Об обобщенных показателях Ляпунова Текст научной статьи по специальности «Математика»

Алдибеков Т.М.

Казахский национальный университет им. аль-Фараби, г. Алматы, Республика Казахстан ОБ ОБОБЩЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЯХ ЛЯПУНОВА

В работе рассматриваются показатели Ляпунова линейной системы дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами в более общей шкале. Установлен аналог теоремы Перрона для системы дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами и применен к исследованию устойчивости решений системы дифференциальных уравнений.

Рассматривается линейная система дифференциальных уравнений

dy n

"тт = P )— + > Pk dt fr

(1)

вообще с комплексными коэффициентами P (t),Pk (t),'е {{...,n}k е n} которые являются непрерывными функциями на полуоси J = [0,+гс). Мы следуем работе Перрона [1, с. 193], который доказал совпадение показателей возмущенной и исходной системы с ограниченными коэффициентами при условии разделенности диагонали [2, с. 86].

Лемма 1. Если в системе (1) для любых i е {{...,n}k е {l,...,n} выполняется условие

Hm^M = 0. V(t)

(2)

где ) непрерывная положительная функция на J, то для любого а > 0 существует такое Т £ J, что для любого г > 7 имеют места неравенства

Re P (t) I y 21 1 d

'S1 — < 1 " - >1—i—kl " 2v(t) dt

—-

21 Re p,. (t), ^ а Ai— I ■ly2 <—t-L^-L\v2\ + —> y yk

2V(t) dt l—-1 V(t) l—'I 2n£ l—,—kl

(3)

(4)

где г'£ {1,...,и}.

Доказательство. Умножим каждое из уравнений системы (1) на у,, где у, - величина комплексная, сопряженная с у,. Получим у,-у' = у,-р- (г)у,- + у,- £ Рк (г)Ук отсюда в

~I I2

силу равенства уу = у, получаем

у,-у' = Р(г^у,-12 +ХР-к(г)У--Ук, откуда имеем

к=1

__и _

| Re(y,y;) - Re(p (ф,-| ) | < £ Рк (оуЛ ,

к =1

следовательно, используя равенство

2||у,2| = Ке(у,-у'), имеем

Отсюда, разделяя на y(t), получаем

1

d2

y 2

Re(P (t))

<»|Pk(t )\ — I v(t) l—'—kl

(6)

2^(г) Л14 ) 1

Из условия (2) следует, что для любого а > 0 существует такое 71 £ J, что для любого г > 7 и для любых , £ {{...,и},к £ {1,...,и}име-ет место

|Pk (t )|

а

(7)

у(г) 2и

Следовательно, для любого г > 71 из (6) и (7) вытекает, что при любых ¿£{1,..., и}, к £ {1,...,и} имеет место

d2 —,2

Re( p (t ))i—2

—i

а

—'—k. 2n 1 1

2^(г) Л14 ) Отсюда получаем неравенства (3) и (4). Лемма 1 доказана.

Для а > 0 зафиксируем число 71 £ J, найденное в лемме 1.

Лемма 2. Пусть для системы (1) при а > 0 и для некоторой непрерывной положительной функции ) на J выполняются следующие условия

р(г) > Reр(г) + ),г £ J,г £ {2,...,и}, |Рк (г )|

2) lim J

V(t)

= 0,' е {1,...,n},kе {1,...,n}

1 2| - Re(

2 dt

Тогда существует решение —1,—2,...,— системы (1) такое, что для любого t > t0 выполняется неравенство

|—1 (t)|2 > I— (t)|2,' е{2,...,n},to > T1.

Доказательство. Пусть —1,—2,...,— - решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям —,.(t0) = п,-,'е {1,...,n}, где > |,'е {2,...,n}, t0 > 7. Теперь докажем, что это решение искомое. Допустим противное. Пусть |—1 (t)|2 > |—-(t)|2,'е{2,...,n},t0 > 7; имеет место в некотором полуинтервале t0 < t < t2 и в t = t2 нарушается, т. е. для неко-

/ , ,2' — I t0 < t < t2 и в t = t2 нарушается, Т. <

\Р(tА—'l , <>|pk(t)—'—k| (5) торого индекса kе {2,...,n} имеем

2

1

(t,)|2 = (t,)|2 > |y,- (t,)|2, i * 1,i * k, (8) d ,

притом

dt1

<1|н2

(9)

Так как г2 > 7], то из неравенства (3) леммы 1 при г = 1,г = г2 следует, что

ReA('2 )|

У О,)- yi(?2 К (?2)

2 А <

;У1

¥(¿2) 2n£fl I 2v(t,) 1 dt

Отсюда в силу (8) получим неравенство

Re Р (t2 ,2

¥(t2 )

У2 (¿2) -:rSl У1 (¿2 )Ук (¿2 )h

1

2y(t2) 1 dt

d2

— |Ук|

(10)

А также из неравенства (4) леммы 1 при i = k,t = t2 следует, что

1 (d

2y(t2) 1 dt

Re P (t2 )|

¥(t2 )

|yk (t2)| + jj h (t2 )y- (t2 )|

В силу (8) для любого s е {1,...,n} имеем

|yk (t2 )ys (t2 ) = |yk (t2 Js (t2 ) = 1^1 (t2 Js (t2 ) < 1^1 (t2 ) ^

Поэтому имеет место неравенство

1

2у(г2) 1 dt

dl 12

< |У1 (t2 )|2 + ||У1 (t2 )|2(11)

¥(t2 )

Следовательно, учитывая (8), из неравенств (10) и (11) получаем, что

Rf^ I у5 <t.)-fl У1 <t.)2 <

< | У1 (t, ) 2 +f| У1 )| 2

¥(t2)

Так как (^)| > |у,- (¿2)|,г * 1; то [у (^)| * 0, поэтому полученное неравенство можно разделить на |у1 (г2)|2. Тогда имеем Reр (?2) ^ ReР(¿2) + «¥(¿2), к е {2,...,и} е 3 это неравенство непосредственно противоречит условию 1). Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Пусть для системы (1) при а > 0 и для некоторой непрерывной положительной функции ) на з выполняются следующие условия

1^ер(г) > Reр(г) + а^(г),ге 3,г е {2,...,и} 2) Цт ЦМ = о,г е {1,...,и},к е {{...,и}

тогда существует решение y1, y2,..., yn системы (1), такое, что

lim ]у4 = 0,i е {2,...,n}

|y11

Доказательство. Зафиксированное число 71 в леммах 1, 2, используя условие 2), возьмем так, чтобы для любого t > 71 также выполнялось

К(t ^ < осу

¥(t) 16n

Рассмотрим решение y1, y2,..., yn, найденное

kT

в лемме 2. Из леммы 2 следует, что | |2 ограниченная функция на J, поэтому конечный верхний предел существует. Покажем теперь, что

lim = 0,i е {2,...,n}. Допустим противное.

Пусть для некоторого индекса k е {2,...,n},

2

< —1-,i е {1,...,n},k е {1,...,n} (12)

lim

yk

y1

= y > 0

(13)

Отсюда следует, что существует произвольно большое г = т > 71, для которого одновременно имеют места неравенства

Jk(т)

У1( т)

Y. 1

(

2 ¥(т)

yk

y1

2 А

aY

(14)

В самом деле, прежде всего очевидно,

е J, aY

иметь место неравенство

некото рого

1 d Jk 2

¥(t) dt У1

<-

2

так как тогда имели бы неравенство

d dt

yk

y1

< 0, откуда lim

yk y1

= -тс. Поэтому су-

ществуют произвольно большие t = т > 71, для которых выполняется неравенство

1

( 2 А

(d Jk

1 dt У1

¥( т)

t = т> 71,

>-

aY

Если для этих

yk

y1

> , то утверждение доказано.

ство

yk

Допустим, для т' > 71 имеет место неравен-< ~. Так как lim — = y, то среди

2 У1

чисел t =т> T1, существует наименьшее

У1

т > 71, для которого

Jk(т)

У1(т)

Y, и для этого

4

1

2

>

т

2

2

2

т

2

т > 7 имеем

i d yk 2 1

dt У1

т). Следова-

тельно, для этого т > 7 имеют место нера-

венства

yk( т) >Y, 2 i d- yk 2 ^

У1( т) i dt У1

OY / \ >-уV(т).

Таким образом, для некоторого фиксированного, но произвольно большого г = Т> 7 одновременно имеют место неравенства (14). Заметим, что

22

d_

dt

- = Л2 -^^Г (15)

В ходе доказательства леммы 1 было получено неравенство (5), откуда имеем

1 d I I " I ~

-т|у,21 < Re(Рг(г^у21 + X Рк(г)У,Ук (16)

2 ^ к =1

1 d и _

:2 ^ И > Re( Рг (г )| Уг2| - X | Р-к (г )У Л | (17) Из неравенства (16) при г = к получаем

1 d

2 dt

yk <

Re(Pk(t)|Ук2| + Ê|Pks(t)y*y,| (18)

Из неравенства (17) при i = 1 после умножения на -1 получаем

1 d 2

2

2 dt

|y2| < ElP1s(t)У1 yj -Re(P1 (t)|У12| (19)

Следовательно, из (15) в силу (18) и (19) вытекает, что

1 d Г Ук ^

2 dt

У1

+ Re( p (t ) - p (t ))

2

Ук

У1

Л bks ОКУ* ^ Pb (t)УlУ* . .2 <E-¡-¡5-+ E-¡-¡4-W (20)

s=1 S=1 |У 11

В силу леммы 2 |у,| < |у1 i е {2,...,n}, из (20) следует, что

1 d Г yk ^

2 dt

У1

+ Re( P1 (t ) - p (t ))

2

yk

У1

-El Pk* (t )+ËI Рь (t )

Отсюда в силу условия 1) леммы имеет место неравенство

1А.

2 dг

2y(t ) dt

Разделяя на y(t ), получаем

2 ' *2-¿Ml.¿ML

1 d

yk + а yk

y1 y1

=1 v(t ) t! V(t )

Тогда из (21) при t = т > 71 в силу (14) сле-

n I

+ От-

«У «v vlPks( т)1 v|P1'( т) дует, что--L + — < E1 '.xi i

4 2 ^ ¥(т) Т=1 ¥(т) сюда, учитывая (12), получаем

^ < X ^ + X «У 1 < 1 „

Т+ , т- е 4<8 ■ Тем самым полученное противоречие доказывает лемму. Лемма 3 доказана.

Лемма 4. Пусть для системы (1) для некоторой непрерывной положительной функции ) на з выполняются следующие условия:

1)Яер(г) > Яер(г) + ау(г),г е 3,г е {2,...,и},а > 0, ) > в > 0,

2) Цт = 0,г е {1,...,и}к е {1,...,и},

тогда существует решение у1,у2,...,уи системы (1), такое, что

1 У1' Р1(г)

lim

= 0

V(t) У1 V(t) Доказательство. Первое уравнение системы (1) имеет вид

У1 = Р (t)У1 + Pu (t)У1 + Р12 (t)У2 + ... + Pn (t)Уп Рассмотрим решение y1,y2,...,yn из леммы 3. Подставляя это решение в уравнение и учитывая, что y1 (t) ф 0,y(t) ф 0,t > t0 е J, получаем неравенство

1 У1 P1(t )

< |Рп (t)| . ¿К (t)| jyk| v(t) v(t) |yj .

) У1 ¥(г)

Следовательно, в силу леммы 3 и из условия 2) вытекает утверждение леммы. Лемма 4 доказана.

Далее рассмотрим систему (1) с действительными коэффициентами.

Лемма 5. Пусть для системы (1) для некоторой непрерывной положительной функции ) на 3 выполняются следующие условия

1)ЯеР (г) > Яер (г) + ау(г),г е 3,г е {2,...,и}а > 0, ) > в > 0,

2)НтЦ^ = 0,г е {.„,и},ке {1,...,и}

yk + ay(t ) yk

, У1 У1 ,

t

n n 1 -ElPks (t)+Ek (t) 3) ^ J Р1 (т)^=л1(i)' À1(q) е R

т

т

s=1

s=1

2

2

где ч(-) = |у( , тогда система (1) имеет реШение 0 у = {у1,у2,...,у„ }, такое, что х[ у15 ч ] = Х (ч), где %[у15ч ] - верхний характеристический показатель Ляпунова первой координатной функции у1 (г) относительно ч(г).

Доказательство. Рассмотрим решение у = у 2,..., уи} из леммы 4. Тогда в силу леммы 4 имеем для любого е > 0, существует такое 7 £ J, что для любого г > 7 имеет место неравенство

р (г) - ) < Ну |) < р (г) + ).

Следовательно, отсюда, интегрируя

ш!и< т)А_е< -к 1пШ < ж!и< т)А+а

Теперь, переходя к верхним пределам, используя условия 3), получаем

Х (ч) -е< 1п|у1 (г)| (ч) + е.

-и+! Ч(г) _! 1

По определению Х[У1, ч] = Нш — 1П у1 (г )|.

Отсюда в силу произвольности е > 0 имеем , (ч) = %[у15ч]. Лемма 5 доказана.

Теорема 1. Пусть для системы (1), где коэффициенты - непрерывные действительные функции, определенные на полуоси J = [0,+^), , £ {1,...,и}, для некоторой непрерывной положительной функций ) на J выполняются условия

1)Reр (г) > Reр (г) + ау(г),г £ J,г £ {2,...,и},а> 0,

¥(г) > в > 0, |р-к (г )|

2) Нш

¥(г)

= 0,, £ {1,...,и}к £ {1,...,и}

3) И! | р(тМт = , (чX

г

где ч(г) = | т)^т, тогда система (1) имеет решение у ={, у 2,..., у и}, такое, что х[ y, ч] = Х1(ч).

Доказательство. Рассмотрим решение у = {у15 у 2,..., уи} из леммы 5. В силу леммы 2 для любых г > г0,, £ {2,..., и } имеет место неравенство |у1 (г)| > |у;- (г)|. Поэтому из свойства показателей относительно ч(г) имеет место равенство х[у1, ч] = х[у,ч ]. Отсюда из леммы 5 следует требуемое равенство. Теорема 1 доказана.

Следствие 1. В условиях теоремы 1 система (1) имеет , (ч) - верхний показатель относительно ч(г), который вычисляется по формуле

А,1 (ч) = [ р(

-и+! ч(г) 0

Теорема 2. Пусть для системы

% = р,-(г )у,- + £ Р-к(г )ук, (22)

к=1

где коэффициенты - непрерывные действительные функции, определенные на полуоси J = [0,+!), , £ {{...,и}, для некоторой непрерывной положительной функции ) на J выполняются условия

l)Reр- (г) > Reр-+1 (г) + а^(г),г £ J,, £ {1,2,...,и -1} а > 0, ) >р> 0,

|р-к (г )|

2) liш

¥(г)

= 0,, £ {1,...,и}к £ {..^и}

тогда система (22) имеет п линейно независимых решений ук = {, у2к,..., у„к }, к = 1,2,..., и; удовлетворяющих равенствам:

а) Ни = 0, , ^ к Ь) Ни

Укк

(

1 Укк р(г)

=0

) Укк ¥(г) Доказательство. Воспользуемся индукцией по к = 1,..., и. Пусть к = 1. Тогда в силу леммы 3 и леммы 4 система (22) имеет решение

У1 = У11; у 2 = У21;...; у» = уЛ1; (23)

и утверждения а) и Ь) теоремы выполняются. Пусть утверждения а) и Ь) теоремы выполняются для любого к < и. Положим

У1 = У11} у 2 = У21} + Г1,..., уи =

= Уи11 "Л + ги_1, (24)

где У1 ={уп ,У21,...,У„1} решение (23). Тогда

система (22) переходит в систему

Л

1 = л + £

,=2

А, (г) - Р, (г)—

1 у11

'ц-1'

(Х = 2,3,..., и) (25)

Заметим, что р (г) > р+1 (г) + ау(г),

(Х = 2,3,...,и -1). Далее

Нш

р, (г) - А, (г) —

У11

¥(г)

= Нш

А, (г) А, (г) УХ1

¥(г) ¥(г) У11

= 0

Таким образом, для системы (25) условия теоремы 2 выполняются. Система (25) состоит из к = и -1 уравнений. Применяя индукцию к системе (25), получим утверждение теоремы. Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Пусть для системы

dy и

-± = Х Рк(г )Ук.к = 1,...>и;

dг

(26)

где коэффициенты непрерывные действительные функции определенные на полуоси 3 = [0,+^), для некоторой непрерывной положительной функций у(г) на 3, выполняются условия

1)Рк-и-1 (-) - Рк(г) > а¥(г),г е 3,к е {2,...,и}а > 0,

2) Нт

) >в> 0, |р,к (- )|

)

= 0,г е {1,...,и } к е{1,... ,и} Ф к,

_ 1 г _

3)гН™ Тл 1 ^кк(т)й?т = А к(я);к = 1и.

Я(-)

где я(-) = 1^(т)dт, тогда система (26) имеет фундамен тальную систему решений У1, У 2,..., у и, такую, что х[ Ук, Я] = А к (ЯXк =1 и-

Доказательство. В силу условия теоремы и из теоремы 2 следует, что существует фундаментальная система решений системы (26), Ук ={1к, У2к,..., Уик }, к = 1, и. такая, что

(27)

а) lim = 0, г Ф к

гн+~ Укк

Ь) lim

Г

1 Укк Рк(г)

= 0

(28)

¥(г) Укк ¥(г) , Отсюда следует, что для любого е> 0 существует такое 7 е 3, что для любых г > 7, к = 1,..., и; имеют место неравенства /

Рк (г)- £¥(г) < — < Рк (г) + еу(г).

Укк

Отсюда 1 Рк(т)dт - е1 ¥(т)dт <1п |Укк((п] < 0 0 |Укк (0)|

г г

< 1 Ркк (т^т + е^( т)dт. Следовательно,

1г

1 Ркк

|Укк (г)

1г

7-) 1 Ркк (т)^+е.

я(г)е<я(г)1п|Укк(0)'| <я(г)0 Отсюда в силу условия 3) теоремы имеем

А к (я) - е < йт1п| Укк (г )| < А к (я) + е (29) гн+- я(г)

Из теоремы 2 и из свойства показателей относительно я(г) следует, что

Нт-^ 1ПУкк (г) = х[Ук,я]. Поэтому из (29) в

гн+^ я(г)

силу произвольности е > 0 получаем требуемое равенство. Теорема 3 доказана.

Следствие 2. В условиях теоремы 3 фундаментальная система решений у7, у 2,..., уи образует нормальный базис системы (26), т. е. А к (я), к = 1, и. являются обобщенными показателями системы (26).

Доказательство. В самом деле, из условия 1) теоремы следует, что

1 г 1 г _

-^Т 1 Рк-1,к-1 (тУт > -^Т 1 Ркк (тМт+ а,к = 2,и.

я(г) 0 я(г) 0

А к-1 (я) > А к (я) + а, к = 2, и. В силу положительности а отсюда следует, что А1 (я),..., А и (я) различные. Поэтому фундаментальная система решений у7, у 2,..., уи образует нормальный базис, а А и (я) <... < А1 (я) являются обобщенными показателями системы (26).

Следствие 3. В условиях теоремы 3 обобщенные показатели системы (26) вычисляются

по

формуле А к (я) = гНт -1) 1 ^кк (т)dт, к = 1, и

Следствие 4. В условиях0 теоремы 3 общее решение системы (26) может быть записано в

и

виде у = Х ск Фк (г)Ак (я )я(г', где ск - произвольные посте янные, х[фк, Я ] = 0, А к (-), к = 1, и. -обобщенные показатели системы (26).

Следствие 5. Если в условиях теоремы 3

гН™ -1) 1Р(т)dт < 0, где -(-) = т)dт, то

сис-

00 тема (26) асимптотически устойчива.

Следствие 6. Если в условиях теоремы

3 А к ( Я) = ИИ1 — 1 Ркк (т)dт< 0,

где -(-) = 1^(т)^т, 1 < к < и, то система (26)

0

имеет ^-мерное условно-устойчивое подпространство решений.

Следствие 7. Если в условиях теоремы 3 существует точный предел

1 '

А к(Я) = 11т-тт 1 Ркк(т)dт, к = 1,...,и, где г -Н+" Я(-) 0

я(г) = т)dт, тогда система (26) обобщенно-

0

правильная по Ляпунову относительно -(-).

Доказательство. Рассмотрим фундаментальную систему решений у7, у 2,..., уи в теореме 3. Тогдаи и

Xх Ук. Я] = ХА к(я) =

к=1 к =1

" 1 С 1 с

=Х -Нт -(-у 1 Р*(т)dт=м ягт 1 Хр* (т)dт,

я(г)

т. е. система (26) обобщенно-правильная по определению. Следствие 7 доказано. Следствие 8. Пусть система

у' = Р(г )у + / (г, у) (30)

удовлетворяет следующим условиям:

1) соответствующая линейная однородная система удовлетворяет условиям следствий 6,

2) ,1 (ч) < 0,

3) функция / (?, у) непрерывна по I е J и непрерывно дифференцируема по у в области |у| < к и удовлетворяет неравенству

|/(г,у)| < ф(г)|у|т, где т > 1,ф(г) - непрерывная положительная функция при г £ J с нулевым обобщенным показателем Ляпунова относительно ч(г). Тогда нулевое решение нелинейной системы (30) асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Доказательство. Из условия 1), 2) и 3) следуют, что все требования аналога теоремы Ляпунова для неограниченных систем дифференциальных уравнений [3, с. 859] выполняются, откуда следует утверждение. Следствие 8 доказано.

Список использованной литературы:

1. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л., 1949., 550 с.

2. Изобов Н.А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники (Мат. анализ). М., 1974. Т. 12. С. 71-146.

3. Алдибеков Т.М. // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. №6. С. 859-860.