CC BY
25
ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки
Том 23, № 123
2018
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-123-368-376 УДК 517.929.4
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ГРАФЕ
32 А.П. Жаб ко1', В. В. Провоторов2', E.H. Провоторова3'
ФГБОУ ВО «Санкт-Петербургский государственный университет» 199034. Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7
El-mail: zhabko.apmath.spbu@mail.ru 2- ФГБОУ ВО «Воронежский государственный университет» 394006. Российская Федерация, г. Воронеж. Университетская площадь, 1
Ei-mail: wwprov@mail.ru 31 ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет» 324026, Российская Федерация, г. Воронеж, Московский проспект, 14 El-mail: enprov@mail.ru
Аннотация. В работе сделана попытка продемонстрировать понятие устойчивости по Ляпунову невозмущенного состояния дифференциальной системы применительно к уравнениям с частными производными и показать возможность использования известных классических результатов в изучаемом случае. Ключевые слова: система параболических уравнений; распределенные параметры на графе; начально-краевая задача; аналог устойчивости по Ляпунову
Введение
В многочисленных приложениях при анализе эволюционных процессов из-за сложности математических моделей приходится использовать системы эволюционных уравнений с частными производными и изучать их свойства. Именно этот случай есть предмет исследования в представленной работе: вводится понятие устойчивости параболической системы с распределенными параметрами на графе, аналогичное понятию устойчивости по Ляпунову обыкновенных дифференциальных уравнений. Изучая соответствующую начально-краевую задачу в слабой постановке, мы выходим за рамки классических решений и обращаемся к слабым решениям, описывающим состояния системы, которые более точно отражают физическую сущность явлений и процессов. При этом выбор класса слабых решений, определяемого тем или иным функциональным пространством, обусловлен, прежде всего, требованием сохранения теорем существования и единственности (последнее, если это соответствует духу изучаемого явления или процесса).
1. Основные понятия и используемые утверждения
На протяжении всей работы используются понятия и обозначения, принятые в [1]: - ограниченный ориентированный геометрический граф с ребрами 7, параметризованными отрезком 1,2а; д и J) Н--множества граничных С и внутренних £
узлов графа, соответственно; о — объединение всех ребер 70, не содержащих конце-выхточек; t[ „0)М+(ц[ 7о 0)М+), д t[ д 0)М+(* { Т<Е
произвольная фиксированная постоянная); /7 — сужение функции / на ребро 7.
Необходимые пространства и множества: Lp) + (р [ 2,: ) — банахово пространство измеримых на 0 функций, суммируемых с р-й степенью (аналогично определяются пространства Lp) ¿2,1) тН--пространство функций из Ьг) у+с нормой,
т
определяемой соотношением и l2\(Tt) \ ñ fu2)x,t-\dx-fr^2dt=Wl) -\—пространство
функций из L2) "V имеющих обобщенную производную 2-го порядка также из La) +; W2'0) т~\— пространство функций из Ь2) т+ имеющих обобщенную производную 1-го порядка по х, принадлежащую L2) т+ (аналогично вводится пространство И""1) 7-+; Va) тН— множество всех функций u)x,t-1-{ И'о1,0) 7-+с конечной нормой
и 2:гт < хтт и)^+£з(Г)0 их ЫГт) (1)
и непрерывных по t в норме La) +
Введем пространство состояний параболической системы и вспомогательные пространства. Рассмотрим билинейную форму £)fi, i/+[ /'j а)х О Ь)ж-\pi)х)х-f^c/x
с фиксированными измеримыми и ограниченными fía 0 функциями Ь)х-^ сум-
мируемыми с квадратом:
1 < а* > а)х+> а*, |fi)z-||| > р, х { 0. (2)
Лемма 1. [2, с. 92] Пусть функция и)х-Ь{ W\) +такова, что
i/+ f)x-\f])x-\dx [ 1
для любой ч])х-\-{ \У\) +(/)я-Ь[ ¿2) Н—фиксированная функция). Тогда для любого
'и(х) с1х
ребра 7 —» сужение а)а:-tyrf"^7 непрерывно в концевых точках ребра 7.
Обозначим через ( а) + множество функций и)х-^ удовлетворяющих условиям леммы и соотношениям [ [ [ а)Иу во всех узлах £ { 3) -(-(здесь
#)£+ и г)£-|--множества ребер 7, соответственно ориентированных «к узлу £» и
«от узла £ »). Замыкание в норме \\г\) + множества ( а) +обозначим через И/Г1)а, + При этом, если допустить, что функции и)х+ из ( а) + удовлетворяют еще и краевому условию [ 1, то получим пространство + Пусть далее ( „) тН--
множество функций тНг чьи следы определены на сечениях области т
плоскостью £ [ ¿о (¿о { ]15Та) как функции класса +и удовлетворяют соотно-
шениям
/ а) I (3)
для всех узлов £ { 7) + Замыкание множества ( а) х+по норме (1) обозначим через т+; ясно, что У1-0)«, т^У1/) т+ Другим подпространством пространства. И7^'0) является И'1,0)а, тЧ— замыкание в норме т+множества гладких функций, удовлетворяющих соотношениям (3) для всех узлов £ { 3) +и для любого I { 1,Та (аналогично вводится пространство \¥1)а, т+); И/1,0)а, т+
В пространстве У1,0)а7 т+рассмотрим параболическое уравнение
Т (4)
представляющее собой систему дифференциальных уравнений с распределенными параметрами на каждом ребре 7 графа ; £2,1) т+ Состояние ¿{ т+ системы (4) в области т определяется слабым решением у)х,уравнения (4), удовлетворяющим начальному и краевому условиям
У №=о[ х{ , у |иагт[ 1= (Б)
1р)х+{ Ь>2) + Предположения относительно функций а)х+ и Ь)аН-указаны выше. Из у)х^+{ У1,0)а, т+следует, что отображение у ; ]1,Таоо Н—> Ь2) +является
непрерывной функцией, так что первое равенство в (5) имеет смысл и понимается почти всюду.
Определение 1. Слабым решением начально-краевой задачи (4), (5) класса т+называется функция у)х,1+{ У1,0)а, удовлетворяющая интегральному тождеству
/у)х, [у)х, I \ ^ <1х(И 0 т/+[ [(р)х-\г1)х, \-\dx 0 [/)х,
7 У 7
при любом ¿{ ]1, Та и для любой функции ^Н—билинейная
форма: ^)а)х 0 Ъ)х^)х, Щ)х,Н^иЙ, £{ )1,Та
Приведем используемые ниже утверждения, полные доказательства которых представлены в работах [1,3].
При доказательстве разрешимости задачи (4), (5) используется специальный базис пространства -\— система обобщенных собственных функций краевой задачи
на собственные значения (спектральной задачи)
А
<1х
О Ь)жНи)х+[ \и)х-Ь [ 1 (6)
в классе \¥1)а, + Обобщенная собственная функция удовлетворяет интегральному тождеству €)и, т/+[ А) и, 77+для любой функции ?/)ж+{ -(-(здесь и всюду ниже
через )%И-обозначено скалярное произведение в Ь2} +или Ь2) т+)-
Лемма 2. [3] Пусть выполнены предположения (2). Тогда спектральная задача (6) имеет счетное множество действительных собственных значений }АТ1| Т1>1 (занумерованных в порядке возрастания с учетом их кратностей) с предельной точкой на бесконечности (собственные значения A¿ положительны, за исключением, может быть, конечного числа первых). Система обобщенных собственных функций „>! обра-
зует базис в +и Ь2) "V ортопормированный в Ь2) +и ортогональный в смысле
скалярного произведения ] X ж
Следствие 1. Если b)x+d 1, как это умеет, место в приложениях, то все собственные значения спектральной задачи (6) неотрицательны.
Теорема 1. |1| При любых f)x-\- { ¿2,1) т~V ф)х+ { Ь2) + и для любого 1 < Т < Е начально-краевая задача (4), (5) однозначно слабо разрешима в пространстве У1,0)», т+
При доказательстве теоремы строятся приближения Фаэдо-Галеркина ул )х, f+ по
N
базису „>! : yN)x,t+[ J c^)t-íun)x-V где 1— абсолютно непрерывные на
Т1 = 1
]1, Та функции ( c'n)t-\-{ L2)l, натуральное N фиксировано). Дальнейшие рассуждения основаны на априорных оценках норм слабых решений задачи (4), (5) и построении слабо сходящейся по норме т+подпоследовательности }yN>; последователь-
ности }уЛ ^дг>1 к решению y)x,t-\-[ И/1,0)а, (слабая компактность \yNk ^fc>1 )■
Следствие 2. Слабое решение начально-краевой задачи (4), (5) непрерывно зависит от исходных данных f)x, Í+ и ф)х-\г Тем самым установлена корректность по Адамару начально-краевой задачи (4), (5) в пространстве У1'0) а, для любого
1 < Т < е .
Замечание 1. Утверждения теоремы 1 сохраняются при замене ] 1. Та на ]ío,Ta (¿o > 1), начальное условие в соотношениях (5) заменяется на у |=ÍQ[ ip)x-\r Краевое условие в (5) может быть неоднородным: у)х, í+lj^eert Ф)х1
В многочисленных приложениях, где необходимо исследовать свойства решений y)x,t-ь( V1,0)a, задачи (4), (5) для произвольного конечного Т, важно знать поведение f+при t 00 0 е , то есть при t { ]1, е +
В условиях теоремы 1 отображение t 00 y)x,t+(t С 1) непрерывно. Пусть, как и выше, f)x,t+{ L2 \) причем
t+i
/)к+2ЫГ)<к>А (7)
/
для любого ici (А - фиксированная постоянная); последнее означает, что функция f)x,t+ определена в области +
Теорема 2. Пусть у)х, i+{ V1,0)a, 7Ч--слабое решение задачи (4), (5) для произвольного конечного T > 1. Тогда существует такая положительная постоянная
С, что t+1
1) J > С для любых t с 1 ; 2) y)%.t+L2(г) > С при t 00 0 е .
Доказательство строится по следующей схеме. Полуось ]1, € +разбивается на отрезки з [ 2,:,... и через 13 обозначается такое принадлежащее ]_?* 2,^а число, для которого
У)^з+ыгт) [ ¿т., У)**+ ыТтУ Я 2>:>"" (8)
Для произвольных положительных зи£(з<£)из интегрального тождества определения 1 следует неравенство
(
( ? ^4/2 (9)
уМ-ч t " у
fUt+l2{r)dt^ J f y)K+2wi(r)d^
i
постоянная а зависит только от фиксированных а* и /3 в условиях (2).
Дальнейшие рассуждения опираются на идею, представленную в монографии Ж.Л. Лионса [4, с. 519], При этом используется неравенство (9) для произвольного отрезка ]tj,íj+2a j [ 2,:,... поскольку в силу (8) возможно равенство tj [ и
далее в силу произвольности j [ 2,: ,... имеет место оценка
y)yft-H~L2(n>xm}xm у)&+ыг),М\ [ С,
где М [ {1,/2, х — константа вложения пространства +в Ь2) + Та-
ким образом, решение у)х, Í+определено в области 0]1-1 +и из полученной оценки вытекают утверждения теоремы.
2. Основной результат
Предположим, что Ь)х+С 1 для х { , что гарантирует неотрицательность собственных значений A.¿, i С 2 (следствие 1) и пусть Ai > 1. Рассмотрим систему (4) на множестве ^ [ 0 0)1> t + Обозначим через ÍOi¡ [ 0 Q)to, Í+ д to,t [ д O)t0,t+ (1 < t0 < t < <Е ), to,oc [ о O)ío, е + 9 ío>oc [ д O)t0, е +; ясно, что t0>í -)• t. Как и выше, í+{ L2,i) т+ причем выполнены условия (7).
Пусть состояние системы (4) описывается функцией y)x:t-1-{ to,co~lr являю-
щейся слабым решением уравнения (4) в области ¡0jOO с начальным и краевым условиями
y\[=t0[ х{ , у IUotvJ (10)
а функция у)х, í+{ V'1,0)«, Í0jOO+является слабым решением уравнения (4) в области taoo с начальным и краевым условиями
y\[=t0[ , у |Usrio>M[ 1, (П)
(начально-краевая задача (4), (10) отличается от задачи (4), (11) тем, что функция Щх+в первом соотношении (10) заменена на отличную от нее функцию Состоя-
ние у)х, í-(-системы (4) назовем невозмущенным, а у)ж, í-|— возмущенным. Из теоремы 2 вытекает, что состояния у)х, í-^ y)x,t+ определены в области Í0j0a, удовлетворяют соответствующим начальным и краевым условиями (10), (11) и принадлежат пространству У1,0)а, ¡0,оо+при f)x,t+{ Ь-2,l) 0О+
Определение 2. Невозмущенное состояние у)х, t+ системы (4) называется слабо устойчивым (устойчивым по Ляпунову [5]), если для любых i0 > 1 и е > 1 существует ¿)i0,e+> 1 такое, что при ср Jp ь2(т) < е+ выполняется y)>ft-\-у)№i(a,r) < е ПРИ ^ С to, где y)x,t-\— возмущенное состояние системы (4).
Замечание 2. Аналогично определению устойчивости невозмущенного состояния системы (4) можно ввести определение равномерной устойчивости, асимптотической и экспоненциальной устойчивости невозмущенного состояния системы (4) в области t0i00.
Замечание 3. В силу линейности системы (4) можно все определения переформулировать для нулевого (тривиального) состояния системы (4).
Теорема 3. Пусть в (4) Ь)х+С 1, х { и пусть первое собственное значение Л! положительно, тогда невозмущенное состояние системы (4) в области т слабо устойчиво.
Действительно, в силу линейности уравнения (4) функция в)х, t+[ у)х, i+ у)х, £-|— элемент пространства l/1,D)a, ¡0,от+и является слабым решением начально-краевой задачи для однородного уравнения (4) ( / [ 1 ), удовлетворяющее начальному и краевому условиям
ff IU[ Ф)*ъ , в lUivJ 1, (12)
где ф)х-\- [ (р)х+ ïp)x-\r Следуя рассуждениям доказательства теоремы 1 (см. |1|), начально-краевая задача (4), (12) однозначно слабо разрешима, ее решение имеет пред-
оо
ставлспие в)х, f+ [ Г фпе~Хп1:ип)х-^ фп [ )ф1ип+ и является пределом слабо сходя-
п=1
N
щейся последовательности }0Л (N>1 приближений 9N)x,t-\-\ f фпе~Хп1ип)х-при-
V ~ n=i
N
чем 9N 2,rt > f Фпе~2Хп11 N [ 2, : j... Переходя к пределу в последнем неравенстве
п=1
при N ос е , приходим к оценке > С* Ф i2(r}{ Для любых t { ]£о, € +
( С* — постоянная), из которой следует утверждение теоремы.
Замечание 4. Полученные результаты применимы для задач оптимального управления [6,7].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Провоторов В.В., Провоторова E.H. Синтез оптимального граничного управления параболической системы с запаздыванием и распределенными параметрами на графе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2017. Т. 13. Вып. 2. С. 89-104.
2. Провоторов В.В., Волкова A.C. Начально-краевые задачи с распределенными параметрами на графе. Воронеж: Изд-во «Научная книга», 2014. 188 с.
3. Волкова A.C., Провоторов В.В. Обобщенные решения и обобщенные собственные функции краевых задач на геометрическом графе // Известия высших учебных заведений. Математика. 2014. № 3. С. 3-18.
4. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 581 с.
5. Жабко А.П., Котина Е.Д., Чижова О.Н. Дифференциальные уравнения и устойчивость. СПб.: Лань, 2015. 320 с.
6. Подвальный С.Л., Провоторов В.В. Определение стартовой функции в задаче наблюдения параболической системы с распределенными параметрами на графе // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2014. Т. 10. № 6. С. 29-35.
7. Provotorov V.V., Ryazhskikh V.I., Gnilitskaya Yu.A. Unique weak solvability of a nonlinear initial boundary value problem with distributed parameters in a netlike region // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2017. Т. 13. № 3. С. 264-277.
Поступила в редакцию 18 апреля 2018 г.
Прошла рецензирование 21 мая 2018 г.
Принята в печать 19 июня 2018 г.
Конфликт интересов отсутствует.
Жабко Алексей Петрович, Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой управления факультета прикладной математики - процессов управления, Заслуженный работник высшей школы, e-mail: zhabko.apmath.spbu@mail.ru
Провоторов Вячеслав Васильевич, Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей, e-mail: wwprov@mail.ru
Провоторова Елена Николаевна, Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и физико-математического моделирования, e-mail: enprov@mail.ru
Для цитирования: Жабко А.П., Провоторов В.В., Провоторова Е.Н. Об устойчивости параболической системы с распределенными параметрами на графе // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 123. С. 368-376. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-123-368-376
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-123-368-376
ON STABILITY CONTROL OF A PARABOLIC SYSTEMS WITH DISTRIBUTED PARAMETERS ON THE GRAPH
A. P. Zhabko1), V. V. Provotorov2), E.N. Provotorova3)
St. Petersburg State University 7 Universitetskaya Quay, St. Petersburg 199034, Russian Federation E-mail: zhabko.apmath.spbu@mail.ru 2) Voronezh State University 1 University Area, Voronezh 394006, Russian Federation E-mail: wwprov@mail.ru 3) Voronezh State Technical University 14 Moscovsky Avenue, Voronezh 394026, Russian Federation E-mail: enprov@mail.ru
Abstract. The work is an attempt to demonstrate the concept of sustainability in the undisturbed state Lyapunov differential system for equations with partial derivatives, and show the ability to use a famous classical results in the studied case. Keywords: system of parabolic equations; distributed parameters on the graph; initial-boundary value problem; equivalent of Lyapunov stability
REFERENCES
1. Provotorov V.V., Provotorova E.N. Sintez optimal'nogo granichnogo upravleniya paraboli-cheskoy sistemy s zapazdyvaniyem i raspredelennymi parametrami na grafe [Synthesis of optimal boundary control of parabolic system with time-delay and distributed parameters on the graph]. Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta. Prikladnaya matematika. Informatika. Protsessy upravleniya - Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2017, vol. 13, no. 2, pp. 89-104. (In Russian).
2. Provotorov V.V., Volkova A.S. Nachal'no-krayevyye zadachi s raspredelennymi parametrami na grafe [Initial-Boundary Value Problems with Distributed Parameters on the Graph]. Voronezh, The Scientific Book Publishing House, 2014, 188 p. (In Russian).
3. Volkova A.S., Provotorov V.V. Obobshchennyye resheniya i obobshchennyye sobstvennyye funktsii krayevykh zadach na geometricheskom grafe [Generalized solutions and generalized eigen-functions of boundary-value problems on a geometric graph]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika - Russian Mathematics, 2014, no. 3, pp. 3-18. (In Russian).
4. Lions J.-L. Nekotoryye metody resheniya nelineynykh krayevykh zadach [Some Methods for Solving Nonlinear Boundary Problems]. Moscow, Mir Publ., 1972, 581 p. (In Russian).
5. Zhabko A.P., Kotina E.D., Chizhova O.N. Differentsial'nyye uravneniya i ustoychivost' [Differential Equation and Stability]. St. Petersburg, Lan' Publ., 2015, 320 p. (In Russian).
6. Podvalnyy S.L., Provotorov V.V. Opredeleniye startovoy funktsii v zadache nablyudeniya parabolicheskoy sistemy s raspredelennymi parametrami na grafe [Determining the starting function in the problem of observation of parabolic system with distributed parameters on the graph]. Vestnik
Voronezhskogo gosudarstvennogo technicheskogo universiteta - Proceedings of Voronezh State Technical University, 2014, vol. 10, no. 6, pp. 29-35. (In Russian).
7. Provotorov V.V., Ryazhskikh V.I., Gnilitskaya Yu.A. Unique weak solvability of a nonlinear initial boundary value problem with distributed parameters in a netlike region. Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta. Prikladnaya matematika. Informatika. Protsessy upravleniya - Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2017, vol. 13, no. 3, pp. 264-277.
Received 18 April 2018 Reviewed 21 May 2018 Accepted for press 19 June 2018 There is no conflict of interests.
Zhabko Alexei Petrovich, St. Petersburg State University, St.-Petersburg, Russian Federation, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Management, e-mail: zhabko.apmath.spbu@mail.ru
Provotorov Vyacheslav Vasil'evich , Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of Partial Differential Equations and Probability Theory, e-mail: enprov@mail.ru
Provotorova Elena Nikolaevna, Voronezh State Technical University, Voronezh, Russian Federation, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Mathematics and Physics and Mathematical Modeling, e-mail: enprov@mail.ru
For citation: Zhabko A.P., Provotorov V.V., Provotorova E.N. Ob ustoychivosti parabolicheskoy sistemy s raspredelennymi parametrami na grafe [On stability control of a parabolic systems with distributed parameters on the graph]. Vestnik Tam-bovskogo universiteta. Seriya: estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 123, pp. 368-376. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-123-368-376 (In Russian, Abstr. in Engl.).
