Об устойчивости стационарного вращения системы точечных вихрей внутри круговой области Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.517 Б01 10.18522/0321-3005-2015-4-68-73

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНОГО ВРАЩЕНИЯ СИСТЕМЫ ТОЧЕЧНЫХ ВИХРЕЙ ВНУТРИ КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ*

© 2015 г. Л.Г. Куракин, А.П. Мелехов, И.В. Островская

Куракин Леонид Геннадиевич - доктор физико-математических наук, доцент, профессор, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Во-ровича Южного федерального университета, ул. Мильча-кова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090; главный научный сотрудник, Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, e-mail: kurakin@math.sfedu.ru

Kurakin Leonid Gennadievich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Professor, Department of the Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Main Researcher, Southern Institute of Mathematics of Vladikavkaz Scientific Center RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027, Russia, e-mail: kura-kin@math.sfedu. ru

Мелехов Андрей Петрович - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Миль-чакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: melek-hov@math.sfedu.ru

Островская Ирина Владимировна - кандидат физико-математических наук, ассистент, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: ostrov@math.sfedu.ru

Melekhov Andrei Petrovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Department of the Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: melekhov@math.sfedu.ru

Ostrovskaya Irina Vladimirovna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Assistant, Department of the Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: ostrov@math.sfedu.ru

Рассматривается задача устойчивости системы точечных вихрей, расположенных в вершинах правильного N-угольника (N =2,...,6) внутри круговой области. Потенциал взаимодействия между вихрями обратно пропорционален расстоянию между ними. Аналитически исследованы квадратичная часть гамильтониана и собственные значения матрицы линеаризации. Получены условия устойчивости по Раусу и экспоненциальной неустойчивости. Указаны области параметров, требующие дополнительного нелинейного анализа. Перечислены и исследованы численно все резонансы до четвертого порядка включительно, возникающие в этой задаче. В двух из них численно обнаружена неустойчивость. Результаты теоретического анализа подтверждаются численным расчетом траекторий точечных вихрей.

Ключевые слова: точечный вихрь, стационарное вращение, гамильтоновы системы, устойчивость по Раусу, резонанс.

The stability problem of a system of point vortices is considered. The charges are located in the vertices of a regular N-gon (N = 2,6) in a circular area. The interaction potential between the vortices is inversely proportional to the distance between them. The quadratic terms of the Hamiltonian and the eigenvalues of the linearization matrix are studied analytically. The conditions of Routh stability and exponential instability are obtained. The range of parameters that require additional non-linear analysis is indicated. All the resonances arising in this problem up to fourth order has been listed and investigated numerically. Instability is found numerically in two of them. The results of the theoretical analysis are confirmed by numerical calculation of the trajectories of point vortices.

Keywords: point vortices, stationary rotation, Hamiltonian systems, Routh stability, resonance.

Уравнения движения Я = — ^Г YkYj__1 ^ YkYj ^

l<j<k<N I zk - Zj I 8я" i)i=i I zk - zj I Здесь zk = xk+iyk,k = 1,...,N — комплексные

Рассмотрим модель N точечных вихрей на плоскости внутри круга радиуса Я

^ д// дН переменные; хк,ук - декартовы координаты к-то

Ykzk= Я—, укгк=-Ъ—, к = (1)

dzk 8zt „ R

с гамильтонианом H

вихря; zk = ■=— - отражение k-го вихря границей

"к

Zk

*Работа выполнена в рамках базовой части государственного задания в сфере научной деятельности (задание № 2014/174, код проекта 1367).

круга; черта означает комплексное сопряжение; ук — интенсивность к-го вихря.

Уравнения движения (1), (2) возникают в случае, когда сила взаимодействия междуи к-м вихрями потенциальна с потенциалом / г;/;. где

Гд - расстояние между этими вихрями. Такое

предположение о потенциале сделали Дж.Дж. Том-сон [1] при построении одной из своих моделей атома и В.М. Гряник [2] при построении модели вращающейся бароклинной жидкости в квазигео-строфическом приближении. Точечные вихри в работе [1] названы корпускулами, а в [2] - вихревыми зарядами. Устойчивость относительного равновесия трех вихревых зарядов с нулевой суммарной интенсивностью исследовалась в [3]. Случай логарифмического потенциала вихревого взаимодействия разобран на плоскости в работах [4, 5], а внутри круга - в [4, 6].

Система (1), (2) имеет два интеграла: энергию Н

N

и суммарный момент инерции М = Уд | ^ |2.

к=1

Система (1) инвариантна относительно группы С, образующие которой суть зеркальное отражение _/: 2 и-> 2 и вращение : 2 \—>е'аг, аеР. Действие g ^ £ группы С на фазовом пространстве 2 определяется равенством Ь^ = ,...,gzN), для г = (г1,...,г„)ег и

Напомним [5, 7], что стационарным называется движение, которое осуществляется преобразованиями некоторой однопараметрической подгруппы группы симметрии данного уравнения.

Стационарное движение, отвечающее подгруппе вращений g™', ищется в виде :к = е"°'ик, к = .

Для неизвестных «,.....п, еС. го е Р получаем

систему

1 р 3р2+1

-icou, = 2 i

дН

du,,

k = L...,N.

(3)

Далее будем считать, что все вихри имеют одинаковую интенсивность у = 1. Решая (3), находим одно из стационарных движений:

zk=exp | — aNt | щ,

_ р 2m<k-l)/N

Uk = Roe

k = 1,..., N, R2

(4)

где ¿Уд, = а>м(р), р = —у , и вьшолняется неравенство II

О < р < 1. На рис. 1 приведены графики о>,Хр). N = 2,..,6 . Функции ю2 и го-, заданы формулами

4

1-Р2

2^ + 3 p 2+(6^Ь-11) p + 4-2^

6 1 — р

1 2 Р 1 ~Р

(р +р + \)

Аналогичные аналитические формулы для остальных <■),. здесь не приводятся ввиду их громоздкости.

0.2

0.4

0,6

о.е

-2

Рис. 1. Графики угловых скоростей сом в зависимости от параметра р, N = 2,6

Таким образом, конфигурация одинаковых вихрей, расположенных внутри круговой области радиуса Я на окружности радиуса в вершинах правильного ^-угольника, вращается с постоянной угловой скоростью.

Исследование устойчивости

Замена переменных гк (/) = ехр — со^ \ук (/) в

{4л: )

системе (1), (2) приводит к гамильтоновой системе уравнений относительного движения с относительным гамильтонианом (по терминологии работ [5,

т ы

7]) Е(у) = Н(у) + -^-М(у), М = £К|2, где

Ш к=\

На каждой плоскости переменных ук введем новые координаты и запишем \к в виде

^о +2гке м ) (5)

Замена переменных (5) сохраняет гамильтонову структуру системы.

2

а>3 —

2

В переменных г = (г1,...,гм), в = (в1,...,вн) уравнение относительного движения принимает вид

дР ■ дР

ь =ТГ<У(гМ, 9к = -—(у{г,в)). (6)

двк дгк

Стационарному движению (4) отвечает непрерывное семейство равновесий системы (6), расположенное на прямой Г = {{г, в) е Р2Л : г = О,

Режим стационарного вращения (4) неустойчив по Ляпунову при любых N (см., например, [7]). Далее будет использоваться наиболее сильное из возможных в данной задаче определений устойчивости - устойчивость по Раусу [5, 7]. Под устойчивостью по Раусу решения (4) понимается устойчивость по Ляпунову семейства равновесий Г (см. [7]). Заметим, что для доказательства такого рода устойчивости достаточно найти знакоположительный интеграл, являющийся положительно-опре деленным по части переменных в подпространстве, ортогональном семейству равновесий Г .

4/

Разложение функции Е(у{р)), р = (г,в) в ряд Тейлора - одно и то же в окрестности любого равнове-

г2

сия семейства Г : Е(у(р)) = —(Е0 +Ег(у(р)) + ..) , где

Ал

точками обозначены слагаемые выше второй степени по переменной р. Квадратичная форма Е2

Е2 = ($хр,р),

представима

в

виде

SN

-"-1N

G

G0 -F

*2N

-G„

Величины fmk, goi не выписаны здесь ввиду их громоздкости. Собственные значения л|/;. л2/; и

i\k, k = l,...,N матриц F1;

F

G0jV соответст-

венно заданы явными формулами: Ämk = ^fmJ

j=О

m

= 1,2, Xok=Yß[

О

j=О

, где Р1ЛГ, Ж2Л, - симметричные, а

ОМ '-^Ы )

Сол, - кососимметричная матрица размером NxN. Матрица линеаризации системы (6) на нулевом

равновесии имеет вид Ьд, = 2

' — Члг "олг. Матрица ^ симметрична, и поэтому все ее собственные значения вещественны. Она имеет нулевое собственное значение, отвечающее семейству Г . Достаточное условие устойчивости по Раусу решения (4) означает, что все остальные собственные значения матрицы ^ имеют одинаковый знак. Экспоненциальная неустойчивость имеет место, когда у матрицы Ья есть собственные значения с положительной действительной частью.

Матрицы Р1ЛГ, Ж2Л,, Сол, являются циркулянтами

Л/ N-1 Л/ N-1

(см. [8]): ?тМ = ^/ткСк, С0=2>о*С\ где С -

к=0 к=О

циклическая матрица.

Собственные значения матрицы Sw являются корнями полиномов [6]

рдл) = л2 -(4* -Л2^ k = i,...,5.

Собственные значения матрицы Sw отрицательны, если выполнены условия /,А + /цА < 0,

КкКк - Л2* > 0 •

Собственные значения матрицы линеаризации Ьд,, согласно [4], определены формулой

*+к=-Ш0к±4^1^, к = 1,...,5. В случае если хотя бы при одном значении к = 1,...,N справедливо неравенство \к\к < 0, матрица линеаризации Ьд, имеет собственные значения в правой полуплоскости.

Анализ собственных значений матриц Sw и bN при N = 2,..., 6 показал справедливость следующей теоремы. Указанные в ней критические точки p0N и p(jV приведены в таблице.

Теорема. Стационарное вращение (4) правильного вихревого У-угольника устойчиво по Раусу (все собственные значения матрицы Sw, кроме простого нуля, имеют один знак) в случаях:

1) 0< p < Po n для N = 3,5 ;

2) 0 < p < p*4 для N = 2,4 ;

3) Po6 < P < P*6 для N = 6

и экспоненциально неустойчиво, когда:

4) P*N < P <1 при N = 2,. ..,5 ;

5) 0 < p < p06 и p*6 < p <1 при N =6. При выполнении условий:

6) p03 < p < p*3 для N = 3;

7) p05 < p < p*5 для N = 5;

8) в точках p(jV , p0N при N = 2,...,6 требуется нелинейный анализ. Все собственные значения матрицы линеаризации bN лежат на мнимой оси, квадратичная форма Е2 знакопере-менна в случаях 6, 7, а в случае 8 она знакоопреде-лена и матрица S имеет двукратное нулевое собственное значение.

Случай N = 4 был ранее исследован в работе [9]. Случаи 6, 7, 8 требуют нелинейного анализа

методами КАМ-теории [10]. В частности, требуется перечислить и исследовать все резонансные соотношения до четвертого порядка включительно, возникающие в задаче. Они найдены численно и представлены в таблице.

В каждом резонансном случае из таблицы устойчивость ^-угольника исследовалась прямым численным счетом траекторий движения вихрей в исходных декартовых координатах. Неустойчивыми оказались только два случая: правильный треугольник при р = р03 » 0,336116 и правильный пятиугольник при р = рУ1 « 0.381682. Траектории движения вихрей для них приведены на рис. 2 и 3 соответственно.

Критические значения рт , рт и список резонансных значений параметра р : р00 - двукратный диагонализируемый нуль; ркт - резонанс к: т

N = 2 Роо = Р*2~ 0,264956

N = 3 Роо = Роз ~ 0,336116 , p1:2 « 0,344528 , p1:3 « 0,343230 , p1:1 = p,3 « 0,345561

N и 4 Роо =Рч «0,364916

N = 5 p00 = p05 « 0,379449, p1:2 я 0,381682 , p1:2 » 0,383153 , p1:3 и 0,381066 , p1:3 я 0,382575 , p1:1 й 0,382965 , р1:1 = р»5 ~ 0,383615 , р1±2 « 0,383537

N = 6 p,6 « 0,364916 , p06 и 0,005983

Рис. 3. Случай N = 5 . Панели а - в демонстрируют неустойчивость пентагона при резонансном значении параметра р = р12; г - экспоненциальная неустойчивость при р > р,5

На рис. 2а-в демонстрируется неустойчивость треугольника при изолированном значении параметра р = р03. В начальный момент времени он

возмущается на величину порядка 1СГ4 . Траектории движения вихрей выводятся для времени 1 от 400 до 500. На рис. 2б в районе t = 450 происходит срыв со стационарного решения. При малых отклонениях значения параметра р от р03 в обе стороны наблюдается устойчивость (рис. 2а, в).

На рис. 3 а - в решения выводятся для времени 1 от 0 до 100. На рис. 3б в районе t = 60 происходит срыв со стационарного решения. При малых отклонениях наблюдается устойчивость (рис. 3 а, в).

При выполнении условий 4, 5 теоремы многочисленные расчеты подтвердили неустойчивость. Примеры приведены на рис. 2г, 3 г. Срыв со стационарного вращения правильного ^-угольника наблюдается даже без внесения возмущений в на-

чальные данные (возмущения возникают только из-за погрешности метода и вычислительной погрешности). На рис. 2г решения выводятся для времени 1 от 0 до 50, срыв происходит в районе 1=20. На рис. 3г решения выводятся для времени 1 от 0 до 20, срыв происходит в районе t = 5.

В случаях 6, 7 теоремы требуется применение методов КАМ-теории, которые требуют приведения гамильтониана к нормальной форме до четвертого порядка. Такая работа для случая точечных вихрей внутри круга проделана в работе [6].

Литература

1. Томсон Дж.Дж. Электричество и материя. М.; Ижевск, 2004. 264 с.

2. Гряник В.М. Динамика сингулярных геострофических вихрей в двухуровневой модели атмосферы (океана) // Изв. АН СССР. ФАО. 1983. Т. 19, № 3. С. 227-240.

в

г

3. Гудименко А.И., Захаренко А.Д. Устойчивость относительного равновесия трех вихревых зарядов с нулевой суммарной интенсивностью // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2012. № 4. С. 43-54.

4. Havelock T.H. The stability of motion of rectilinear vortices in ring formation // Phil. Mag. 1931. Vol. 11, № 70. P. 617-633.

5. Куракин Л.Г., Юдович В.И. О нелинейной устойчивости стационарного вращения правильного вихревого многоугольника // Докл. РАН. 2002. Т. 384, № 4. С. 476-482.

6. Куракин Л.Г. Устойчивость, резонансы и неустойчивость правильных вихревых многоугольников внутри круговой области // Докл. РАН. 2004. Т. 399, № 1. С. 52-55.

7. Kurakin L.G., Yudovich V.I. The stability of stationary rotation of a regular vortex polygon // Chaos. 2002. Vol. 12. P. 574-595.

8. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М., 1984. 336 с.

9. Островская И.В. Об устойчивости системы частиц в вершинах квадрата внутри круговой области // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств науки. 2009. Спецвыпуск. Актуальные проблемы математической гидродинамики. С. 178-180.

10. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М., 1978. 312 с.

References

1. Tomson Dzh.Dzh. Elektrichestvo i materiya [Electricity and matter]. Moscow; Izhevsk, 2004, 264 p.

2. Gryanik V.M. Dinamika singulyarnykh geostrofi-cheskikh vikhrei v dvukhurovnevoi modeli atmosfery (okeana) [Geostrophic dynamics of singular vortices in a two-level model

Поступила в редакцию

of the atmosphere (ocean)]. Izv. ANSSSR. FAO, 1983, vol. 19, no 3, pp. 227-240.

3. Gudimenko A.I., Zakharenko A.D. Ustoichivost' otnosi-tel'nogo ravnovesiya trekh vikhrevykh zaryadov s nulevoi sum-marnoi intensivnost'yu [Stability of relative equilibrium three vortex charges with zero total intensity]. Izv. RAN. Mekhanika zhidkosti i gaza, 2012, no 4, pp. 43-54.

4. Havelock T.H. The stability of motion of rectilinear vortices in ring formation. Phil. Mag., 1931, vol. 11, no 70, pp. 617-633.

5. Kurakin L.G., Yudovich V.I. O nelineinoi ustoichivosti statsionarnogo vrashcheniya pravil'nogo vikhrevogo mnogou-gol'nika [Nonlinear stability of stationary rotation right vortex polygon]. Dokl. RAN, 2002, vol. 384, no 4, pp. 476-482.

6. Kurakin L.G. Ustoichivost', rezonansy i neustoichivost' pravil'nykh vikhrevykh mnogougol'nikov vnutri krugovoi oblas-ti [Stability, resonances and instability regular vortex polygon inside a circular area]. Dokl. RAN, 2004, vol. 399, no 1, pp. 5255.

7. Kurakin L.G., Yudovich V.I. The stability of stationary rotation of a regular vortex polygon. Chaos, 2002, vol. 12, pp. 574-595.

8. Proskuryakov I.V. Sbornik zadach po lineinoi algebra [Collection of problems in linear algebra]. Moscow, 1984. 336 s.

9. Ostrovskaya I.V. Ob ustoichivosti sistemy chastits v ver-shinakh kvadrata vnutri krugovoi oblasti [On the stability of the particles in the corners of a square within a circular area]. Izv. vuzov Sev.-Kavk. region. Estestv nauki. 2009. Spetsvypusk. Ak-tual'nye problemy matematicheskoi gidrodinamiki [Special Issue. Actual problems of mathematical hydrodynamics], pp. 178-180.

10. Markeev A.P. Tochki libratsii v nebesnoi mekhanike i kosmodinamike [Libration points in celestial mechanics and cosmodynamics]. Moscow, 1978. 312 s.

_31 августа 2015 г.