Об обобщенных показателях Ляпунова Текст научной статьи по специальности «Математика»

Алдибеков Т.М.

Казахский национальный университет им. аль-Фараби, г. Алматы, Республика Казахстан ОБ ОБОБЩЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЯХ ЛЯПУНОВА

В работе рассматриваются показатели Ляпунова линейной системы дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами в более общей шкале. Установлен аналог теоремы Перрона для системы дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами и применен к исследованию устойчивости решений системы дифференциальных уравнений.

Рассматривается линейная система дифференциальных уравнений

= Р (? X— + >р* (? )л

а? 7І

(1)

вообще с комплексными коэффициентами р (?),рк (?),і є {і,...,и}к є {і,...,и} которые являются непрерывными функциями на полуоси / = [0,+го). Мы следуем работе Перрона [1, с. 193], который доказал совпадение показателей возмущенной и исходной системы с ограниченными коэффициентами при условии разделенности диагонали [2, с. 86].

Лемма 1. Если в системе (1) для любых і є {і,...,и}к є {і,...,и} выполняется условие

Ііт^ = 0. ^(0

(2)

где у(г) непрерывная положительная функция на J, то для любого а > 0 существует такое Т е J, что для любого г > Т имеют места неравенства

—-

2і Re р (?)і 2і а Vі |_ I

■I — 2 <— — 2 +----> — .—к

2у(?) а? І—іу(?) І—і:І 2ик=і І—і—кІ

(3)

(4)

где , е {1,...,и}.

Доказательство. Умножим каждое из уравнений системы (1) на у,, где у, - величина комплексная, сопряженная с у,-. Получим у,.у' = у,р(г) у, + у,- ^ Рк (г)Ук отсюда в

“к=1 I 12

силу равенства у,.уг. = у, получаем

у,-у,' = Р(г^у,- Г +Х Рк(г)у,ук, откуда имеем

к=1

_ и . __ .

I Re(у,у') - Re(р(г^у, |) |<£р*(г)у,ук ,

к =1

следовательно, используя равенство 2||у,2| = Ке(у,у'), имеем

Отсюда, разделяя на у(г), получаем

і

а I 21

< "V |рк (?^ | |

<>—77Т —-—к ¥(?) 1 1

(6)

2у(г) 1,1 у(г)

Из условия (2) следует, что для любого а > 0 существует такое Т е J, что для любого г > Т и для любых , е {1,...,и},к е {1,...,и} имеет место

|р-к(? )|

а

(7)

у(г) 2и

Следовательно, для любого г > Т из (6) и (7) вытекает, что при любых ,е {,...,и} ке {1,...,и} имеет место

а

<^“> — —к . 2и *=!1 1

2у(г) 1,1 у(г)

Отсюда получаем неравенства (3) и (4). Лемма 1 доказана.

Для а > 0 зафиксируем число Т е J, найденное в лемме 1.

Лемма 2. Пусть для системы (1) при а > 0 и для некоторой непрерывной положительной функции у(г) на J выполняются следующие условия

1^ер(г) > Reр(г) + ау(г),г е J,г е {2,...,и} |р-к(г )|

2) Ііт ■

¥(?)

= 0,і є {і,...,и},к є {і,...,и}

- -І—21 - Re|

2 А г' 1

Тогда существует решение у1, у2,..., уи системы (1) такое, что для любого г > г0 выполняется неравенство

|>’х(г)|2 > |у,-(г^2Ле {2,...5и}0 > Т1.

Доказательство. Пусть у1, у2,..., уи - решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям у,. (г0) = п,-,,е {1,...,и}, где 1^1 > |п,-1,, е {2,...,и}, г0 > Т . Теперь докажем, что это решение искомое. Допустим противное. Пусть |у 1 (г)2 > |у,-(г)2,, е {2,...,и} > Т имеет место в некотором полуинтервале г0 < г < г2 и в г = г2 нарушается, т. е. для неко-

( | ,2 '< - I ?0 < ? < ?2 и в ? = ?2 наруШается, т. .

\Р(?)—м , <>|рк(?)——к| (5) торого индекса к є {2,...,и} имеем

2

і

|—і (?2 )\2 = |—к (?2 ^2 ^ |—і (?2 ^2, і * і, і * к , (8) а,

притом

а?

(9)

Так как г2 > Т1, то из неравенства (3) леммы 1 при , = 1,г = г2 следует, что

;—і

5еР^ к.» (,2)-^^Г|у;(г2 )ук (г2) <-^- ( ^

.ИЛ) 2„#,,'5'Л' =1 2¥(|.)[ <*

Отсюда в силу (8) получим неравенство

(?2 ) ¥(?2 )

—і2 (?2 ^ - :2и »| —і (?2 )—к (?2

і ^ ^ і 12 1—к|

(і0)

А также из неравенства (4) леммы 1 при , = к, г = г2 следует, что

1 (^

2у(?2) I а?

—к

р (?2 )| )

В силу (8) для любого ^ е {1,...,и} имеем

|>’к (г2 ^ (г2 ^ = |>’к (г2 ^Л (г2 ^ = |ух (г2 ^Л (г2 ^ < |>’х (*2 ^ ^

^2 /Н/^ 2 /| К .Л* 2 /| — |./ 1 4^2 '

Поэтому имеет место неравенство

і

2у(г2) I а?

^ I 12

^1—к|

< ^^(0 | —і (?2 ) 2 +2—і (?2 )| 2(іі)

¥(?2 )

Следовательно, учитывая (8), из неравенств (10) и (1 1) получаем, что

< | —і (?2 ) 2 + ||—і (?2 )| 2

¥(?2)

Так как |у1 (^ )| > |у,- (^ )|,, * 1; то |ух (^)| * 0, поэтому полученное неравенство можно разделить на |у1 (г2 )|2. Тогда имеем Reр (?2) < Reр(?2) + аи(?2), к е {2,...,и} е 3 это неравенство непосредственно противоречит условию 1). Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Пусть для системы (1) при а > 0 и для некоторой непрерывной положительной функции и(г) на 3 выполняются следующие условия

1^ер (г) > Reр (г) + аи(г),г е 3,, е {2,...,и}

2) Пт ^'к(^ = 0,, е {1,...,и},к е {1,...,и}

гп+^ и(г)

тогда существует решение у1, у2,..., уи системы (1), такое, что

lim = 0,, е {2,...,и}

(П+“ |>Ч |

Доказательство. Зафиксированное число Т1 в леммах 1, 2, используя условие 2), возьмем так, чтобы для любого г > Т1 также выполнялось

|рк(г^ < ау и(г) 1би

Рассмотрим решение у1, у2,..., уи, найденное

к Г

в лемме 2. Из леммы 2 следует, что | |2 ограниченная функция на 3, поэтому конечный верхний предел существует. Покажем теперь, что

Нт = 0,, е {2,...,и}. Допустим противное.

' " у1

<—-,і є {і,...,и},к є {і,...,и} (і2)

Пусть для некоторого индекса к е {2,...,и},

Ііт —к

—і

= у > 0

(і3)

вольно большое г = т > Т1, для которого одновременно имеют места неравенства

—к(т) 2 . і " а —к 2 %

—і(т) 2 ¥(т) а? —і

ау

>-т (і4)

В самом деле, прежде всего очевидно, что не может, начиная с некотор

иметь место неравенство

некото рого

і а —к 2

у(? ) а? —і

<-

ау

2,

так как тогда имели бы неравенство

й_

а?

—к 2 < 0, откуда Ііт —к

—і —і

= -го. Поэтому су-

для которых выполняется неравенство

і " а —к 2 %

¥( т) а? —і

>-

ау

Если для этих

? = т > Ті,

—к

—і

> —, то утверждение доказано.

Допустим, для т' > Т1 имеет место неравен-

ство

—к

—і

1

2.

Ііт —к

?——+го —і

= у, то среди

чисел ї =т> Гі, существует наименьшее

т > Ті, для которого

—к(т)

—і(т)

У, и для этого

4

2

т

2

2

т

2

2

2

т > Ті имеем

" а —к 2 4

а? —і

>-0-у( т). Следова-

тельно, для этого т > Т имеют место нера-

венства

—к(т)

—і(т)

(

2

—к

—і

ау / ч

>-у¥(т) .

Таким образом, для некоторого фиксированного, но произвольно большого г = т> Т1 одновременно имеют место неравенства (14). Заметим, что

й_

а?

22

- “Л-4-|у»|2 -^4-^7|у1|2 (15)

у1 Ш & |у^ ^

В ходе доказательства леммы 1 было получено неравенство (5), откуда имеем

1 d I I ” I _

0 т* г21 < Re(р(г^у,2 I + X рк(г)у,ук (16)

2 ш к =1 1 1

1 ^ и _

2 > Re(Р,(г^у,21 -Х|рк(г)у,у^ (17) Из неравенства (1 6) при , = к получаем

■ |ук21 < Яе(р(г)|ук21 + XIр**(г)у ку^ (18)

1 а

2 а?1

Из неравенства (17) при , = 1 после умножения на -1 получаем

1 а \ 2

2

2 а?

І—12| < >1 р,(?)—і—,| - Ке( р(? ^—2 (і9)

Следовательно, из (15) в силу (18) и (19) вытекает, что

1 а

2 а?

2

—к

—і

+ Ке( р(?) - р(?))

2

—к

—і

А рь ОКу* д (г)у1 у! ,2

<Х----------ГГ2-------+ Х---------П4---------Ы (20)

■*= Ы ■*= |ух|

В силу леммы 2 |у,| < |у11,, е {2,...,и}, из (20) следует, что

2 а?

—і

+ Ке( р(?) - р(?))

2

—к

—і

<> р,(? ) + >| А,(? ^

Отсюда в силу условия 1) леммы имеет место неравенство

2^(?) а?

Разделяя на у(г), получаем

2 ( '2<Х%-т+]Х^рИ(£;)(21)

і а

—к + а —к

—і —і

Тогда из (2і) при ? = т > Ті в силу (і4) слеи I

+ От-

ау ау ^|р,(т)| ^ч|р,(т)1 дует, что------+ — < > 1 і.Хі і

4 2 ^ И(т) 1=1 И(т)

сюда, учитывая (12), получаем

«у < X ^ + X а^ 1 < 1 „

Т <Х^ + Х^, т. е. 4 < 8 . Тем самым полученное противоречие доказывает лемму. Лемма 3 доказана.

Лемма 4. Пусть для системы (1) для некоторой непрерывной положительной функции И(г) на 3 выполняются следующие условия:

1)Яер(г) > Яер(г) + аи(г),ге 3,, е {2,...,и},а > 0,

и(г) > в > 0,

2) Пт = 0,, е {1,...,и}к е {,...,и},

гп+- И(г)

тогда существует решение у1,у2,...,уи системы (1), такое, что

1 у! р(г)

Ііт

?——+(

=0

И(г) у1 И(г) Доказательство. Первое уравнение системы (1) имеет вид

у' = Л(г) у1 + Р1(г )у1 + Р2(г) у 2 +... + ри (г )уи Рассмотрим решение у1,у2,...,уи из леммы 3. Подставляя это решение в уравнение и учитывая, что у1 (г) * 0,у(г) * 0,г > г0 е 3, получаем неравенство

і — р(?)

< |рі (?^ > |рк (?^ |—к|

" ¥(?) +к> ¥(?) |—^ .

И(г) у1 И(г)

Следовательно, в силу леммы 3 и из условия 2) вытекает утверждение леммы. Лемма 4 доказана.

Далее рассмотрим систему (1) с действительными коэффициентами.

Лемма 5. Пусть для системы (1) для некоторой непрерывной положительной функции И(г) на / выполняются следующие условия

1)Яер (г) > Яер (г) + аи(г),г е 3,, е {2,...,и}а > 0,

и(г) > в > 0,

2) Пт 1^*(= 0,,е {1,...,и},ке {1,...,и}

гп+- и(г)

2 а?

—і

+ ау(?)

2

—к

—і

< ?

и и --- і Г л

<Хк (?)+>к (?) 3) ?—т Ір (т)ат=Аі(?), Аі(?) є

т

У

>

т

,=і

,=і

2

2

где _(г) = |и( т^т, тогда система (1) имеет решение 0 у = {у1,у2,...,уи }, такое, что х[ у15 _ ] = ^ _), где х[у1,_ ] - верхний характеристический показатель Ляпунова первой координатной функции у1 (г) относительно _(г).

Доказательство. Рассмотрим решение у = у2,...,уи} из леммы 4. Тогда в силу лем-

мы 4 имеем для любого е > 0, существует такое Т е 3, что для любого г > Т имеет место неравенство

р(г) - еи(г) < Ну1 ^ < р(г) + еИ(г) .

Следовательно, отсюда, интегрируя

|д( т)А-е< _!_ 1п1у.| < |д( ^

Теперь, переходя к верхним пределам, используя условия 3), получаем

А,1 (_) -е< Пт-^-Ь|у1(г)\ <^1 (_) + е

гп+“ _(г) ! 1

По определению Х[у1 > _] = (Пт _-у (г ^.

Отсюда в силу произвольности е > 0 имеем А1 (_) = %[у15_]. Лемма 5 доказана.

Теорема 1. Пусть для системы (1), где коэффициенты - непрерывные действительные функции, определенные на полуоси 3 = [0,+^), , е {1,...,и}, для некоторой непрерывной положительной функций и(г) на 3 выполняются условия

1)Яе р (г) > Яе р (г) + аи(г ),г е 3,, е {2,..., и}, а > 0,

и(г) > в > 0,

|р-к(г )|

2) Ііт

¥(?)

= 0,і є {,...,и}к є {і,...,и}

3) 1п+1 | р(т)dт = ^1 (_),

г

где _(г) = |и(т)dт, тогда система (1) имеет решение у =°{у1, у 2,..., у и}, такое, что х[ у, _] = ^1(_).

Доказательство. Рассмотрим решение у = {у1, у 2,..., уи } из леммы 5. В силу леммы 2 для любых г > г0,,е {2,...,и} имеет место неравенство |у1 (г)| > |у,- (г)|. Поэтому из свойства показателей относительно _(г) имеет место равенство х[ у15 _ ] = х[ у,_ ]. Отсюда из леммы 5 следует требуемое равенство. Теорема 1 доказана.

Следствие 1. В условиях теоремы 1 система (1) имеет А1 (_) - верхний показатель относительно _(г), который вычисляется по формуле

А,1 (_) = Нш-^ [ р(т)dт

(П+- _(г) 0

Теорема 2. Пусть для системы

-уГ = Р(г )у,- + X Рк (г )ук, (22)

™ к=1

где коэффициенты - непрерывные действительные функции, определенные на полуоси 3 = [0,+1), , е {1,...,и}, для некоторой непрерывной положительной функции и(-) на 3 выполняются условия

1)Яер (г) > Яер+1 (г) + аи(г),г е 3,, е {1,2,...,и -1} а > 0, и(г) >в> 0,

|р-к(г )|

2) Ііт

¥(?)

= 0,іє {і,...,и}к є {і,...,и},

тогда система (22) имеет п линейно независимых решений —к ={,—2к,..., —ик } к = і,2,..., и; удовлетворяющих равенствам:

а) Ііт —^ = 0, ц* к Ь) Ііт

?—+“ —кк

(

і —кк Р(?)

Л

=0

И(г) укк И(г) Доказательство. Воспользуемся индукцией по к = 1,..., и. Пусть к = 1. Тогда в силу леммы 3 и леммы 4 система (22) имеет решение

у1 = у»; у 2 = уи;...; у„ = у„1; (23)

и утверждения а) и Ь) теоремы выполняются. Пусть утверждения а) и Ь) теоремы выполняются для любого к < и. Положим

у1 = у;и } у 2 = у 211 wdг + Г1,..., уи =

= у„11ud- + ги-1, (24)

где у1 ={,у21,...,уВ1} решение (23). Тогда

система (22) переходит в систему

йг,

а?

ц=2

Рц (?) - Рц (?) — —іі

'ц-і’

(, = 2,3,..., и) (25)

Заметим, что р (?) > р+1 (?) + ау(?),

(, = 2,3,...,и -1). Далее

Ііт

?——+го

Рц (? ) - Рц (?)

—11

¥(?)

= Ііт

?——+го

Рц (?) ^1ц (?) —,1

¥(?) ¥(?) —іі

= 0

Таким образом, для системы (25) условия теоремы 2 выполняются. Система (25) состоит из к = и -1 уравнений. Применяя индукцию к системе (25), получим утверждение теоремы. Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Пусть для системы

а— и

-Г7 = Х р-к(? )—к,к = 1,...>и; а?

(26)

где коэффициенты непрерывные действительные функции определенные на полуоси 3 = [0,+1), для некоторой непрерывной положительной функций и(-) на /, выполняются условия

1)Рк-и-1 (г) - Лк(г) > аи(г),г е 3,к е {2,...,и}а > 0,

2) Ііт

^(?) > в > 0, |р-к(?)

¥(?)

= 0,іє {і,...,и}к є {і,...,и} * к,

____ 1 ? _______________________

3)і—“т?) | ^кк(т)ат = х к(-);к =1 и.

-О1)

где -(?) = І^(т)йт, тогда система (26) имеет фундамен тальную систему решений —і,—2,...,—и, такую, что х[—к > -] = х к (-Xк =1 и Доказательство. В силу условия теоремы и из теоремы 2 следует, что существует фундаментальная система решений системы (26),

— к ={—1к > —2к .....—к }к = 1и., такая, что

(27)

а) Ііт —— = 0,і * к

?—+го —кк

Ь) Ііт

(

1 —кк рк(?)

= 0

(28)

”, И(г) укк И(г) ,

Отсюда следует, что для любого е> 0 существует такое Т е 3, что для любых г > Т, к = 1,..., и; имеют место неравенства /

Лк (г)- еи(г) < — < р** (г) + еи(г).

у кк

Отсюда |Рк(т)dт - 4И(т)dт <1п |укк((п)| <

0 0 Ккк (0)|

г г

<| Рк (т)А + е|у(тУт. Следовательно,

|—кк (0|

_(г) £<_(г)1П |укк (0)| < _(г) 0

Отсюда в силу условия 3) теоремы имеем

^к(_) - е < Ит 1п|укк(г^ < ^к (_) + е (29)

гн+- _(г) 1 1

Из теоремы 2 и из свойства показателей

относительно _(г) следует, что

1п|укк (г) = х[ук,_]. Поэтому из (29) в

-н+” _(г)

силу произвольности е > 0 получаем требуемое равенство. Теорема 3 доказана.

Следствие 2. В условиях теоремы 3 фундаментальная система решений у1, у 2,..., уи образует нормальный базис системы (26), т. е. X к (_), к = 1, и. являются обобщенными показателями системы (26).

Доказательство. В самом деле, из условия 1) теоремы следует, что

1 г 1 г

[ Рк-1,к-1 (т)dт > [ Лк (тМт+ а,к = 2,и.

_(г) 0 _(г) 0

Xк-1 (_) >Хк (_) + а, к = 2, и. В силу положительности а отсюда следует, что Х1 (_),...,X и (_) различные. Поэтому фундаментальная система решений у 1, у 2,..., уи образует нормальный базис, а X и (_) <... < Х1 (_) являются обобщенными показателями системы (26).

Следствие 3. В условиях теоремы 3 обобщенные показатели системы (26) вычисляются

по

формуле X к(-) = Ііт -і) І рк(т)йт, к =1 и

Следствие 4. В условиях0 теоремы 3 общее решение системы (26) может быть записано в

п

виде у = Х скФк (г)Хк (_)<г(г), где ск - произвольные посте янные, х[фк, _ ]= 0, X к (_), к = 1, и. -обобщенные показатели системы (26).

Следствие 5. Если в условиях теоремы 3

1—т —і р(т)йт < 0, где -(?) = І^(т)йт, то

сис-

00 тема (26) асимптотически устойчива.

Следствие 6. Если в условиях теоремы

3 X к(_) = П” — } Лк(т)dт < 0,

где _(г) = |и(т)dт, 1 < к < и, то система (26)

0

имеет ^-мерное условно-устойчивое подпространство решений.

Следствие 7. Если в условиях теоремы 3 существует точный предел

1 !

Xк(_) = Ит-^Т I"Л*(т)Л, к = , где

г -н+1 _(г) 0

_(г) = |и( т^т, тогда система (26) обобщенно-

0

правильная по Ляпунову относительно _(г).

Доказательство. Рассмотрим фундаментальную систему решений у1, у 2,..., уи в теореме 3. Тогдаи и

Хх[ук ._] = XXк (_) = к=1 к =1

И 1 1 (.и

=х (Н“ ч(-) ] рк(т)dт=М _ТТ) ] Х=кк (т)dт:

-(?)

т. е. система (26) обобщенно-правильная по определению. Следствие 7 доказано. Следствие 8. Пусть система

—' = Р(?)— + / (?,—) (30)

удовлетворяет следующим условиям:

1) соответствующая линейная однородная система удовлетворяет условиям следствий 6,

2) Хі (-) < 0,

3) функция / (ї, у) непрерывна по ї є / и непрерывно дифференцируема по — в области |—| < И и удовлетворяет неравенству

|/(г,у)| < ф(г)|у|т, где т > 1,ф(г) - непрерывная положительная функция при г е 3 с нулевым обобщенным показателем Ляпунова относительно _(г). Тогда нулевое решение нелинейной системы (30) асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Доказательство. Из условия 1), 2) и 3) следуют, что все требования аналога теоремы Ляпунова для неограниченных систем дифференциальных уравнений [3, с. 859] выполняются, откуда следует утверждение. Следствие 8 доказано.

Список использованной литературы:

1. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л., 1949., 550 с.

2. Изобов Н.А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники (Мат. анализ). М., 1974. Т. 12. С. 71-146.

3. Алдибеков Т.М. // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. №6. С. 859-860.