Оптимальное управление параболической системой с распределенными параметрами на графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977.56

Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 3

В. В. Провоторов

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ГРАФЕ

Воронежский государственный университет, Российская Федерация, 394006, Воронеж, Университетская пл., 1

Рассматриваются начально-краевая задача для параболического уравнения с распределенными параметрами на ограниченном графе Г и ей соответствующая задача оптимального управления. Работа продолжает исследования автора в направлении существования и единственности оптимального управления в случае, когда состояние дифференциальной системы суть отображение отрезка [0, T] (T < те) в специальное банахово пространство. При этом в качестве пространства управлений используется пространство интегрируемых с квадратом функций Ь2(Гт), Гт = Г X (0, T). Библиогр. 13 назв.

Ключевые слова: начально-краевая задача с распределенными параметрами на графе, обобщенное решение, оптимальное управление.

V. V. Provotorov

OPTIMUM CONTROL OF PARABOLIC SYSTEM

WITH THE DISTRIBUTED PARAMETERS ON THE GRAPH

Voronezh State University, 1, Universitetskaya square, Voronezh, 394006, Russian Federation

The initial and regional task for the parabolic equation with distributed is considered parameters on limited graph Г and it the corresponding problem of optimum control. Work continues researches of the author in the direction of existence and uniqueness optimum control in a case, when a condition of differential system an essence display of a piece of [0,T] (T < те) in special space. Thus in quality of space of managements the space of functions integrated with a square is used Ь2(Гт), Гт = Г X (0,T). Bibliogr. 13.

Keywords: initial and regional task with the distributed parameters on the graph, the generalized decision, optimum control.

1. Введение. Настоящая работа продолжает исследования, результаты которых приведены в [1, 2], где основополагающим явился спектральный подход, применяющий анализ спектральных характеристик соответствующих краевых задач [3, 4]. Ниже представлен другой подход, основанный на априорных оценках обобщенных решений начально-краевой задачи для уравнений параболического типа с распределенными параметрами на графе [5, 6]. Для задачи оптимального управления параболической системой получены условия существования единственного управляющего воздействия, распределенного на графе. Используется произвольный связный ограниченный ориентированный граф, допускающий наличие циклов, при этом сохраняются обозначения, принятые в [5, 7].

2. Основные понятия и предложения. Обозначим через 9Г множество граничных, через J (Г) - множество внутренних узлов графа Г и пусть Го -

Провоторов Вячеслав Васильевич — доктор физико-математических наук, профессор; e-mail: wwprov@mail.ru

Provotorov Vyacheslav Vasil'yevich — doctor of physical and mathematical sciences, professor; e-mail: wwprov@mail.ru

объединение всех ребер, не содержащих концевых точек, дЖ - множество всех граничных ребер (ребра с граничными узлами £ £ дГ); Гт = Г0 х (0, Т) (Г = Г х (0, Ь)), дГт = дГ х (0,Т). Каждое ребро 7 графа Г параметризуется отрезком [0,1] и параметром х £ [0,1], ориентация ребер установлена в [5, с. 67].

Введем необходимые пространства: ¿2 (Г) - пространство функций, суммируемых с квадратом на Г (аналогично описывается пространство ¿2(Гт)); Ш2(Г) - пространство функций из ¿2(Г), имеющих обобщенную производную 1-го порядка также из ¿2(Г), норма в Ш2(Г) определяется скалярным произведением

(и, (г) = / (ь,(х)у(х) + Ц^^г} (1х; ¿2д(Гт) - пространство функций из Ъ\(Тт) с нормой

У И^ЛГт) = 1(1У2(х,^х)1/2 0 Г

Ш2'0(Гт) - пространство функций /(х, Ь) £ ¿2(Гт) с обобщенной производной первого порядка по х, принадлежащей ¿2(Гт), норма в Ш2'0(Гт) определяется соотношением

1^.0(Гт)= / (ЯМ)2 + Лий.

Пусть далее ) - множество всех функций и(х,Ь) £ Ш^'^Гт), имеющих ко-

нечную норму

\иЬ,Гт = ^гаг тах \\и(х,Ь)\\Ь2(Г) +

ди

дх

Ь2(Гт )

(1)

0<4<Т -Ь2

и непрерывных по Ь в норме ¿2(Г), т. е. таких, что

\\и(х,Ь + ДЬ) - и(х,Ь)\\Ь2(Г) ^ 0

при ДЬ ^ 0 равномерно на [0, Т]. Рассмотрим билинейную форму

= / (а(х)^^^р- + Ь(ж)/х(ж)г/(ж)) (1х,

Г

коэффициенты а(х), Ь(х) - фиксированные измеримые ограниченные на Г0 функции, суммируемые с квадратом: 0 < а* ^ а(х) ^ а*, Ь* ^ Ь(х) ^ Ь*, х £ Г0 (а*,а* ,Ь*,Ь* -фиксированные постоянные). Из леммы 2 [5, с. 72] следует, что в пространстве Ш2(Г) есть множество О функций и(х) £ С (Г) (С (Г) - пространство непрерывных на Г функций), удовлетворяющие соотношениям

а ея(£) 7,- еК«)

во всех узлах £ £ . (Г) (здесь Д(£) - множество ребер, ориентированных «к узлу £», г(£) - множество ребер, ориентированных «от узла £»). Замыкание в норме Ш2 (Г) множества функций из О, равных нулю во всех узлах £ £ дГ, обозначим через Ш2 0(а, Г). Пусть далее О0(а, Гт) - множество функций и(х,Ь) £ ), чьи следы

определены на сечениях области Гт плоскостью Ь = ¿о (¿о € [0, Т]) как функции класса Ш2 о(а, Г), т. е. для каждого элемента и € Оо(а, Гт) при фиксированном Ь € [0, Т] существует последовательность {ип} функций ип(х,Ь) € О, сходящаяся в норме Ш2(Г) к следу V, при этом ип(х,Ь) равны нулю во всех узлах £ € дГ, непрерывны на Г и удовлетворяют соотношениям

ди(1, г)^ ди(0, ^

£ а(!)ъ- дх = Е а(°)ъ- дх 2

для всех узлов £ € . (Г). Замыкание множества Оо(а, Гт) по норме (1) обозначим через V2 с?(а, ГТ): ^^(а, Гт) С Ш1 'о(Гт). Другое подпространство пространства Ш1'о(Гт) есть пространство Ш2 'о(а, Гт), являющееся замыканием в норме Ш1 'о(Гт) множества гладких функций, удовлетворяющих соотношениям (2) для всех узлов £ € .(Г) и для любого Ь € [0,Т], а также равных нулю вблизи дГ х [0,Т]. Элементы пространства V"1 'о(а, Гт) отличаются от элементов Ш2 ' о(а, Гт) отсутствием у последних непрерывности по переменной Ь, соотношение (2) имеет место почти всюду на (0,Т). По мере необходимости будут введены другие пространства и их подпространства с интересующими нас свойствами.

Обозначения п. 2 дополним следующими: сужение функции /(х,Ь) на ребро 7 -через /(х,Ь)7; интеграл от функции /(х,Ь) по области Гт понимается как сумма интегралов по областям 7 х (0,Т), имеет место представление

/ /(х,£)йх& = / /(х,Ь)1к¿х&, Гт 7 7Х(о 'т)

рассматриваются измеримые функции и используется интеграл Лебега.

Приведем два простых утверждения, связывающие пространства Ш1 о (а, Гт), ¿2(Гт) и ¿2 д(Гт).

Лемма 1. Пространство Ш2 о(а, Гт) плотно в Ь2(Гт).

Доказательство вытекает из самого определения пространства Ш2 о(а, Гт) (см. п. 2).

Лемма 2. Имеет место включение Ь2(Гт) С Ь2д(Гт).

Доказательство. Пусть ] является элементом пространства ¿2 д(Гт). Оценим норму ||/\\Ь21(Гт), используя неравенство Коши-Буняковского:

т / \ !/2 Гт

11/11ь2,1(гт) = / (¡/2(^)<3,х) сМ < у/Т\\Цр{х,г)Лхаь = ^Т||/||ь2(гт).

о \г / V о г

Из полученного неравенства ||/||ь21(гт) ^ л/7Г||/||^2(-Гт) вытекает утверждение леммы.

Таким образом, имеют место включения Ш1 о (а, Гт) С ^(Гт) С ¿2 д(Гт), по аналогии с [5, с. 75] можно показать, что пространство Ш 2 о (а, Гт) плотно в ¿2(Гт).

В п. 3 рассмотрим эволюционную задачу с распределенными параметрами на графе и ей соответствующие задачи оптимального управления в пространствах V2'о(а,Гт) и Ш1 о(а, Гт). При этом в качестве пространства управлений и будем использовать ¿2(Гт ).

3. Задача оптимального управления параболической системой в пространстве V2'о(а, Гт). Рассмотрим начально-краевую задачу отыскания решения

у(х, £) в области IV, удовлетворяющего условиям (2) во всех внутренних узлах графа Г:

(«М^1) + Нх)у(х,г) = ЯхЛ (3)

У 14=0= р(х), х £ Г, (4)

у |Эг= 0, 0 < Ь < Т. (5)

Предположения относительно функций а(х), Ь(х) остаются теми же, что и в п. 1; /(х,Ь) £ ¿2д(Гт), р(х) £ ¿2(Г).

Определение 1. Обобщенным решением класса Ш2 ' 0(Гт) краевой задачи (3)-(5) называется функция у(х,Ь) £ У2" 0(а, Гт), удовлетворяющая интегральному тождеству

Г 7 (6) = / ф(х)ц(х, 0)йх + / /(х,Ь)ц(х,Ь)йх&

Г Г

для любых Ь £ [0,Т] и при любой п(х,Ь) £ Ш2 ' 0(а,Гт); ¿г(у,п) - билинейная форма, определенная соотношением

£г(р(х,г),1у(х,г)) = / (а(х)а^хх'^ + Ь(ж)/х(ж,4)г/(ж,4)) ¿хЖ.

Теорема 1 [6]. Задача (3)-(5) однозначно разрешима в пространстве У22'°(а, Гт), обобщенное решение непрерывно зависит от исходных данных /(х,Ь), р(х).

Задача оптимального управления. Пусть В : и ^ Ь2(ГТ) - линейный непрерывный оператор (в силу леммы 2 Ву £ ¿2д(Гт), У у £ и), / и р - заданные элементы пространств Ь2д(Гт) и ¿2(Г) соответственно; у(у)(х,Ь) £ У22 '°(а,Гт) (состояние системы ) - обобщенное решение задачи (3)-(5) с правой частью в уравнении (3), равной / + Ву (у(х,Ь) £ и). Соотношение (6) трансформируется к виду

дг

Г Г 4

= § р(х)п(х, 0)с1х + f /(х,Ь)п(х,Ь)с1хсИ + f Ву(х,Ь)г1(х,Ь)3,хА Г Г Г

2

(7)

для любых Ь £ [0,Т] и при любой ц(х,Ь) £ Ш2 0(а, Гт).

Пусть С : У^0(а, Гт) ^ Ь2(ГТ) - линейный непрерывный оператор (оператор наблюдения ); N : и ^ и - линейный непрерывный эрмитов оператор, (Nу,у)u ^ я\М\о (я > 0 - фиксированная постоянная); .(у) - функционал, требующий минимизации на выпуклом замкнутом множестве Юэ С и (функция стоимости):

.(у) = \\Су - ^0У^2(Гт) + (^,у)и,

где г0(х,Ь) - заданное наблюдение.

Заменим в правой части (3) / на / + Ву (у £ Ю), прямым следствием теоремы 1 является следующее утверждение.

Теорема 2. Задача (3)-(5) (для / + Ву, у £ Ю) однозначно разрешима !с°(

в У^ '0(а, Гт) и имеет место непрерывность линейного отображения у ^ у (у) пространства Ю в У22 '0(а, Гт).

Задача оптимального управления системой (3)-(5) (для / + Bv, V € и)

состоит в том, чтобы отыскать М .(V).

Теорема 3. Задача оптимального управления системой (3)-(5) (для / + Bv, v(x,t) € и) имеет единственное решение V* € Ю, т. е.

.(V*)= М .(V).

-иеОэ

Доказательство. В силу утверждения теоремы 2 линейное отображение

V ^ у^) пространства управлений Ю в пространство состояний V2, о (а, Гт) непрерывно. Функционал .(V) определяется с помощью следующих операторов: 1) оператора

V ^ у^) перехода от управления V к состоянию у(V); 2) оператора у(V) ^ Cy(v) перехода от состояния к наблюдению.

Преобразуем функционал .(V) к виду

.(V) = \\С(y(v) - у(0)) + Су(0) - г||2(гт) + v)D = = пМ - 2£(и) + ||Су(0) - г!ЫгТ),

где

п(и, V) = (С(у(и) - у(0)), C(y(v) - у(0)))Ь2(Гт) + (^и, v)u, ^) = (г - Су(0),СШ - у(0)))ь2(гт).

Доказательство завершается применением утверждения теоремы 1.1 [7, с. 13], при этом учитывается очевидное неравенство ||Су(0) - г||^2(гт) ^ 0.

Соотношения, определяющие оптимальное управление. Предварительно докажем следующее вспомогательное утверждение.

Лемма. Для любых ^и,и € Ю имеет место соотношение

у'(и)^ - и) = у^) - у (и) (8)

(здесь у'(и) - производная по управлению и функции состояния у(и)).

Доказательство. С одной стороны, из соотношения (7) для любых Ь € [0,Т] и при любой п(х,Ь) € Ш2 о(а, Гт) для произвольных фиксированных v,u € Ю вытекает

/ (у(у)(х,г) - у(и)(х,г)) + / ( - (у(у)(х,г) - у(и)(х,г)) ) ¿хЛ +

г гЛ 7 (9)

+ ^г((у^)(х, Ь) - у(и)(х, Ь)) , п(х, ¿)) = / В (v(x, Ь) - и(х, Ь)) п(х, £)йхА,

гь

с другой - оно дает для любых Ь € [0, Т] и при любой п(х, Ь) € Ш1 , о(а, Гт)

/ (у(и + 6^ - и))(х, Ь) - y(v)(x, Ь)) п(х, Ь)с1х + г

+ / (-(у(и + в(у-и))(х,$-у(у)(х,$)Щь£)<Ь<и +

гь У '

+ &г((у(и + 6^ - и))(х, Ь) - у^)(х, Ь)), п(х, Ь)) = 6 § В ^(х, Ь) - и(х, Ь)) п(х, Ь)с1хсМ.

гь

Деля обе части полученного соотношения на 6 и вычисляя предел при 6 ^ 0, приходим к соотношению

/ у'(и)(х, Ь) (и(х, Ь) - и(х, Ь)) п(х, Ь)йх + г

+ / (^-у'{и){х,1) (г>(ж,£) -и{х,г)) ¿хсМ + (ю)

гь

+ 1г(у'(и)(х, Ь) (и(х, Ь) - и(х, Ь)), ц(х, Ь)) = / В (а(х, Ь) - и(х, Ь)) ц(х, €)йхА

гь

для любых Ь € [0,Т] и при любой п(х,Ь) € Ш2 о (а, Гт).

Сравнивая левые части соотношений (9) и (10), учитывая принадлежность

о(

у'(и)(х,Ь) пространству Ш1 о(а, Гт), плотность Ш1 о(а, Гт) в пространстве Ь2(Гт)

(лемма 1), а также произвольность Ь € [0,Т] и ц(х,€) € Ш1 о(а,Гт), получаем соотношение (8). Лемма доказана.

Теорема 4. Пусть множество Ю ограничено. Для того чтобы элемент и € Ю был оптимальным управлением, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись следующие соотношения:

/ у(и)(х,1)г](х,1)<1х + / (-у(и)(х,г)дгП:^'^ ) (1х(й + ег(у(и)( ¿)) =

г г у 7

= I ¥>(х)ц(х, 0)с1х + / /(х,Ь)ц(х,Ь)в,х& + / Ви(х,Ь)ц(х,Ь)в,х& (11)

Г Г г

V € [0,Т], Уп(х,г) € Ш2 , о(а,Гт)),

/ (Су(и) - го)С(у(о) - у(и))3,хЖ + (Ми,-и - и)„ > 0 Ш € Ю), (12)

гт

где у (и) € V2i'¡°(a, Гт).

Доказательство. В соответствии с утверждением теоремы 1.3 [7, с. 18] требуется показать, что неравенство (12) равнозначно неравенству .'(и)(и - и) ^ 0 для любого V € Ю. Исходя из представления функционала .(V), получим

.(и + 6(V - и)) - .(и) = (Су(и + 6(V - и)) - го, Су(и + 6(V - и)) - го)Ь2(гт) + + (М (и + 6(V - и)),и + 6(V - и))и - (Су (и) - го, Су (и) - го)Ь2 (гт) - (Ми,и)и,

откуда вытекает

.(и + 6(V - и)) - .(и) = = (Су(и + 6(V - и)) + Су(и), С(у(и + 6(и - и)) - у(и)))Ыгт) -- 2(го, С (у (и + 6(V - и)) - у(и)))ь2(гт) - 2(Ми, V - и)и.

Деля последнее соотношение на 6, переходя к пределу при 6 ^ 0 и учитывая соотношение (8) утверждения леммы, получаем

.(и)(V - и) =2(Су(и) - го,С(у(и) - у^^^^т) - 2(Ыи^ - и)у,

что и доказывает неравенство (12); соотношение (11) очевидно. Теорема доказана.

Неравенство (12) можно преобразовать с помощью сопряженного состояния системы (3)-(5), учитывая симметричность формы (Ь € [0,Т]). Сделаем это для случая С : Ь2(Гт) ^ Ь2(Гт), тогда неравенство (12) можно переписать в виде

(С*(Су(и) - го),у(V) - у(и))Ь2{гт) + (Ми^ - и)„ > 0Vv € Ю (13)

(здесь С * : Ь2(Гт) ^ Ь2(Гт) - сопряженный к С оператор).

Обозначим через £т(р, V) билинейную форму £4,(р, V) при Ь = Т. Для управления у сопряженное состояние и>(у) £ Ш2 0(а, Гт), ш(у)(х,Т) = 0 (сопряженное состояние

ш(у) является элементом пространства, отличного от У20(а, Гт), которому принадлежит состояние у(у)) определим соотношением

_ I ^¿ЩМк^х^хЛ + =

Гт (14)

= / С*(Сш(у)(х,Ь) - г0(х,Ь))С(х,Ь)ё,хА (У((х,Ь) £ Ш2'0(а,Гт)). У '

Гт 2 0

Пусть у(у)(х,Ь) - решение (7), у(и)(х,Ь) - решение (7) при у = и. Положим в (14) у = и и £(х,Ь) = у(у)(х,Ь) — у(и)(х,Ь) (последнее возможно, так как У2" 0(а, Гт) С Ш2 '0(а, Гт)), получим, учитывая £(х, 0) = 0,

ди!(и)(х:Ь)

_ | _ у(и)(х,Ь))(1х(И +

Гт

+ £т (ш(и)(х,Ь),у(у)(х,Ь) — у(и)(х,Ь)) = (15)

= I С*(Сш(и)(х,Ь) — г0(х,Ь))(у(у)(х,Ь) — у(и)(х,Ь))ёхА.

Гт

Вместе с тем из соотношения (11) при Ь = Т и ц(х,Ь) = ш(и)(х,Ь) (ш(и)(х,Т) = 0) вытекает соотношение

-/ ^(»Н'М) - у(и)(х,г)) (1х(й +

Гт

+ £т (у(у)(х,Ь) — у(и)(х,Ь),ш(и)(х,Ь)) = (16)

= / В (у(х,Ь) — и(х,Ь)) ш(и)(х,1)йхА.

Гт

Пусть В* : Ь 2 (Гт) ^ и' - оператор, сопряженный к В, причем Ю' = ¿2(Гт) в силу сделанного выше предположения Ю = ¿2(Гт). Так как ш(и)(х,Ь) £ Ш2 0(а, Гт) С ¿2(Гт), В*^(и)(х,Ь) £ ¿2 (Гт), то '

§ В (у(х,Ь) — и(х,Ь)) ш(и)(х,Ь)вх& = / В*ш(и)(х,Ь)(у(х,Ь) — и(х,Ь)) ¿хсИ.

Гт Гт

Отсюда, сравнивая в (15), (16) стоящие справа выражения и учитывая симметричность формы £т(у,п), приходим к равенству

/ С* (Сш(и)(х, Ь) — г0(х, Ь))(у(у)(х, Ь) — у(и)(х, Ь))ёх& =

Гт т

= / В*ш(и)(х,Ь)(у(х,Ь) — и(х,Ь)) ¿хсИ, Гт

из которого вместе с (13) вытекает неравенство

I (В*ш(и)(х,Ь) + ^(х,г))(у(х,г) — и(х,Ь)) ¿хМ > 0 (Уу £ Юэ), (17)

эквивалентное неравенству (13). Остаются справедливыми утверждения теоремы 4, где соотношение (12) заменено на соотношение (14) при ш(у) £ Ш2 0(а,Гт), ш(у)(х,Т) = 0 и неравенство (17).

4. Задача оптимального управления параболической системой в пространстве Ш2 ,о(а, Гт). Рассмотрим начально-краевую задачу (3)-(5) в пространстве Ш2 'о(а, Гт). Предположения относительно функций а(х), Ь(х) и /(х,Ь), ц>(х) остаются теми же, что и в п. 3.

Определение 2. Обобщенным решением класса Ш2 'о(Гт) краевой задачи (3)-(5) называется функция у(х,Ь) € Ш1 'о(а, Гт), удовлетворяющая интегральному тождеству

/ (-у(х,г)дг,<дХ^ ) д,х(й + £т(у(х^),г](х,г)) =

гт (18)

= § ц>(х)п(х, 0)с1х + § /(х,Ь)г1(х,Ь)с1хсМ г гт

для любых функций ц(х,Ь) € Ш2 о(а, Гт), равных нулю при Ь = Т. Используя обозначения п. 3.1, приходим к соотношению

/ ЛхсМ + £т(у(у)(х,г),г](х,г)) =

гт у (19)

= § ц>(х)п(х, 0)с1х + § /(х,Ь)п(х,Ь)с!хсМ + § Bv(x,t)ц(x,t)dxdt

г гт гт

для любых функций п(х,Ь) € Ш2 о(а, Гт), равных нулю при Ь = Т, получаемому из (18) заменой / на / + Bv, V € Ю.

Все утверждения п. 3 остаются справедливыми и для задачи оптимального управления в пространстве Ш1 'о(а, Гт) с той лишь разницей, что соотношения (6) и (7) заменяются на соответствующие им (18) и (19), а пространство У^'(о(а,Гт) -на Ш1 'о(а,Гт). При этом в случае С : Ь2(Гт) ^ Ь2(Гт), рассмотренном в п. 3.2, для управления V сопряженное состояние ш^) является элементом пространства Ш2 о(а, Гт), удовлетворяет условию ш^)(х, Т) = 0 и определяется соотношением (14). Имеет место

Теорема 5. Пусть множество Юз ограничено. Для того чтобы элемент и(х,Ь) € Юд был оптимальным управлением, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись следующие соотношения:

/ ¿хсМ + 1г(г/(г>)(ж,£), 1](х, ¿)) = /¡р(х)т)(х,0)с1х +

гт г

+ / /(х,Ь)п(х,Ь)с1хсМ + / Bv(x,t)n(x,t)dxdt гт гт

для любых п(х,Ь) € Ш2 о(а, Гт),

гт

/ С*(Сш(и)(х,Ь) - го(х,Ь))£(x,t)dxdt

гт

для любых С(х,Ь) € Ш2 'о(а, Гт),

/ (B*ш(u)(x,t)+Nu(x,t))(v(x,t) - и(х,Ь)) dxdt > 0 V € Юд)

гт

для любых V € Юз.

Здесь у (и) € У2 'о(а, Гт), ш^) € Ш 2 о(а, Гт) и ш^)(х,Т) =0.

5. Заключение. В работе рассмотрен более простой случай распределенного на Гу управления v (а также наблюдения Cy(v)) в противоположность случаю, когда управление выражается функцией, заданной на боковой поверхности дГу (или части дГу), - граничное управление. В последнем случае U = Ь2(дГт), а состояние системы определяется как обобщенное решение задачи (3), (4) с условием y |эг = v вместо (5). При этом необходимо рассматривать след функции y(v) на дГу (или части дГу ); сопряженное состояние системы описывается уравнениями, задаваемыми как на Гу, так и на дГу. Следует отметить, что в работах [8-10] применены другие подходы при анализе задач управления, имеющие, однако, аналогичную трактовку (в терминах сопряженного состояния) условий существования оптимального управления. Отметим также, что изучаемая задача допускает стохастическую компоненту [11] в представлении уравнения (3), что влечет использование результатов работ [12, 13].

Литература

1. Провогпоров В. В. Построение граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы струн // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2012. Вып. 1. С. 62—71.

2. Провогпоров В. В., Гнилицкая Ю. А. Граничное управление волновой системой в пространстве обобщенных решений на графе // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2013. Вып. 3. С. 112—120.

3. Провогпоров В. В. Разложение по собственным функциям задачи Штурма—Лиувилля на графе-пучке // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. 2008. № 3. С. 50—62.

4. Провогпоров В. В. Спектральная задача на графе с циклом // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, № 11. С. 1665-1666.

5. Провогпоров В. В., Махинова О. А. Краевые задачи для уравнений с распределенными параметрами на графах. Воронеж: Научная книга, 2013. 133 с.

6. Волкова А. С., Гнилицкая Ю. А., Провогпоров В. В. О разрешимости краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типов на геометрическом графе // Системы управления и информационные технологии. 2013. № 1 (51). С. 11-15.

7. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / пер. с фр. Н. Х. Розова; под ред. Р. В. Гамкрелидзе. М.: Мир, 1972. 414 с.

8. Александров А. Ю., Жабко А. П. Об асимптотической устойчивости решений одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. 2012. № 5. С. 3-12.

9. Веремей Е. И., Сотникова М. В. Стабилизация плазмы на базе прогноза с устойчивым линейным приближением // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2011. Вып. 1. С. 116-133.

10. Жабко Н. А. Параметрическая идентификация динамических моделей морских судов // Вестн. Воронеж. гос. техн. ун-та. 2012. T. 8, № 1. С. 80-84.

11. Карелин В. В. Штрафные функции в задаче управления процессом наблюдения // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2010. Вып. 4. С. 109-114.

12. Барабанов В. Ф., Подвальный С. Л., Плахогнюк О. С. Многовариантное моделирование динамических систем эволюционного типа для управления в экстремальных ситуациях. Воронеж: Изд. Воронеж. гос. техн. ун-та, 2007. 171 с.

13. Подвальный С. Л. Информационно-управляющие системы мониторинга сложных объектов. Воронеж: Научная книга, 2010. 164 с.

References

1. Provotorov V. V. Postroenie granichnyh upravlenij v zadache o gashenii kolebanij sistemy strun (Création of boundary managements in a task about clearing of fluctuations of system of strings). Vestnik St. Petersburg University, ser. 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2012, issue 1, pp. 62-71.

2. Provotorov V. V., Gnilitsky Yu. A. Granichnoe upravlenie volnovoj sistemoj v prostranstve obobshhennyh reshenij na grafe (Boundary management of wave system in space of the generalized

decisions on the graph). Vestnik St. Petersburg University, ser. 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2013, issue 3, pp. 112—120.

3. Provotorov V. V. Razlozhenie po sobstvennym funkcijam zadachi Shturma-Liuvillja na grafe-puchke (Decomposition on own functions of a problem of Storm—Liouville on the graph bunch). IIzv. vyssh. ucheb. zavedenij. Mathematica, 2008, no. 3, pp. 50—62.

4. Provotorov V. V. Spektral'naja zadacha na grafe s ciklom (Spectral task on the graph with a cycle). Differential equations, 2010, vol. 46, no. 11, pp. 1665—1666.

5. Provotorov V. V., Makhinova O. A. Kraevye zadachi dlja uravnenij s raspredelennymi parametrami na grafah (Regional tasks for the equations with the distributed parameters on graphs). Voronezh: Scientific book, 2013, 133 p.

6. Volkova A. S., Gnilitskaya Yu. A., Provotorov V. V. O razreshimosti kraevyh za,d,a,ch dlja uravnenij parabolicheskogo i giperbolicheskogo tipov na geometricheskom grafe (About resolvability of regional tasks for the equations of parabolic and hyperbolic types on the geometrical count). Control systems and information technologies, 2013, no. 1 (51), pp. 11—15.

7. Lions J.-L. Optimal'noe upravlenie sistemami, opisyvaemymi uravnenijami s chastnymi proizvodnymi (Optimum control of the systems described by the equations with private derivatives). Per. s fr. N. H. Rozova; pod red. R. V. Gamkrelidze. Moscow: Mir, 1972, 414 p.

8. Aleksandrov A. Yu., Zhabko A. P. Ob asimptoticheskoj ustojchivosti reshenij odnogo klassa sistem nelinejnyh differencial'nyh uravnenij s zapazdyvaniem (About asymptotic stability of solutions of one class of systems of the nonlinear differential equations with delay). Izv. vyssh. ucheb. zavedenij. Mathematica, 2012, no. 5, pp. 3-12.

9. Veremey E.I. Sotnikova M. V. Stabilizacija plazmy na baze prognoza s ustojchivym linejnym priblizheniem (Plasma stabilization on the basis of the forecast with steady linear approach). Vestnik St. Petersburg University, ser. 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2011, issue 1, pp. 116-133.

10. Zhabko N. A. Parametricheskaja identifikacija dinamicheskih modelej morskih sudov (Para-metrical identification of dynamic models of sea vessels). Vestnik of the Voronezh. State techn. un-ty, 2012, vol. 8, no. 1, pp. 80-84.

11. Karelin V. V. Shtrafnye funkcii v zadache upravlenija processom nabljudenija (Penal functions in a problem of management of supervision process). Vestnik St. Petersburg University, ser. 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2010, issue 4, pp. 109-114.

12. Podvalny S. L., Plakhotnyuk O. S. Mnogovariantnoe modelirovanie dinamicheskih sistem evolutsionnogo tipa dlya upravleniya v ekstremal'nyh situatsiyah (Multiple modeling of dynamic systems of evolutionary type for management in extreme situations). Voronezh: Izd-vo Voronezh. gos. tehn. un-ta, 2007, 171 p.

13. Podvalny S. L. Informatsionno-upravlyayuschie sistemy monitoringa slohgnyh ob'ektov (Management information systems of monitoring of difficult objects). Voronezh: Nauchnaya kniga, 2010, 164 p.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья поступила в редакцию 3 апреля 2013 г.