого числа соответствующих строк), запишем полученную матрицу ТА1Т в виде:

TAlT =

Продолжая этот процесс, последовательно заменим двумерные матрицы С(} = 1,1) (с собственными числами а а ± 1ра) на некоторые гурвицевы Г} (с собст-

<у а < о, со а > о). Через I

( у1 0...0 0 /1 Y2 .00

0 0 к Yk-10

0 0. /1 Yk

O

O

Г1 O2 .O2 O2

F2 Г2.

•O2 O2

О2 О2 -Г, -1 О2 «2 «2 - F2 Г^ где /1 и определяются из (25), а

(32)

Г j =

(aj -mjЛ m j а j

v

а. < 0, m. > 0 (/=1,l).

Пусть т1,---,тк - произвольные вещественные числа. Проведём в (32), аналогично как и выше, процедуру последовательной замены собственных чисел Y1,■■■,Y2 соответственно на числа т, • • •, тк . В результате получим матрицы

А1+1 = А1 + Ьз*+1, А1+к = А1+к-1 + Ьэ*+к , где

* п-1 * п-1 п-sl+1 = sl+1Ql , •••, sl+k = sl+kQl+k-1 ■■■Ql

(33)

(31)

Здесь - (2 х 2)- матрица (при т = 1 в (31) -матрица-строка размерности 2) такая, что гурвицева (в силу леммы 8);

(а) ^

такие, что спектр ст1 (А,+д) =

= {о"1 ± ¡Ю1,...,а1 ± ¡ю,} и {Т1,...,гч } и {уч+1,---,Ук }, (Ч = 1,..., к). (34)

тч-Уч.

Здесь sl+q II Olq+P O),

b (l+q) = Ql+1q- ...Qrlb = (h (l+q) u 11 b (l+q) v" 21

Pl+q

12 b (l+q) u22 У

b

(l+q)

(35)

где е1, ■, ег+к-1 - некоторые неособые матрицы

матрица-строка размерности

(b(l+q) - число; b,(l+q)

12

т -1; Ь21+Ч) - матрица-столбец размерности п -1).

Заметим, что в (35) Ь^+Ч) Ф о в силу леммы 4. Из (34) при ч=к получаем:

°(А1+к) = {^1 ± ¡Ю1,...,а1 ±ю,} и {Т1,..., Тк }. (36) Поскольку А, = А + Ьз*, то А,+к = А + Ь(зс + ^ )*, (37)

* * где SY = Z sl+q .

q=1

Положим

s = sc + SY .

(38)

(39)

Тогда с учетом (37) соотношение (36) можно переписать так:

а(А + Ья *) = {о"1 ± ¿Ю1,...,а1 ± ¡ю,} и {Т1,..., Тк },

<о, ю} >о. (4о)

Если числа тч (4 = 1, к) выбраны отрицательными,

то соотношение (4о) означает, что матрица А + Ьз * гурвицева, где стабилизирующая матрица з определяется по формулам (33), (35), (38), (39) и (3о), (31).

Тем самым, теорема о стабилизации полностью доказана.

Замечание 1. Нами доказано несколько более общее утверждение: для произвольной вещественной матрицы А, спектр которой состоит из к вещественных и I комплексно-сопряжённых пар, и произвольного набора {тц }к=1 вещественных чисел существует вещественная матрица 5 такая, что имеет место соотношение (40).

Замечание 2. В ходе доказательства теоремы о стабилизации дан конструктивный метод построения стабилизирующей матрицы 5.

Литература

1. Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем. М., 1970.

2. Зубов В.И. Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами. Л., 1966.

3. Аксенов Г. С. К задаче стабилизации линейного объекта управления // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. i. 1997. № 7 С. 5-8.

4. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М., i978.

5. Смирнов Е.Я. Стабилизация программных движений. СПб., i997.

6. Wonham W.M. // Trans. Aut. Contr. i967. AC-i2. № 6. P. 660-665.

7. Wonham W. M. Linear Multivariable Control: a Geometric Approach. New York, Heidelberg, Berlin, i979.

8. Леонов Г.А. Математические проблемы в теории управления. Мотивация к анализу. СПб., i999.

9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., i967.

10. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., i967.

Санкт-Петербургский государственный университет, Адыгейский государственный университет

10 июня 2004 г.

i9