Об устойчивости к- го особого показателя линейной системы дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

2007

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Математика и физика

№114

УДК 517.926.4

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ К - ГО ОСОБОГО ПОКАЗАТЕЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

О.Г. ИЛЛАРИОНОВА

Статья представлена доктором технических наук, профессором Самохиным А.В.

В настоящей работе изучены вопросы устойчивости к -го особого показателя линейной системы дифференциальных уравнений. Основной результат работы - нахождение точных граней подвижности к - го особого показателя системы.

Введение

Важной качественной характеристикой поведения решения системы дифференциальных уравнений является понятие устойчивости (по Ляпунову). А.М. Ляпунов [1] ввёл определение показателя решения линейной системы дифференциальных уравнений, понятие спектра показателей системы, заложив тем самым основы теории показателей. Развивая его идеи, были введены центральные, особые и некоторые другие показатели. Эти показатели характеризуют различные свойства устойчивости решений при возмущениях системы.

В настоящей работе изучены вопросы устойчивости к -го особого показателя линейной системы дифференциальных уравнений. Основной результат работы - нахождение точных граней подвижности к - го особого показателя системы.

Приведем необходимые определения.

Множество Мп линейных п -мерных систем вида

х = Л(г)х, х е Еп, 1 > 0, (1)

где Л{1) - ограниченная, кусочно-непрерывная по I матрица образует линейное нормированное

пространство (норма системы (1) равна по определению БирЦА(1 )||). Ниже отождествляем сис-

t >0

тему (1) с её матрицей коэффициентов А .

Для любого ке {1,...,п} к-й особый показатель системы (1) определён формулой

Л к(А) = Шп —!-1п| Ха ( ,т)ь1 ( а Л, (2)

tt — Т

где Ьтк (А) - множество значений в точке т тех решений системы (1), показатели Ляпунова которых не превосходят к - го показателя Ляпунова 1к (А) этой системы, через XА т)Ь обозна-

чаем сужение оператора Коши системы (1) на подпространство Ь. Считаем, что показатели Ляпунова системы (1) занумерованы в порядке невозрастания, поэтому Л к (А) >Лк+1(А),

к = 1,..., п — 1, и Л1(А) совпадает с верхним особым показателем системы (1) [1, §8].

Показатель Лк задает функционал на пространстве Мп, который не является устойчивым (непрерывным) на Мп.

Показатель Боля решения х^) системы (1) определяется формулой

Ь(х) = Нп 1п|Ха (,т)х(т)|.

t—т®¥ t — т

Считаем, что показатели Боля системы (1) Рк(А) , к = 1,...,п занумерованы в порядке невозрастания.

Для краткости обозначим точную верхнюю грань подвижности limsup Лк (A + B) через

e®0 ||B|\<e

Лтах(A), а точную нижнюю грань подвижности lim inf Лк (A + B) через Lmm(A) и назовём со-

£®0 ||в|\<£

ответственно максимальным и минимальным к- м особым показателем системы (1). Аналогично определяется ЬГах (A).

В §1, используя [2], найдены bmax(A). Более того, указано, что bkmax(A) достигаются при возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности. Отсюда выведены Lmax(A) и получены критерии полуустойчивости вверх в точке A е Mn показателей Лк и /5к .

В §2 показано, что Lmmm (A) совпадают с показателями М.И. Рахимбердиева )к (A), введёнными в [3], откуда следует критерий полуустойчивости вниз в точке A е Mn показателя Лк .

В §3 из результатов §§1, 2 получен критерий устойчивости в точке A е Mn показателя Лк . n

1. О максимальном k-м особом показателе Пусть задано разбиение

En = Rm 0 Ln-m (3)

подпространства En решений системы (1) в прямую сумму двух ненулевых подпространств размерности m и n - m соответственно. Скажем, что разбиение (3) интегрально разделено, если существуют такие константы с > 0 и d > 0 , что для любых двух ненулевых решений x(t) и

y(t) (из пространств Rm и Ln~m соответственно) выполнено соотношение

J ) : У ) > с ■ exp[d (t -t)] для любых t >t> 0.

|x(t)| y(t)|

Для любого фиксированного к е {1,..., n} выберем максимальное натуральное s(h) < к такое, что существует интегрально разделённое разбиение (3) пространства решений системы (1), где m = s(к). Если такого разбиения не существует, положим s(к) = 0 и Ln = En.

Обозначим Ln-s(к) через L(h) (или L(к, A)). Согласно лемме [4, с.959] подпространство решений системы (1) однозначно определено.

Очевидно включение

L(k, A) з Lk(A) , к = 1,...,n, (4)

где Lk (A) - подпространство всех тех решений системы A е Mn, показатели Ляпунова которых не превосходят к -го показателя Ляпунова этой системы.

Пусть Xj(t),...,xn(t) - базис в пространстве решений системы Aе Mn нормальный относительно показателей Ляпунова и Боля одновременно и упорядоченный по невозрастанию показателей. Существование такого базиса гарантируется теоремой 2.3.16 [1]. Тогда

{x1(t Х... xn(t )}с h (A). (5)

Обозначим через 0.0ь(к)(A) верхний особый показатель подпространства решений L(h,A). Из (4) и (5) следуют неравенства

QLw(A) > Л к (A) >Ьк (A), к = 1,..., n, , A е Mn (6)

Дословно следуя [2], незначительно модифицируя только теорему 1 в [2], легко получить следующую теорему.

Теорема 1. Для любой системы A е Mп, любого k е {1,...,п} и любого е> 0 существует непрерывная матрица B(t) такая, что ||В^)|| <е, lim||в(t)|| = 0и Дк(A + B)> П0Цк)(Л)-е.

Из (6) и теоремы 15.2.1 [1] следует неравенство Дкшах(Л)£ Пцк)(Л) . Из этого неравенства и из теоремы 1 получаем

Следствие 1. Д™х (Л) = П0цк)(Л).

Замечание. Теорема 1 гарантирует достижимость максимального к -го показателя Боля во множестве “бесконечно малых” возмущений системы (1).

Следствие 2. Показатель Дк полуустойчив вверх в точке Л е Мп, если и только если

Дк (Л)=п 1(к,(Л).

Теорема 2. Для любой системы Л е Мп и для любого к е {1,...,п} справедливо равенство

Дк( Л)=п 1(к,(Л).

Доказательство. Из (6) и следствия 1 теоремы 1 следует неравенство

ЛТ ах( Л) > п L(k)(Л).

Обратное неравенство следует из (6) и теоремы 13.2.1 [1].

Следствие. Показатель Лк = П °ик)(Л) .

2. О минимальном к - м особом показателе

Для любой системы Л е Мп М.И. Рахимбердиев в [3] ввёл показатели )к (Л), к = 1,..., п, которые полунепрерывны снизу на Мп (теорема 3.1 [3]) и достижимы (теорема 4.1 [3]), т.е для любых е> 0 и к е {1,...,п} существует непрерывная матрица Ве() такая, что ||Ве^)||<е и система у = [Л^) + Ве ^)]у при к > 2 некоторым ляпуновским преобразованием приводится к блочно-диагональному виду = Сц ^, ц = 1,2; г1 е Ек-1, г2 е Еп-к+1, причём

1) ^“'(^ т)|| > с • ехр[ё (t -т)]-|\2 2(^т)|| , t >т, с некоторыми константами с > 0, ё > 0, где 2ч ^, т) - оператор Коши системы г = С (t) ^;

2) П 0(С2)< ) (Л);

а при к = 1 выполняется неравенство П0 (Л + Ве)< )( Л).

Теорема 3. Для любой системы Л е Мп и для любого к е {1,..., п} справедливы равенства

лтт( Л)=Лк ( л).

Доказательство. Докажем неравенство

Лк(Л)>)Л), к = 1,...,п. (7)

Для этого напомним определение показателей )к (немного изменив его). Зафиксируем число к е {1,..., п}. Выберем произвольно числа Т > 0 и а, 0 <а< 1 и натуральное число у .

Разобьём полупрямую Я+ на полуинтервалы длины ]Т :

*!Т = [(г- 1)./'Т\ ге N .

x((i -1)jT )є Em , y((i -1) jT )є En m выполнено соотношение J-1: J-1 > aexp[a(t -t)]

Пусть пространство Еп можно так разбить в прямую сумму двух ненулевых подпространств Ет и Еп~т, что для любых ненулевых решений х(і), у(і) системы (1) таких, что

х(і)| . |у(і)|

х(оГ ш

для любых і,тє я]7 , і >т. Тогда будем говорить, что Ет(і) = {х(і) : х((і -1)]Т)є Ет} - старший а -блок системы (1) на полуинтервале я]7 , а Еп-т (і) -младший а -блок.

Обозначим через г (а, я]7) минимум размерностей тех старших а-блоков системы (1) из системы (1) на полуинтервале я-Т, размерность каждого из которых не менее к. Если пространство Еп нельзя разбить в прямую сумму двух ненулевых подпространств с указанными выше свойствами, положим г (а, я]7 ) = п.

Пусть ds (XA (t,t)), s = 1,..., n - сингулярные числа оператора Коши XA (t,t) системы (1), за-

нумерованные в порядке невозрастания. Положим

j П d s a

1 j ,r. / 4

j(a, jT) =--------— УlnПds(xa ((i-1)jT + qT,(i-1)jT + (q- 1)T)), где r = r(a,sjT).

r - k + 1 q=1 s=k

q=1 s=k

Тогда

1

hk(A) = lim lim Jim lim 7--У j(a, jT).

a-0+j-¥Tp-l-¥ (p -l)jT i=+1

Очевидно, j(a, jT) < уln dk(X a ((i - 1)jT+qт, (i - 1)jT+(q - 1)T)).

q=1

Поэтому

_____ 1 pj _______________________________________ 1 p

hk(A)<ШШ lim -------------— Уlndk(XA(iT,(i- 1)T)) = llm li,m 7---------^Уlndk(XA(iT,(i- 1)T))<

j-¥ T-¥ p-l-¥ (p - l )jT i=lj+1 T -¥ p-l-¥ (p - l )T i=l+1

________ 1 p

lim lim -----------------У ln

T p-l-¥ (p - l)T =+1

XA (T,(l - 1)T)l,-1)t(a)

Следуя [1, §8] несложно показать, что правая часть последнего неравенства есть верхний особый показатель пространства Lk (A), т.е. показатель Лk (A) . Неравенство (7) доказано.

В силу (7) и свойства полуустойчивости вниз показателя hk (A) справедливо неравенство лт m( A) >hk (A).

Для доказательства обратного неравенства воспользуемся достижимостью показателя hk. Зафиксируем систему A е Мп, число к е {1,..., п} и возьмём произвольно е> 0. Возьмём

непрерывную матрицу Be(t), удовлетворяющую теореме 4.1 [3]. Тогда

Л k(A + Ю = W 0 (C2) < hk(A). Следовательно, ЛГ (A) > hk(A) .

Теорема доказана.

Следствие. Показатель Лk полуустойчив вниз в точке A е Мп тогда и только тогда, когда Л k (A)=hk (A).

Замечание. Доказательство теоремы 3 также доказывает, что показатель hk является точной гранью подвижности и для k - го особого (верхнего и нижнего) вспомогательного показателя

П( A) и n0( A),

_0_______________1 p

где nk(A) = lim lim -------------— У In dk (Xk (^, (i - ])T)),

p-1 (p - l)T i=t+i

p

п(А)=Щш Нш -—— 21па,(Хк(іТ,(і- 1)Т)).

Т ®- Г-!®- (р - I)Т = +

3. Основная теорема

Из теорем 2 и 3 следует критерий устойчивости к - го генерального показателя, сформулированный в следующей теореме 4.

Теорема 4. Показатель Л к как функционал на пространстве Мп устойчив в точке А є Мп тогда и только тогда, когда (А) = ^ 01(к) (А).

p

ЛИТЕРАТУРА

1. Былов Б.Ф., Виноградов Р.Э., Гробман Д. М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и её приложения к вопросам устойчивости. - М.: Наука, 1996.

2. Сергеев И.Н. Точные верхние границы подвижности показателей Ляпунова системы дифференциальных уравнений и поведение показателей при возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности // Дифференциальные уравнения, № 3, 1980. Т. 16. С. 438-448.

3. Рахимбердиев М. Н. Об устойчивости особых показателей линейной системы и замыкании множества линейных систем с экспоненциальной дихотомией. // Дифференциальные уравнения, 1974. Т. 10, № 4. С. 659-670, № 10. С. 1797-1807.

4. Илларионова О.Г. Об устойчивости к -го центрального показателя линейной системы дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, 1991. Т. 27, № 6. С. 938-963.

ON STABILITY OF THE K-TH SINGULAR INDEX FOR A LINEAR SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS

Illarionova O.G.

The paper deals with stability of k-th singular index of a system of linear differential equation. The main result is an estimate of mobility bounds of the k-th singular index for such systems.

Сведения об авторе

Илларионова Ольга Германовна, окончила МГУ им. Ломоносова (1982), кандидат физикоматематических наук, доцент, заместитель заведующего кафедрой высшей математики МГТУ ГА, автор более 20 научных работ, область научных интересов - теория устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений.