Об устойчивости компенсационных режимов испытаний неявнополюсного синхронного генератора методом взаимной нагрузки Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.313: 517.9

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ КОМПЕНСАЦИОННЫХ РЕЖИМОВ ИСПЫТАНИЙ НЕЯВНОПОЛЮСНОГО СИНХРОННОГО ГЕНЕРАТОРА МЕТОДОМ

ВЗАИМНОЙ НАГРУЗКИ © 2011 А. М. Фрумкин1, А. А. Дюмин2

1 кандидат технических наук, доцент кафедры электроснабжения e-mail: [email protected] 2аспирант кафедры электроснабжения e-mail: dumin [email protected]

Юго-Западный государственный университет

Исследуется устойчивость по Ляпунову установившихся процессов (режимов) испытаний неявнополюсного синхронного генератора методом взаимной нагрузки с управлением без обратной связи. Названные процессы характеризуются взаимной компенсацией по отношению к сети как активной, так и реактивной мощности двух машин, участвующих в испытании. Для исследования используются локальные линейные приближения модели рассматриваемой системы.

Ключевые слова: синхронный генератор, взаимная нагрузка, управляемая система, установившийся режим, компенсационный режим, асимптотическая устойчивость, линейное приближение, критический режим.

Введение

Метод взаимной нагрузки определяет одну из энергосберегающих технологий испытаний синхронных генераторов [Жерве 1984]. Согласно данному методу валы двух одинаковых генераторов жестко соосно соединяются. Испытуемый генератор в процессе испытания работает в своем номинальном режиме параллельно с сетью, а другой, вспомогательный, - работает в режиме приводного двигателя. Далее этот вспомогательный генератор и будем называть двигателем. Требуемый режим работы может быть обеспечен несколькими способами. Один из новых способов основан на использовании специального источника питания двигателя. Входы этого электронного преобразователя подключаются к трехфазной сети, а на его выходах формируются три фазных напряжения, каждое из которых смещено по фазе относительно соответствующей фазы сети на один и тот же угол. При таком подходе валы генераторов соединяются так, чтобы магнитные оси обмоток возбуждения совпадали. Необходимый режим работы достигается путем изменения устройствами регулирования угла смещения и напряжений возбуждения обеих машин. Важной задачей является обеспечение устойчивости целевого установившегося процесса в рассматриваемой системе испытаний. В настоящей статье строится упрощенная математическая модель системы из двух неявнополюсных машин как объекта управления и в рамках метода линейного приближения [Барабашин 1967; Демидович 2008] исследуется локальная устойчивость установившихся процессов в случае простейшего способа управления этой системой.

1. Исходные предположения и основной результат

Модель объекта управления строится в форме системы дифференциальных уравнений относительно переменных состояния и управляющих переменных в

нормальной форме Коши:

х = Б(х,и). (1)

Здесь Б - нелинейная функция, х - вектор переменных состояния, и - вектор переменных управления. Вектор состояния включает четыре переменных: угол нагрузки испытуемого генератора, его производную, потокосцепление обмотки возбуждения генератора и потокосцепление обмотки возбуждения двигателя. Вектор управлений включает три переменных: угол смещения напряжений питания двигателя относительно напряжений сети, напряжение питания обмотки возбуждения генератора, напряжение питания обмотки возбуждения двигателя.

Модель (1) является распространенной моделью управляемой системы [Болтянский 1969]. При ее построении используются следующие упрощающие предположения.

1. Рассматриваются одинаковые двухполюсные машины с неявно выраженными полюсами. Обмотки статора каждой машины соединены в звезду.

2. Изменения параметров каждой машины с изменением ее теплового состояния не учитываются.

3. Считаются верными предположения, допускающие преобразования Парка-Горева [Горев 1950; Важнов 1960].

4. Сверхпереходные процессы в машинах считаются завершенными.

5. Омические сопротивления обмоток статора, потери в стали, момент сил трения в подшипниках считаются пренебрежимо малыми.

6. Электрическая сеть, к которой подключена система, принимается за симметричную и имеющую бесконечную мощность.

7. Частота сети считается неизменной, а амплитуда напряжений сети рассматривается как параметр, изменяющийся в небольших пределах.

8. Управляющие устройства питания двигателя и обмоток возбуждения считаются идеализированными управляемыми источниками напряжения, форма выходных напряжений устройства питания двигателя - синусоидальной, амплитуды выходных напряжений - равными амплитудам напряжений сети.

Согласно (1) постоянным во времени значениям управляющих переменных (постоянному вектору и) соответствует установившийся процесс, описываемый уравнением Б(х,и)=0. В данном процессе общий вал машин вращается с постоянной частотой, равной частоте сети, и скорость изменения угла нагрузки равна нулю. Таким образом, установившийся процесс характеризуется тремя переменными: углом

нагрузки и двумя потокосцеплениями обмоток возбуждения. Эти три переменные определяются значениями трех управляющих переменных. С другой стороны, с тремя переменными состояния в установившемся процессе взаимно-однозначно связаны три переменные, характеризующие передачу энергии. Это активная мощность генератора (при описанных предположениях она совпадает по модулю с потребляемой мощностью двигателя) и реактивные мощности, передаваемые в сеть (получаемые из сети) генератором и двигателем.

Основной задачей управления является обеспечение установившегося процесса (установившегося режима работы в терминологии электроэнергетики), в котором генератор передает в сеть заданные активную и реактивную мощности. В качестве дополнительной задачи поставим задачу компенсации двигателем реактивной мощности, передаваемой генератором. Тогда установившийся режим работы будет характеризоваться двумя величинами: активной мощностью, передаваемой

генератором и потребляемой двигателем, а также реактивной мощностью, передаваемой генератором и потребляемой двигателем. Такой режим работы назовем

компенсационным.

Целевым будем считать компенсационный режим, в котором активная и реактивная мощности генератора имеют номинальные значения. Для генератора можно определить множество допустимых режимов работы на симметричную нагрузку, описываемое следующим множеством пар допустимых мощностей (Р,0):

{({0 < Р < Рн Л 0 > 0 Л Р > хнЛІР2 + о2 }

(Р,0):0 < Р < Рн л 0 < 0 <

V1 -х н

Хі

Используемые здесь обозначения параметров описаны в таблице 1. Компенсационный режим работы системы назовем допустимым, если пара (Р,0) допустима для генератора.

Перевод системы из исходного режима холостого хода в установившийся целевой режим может быть осуществлен медленным программным (то есть без наблюдения объекта) [Куржанский 1984] изменением всех управляющих переменных так, чтобы в этом «квазистатическом» процессе система последовательно проходила состояния, близкие к состояниям компенсационного допустимого установившегося режима работы. Описанный метод применим лишь в том случае, если каждое из этих состояний является, по крайней мере локально, устойчивым. В статье показывается, что при достаточно большом моменте инерции ротора каждый допустимый установившийся компенсационный режим, кроме режима холостого хода, асимптотически устойчив по Ляпунову [Барбашин 1967; Демидович 2008], а режим холостого хода в рамках анализа по линейному приближению является критическим. В исследованиях процессов синхронизации машин с сетью иногда скорость изменения угла нагрузки считают пренебрежимо малой [Важнов 1960; Абрамович 1983]. В настоящей статье это упрощение не используется.

Таблица 1

Наименование переменной или параметра Обозначение Обозначение номинального значения

Круговая частота напряжений сети. п п

Амплитуда напряжений сети и Ин

Максимальное возможное относительное отклонение напряжения сети от номинального значения 5 -

Активная мощность Р Рн

Реактивная мощность 0 Он

Коэффициент мощности х хн

Отношение реактивной мощности к активной 5 5н

2. Модель одной машины в физических единицах

В качестве исходной модели для каждой машины рассмотрим модель неявнополюсной синхронной машины в переменных [Горев 1950, Важнов 1960].

При моделировании будем предполагать основным режим двигателя, в котором машина является нагрузкой сети. Соответствующие уравнения выглядят так:

ёу ё а

1 - • ” - + шуё + г • ^,

&

иа =

&

V а = ь • ід

V f = Lfif +

3

1ф = Мэ -мв, Мэ = Ф = ® •

Переменные, используемые для описания системы, описаны в таблице 2, параметры - в таблице 3. Заметим, что буква «М» в одном случае используется для обозначения взаимной индуктивности (М^, а во всех остальных - для обозначения механического момента. В силу симметрии фазных напряжений средние значения напряжений и токов ио, Ь равны нулю, и уравнения для них в систему уравнений не входят.

Таблица 2

Переменные, используемые при моделировании синхронной машины______________

Наименование переменной или группы переменных Обозначение

Изображения потокосцеплений статора в осях d-q Yd, Yg

Потокосцепление обмотки возбуждения Yf

Изображения напряжений на обмотках статора (сети) в осях d-q ud, ug

Изображения токов статора в осях d-q id, ig

Угол поворота ротора относительно магнитной оси выделенной фазы статора (фазы А) p

Угловая скорость вращения ротора ш

Момент электромагнитных сил, действующих на ротор M3

Момент внешних сил, действующих на ротор Mв

Таблица З

Параметры неявнополюсной синхронной машины______________________

Наименование параметра Обозначение

Индуктивность статора по продольной (поперечной) оси. L

Взаимная индуктивность обмотки статора и ротора при совпадении их магнитных осей. Mf

Индуктивность обмотки ротора Lf

Омическое сопротивление обмотки статора r

Омическое сопротивление обмотки ротора rf

Момент инерции ротора J

Построим модель одной машины как управляемого объекта в форме системы дифференциальных уравнений вида (І). Сначала упростим уравнения обмоток статора на основе допущений, сформулированных в п.1. Будем считать, что «сверхпереходный» процесс завершен и пренебрежем трансформаторными э.д.с.

dYd dYg

[Важнов 1960; Веников 1985], то есть, будем считать, что —;—«0 и —-—«0.

dt dt

Пренебрежем активными сопротивлениями обмоток статора, то есть, будем считать, что r • id ~ 0 и r • ig « 0. С учетом этих допущений выразим токи машины через

величины ш, ud, uq, Yf. Из равенства у d = Lid + Mfif следует Ug = шуd = ш(Lid + Mfif) . Решим систему уравнений

ug = шLid +шMfif

З

у f = 2Mfid + Lfif

относительно id, if. При анализе параметров уравнений (2) [Горев 1950]

устанавливается, что определитель данной системы

А =

шЬ шм

3

-мf 2 1 Lf

= ш(ЬЬґ - |м?)>0,

то есть система имеет единственное решение:

3

, _тЬ^-2М£и, у { ми,

‘Г =ш(ЬЬг - ~'М2) = Ь((1 -м)-ЩМ((1 -м >’

, иа^ — юМ^ V f и, 2цу f

зм2

где м =--------< 1 • Все производные параметры, возникающие далее в процессе

2Ь • Lf

построения модели, сведены в таблицу 4. Из равенства щ = -ю^а следует, что

ий . .

1а = -— . Подставив выражения для 1^ 1, в уравнение движения ротора, получим:

4 юL

Тф = --мґ —[—^—- ] - М в

2 шЬ Ьґ(1 -д) шМ^1 -д)

т.. Д г3^^ у fUd] м (3)

ИЛИ т(р = ---^^] - Мв • (3)

1 - д 2 ш Ь шMf

Подставим выражение для if в уравнение Uf = ^ + rfif и введем обозначение:

Lf

т f = —. После несложных преобразований получим равенство:

3Mf

г 1 , 2Ь , (4)

^ =-—7,-----ГУ f +---7л--Г ^ + Uf• (4)

т f (1 - Д) шт^1 -д) 4

Предположим, что напряжения фаз А, В, С сети меняются по синусоидальному закону:

2п 2п

иА = иБІп у , ив = и Бш(у - —) , и с = и БІп(у + “), где у(1:)=у0+О4. (О - частота сети).

Тогда образы напряжений сети [Важнов 1960]:

Ud = И БІп(у - .), Uq = - И соб( у - .) .

Определим переменную «угол нагрузки»: 9=ф-у-тс. Тогда ud=И•sin9, ^=И-со80. Из равенства 9=ф-у-тс следуют равенства 9'=ф'-у'=ш-О, 9''=ф''. Подставив в уравнения (3) и (4) выражения для щ, ^, ш и ф'' через 9, после простых преобразований получаем систему уравнений:

•• 1 д 3 И2^п29 1 И 1

9=ЇT-Дrї^0TО2L-M7(07О)vfSln9]-7Mв (5)

, ЗМ^И

^ =-—(1-----) У f +--2Ь--) cos 9+ (6)

т f (1 -д) шт^1 -д)

Эта система уже легко преобразуется в систему уравнений относительно переменных состояния (9, 9', и управлений (Мв, щ).

Таблица 4

Производные параметры модели синхронной машины_____________________

Наименование параметра Обозначение и вычисление

Коэффициент магнитной связи продольного контура и обмотки возбуждения [Важнов 1960] 3М? Д = 2Ь •

Постоянная времени обмотки возбуждения т f = —

Величина, обратная периоду изменения напряжения сети 1 Т н = П

Масштабирующий коэффициент мощности ч зин н 20Ь

Электромеханическая постоянная времени т Ч(1 -ц ^

3. Определение активной и реактивной мощностей машины

Мгновенная активная мощность, потребляемая статорными обмотками, выражается в переменных формулой [Важнов 1960]:

3

р =

В отличие от активной мощности реактивная мощность, потребляемая (отдаваемая) машиной, является характеристикой установившегося процесса ее работы. Общепринятое определение реактивной мощности предполагает синусоидальные изменения токов и напряжений. В более общих случаях различные авторы предлагают разные определения [Беркович 1989; Зевеке 1975; Караев 1989]. В нашей задаче необходимо найти такую функцию мгновенных значений напряжений и токов, усреднение которой за период в установившемся процессе даст реактивную мощность хотя бы в случае синусоидальных напряжений и токов.

В данном абзаце для обозначений величин временно используются буквы, имеющие в статье некоторый основной смысл. Пусть напряжение и(1) на выводах двухполюсника и ток 1(1), протекающий через него, синусоидальны и имеют одну и ту же частоту ш: и(1)=и^тш1 и 1(1)=1^т(ш1-ф), где ф - разность фаз. Как известно, средняя за период активная мощность Р и реактивная мощность Q, потребляемая

1Т и

двухполюсником, вычисляются соответственно по формулам Р= — I и(1)1(1)ё1 =----------СОБф

Т0 2

2п

и Q=U•I•sinф. Здесь Т = —. Так как 81йф=С08(ф-п/2), можно сказать, что реактивная

ш

мощность может вычисляться по одной из формул:

1 Т 1 Т

Q = -1 и(1--4)1(1)ё1 или Q = т | и(1)1(1 +Т)ё1.

0 о

Мы рассматриваем сеть бесконечной мощности, поэтому нам удобнее первый вариант, то есть «мгновенную» реактивную мощность мы определим выражением

= Уа (1)1 а (1) + Уь (1)1Ь (1) + ус (1)1 с (1), где

T T T

va(t) = ua(t-vb(t) = ub(t- jX vc(t) = uc(t- j) •

Фаза $ синусоидальных величин va, vb, vc связана с фазой у величин: ua, ub, uc

п

соотношением $ = Y - 2 • Поэтому имеют место равенства:

п

Vd = U sin($ - ф) = U sin(Y - ф - —) = -Ucos(Y - ф) = Uq,

п

Vq = -U cos($ - ф) = -Ucos(y - ф - —) = -U sin(y - ф) = -Ud •

3 3

СлеД°вательн°, Q = 2(vdid + vqiq) = 2(uqid - udiq) •

Выразим переменные 9, if, и Yf через мощности P и Q. Из равенства

uq -raMfif

uq = шуd = ш (Lid + Mfif) следует, что id =-------7-----. Отсюда, с учетом равенства

4 шЬ

ud 3 uq-шMfif ud 3 Mf

iq =-—, имеем: P = — [ud---------- ua—] или P = --------ifUsin9. Далее,

шЬ 2 шЬ шЬ 2 L

3 uq -шMfif ud 2 2 2

Q = — (uq--------------------- -+ ud —~) или, с учетом равенства ud + uq = U ,

2 4 шЬ шЬ 4

3 U2 Mf .

Q = — (--- -----if Ucos9) . Из выражений для P и Q следует, что

2 шЬ Ь

U2 2 2 2 2

'Mf ■ тт,2 ,U2 2 о ,2 о .2 (^Т- 3Q) + (3P)

(LfU) = (-Т- IQ) + <7P) или = m2u2

—Lf-------

LLf —L

3U2

Обозначив S = 2 l , получаем равенство 1f = .

(S - Q)2 + P2

--------------. Выразив 1f через S, P, Q,

—Lf ^,S

получаем выражения, необходимые для вычисления 9 и ^ :

2 И2 2

зр ^-ТО Б-О

8Іп9 = ^‘М3—■ ^ = Lf(1 -^ +-ЩГГ-

—LifИ —-ifи 1

L * L 1

Величина Б в рассмотренных равенствах является функцией ш и И. Для того чтобы

3И2

уточнить эти аргументы, будем использовать обозначение Б(ш,И) =--------------. Выясним

2шL

зин

роль параметра Бн = Б(П,Ин) = _ , исследуя коэффициент полезного действия

ІЛ—і

машины. Если пренебречь потерями в стали и обмотках статора, то можно считать, что энергия теряется только в виде тепла, выделяемого в обмотке ротора. Тогда к.п.д. машины в установившемся режиме определяется выражением:

|Р| |Р| Б й

п = г-;----Т" =-------------------------т-Т - Будем рассматривать основной для

|Р| + Г1І12 |р| (Б(П,И) - О)2 + Р2

1 1 + Пт* •!!• Б(П,И)

испытуемом машины генераторный режим с отрицательном реактивном мощностью.

|Р|

Обозначим коэффициент активной мощности (таблица 1) через х: Х= < = , а

д/Р2 + О2

О 1

через £, величину: £ =—. Величины х и £, связаны равенствами: х =

р ' г Тій2

і -X2 ІР М

______™.......................« Л, ______________________ ------~ £ ҐЛ/Х......................■____1---------Iх-!

£ = Л—. Величина х монотонно убывает с £. Обозначим р = ^

х

Выражение для к.п.д. принимает вид:

Р1

П =

1р1 + rfif2 і + _(і + ^Р)2 + Р2

От f др

При Р=0 и О=0 к. п. д. равен нулю. При фиксированном Р^0 к.п.д. монотонно убывает с £. Найдем максимум к.п.д по р при заданном значении £. Точка максимума определяется точкой минимума знаменателя, то есть точкой минимума функции:

(1+£р)2+р2 (1+£р)2 + ад =--------р--------------=——+р.

Продифференцировав это выражение, после простых преобразований получим:

г,( ) (1 + £2)р2 -1

f ,(р) =-------------2-.

р2

Точка минимума р = ■ =■ = х . Таким образом, чтобы при заданном коэффициенте

V1+£2

мощности к.п.д. был максимален именно при номинальной активной нагрузке,

зи|

2ОЬ

необходимо, чтобы мощность Бн = ^ ^ была полной номинальной мощностью, то

зин зин

есть Рн = х ^ , Ь = х —. Проведенные рассуждения показывают, что параметр

н

Бн может быть использован для масштабирования величин мощности. Далее будут приняты следующие формулы для определения мощностей в относительных единицах:

= А = = А = и2 О

р = , 4 = , 8 = 8н = ин ® .

и

Величину и =-----назовем напряжением в относительных единицах. В установившемся

Ин

процессе (когда О=ш) имеют место формулы: ин

(в- Я)2 + Р2 . е - Р е в- Я 2 _

5Ш е = ■--------- 2 2 , сов е = 2 2 в = и. (7)

в д/(в - Я)2 + Р2 д/(в - Я)2 + Р2

4. Модель одной машины в относительных единицах

Для упрощения анализа системы уравнений осуществим масштабирующие преобразования переменных и времени. Выбираемые далее обозначения для переменных в относительных единицах и масштабирующие коэффициенты (базовые

значения переменных [Важнов 1960]) сведены в таблицу 5. Сначала, не масштабируя время, представим в относительных единицах переменные в уравнениях (5), (6):

•• = 1 Д [3 Цни віп2Х — 1 ин 'и ^f 'ин . ] — Ьн (8)

Х = 11 -д 4 (х + О)2Ь Mf(Х + О) ОMf 28іПХ] Хн (1 -д)ТОт , ()

3Mf

2, = -^^^|Цн. ъ + ^Ти н •и Х+

ОMf 2 Т[(1 -д) 0М[ 2 штf(1 -д) СОвХ (1 -д)ОМ[У[ .

После простых преобразований эта система принимает вид:

2

1 Ьн д и віп2х и• ъ• віпх

Х =------~[-----------т -----------Xн • т] ,

1 -д Ю 2 (тнХ +1)2 тнХ +1

1 д-и 1

2 = ---------• ъ +----------------совх +--------У[ .

т[(1 -д) т[(1 -д)(тнХ +1) т[(1 -д)

Соотношение между величинами т^^-д)^ и Т =

Ю

(1 - д)—— может быть различным.

н

В качестве базового значения времени выберем Т, предполагая, что Т>т0, но это неравенство в дальнейших рассуждениях не используется. В таблице 5 время в абсолютных единицах обозначено как 1д. После представления времени в

относительных единицах система уравнений приводится к следующему виду:

х'=^

д и2 • Бт2х и• ъ

У' =-------------ч~-~,---бшх -х^ т,

2 (Ьу +1)2 Ьу +1

д-а

ъ' = - а • ъ + --• и • собх + а • Уг,

Ьу +1

Т т н

где а = —, Ь = —. Для дальнейшего анализа данную систему представим так: т 0 Т

х-у, у' = Г(х,у,ъ) + х^ т, ъ' = Б(х,у,ъ) + а • Уг ,

где

1(х,у,ъ) • и • Бтх д^ и • собх (9)

г(х,у,ъ) = -----------ь-^--------------------------------, 1(х,у,ъ) = ъ- Ь +1 , (9)

Ьу +1 Ьу +1

( ) + д^а

§(х,у,ъ) = -а • ъ + -----• и • собх .

Ьу +1

Переменная 1(х,у,ъ) определяет ток возбуждения в относительных единицах. Величина и не указана в качестве аргумента функций Г, §, 1, потому что она считается условно постоянной и рассматривается как параметр.

При анализе устойчивости в п.6 потребуется вычислить частные производные функций Г, и § для обеих машин при значениях переменных в установившемся процессе, то есть при у=0. Кроме того, необходимо будет упростить ряд алгебраических выражений, включающих частные производные. В некоторых случаях для определения знака выражения переменные угла нагрузки и потока обмотки возбуждения (х и ъ) будут заменены на переменные активной и реактивной мощности (р и д) с использованием формул (7). Далее частная производная каждой рассматриваемой функции Б(х,у,ъ,...) по аргументу, занимающему в скобках к-ую позицию, обозначается как 5кБ(х,у,ъ,...). Для компактности полная запись будет сокращаться до дкБ. В п.6 потребуются следующие выражения для производных

функций f и g (у=0):

2 2

д^ =-і• и• СОБХ-д^и2 • біп2х или д^ = -(1 -д)(в-д)- Д Р

(и2 - д)2 + р2

д2Г = Ь(ъ- 2д • и• собх) • и• б1пх, или д2Г = Ь • 1 • и • б1пх - д • и • собх • б1пх ,

д г Ь ) Ьд 2 • 2 д г Ь ) . Ьд 2 0- ч)р

или д2Г =-Ь • (1 -д)р - — • и • 81й2х, или д2Г =-Ь • (1 - д)р + — • и •----------2---2

2 2 (8 - д)2 + р2

дзГ = - u•slnx,

д^ = -д • а^и^пх, д2§ = -д^ a•Ь•u•cosx, дз§ =-а .

В дальнейшем анализе будут также использованы соотношения

дГ д3§ - д Г д^ = а(1 -д)(8-д), д2Г^ д3§-дГ д2§ = аЬ(1 -д)р. (10)

Таблица 5

Базовые значения переменных системы уравнений одной машины

Обозначение

переменной

Ее обозначение в относительных единицах

Базовое (масштабирующее) значение

Преобразование

Х

1 (переменная не масштабируется)

0=х

и

Номинальное значение напряжения

И = Ин •и

Ш,

Значение Тг в установившемся режиме холостого хода при номинальных и и ю

Уі

Увеличенное в

1

1 -д

раз значение иг в

= гіИ н

^ (1 -д )OMfУ

установившемся режиме холостого хода при номинальных напряжении и частоте

Увеличенное в

1

Ин

1 -д

раз значение 1г в

і =

(1 -д^ о

установившемся режиме холостого хода при номинальных напряжении и частоте

Mв

т

Увеличенное в

1

1 -д

раз значение

л I ХнЬн

M в = -----— • т

в (1 -д)о

электромагнитного момента при номинальных _______нагрузке, напряжении и частоте________

Электромеханическая постоянная времени

0

и

Х

г

г

А

5. Модель объекта управления

Объект управления включает две одинаковые машины с единым валом. Модель объекта строится на основе уравнения динамики движения ротора

1ф = М г + М д (11)

и уравнений электромагнитных процессов в обмотках возбуждения

иГг = ^Гг + ГГ, иГд = ^Гд + ГГд .

Уравнения электромагнитных процессов в обмотках возбуждения выглядят одинаково. В уравнениях модели угол поворота ротора ф и угловая частота вращения ю=ф' -общие для обеих машин переменные. Индивидуальные переменные соответствуют переменным модели, рассмотренной в п. 2, 3, 4. Для их обозначения (если не оговорено

специальное обозначение) используются те же буквы, что в п. 2, 3, 4, но с индексами «г» и «д», обозначающими генератор и двигатель соответственно. Так, в уравнении (11) Мд и Мг - моменты двигателя и генератора (трением пренебрегаем).

Обозначим фазы напряжений двигателя и генератора через уд и уг. Идеализированный регулятор изменяет напряжения сети, к которой подключен генератор:

2п 2п

иа = Шіп у г, иь = и Біп(у г-~), и с = ИБіп(у г +—)

на напряжения питания двигателя:

Уа = Штуд , уь = Шп(уд -—^ Ус = Шп(уд + —^

2п 2п

у), Vс = и81п(уд + у

где уд=уг+а. В результате углы нагрузки генератора 9г=ф-уг-тс и двигателя 9д=ф - уд-п различны и уравнения объекта переписываются так:

I и 3 и2 б1п29г 1 и 3 и2 б1п29д 1 и

ф = 7~л---[7-----2------™-----в1п9г + —-------2-------ТГ-----^7 ^п9д ],

II -и 4 И2ь М« и 7г г 4 И2ь М« и д"’

3М7

1 ^ти

^ = -^г-и) ^ * +ИГТ(Т—и>0089 г+7 •

3М7

1 !ГИ

у7д = -7Г-и'у «д +ИТ77Г-и)0080Д +7 •

Так как 9г не зависит от а, оставим за этой величиной обозначение 9: 9=9г. Тогда 9д=9-

а, и=9'+0 и выражение 9'+0 переходит вместо и во все знаменатели дробей в рассмотренных уравнениях.

Переход к относительным единицам осуществляется с использованием масштабирующих величин, описанных в предыдущем пункте. Постоянная Т в данном случае оказывается приблизительно в 42 раз больше, чем для одного генератора, потому что моменты инерции машин складываются. В относительных единицах модель объекта выглядит следующим образом:

22 и и • б1п2х и• ъг и и • б1п2(х-а) и• ъд

У' = 7Т^-------Т-~,-----781пх+ —----------2-----^----781п(х-а) ,

2 (Ьу +1)2 Ьу +1 2 (Ьу +1)2 Ьу +1

ъг =-а • ъг + ь^ +1 • и • собх + а • vг, (12)

и а Ьу +1

Переменные модели описаны в таблице 6. Для дальнейшего анализа рассматриваемую систему удобно представить в виде, преемственном по отношению к уравнениям (9): х-у, у ' = 7(х,у,ъ г ,ъд, а), ъг = Бг (х,у,Ъг ) + а • Vг, ъд = Бд (х,у,Ъд, а) + а • Vд . Здесь 7(х, у, ъг, ъд,а) = «г (х, у,ъг ) + 7д (х, у, ъд,а) ,

7( , 1 г •и• 81пхг 7( . 1 д •и•81пхд

7г (х,у,ъг ) = -—;—, 7д (х,у,ъд, а) = -

ъд = - а • ъ д + —----- и • соб(х -а) + а • у д .

Ьу +1 ’ дч ,-7’ д’ ' Ьу +1 ’

и•СОБХг и•СОБХд

1 г = ъг - Ьу+1 , 1 д = ъд- Ьу+1 , Хг=Х, хд=х-а.

Переменные 1г(х,у,7г), 1д(х,у,7д) определяют токи возбуждения в относительных единицах.

Таблица 6

Переменные модели объекта в относительных единицах_________________

Наименование переменной Обозначение

Угол нагрузки генератора X

Производная угла нагрузки генератора У

Потокосцепление обмотки возбуждения генератора г

Потокосцепление обмотки возбуждения двигателя 2д

Угол сдвига фаз между фазными напряжениями питания двигателя и соответствующими напряжениями фаз сети а

Напряжение на обмотке возбуждения генератора Vг

Напряжение на обмотке возбуждения двигателя Уд

6. Исследование устойчивости установившихся процессов при фиксированных

постоянных значениях управлений

Для того чтобы исследовать локальную устойчивость (по Ляпунову) установившегося процесса, определяемого постоянным набором управлений (а,уг,уд), линеаризуем систему (12) в окрестности точки покоя. Линейное приближение системы (12) в отклонениях имеет вид:

Ах-Ау,

Ау'=д1РАх+д2Г-Ау+дзГ-А7г+д41:'-А7д+д5Г-Аа ,

А7/=д1§г-Ах+д2§г-Ау+дз§г-А7г+а-Ауг ,

А7д '=д1§д-Ах+д2§д-Ау+дзВд-А7д +а-Ауд .

Характеристический многочлен данного уравнения

-А 1 0 0

- со д д Д

д18 г д 28 г д38г -А 0

д1§ д д 28 д 0 д38д -А

(14)

(15)

после раскрытия определителя приводится к виду

Ь(^)=^4+а1 -^3+а2-^2+аз -^+а4, где а1 = -(52Г+5з§г+дз§д),

а2=52Г-5з§г - дзРд2§г-+ 32£дз§д- - д4Г-д2§д + дз§г-дз§д - ^1£, аз=54Г-5з§г-д2§д +дзРдз§д-д2§г - ^-дзВг-дзВд + д^-дз^ - ^Рд^д + д^дзВг - дзРд^г, а4 = д4Г-дз§г-д1§д + дз^д^г^д - д^-дзВг-дзВд.

Согласно методу Ляпунова исследования устойчивости по линейному приближению и критерию Гурвица [Демидович 2008] для асимптотической устойчивости положения равновесия системы (12) в рассматриваемом состоянии (х,0,7г,7д) необходимо и достаточно выполнения условий [Егоров 1967]:

а1>0, а2>0, аз>0, а4>0, аз(а1а2-аз)>а12-а4 .

Для проверки выполнения этих равенств вычислим все частные производные функций £, §г, §д при у=0. Так как необходимо установить знаки выражений, нам потребуются представление производных не только как функций (х,7г,7д), но и как функций мощностей в относительных единицах. Мощности генератора и двигателя имеют индексы «г» и «д», но в компенсационном режиме рд = -рг = р > 0 и дд = -дг = д > 0.

Воспользуемся результатами пункта 4:

или d2f = d2fr + д2Гд =-b • (1 -д)р г - — •u • sin2xr - b • (1 - д)рд - — • u • б1п2хд .

2 2 2 2 df = difr +d^ =-iг • u• cosxr -д-u • sin xr -iд • u• cosxд -д^u • sin xд

u2•p2 д^u2•рД

или dif = -(1 -д)(s-qг)^—2----------------------------------------------------------2-2-(1 -Д)(s-Чд)-T~2-\2-2 .

(u2 - qг )2 + p2 (u2 - qд )2 + рД

2 2 2 2

В d f ) д^u • p д^u • p

В компенсационном режиме д^ = -2(1 - д^ - —2----------------------------------------2-2 - —2-2-2 .

(u + q) + p (u - q) + p

Далее, 5 2f = 5 2fr +^2?д = b(z - 2д^ u • cosx г) • u • sinx г + b(w - 2д^ u • cosxД) • u • sinxд

Ьд 2 ■ л , ч Ьд 2

— •u •sin2xг -b•(1 -д^д-— "

В силу равенства pr+pA=0 в установившемся режиме всегда

Ьд^ .

d2f = -—2—[sin2x г + sin2x д ].

В д f 2^u2pq(s2 -p2 -q2)

В компенсационном режиме dot =--------------------------------------------------~-т-т-----------Т~.

[(s - q)2 + p2][(s + q)2 + p2]

Если машины удовлетворяют условиям оптимизации к.п.д, описанным в п. 3, то

s2>p2+q2, то есть d2f>0. Далее:

д3f = -u • sin xг, 04f = -u • sinxд ,

5jg г = - д • a • u • sinx г, д 2g г = -д^ a • b • u • cosxj., дз§г =-a, (16)

д^Д = -д • a• u• sinxд, д2gд = -д^ a• b • u• cosxД, дзgД = -a .

С использованием полученных выражений вычислим коэффициенты a1, a2, a3, a4 и

исследуем их знаки.

bдu2

Коэффициент ai. a^ =-(д2f + д2g г +д2gД ) = 2a + —2—[sin2x г + sin2xд ].

Второй член суммы по модулю не превышает Ьд^. Для положительности a1

2 a u2

достаточно выполнения неравенства 2a>bдu или — >д-^. Так как д<1, u<1+o

(таблица 1), то для выполнения неравенства a1>0 достаточным является условие a (1+ 5)2

— >

b2

Коэффициент a2. При его вычислении разделим сумму (14) на слагаемые. Первое слагаемое:

д2f•дзgг - дзf•д2gг=(д2fг+д2fд)дзgг - дз£-^1 = д2fг•дзgг - дзfг•д2gг+д2fд•дзgг

Заметим, что f не зависит от zг. Аналогично

д2f•дзgд• - д4f•д2gд =д2fд•дзgд - дз^^д + д2fг•дзgд.

Суммируя, применяя одну из формул (10) и учитывая, что дзg г = дзg Д = -a, получаем:

д2f • д3gг - д3f• д2gг + д2f • д3gд - д3f • ^gд = ab • (1 - Д)Pг + ab • (1 - Д)Pд - a • д2f .

Далее добавляем к этой сумме -д1f и д3gг•д3gД = a2. Получаем

a2 = ab • (1 - д^ г + ab • (1 - д^ д + (1 - д)^ - q г) + (1 - д)^ - q д) + a +

abдu . 2, ■ 2 -2\

+ —2—(sin2xг + sin2xд) + дu (sin хг + sin хд).

В компенсационном установившемся режиме активные и реактивные мощности взаимно уничтожатся, то есть

2 abдu . 2 , ■ 2 -2\

a2 = a +—2—(sin2xг + sin2xд) + дu (sin хг + sin хд) + 2(1 -ц)s.

2 abдu2

Так как a2 > a +—^—(sin2xг + sin2xд), то для выполнения неравенства a2>0

a2

достаточно, чтобы выполнялось неравенство — > (1 + 5) . Рассуждения аналогичны

рассуждениям с коэффициентом a1.

Коэффициент a3. При вычислении a3 разделим слагаемые суммы (14) на две группы. Первая группа - это слагаемые суммы д^-д^д^ + д3Рд^дд^г - д^д^д^. Воспользовавшись формулами (16), получаем следующие равенства:

22 Дab2. дab2.

д4f -д3gг • д2gд = -_^u • sin2xд , д3f ^дзgд • д2gг =-_^u • sin2xг,

дa2b 2

д2f • д3gг • д3gд = -_^u • (sin2xг + sin2xд) .

Таким образом, д4f•дзgг•д2gд + дзf•дзgд•д2gг - д2f•дзgг•дзgд=0.

Слагаемые второй группы образуют сумму

д^-дз^ - д4^д^д + дlf•дзgг - д^г^ =

= (дlfг+дlfд)•дзgд - дз^д^д + (дlfг+дlfд)•дзgг - дзfг•дlgг =

=дlfд•дзgд - дзfд•дlgд + дА^г - дзfг•дlgг - a•дlf.

Воспользовавшись первой из формул (10) и выражением для д^, получаем

aдu2p2 aдu2p°

a3 = 2a(1 -Д)(s - q г) + 7“2-Z2-2 + 2a(1 - д)(^ - q д) + 7"2--------о-2.

(u - Чг) + Pг (u - Чд) + Pд

В компенсационном режиме

дu2p2 Дu2p2

a3 = a[4(1 - д)s + 2 \2 2 + / 2 \2 2] > 0

(u - qг) + pr (u - qд) + pд

2 2 2

или a3 = a[4(1 -д^ + дu (sin хг + sin хд)].

Коэффициент a4. Для его вычисления, используя формулы (16), находим, что

д4f •дшд •д3gг = -Д • a2u2 • sin2xд, д3f •дгёг •д3gд =-д^ a2u2 • sin2xг,

2 2 2 2 2 -д^ •д3gj. •д3gД = a [(1 -д)(s - qг ) + дu sin xг + (1 -д)(s - qд ) + дu sin xд ].

2

Отсюда a4 = a [(1 - д)^ - qг) + (1 -д)^ - qд)] > 0.

2

В компенсационном режиме a4 = 2a (1 - д^ > 0.

Исследуем теперь знак выражения a^a^-a^-a^a^ Заметим, что некоторые элементы выражений для a1, a2, a3 и a4 сходны (иногда одинаковы), поэтому введем следующие обозначения:

b ДU 2 2 2

d = —-—[sin2xF + sin2xд], D = дu [sin хг + sin хд], S=2(1^)s. (17)

Тогда а1=2а+ё, а2=а2+8+аё+Б, аз=а(28+Б) и, соответственно,

(а1 а2 - аз)-аз- а12а4 = а(28+0)[(2а+ё)(8+а2+аё+0)-а(28+0)]-а28(2а+ё)2 = = (28+Б)[(2а2+аё)(8+а2+аё+В)-а2(28+Б)]-8(2а2+аё)2 Обозначим 2а2+аё=7. Тогда

(а1 а2 - аз)-аз- а12а4 = (28+Б)[7(7+8+Б-а2)-а2(28+Б)]-872.

Далее, обозначим: 28+Б=Б. Исследуемое выражение перепишется так:

(аі а2 - а3)-а3- а^а4 = Е[72+(Е-8-а2)7-а2Е]-872 =(Е-8)72+Е(Е-8-а2)7-а2Е2.

Условие (а1 а2 - а3)-а3- а12а4 <0 (18)

эквивалентно такому:

ъ2 + Е(1 - ——)ъ-< 0. (19)

V Е - ^ Е - 8

Многочлен в левой части последнего неравенства имеет вещественные корни: 71 = - Е, Еа2

72 =-. Для выполнения неравенства (19) необходимо, чтобы 7 не превышало ъ2, то

Е - 8

2 Еа О 2 2

есть 2а + аа <——- ^ а <--—— а. Так как Б = д—[бій х г + бій хд ] < 2д—, то 8+Б<2— Е - 8 8 + Б

1 1 Ба . . Ба

^ -—— > — ^ ё < --— ^ |ё| > —— . Таким образом, для выполнения неравенства (19)

8 + .Б 2— 2— 2 —

Ба

необходимо выполнение неравенства |ё| >-------. Выразив ё и Б через мощности р и я,

2—

получаем неравенство

22 Ьди 2др-----------------------2-2-2--^ > 2р2ди

2 2 2 2 2 б2 + д2 + р2

[(8 - я)2 + р2][(-+я)2 + р2] [(з - я)2 + р2][(-+я)2 + р2] 25 •

эквивалентное следующему неравенству:

Ья^2 - я2 - р2| > р(-2 + я2 + р2)2-.

2-

а Ь р а 2-я

Из него следует, что Ьа > р— ^—>----------^^“<-------• Последнее неравенство является

2- а 2-я Ь р

необходимым для выполнения (18), поэтому достаточным условием для выполнения

2 а 2-я

неравенства (а1 а2 - а3)-а3- а1 а4 >0 является условие — >----. Но так как в допустимых

Ь Р

я ^1 - X н 2

режимах — <------------ и -<(1+5) (таблица 1), то достаточным является условие

Р X н

а 0/1 с\2 V1 хн 3 „ сч2 гг

— > 2(1 + 5) ------------------= — (1 + 5) . При его выполнении автоматически выполняются

Ь X н 2

неравенства а1>0, и а2>0.

Мы видим, что для выполнения всех условий критерия Гурвица достаточно,

а

чтобы дробь — была достаточно большой. Представим ее в физических единицах: а Т2 Ю2

— =-------=-------. В числителе дроби учетверенная кинетическая энергия ротора одной

Ь т’ - То

машины в установившемся режиме (I - суммарный момент инерции двух роторов). В знаменателе - приблизительная энергия, передаваемая сети за время т7 в номинальном

а

режиме. Ясно, что, увеличивая момент инерции, конструктор может сделать дробь —

достаточно большой и обеспечить устойчивость процесса. С другой стороны, в силу относительно небольшой величины тг (порядка секунды) для многих реальных машин

а с\2 V1 Хн сч2 _

неравенство — > 2(1 + о) ----------------> (1 + о) естественно выполняется без решения

Ь X н

специальной задачи обеспечения устойчивости.

Рассмотрим установившийся режим холостого хода. В этом режиме а1 = 2а,

22 а2 = а + 2(1 -д)б, аз = 4а(1 -д)б, а4 = 2а (1 -д)б. Непосредственным вычислением

получаем равенство (а1 а2 - а3)-а3- а12а4=0. Характеристический многочлен имеет два мнимых корня и два вещественных отрицательных. Наиболее наглядно это следует из самого вида характеристического многочлена (13) в частном случае холостого хода. В данном случае несколько частных производных становятся равными нулю и непосредственное разложение определителя (13) дает

к(А)=(А2-51І)(53§г-А)(53§д-А).

Корни этого многочлена: X1 = 1д/2(1 - д)б , X2 =-1^2(1 - д)б , X3 = -а, X4 =-а (1 -

мнимая единица). Процесс холостого хода с точки зрения метода линейного приближения является критическим. Колебания, возникающие на холостом ходе, в

рамках линейной модели в физических единицах имеют частоту а>о =^^Ц^.

Исследование затухания этих колебаний методами [Четаев 1990; Арнольд 2002] -предмет отдельной статьи.

Библиографический список

Абрамович Б. Н., Круглый А. А. Возбуждение, регулирование и устойчивость синхронных двигателей. Л.: Энергоатомиздат, 1983. 128с.

Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: МЦНМО, 2002. 400с.

Беркович Е. И. К определению понятия мощности в нелинейных цепях. //Электричество. 1989. №1. С.61-64.

Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. 408 с.

Важнов А. И. Основы теории переходных процессов синхронной машины. МЛ.: Госэнергоиздат, 1960. 312 с.

Веников В. А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. М.: Высшая школа, 1985. 536с.

Горев А. А. Переходные процессы синхронной машины. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1950. 551с.

Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. СПб: Лань, 2008. 480 с.

Егоров К. В. Основы теории автоматического регулирования. М.: Энергия, 1967.

648с.

Жерве Г. К. Промышленные испытания электрических машин. Л:. Энергоатомиздат, 1984. 408 с.

Зевеке Г. В., Ионкин П. А., Нетушил А. В., Страхов С. В. Основы теории цепей. М.: Энергия, 1975. 752 с.

Караев Р. И., Силкин В. Н. Активная и неактивная мощность электрических систем // Электричество. 1989. №12. С. 56-59.

Куржанский А. Б. Оптимальное управление программное // Математическая

энциклопедия. Т. 4. М.: Советская энциклопедия, 1984. С. 47-51.

ЧетаевН. Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1990. 176 с.