CC BY
57
system (3) (and system (2)) with these control functions is reducible by some Lyapunov transformation to the system
^x\ _ (A(t) + XI S(t) \ fx
xj V 0 A(t) + nI) \x) ' (4)
Corollary 1. Suppose system (1) is uniformly completely controllable and uniformly
completely observable (when u _ 0). Then the closed-loop system is uniformly stabilizable.
Theorem 2. Suppose system, (1) is uniformly completely controllable and uniformly completely observable (when u _ 0). Let the coefficients of system (1) be periodic. Then for any numbers X, fi E R there exist periodic measurable bounded control functions U(t),V(t) and a bounded periodic matrix S(t) such that system (3) (and system (2)) with these control functions is reducible by some periodic Lyapunov transformation to the system (4).
C o r o l l a r y 2. Suppose system (1) is uniformly completely controllable and uniformly
completely observable (when u _ 0). Let the coefficients of system (1) be periodic. Then for any v > 0 there exist periodic measurable bounded control functions U(t),V(t) such that system (3) (and system (2)) with these control functions is reducible by some periodic Lyapunov transformation to the system with the constant matrix P whose eigenvalues Xi satisfy condition Re Xi < —v for all i _ 1,, 2n.
Zaitsev Vasily Alexandrovich Udmurtia State University Russia, Izhevsk e-mail: [email protected]
Поступила в редакцию 23 апреля 2007 г.
ОБ УСТОЙЧИВОМ ЧИСЛЕННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СИНЬОРИНИ С МОДИФИЦИРОВАННЫМ ФУНКЦИОНАЛОМ
ЛАГРАНЖА
© А. Я. Золотухин
Вариационная задача Синьорини имеет вид [1]
■](и) = 2 у \Уп\2(Ш — ! fudП-----------тіп (1)
п п
на выпуклом замкнутом множестве
О = {и Є Ш2,(П) : ^и ^ ф п. в. на Г}, (2)
где П С Я2 — ограниченная область с достаточно регулярной границей Г, f Є ^(П) и ф Є ^(Г) — заданные функции, 7и Є Ш^/2{Г) есть след функции и Є Ш^(П) на Г.
Здесь ф — заданное давление жидкости на границе (жидкость может втекать в Q, если и(х) ^ ф(х), и не может вытекать ни при каких условиях), f — поток жидкости в Q, и — искомое распределение давления.
Функционал J (и) не является строго коэрцитивным на множестве G и поэтому задача (1-2) может и не иметь решения. Если
У fdQ < 0, (3)
п
то J(v) ^ +ж, когда |М|^-1(п) ^ ж, v Е G и, следовательно, задача разрешима. Условие (3) обеспечивает и единственность решения. Предполагается, что условие (3) выполнено. Классический функционал Лагранжа имеет вид [2]
M(v, l) = J(v) — J Ijvdr = 1 J |Vu|2dQ — J fudQ — J IjvdT,
Г п п Г
V(v, l) Е W^(Q) x L2(r). (4)
Пусть (L2(r))+ — конус неотрицательных функций, интегрируемых с квадратом на Г.
Точка (v*,l*) Е WKQ) x ^2(Г) называется седловой точкой функционала M(v,l), если выполнено неравенство
M(v*,l) < M(v*,l*) < M(v, l*) V(v, l) Е W2, (Q) x (L2(Г))+.
Известно, что если решение задачи и* Синьорини в коэрцитивном случае принадлежит пространству W|(Q), то функционал Лагранжа (4) имеет единственную седловую точку (и*, дп), то есть v* = и* почти всюду в Q и l = dun почти всюду на Г, где n — единичный
вектор внешней нормали к Г. Аналогичный результат справедлив и для полукоэрцитивной
задачи (1). Можно последовательно показать, что
1) M(и*, l) < M(и*, дП) Vl Е ^(Г))+;
2) M(и*, ^ M (у, дП) Vv Е W2*(Q); неравенство верно, так как —Аи* = f в Q;
3) единственность седловой точки.
Применить метод Удзавы поиска седловой точки функционала M(v,l) в полукоэрци-тивном случае нельзя, так как сходимость итерационного процесса обеспечивается согласованием длины шага сдвига по двойственной переменной l с константой положительной определенности квадратичной формы минимизируемого функционала, но в полукоэрцитивной задаче (1) квадратичная форма a(v,v) = Jn |Vv|2dQ лишь неотрицательно определена. Это требует модифицировать функционал Лагранжа.
Модифицированный функционал Лагранжа L(v, l) на пространстве W21(Q) x L2^) определим так [3]:
L(v, l) = J(v) + 1 Г{[(l — r7v)+]2 — l2]dT,
где r > 0 — const, символ w+ означает max{w, 0}.
Функционал L(v,l) является выпуклым по v при фиксированном l и вогнутым по l при фиксированном v и дифференцируем по Гато по обоим переменным и для производных имеют место равенства
(VvL(v, l),h)= a(v, h) — (f, h) — j(l — r^v)+hdT Vh Е W^Q),
(ViL(v,l),d) = 1 /((l — r7v)+ — l)ddF Vd Е L2^),
r J Г
где
a(v, h) = / VvVhdQ, ( f, h) = / fhdQ.
пп
Рассмотрим для задачи Синьорини (1) метод Удзавы с модифицированным функционалом Лагранжа L(v,l).
Зададим произвольно начальную точку l0 Е W 1^2(Г), которая является следом на Г некоторой функции и0 Е W21(Q). Считая (ик,lk) известными, определяем
ик+1 = arg min L(v,lk);
vEW1 (П)
и затем определяем lk+1 = (lk — г^ик+1) +. Здесь r параметр сдвига по двойственной переменной. Для каждого к = 1, 2,... существуют точки ик и, если ик Е W2(Q), единственны. Последовательность {ик} сходится к решению задачи (1-2) [3].
Численная реализация метода осуществлена для прямоугольной области Q с использованием метода конечных элементов в сочетании с методом Ньютона второго порядка решения вспомогательных конечномерных задач.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Мир, 1980.
2. Гольштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа. М.: Наука, 1989.
3. Ву Г., Намм Р.В., Сачков С.А. Итерационный метод поиска седловой точки для полукоэрцитивной задачи Синьорини, основанный на модифицированном функционале Лагранжа // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. М., 2006. Т. 46, №1. С. 26-36.
Золотухин Анатолий Яковлевич Тульский государственный ун-т Россия, Тула e-mail: [email protected]
Поступила в редакцию 8 мая 2007 г.
УСТОЙЧИВОСТЬ БИФУРЦИРУЮЩИХ РЕШЕНИЙ ДИСКРЕТНЫХ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
© Л. С. Ибрагимова
Рассматривается дискретная система, описываемая уравнением
%к+1 = / (Хк ,Л), к = 0,1,2...,, (1)
где /(х, X) — зависящий от скалярного параметра Л оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н с нормой || • ||. Предполагается, что оператор /(х, X) является вполне непрерывным, причем выполнено тождество /(0, Л) = 0, то есть система (1) при всех значениях
