Метод множителей Лагранжа для решения задачи об одностороннем контакте упругих тел с ограниченной зоной контакта Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2016. Том 23, № 4

УДК 519.853

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОБ ОДНОСТОРОННЕМ КОНТАКТЕ УПРУГИХ ТЕЛ С ОГРАНИЧЕННОЙ ЗОНОЙ КОНТАКТА А. В. ^Кильцов

Аннотация. Рассматривается задача об одностороннем контакте двух упругих тел. Это статическая задача в перемещениях. Тела находятся под воздействием объемных и поверхностных сил, силы трения отсутствуют. Дано обоснование использования метода модифицированных функционалов Лагранжа. Приведены результаты численных расчетов.

Ключевые слова: контакт упругих тел, функционалы Лагранжа, метод конечных элементов, методы двойственности.

Введение

Важным приложением теории вариационных неравенств является задача об одностороннем контакте упругих тел. Один из простейших случаев этой задачи — контакт двух тел при отсутствии сил трения с ограниченной зоной контакта.

В статье рассматривается модель, в которой на границе контакта тел задано условие взаимного непроникновения берегов. Использование функционалов Лагранжа позволяет снять подобное ограничение. Однако в полукоэрцитивных задачах использование классического функционала Лагранжа не гарантирует сходимость известных методов поиска седловых точек. В данной работе исследуется модифицированный функционал Лагранжа, позволяющий построить алгоритм, сходящийся к седловой точке как по прямой, так и по двойственной переменной.

1. Описание модели

Пусть О', О'' С К2 — два плоских упругих тела с липшицевыми границами ВО', ВО'' (в дальнейшем один и два штриха соответствуют телам О' и О''). Границы тел разбиты на участки:

дп' = Тйит; игк, дп" = гь иц'иГк,

причем Ги и Гк имеют положительную меру.

© 2016 Жильцов А. В.

На тела действуют объемные силы F и поверхностные силы P, силы трения отсутствуют. Обозначим через uM = ,вектор перемещений (M =',''). Введем элементы тензора деформации

, , 1 (dui du7-= 2 fe +

и тензора напряжений aij = Cjkm6km [1]. Для компонент тензора упругости cijkm выполняется свойство симметрии cijkm = cjikm = Ckmij и существует константа со > 0 такая, что всюду в О = О' U О'' справедлива оценка

cijkmSij6km ^ c06ij6ij для любых 6ij .

Формулы (1)—(7) представляют краевую постановку задачи [2, 3]:

j + Fi = 0, в О, (1)

CTijnj = Pi на Гт = ГТ U ГТ', (2)

u' = 0 на Г„ С дО', (3)

< = ui'ni' = 0 на Го С дО'', (4) в зоне контакта Гк выполняется условие взаимного непроникновения

< + < < 0, < = а^' < 0, (5)

(< + < К = 0, (6)

а' = а'' = 0. (7)

Для записи вариационной формы задачи определяются пространства функций перемещений

Жк(О) = {v : v = (v',v'') G [Hk(О')]2 x [Нк(О'')]2},

возможных перемещений

V = {v G ЖХ(О) : v' = 0 на Г„X' = 0 на Го},

и допустимых перемещений

K = {v G V : < + vn < 0 на Гк}.

На множестве K необходимо найти минимум функционала энергии:

Jz?(» = -A(v, v) - FP(v) min, (8)

2 v£K

A(u, v) = J aij (u)6ij(v) ¿О, FP(v) = J Fivi ¿О + J Pivi ds. о о гт

Решение задачи (8) называется слабым решением (1)—(7). Каждое классическое решение является слабым решением. А если слабое решение достаточно гладкое, то оно и классическое [2].

где

2. Рассматриваемый случай и существование решения

Если одно из тел зафиксировано (условие (3)), то пространство жестких перемещений трехмерное:

К = {г "(О): 2 = (г',г''), 2' = 0, г'' = а/' - Ь''ж2, 4' = а2' + Ь''ж2}, (9)

где а/', а2', Ь'' € К'. Оно является ядром билинейной формы А(-, •).

В работе рассматривается случай, когда тела представляют собой прямоугольники со сторонами, параллельными координатным осям, Го — часть границы тела О'', параллельная Ож2.

ж2

Рис. 1. Расположение тел и их границ.

Для верхнего тела на Го вектор нормали п'' = (1, 0), так что г'П = 0 при любых Ж", ж2 € Го только в случае, когда а/' = Ь'' = 0. Таким образом,

К П V = {г € "(О) : г = (г', г''), г' = (0, 0), г'' = (0, а)}.

На Гк вектор нормали п2' = (0, -1), так что для у € К П К С V П К

Уп + Уп = а«2' — 0 на Гк ^^ а > 0.

В таком случае при выполнении условия

р2' ¿ж + Р2' ^ < 0

(10)

о г;'

будет справедливо следующее:

Уу € К П К РР(у) — 0, Уу € (К П К) \ {0} РР(у) < 0.

Таким образом, согласно теореме 2.4 из [2, с. 127] функционал .¿?(-) коэрци-тивен на К и существует единственное слабое решение задачи. В дальнейшем предполагаем, что условие разрешимости (10) выполняется и решение принадлежит пространству Ж2(О).

3. Модифицированная схема двойственности

Для решения задачи (8) мы применяем модифицированные функционалы Лагранжа. Этот метод двойственности позволяет снять ограничение «4+«« < 0, и вместо минимизации функционала на К в задаче (8) проводить мини-

мизацию на более широком пространстве V.

Обозначим Кт = {г € V : (г« + г«) < т на Гк}. Если функция т € ¿2(Гк) ограничена снизу на Гк, то соответствующее ей множество Кт непустое. Множество Кт может быть пустым, если т принадлежит ¿2(Гк) \ Ж1/2 (Гк) и не ограничена снизу на Гк [4].

Определим вспомогательный функционал •, •) соотношением

{-¿?(г) + / если Кт = 0,

если Кт = 0.

Тогда для I € (Ь2(Гк))+ классический функционал Лагранжа можно сформировать следующим образом:

£(г,0= 1п£ Кь(г,г,т) = + / + г«) ¿е.

теЬ2(Гк) 7

Гк

Теорема 1. Если решение и задачи (8) принадлежит Ж2(О), то классический функционал Лагранжа £(-, •) обладает седловой точкой (и, -с«) на V х (¿2(Гк))+, т. е.

¿(и, I) < ¿(и, -с«) < ¿(г, -с«) У(г, г) € V х ^(Гк))+.

Доказательство. Так как (и«+и«) < 0, с« < 0, (и«+и«)с„ = 0, получаем левую часть неравенства седловой точки:

1 I" 1

г) = и) - РР(и) + / 1{и'п + О сЬ < и) - РР(и)

Гк

= Т^М - РР(и) + I("<,)« + О = -<).

Гк

Чтобы показать выполнение правой части неравенства седловой точки, покажем неотрицательность разности

¿(г, -с«) - ¿(и, -с«) = .ВД — ^(и) ^(-с«)((г; + г«) - (и« + и«)) ^

Гк

= У (и)ект(г - и) ¿О - J Рг(«г - иг) ¿О - J Рг(«г - иг) ^

о О Гк

J + уп) - « + О) ^ + \ J - и)ект(у - и) сЙ1.

Гк

Здесь первые четыре слагаемых в сумме дают нуль, а пятое слагаемое неотрицательно. Таким образом, (и, —^П) — седловая точка классического функционала Лагранжа. □

Теперь определим функционал Км (•, •, •):

{Л? (у) + / 1т йв + | / то2 ¿в, если Кт ^ 0,

гк гк

если Кт = 0,

и построим модифицированный функционал Лагранжа

M(v,l)= inf K(v,l,m)= inf + (lm + ^-m2) ds\

теЬ2(Тк) m£L2(rK ): I J ^ 2 ' J

(«П +«П' )<m Гк

= + inf f ((I + rmf - I2) ds

2r шеЬ2(Гк):

(vn+vn )<тГк

= + ^ j(((l + r(v>n+v^))+f-l2)

Гк

где r = const > 0, (? + + 0)+ = max{0, ? + + )}.

Определение 1. Пара (v*,?*) G V x L2(rK) называется седловой точкой функционала M(•, •), если выполняется двустороннее неравенство

M(v*, l) < M(v*, ?*) < M(v, ?*) V(v, l) G V x L2(rK). Введем функционалы

M(Z) = inf M(v,l), M(v) = sup M(v,l).

veV ieb2(rK)

Если v G K, то выполняется условие (v^+v^) < 0 на Гк. Тогда Km(v, 0) = Jzf(v) для всех ? G Ь2(Гк) и, следовательно, можно точно сказать, что

M(v,?) = inf KM(v,1,m) <i?(v) Vv G K. теЬ2(Гк)

Тем самым

M(v) = sup M(v, I) < Jz?(t>) WveK. (11)

геЬ2(Гк)

Если (v^ + vn) < m, то

KM(v, 0, to) = if (v) + ^ J то2 ds.

Гк

Поэтому для всех v G V будет верно следующее:

г I 2

2 (Гк) гпЕЬ2(Гк ): I 2

M(v, 0) = inf KM(v,0,m)= inf 1 if (v) + - [ m2 ds 1

m£L2 (Гк) теЬ2(Гк ): I 2 J

mt

(«П +«П' )<m Гк

r

= + inf im2ds>^f{v),

2 m£¿2 ( Гк):

(«П+«П' )<тГк

так что

M(v) = sup M{v,l)>M{v,0)>Jf{v) \/vGV. (12)

ieL (IK)

Из (11) и (12) следует, что

M(v) = Jz?(v) Vv G K. (13)

Очевидно, что Km(v,7,m) > Kl(v,7,to), и тем самым M(v,7) > L(v,7) V7 G (Ь2(Гк))+.

Тогда M(v) > L(v), где L(v) = sup L(v,l).

ie(L2 (IK)) +

Если v G K, то

L(v) = sup L(v,l) = + oo. (14)

ге(Ь2(Гк)) +

Из (13) и (14) следует, что

— f Jzf(v), если v G K,

M(v) = + ' (15)

[ если v G K.

Поэтому, используя модифицированный функционал Лагранжа, можно исходную задачу представить в виде

M(v) ^ min, (16)

vey

а двойственную задачу — в виде

М{1) тах . (17)

1еь2{ гк)

На ¿2(Гк) определим функционал чувствительности

{Ш если Кт = 0,

если Кт = 0.

Этот функционал является выпуклым на (АэшПо определению х(0) =

«ек

Теорема 2. Функционал чувствительности%(•) является слабо полунепрерывным снизу функционалом на ¿2(Гк).

Доказательство. По аналогии с [4,5]. □ Функционал для М(-) имеет два представления [7]

М{1) = j|f {-ВД + Yrj W + « + <))+)2 - ^ ds}

Гк

'')) + ) 2 - 72) k (18)

М(1)= т^ ^ |х(т) + J 1т ¿в + ^ ! то2^|. (19)

Гк Гк

Первое используется непосредственно в алгоритме поиска седловой точки, а второе необходимо для доказательства представленных далее теорем.

Теорема 3. Точка (г>*, 1*) тогда и только тогда является седловой точкой модифицированного функционала Лагранжа М(•, •), когда V* — решение исходной задачи (8) и для всех т € Ь2(Гк) выполняется неравенство

x(m) + Ji*mds + r-Jm*ds>x( 0).

Гк Гк

Доказательство. Предположим, что (V*, 1*) — седловая точка М(•, •). Это значит, что выполняется двустороннее неравенство

Тогда

M(v*, 1) < M(v*, 1*) < M(v, 1*) V(v, 1) G V x L2(rK).

sup M(v*,1) = M(v*,1*)=inf M(v,1*), геЬ2(Гк) veV

M(v*) = M(l*). (20)

Кроме того, из определения М(-) и М(-) ясно, что

inf M(v) > sup М{1). (21)

v€V ieb2(rK)

Из (20) и (21) следует, что v* — решение (16), а 1* — решение (17). Из (15) теперь следует, что v* — решение задачи (8). Можно записать такую цепочку равенств:

М(Г) = M(v*) = х(0),

которая означает, что

М(Г) = infr )|x(m)+ J l*mds + ^ J m2ds^j = x(0),

Гк Гк

x(m) + J l*mds + - J m2 ds > x(0) Vto G L2(Ik).

Гк Гк

Теперь предположим, что v* = u есть решение задачи (8) и выполняется неравенство

X(m)+J l*mds + ^ J m2ds>x(0) Vm£L2{TK). (22)

Гк Гк

Согласно (19)

M(l) = inf < y(m) + / Imds -\— / m2(is>.

™еь2(гк) 1AV J 2 J J

Гк Гк

Вместе с (22) это дает

M(l* ) > x(0) = M(u).

Так как M{v) > A£(Z) Vv G V, VI G Ь2(ТК), получаем M_(l*) = М{и), или

inf M(v,Z*) = sup M(u,Z).

veV геЬ2(Гк)

Очевидно, что для M(u, Z*) выполняется двойное неравенство

inf M(v,Z*) < M(u,Z*) < sup M(u,Z), veV геЬ2(Гк)

тем самым (по предположению v* = u)

inf M(v,Z*) = M(u,Z*) = sup M(v*,Z), veV геЬ2(Гк)

Это приводит нас к неравенству седловой точки

M (v*, Z) < M (u, Z*) < M (v, Z*) V(v, Z) G V x L2(rK). □

Теорема 4. Пусть u G Jf 2(0). Тогда (u, —стП) — седловая точка модифицированного функционала Лагранжа M(•, •). Доказательство. По теореме 1

L(u, Z) < L(u, — <) < L(v, — <) V(v, Z) G V x ^(Гк))+.

Это означает, что

sup L(u,Z) = L(u, —<)=inf L(v, — стП) V(v, Z) G V x ^(Гк))+.

ге(Ь2(Гк))+ veV

L(u) = L(u, -<r'n) = L(-<j'n).

Имеем

L(u) = sup (i?(u) + f Z(< + <) dsl = J^(u) = x(0), ге(Ь2(Гк))+ I 7 J

Гк

—= inf—О = inf if ч—^ m)

vev «еУтеь2(Гк)

inf inf KL(v, —^n,TO)=inf inf < Jzf (v) + / (—o^mdsf

m v m I 7 J

(«П+-0<т Гк

= if x(m) + J (—o^mds j.

(m) + J (—on )m Гк

Из написанного следует, что

x(0) = im^ x(m)+У(—1

Гк

x(m) + J(—-Omds > x(0) Vm G ^(Гк).

На основании того, что

х(т) + !{-(т'п)т<1з + ^ J то2 > х{т) + ^{-(т'п)т<1з > х(0),

I I г^1

2

Гк Гк Гк

и теоремы 3 делаем вывод, что (и, — о^) — седловая точка модифицированного функционала Лагранжа М(•, •). □

Рассмотрим функционал, построенный при фиксированном I е ¿2(Гк)

р (то) = х(то) + J 1т йв + — J то2 йв, г > 0 — сопэ! .

г 2

Гк Гк

Благодаря третьему слагаемому этот функционал сильно выпуклый, а с учетом теоремы 2 он еще и слабо полунепрерывный в Ь2(Гк).

Так как %(•) слабо полунепрерывный снизу в Ь2(Гк), его надграфик ер1% есть выпуклое замкнутое множество в Ь2(Гк) х К, К = (—те, +те). По теореме отделимости существуют такие а е Ь2(7) и а е М, что

J ато ¿в + х(то) + а > 0 Уто е

Гк

Следовательно, для функционала р(•) справедлива оценка

р (то) > — J ато сЬ + J 1т йв + — J то2 ¿в — а Уто (Е Ь2 (Гд-). Гк Гк Гк

Поэтому р(то) —> +те при ||то||о,гк —> те, т. е. р(•) коэрцитивен в Ь2(Гк).

Из слабой полунепрерывности снизу и коэрцитивности р(^) следует существование элемента то(?) = argшin р(то). Сильная выпуклость р(^) на doшх

теЬ2(Гк)

обеспечивает единственность элемента то(?) для любого I

Теорема 5. Двойственный функционал М(-) непрерывен в Ь2(Г^)-Доказательство. Для любого то е domх сильная выпуклость Р(^) дает

х(то(г)) + + ^ Ут2(г)сг5 + ^||то-то(г)||^гк

Гк Гк

< х(то) + J lmds + — J то2 ¿е.

Гк Гк

Возьмем два произвольных элемента е Ь2(Гк), и пусть тох = то(?х),

то2 = m(l2). Из последнего неравенства следует, что

r f о , r

x(mi) + J hm1ds + ^ J то2 ds + ^||то2 - toiHq,^

гк гк

< х(то2) + J hm2 ds + - J to| ds,

гк гк

Х(то2) + J hm2ds + ^ J m22ds+r^\\mi-m2\\l^K

гк гк

< x(TOi) + J hmids + - J m2 ds.

(23)

2

Гк Гк

Складывая неравенства (23), получаем неравенство

r||mi - то2У2,Гк < J(li - l2)(m2 - mi) ds,

гк

которое дает оценку

|mi - "ггЦо.г^ < - г2||0,г^. (24)

r

Из неравенств (23) также получается соотношение

J 12{т2 - mi) ds + - J (то| - то2) ds < x(TOi) — х(тог)

< J h(m2 — toi) ds + — J(toJ — то2) ds.

гк гк

r 2

гк гк

Перейдем в этом соотношении к пределу при l2 —> ll в Ь2(Гк). С учетом (24) получаем

lim х(то2) = x(TOi)-¡2 ^¡1

Отсюда делаем вывод о том, что функционал М(-) непрерывен в Ь2(Гк). П

Теорема 6. Двойственный функционал М(-) дифференцируем по Гато в L2(Tk) и его производная VM(-) удовлетворяет условию Липшица с константой 1/r, т. е.

\\VM(h) - VM(l2)\\0irK < -\\h-h\\o,rK Vh,h G L2(Tk).

r

Доказательство. Из непрерывности вогнутого функционала М(-) следует его субдифференцируемость. Пусть t £ dM(l) — некоторый субдифференциал для l £ Ь2(Гк). Тогда для любого £ £ Ь2(Гк) справедливо соотношение

М(0 +

из которого получаем неравенство

m(t))+ I tm[t) as + Г- I m2(f)ds

XM0) + J iMS,)ds+r- Jm2(0<

IK Гк

<XH0) + J lm{l)ds+r- J m2(l)ds + (t,Z-l)o,rK

Гк Гк

<X(m(0) + Jlm(£)ds + ^ Jm2(Z)ds + (t,£-l)o,rK-

2

Гк Гк

Из этих неравенств следует, что

У т(с)(с — г) ¿в < (¿,с — г)о,Гк УС е ¿2(гх).

Гк

Для произвольных Л е Ь2(Гк) и в > 0 положим С = I + вЛ. Тогда последнее неравенство запишется в виде

J т(1 + вМЫз < (^¡)о,гк УЛ. е ¿2(Гк). Гк

Устремляя в к нулю и учитывая (24), получаем

У m(l)hds < (£,Мо,гк Vh £ ),

Гк

следовательно,

У m(l)hds = (t,h)o,rK Vh £ Ь2(Гк).

Гк

В силу единственности элемента m(l) для любого l £ Ь2(Гк) из полученного равенства следует, что функционал М(-) дифференцируем по Гато в причем VM(l) = t = т(1). Неравенство (24) дает константу Липшица, завершая доказательство теоремы. □

Вычисление М_(1) само по себе требует решения экстремальной задачи. Но поскольку градиент функционала М(-) Липшиц-непрерывен, для решения двойственной задачи (17) можно использовать градиентный метод

lk+1 = 1к+вкУМ(1к), к = 0,1,2,..., (25)

с любым начальным l0 £ Ь2(Гк), шагом £ [в, 2r — в] при в £ (0, r] и градиентом

г

<1 XV'"-) + / 1к~

2(Гк )

VM_{lk) = argmin < х(то) + / lkmds + ^~ / m2(isl.

шеь2(Гк) I 7 2 7 J

Гк Гк

Теорема 7. Для алгоритма (25) выполняется предельное равенство lim \\VM(lk)\\L2(rK]=0.

Доказательство аналогично [8, c. 31]. □

Алгоритм (25) можно переписать следующим образом [5,7]:

(г) uk+1 = arg min + 1 J(((lk + r(v'n + v^))+f - (lk)2)

Гк

(ü) lk+1 = lk + r max |« + <)fe+1, -j J.

Алгоритм (26) сходится по функционалу, т. е.

lim Jz?(uk) = min Jz?(v).

k—vGK

С одной стороны, слабая полунепрерывность хО) обеспечивает выполнение неравенства

lim \x{m{lk))+ f lkm{lk)ds + r- i m2{lk)ds\ = lim x{m{lk)) > x(0) = Jäf(u*).

k—к J 2 J ) k—

Гк Гк

С другой стороны,

r

Гк Гк

= inf i у(то) +/ lkmds + - m2 ds \ < y(0), /г = 0,1, 2,....

™еЬ2(Гк) Г" J 2 J J"M

Гк Гк

Отсюда получается неравенство

Jim |x(TO(Zfe)) + j lkm{lk)ds+r- J m2(lk)dsj < x(0).

Гк Гк

Следовательно, существует предел

Jim jx(m(Zfc)) + J lkm{lk)ds+r- J m2(lk)ds^ = X(0) = Jf(u*).

Гк Гк

Из теоремы 7 теперь следует, что

lim J^(uk) = lim x(m(lk)) = x(0) = -S?(u*).

k—k—

В предположении, что решение u* задачи (8) обладает H2(0)-гладкостью, можно доказать [4], что метод (26) сходится к единственной седловой точке (u*, —функционала Лагранжа.

4. Численный эксперимент

В проведенных расчетах О является единичным квадратом, состоящим из двух одинаковых прямоугольников (рис. 2). Правая стенка О'' может перемещаться только в вертикальном направлении (Го = {(ж, у) : х = 1, 0.5 < у < 1}). На левую треть верхней стороны тела О'' воздействует сила Р2 = -60. Объемные силы отсутствуют. Модуль упругости Е = 73 • 103, коэффициент Пуассона М = 0, 34.

7777777777

Рис. 2. Распределение поверхностной силы P^'.

В таком случае условие разрешимости (10) выполняется.

Алгоритм поиска седловой точки (26) реализуется в виде двух циклов. Во внутреннем осуществляется шаг (i), на котором ищется минимум функционала Лагранжа на всем множестве V при фиксированном В данной работе для этого используется метод покоординатного спуска. Во внешнем цикле осуществляется шаг (ii), где происходит уточнение двойственной переменной.

1 repeat

2 repeat

uk+1 = argmin{jz?(f) + £ / (((lk + r(v'n + <))+)2 - (lkf) ds};

vev Гк

until max Kk+1 - uk | < 10-6 • e • h;

i

lk+1 = lk+r max {« + <)fe+1, -£}; k+1

6 until max |Zk+1 - |< e;

i i i

Для моделирования используется метод конечных элементов. Для конечномерного случая можно доказать теоремы, аналогичные приведенным выше [9]. В этом алгоритме ui и li — вектор перемещения и двойственная переменная в ¿-м узле триангуляции.

При e = 10-5 и шаге триангуляции h = 1/50 была проведена серия расчетов для разных значений параметра метода r. Результаты представлены в табл. 1. Как видно, при больших значениях r метод позволяет уменьшить число итераций по двойственной переменной.

Таблица 1. Зависимость числа итераций от параметра r

Параметр г Внутренние итерации Внешние итерации Время (сек.)

108 66534 4 104

109 56891 3 93

Ю10 52201 3 81

1011 48466 3 75

1012 48042 3 74

$.7 0.72 0.74 0.76 0.78 0.8 0.82 0.84 0.86 0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1

Рис. 3. Вид зоны контакта Тк в месте расхождения тел (при h = 25o)-

На небольшом участке [0.715, 0.990] С Гк тела разошлись. Вид зоны контакта в месте расхождения показан на рис. 3, сделанном для шага триангуляции h = 2бо-

Для решения задачи о контакте двух упругих тел можно использовать метод Зейделя с проектированием. При таких же параметрах (критерии остановки счета, шаге триангуляции h, точности е) этот метод решает задачу за 48000 итераций (76 секунд).

Заключение

Известные итерационные методы поиска седловой точки, основанные на классическом функционале Лагранжа, не гарантируют сходимость, если ядро билинейной формы функционала энергии не является тривиальным. В статье дано обоснование использования метода Удзавы с модифицированным функци-

оналом Лагранжа для решения задачи о контакте двух тел и доказана сходимость по прямой и по двойственной переменной.

Численные расчеты показали, что рассмотренный метод дает решение за то же время, что и метод точечной релаксации с проектированием. Преимуществом метода Удзавы является то, что одновременно находится и значение двойственной переменной, что можно использовать в аналогичных задачах, учитывающих трение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике М.: Наука, 1980.

2. Главачек И., Гаслингер Я., Нечас И. Решение вариационных неравенств в механике. М.: Мир, 1986.

3. Кустова В. И. Метод решения контактной задачи теории упругости с ограниченной зоной контакта // Оптимизация. 1985. Т. 53, № 36. С. 31-48.

4. Вихтенко Э. М., Ву Г. С. Намм Р. В. Методы решения полукоэрцитивных вариационных неравенств механики на основе модифицированных функционалов Лагранжа // Даль-невост. мат. журн. 2014. Т. 14, № 1. С. 6-17.

5. Ж^ильцов А. В., Намм Р. В. Метод множителей Лагранжа для решения модельной задачи с трещиной // Мат. заметки СВФУ. 2015. Т. 22, № 1. С. 93-103.

6. Вихтенко Э. М., Намм Р. В. Схема двойственности для решения полукоэрцитивной задачи Синьорини с трением // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2007. Т. 47, № 12. С. 2023-2036.

7. Вихтенко Э. М., Ву Г. С., Намм Р. В. О сходимости метода Удзавы с модифицированным функционалом Лагранжа в вариационных неравенствах механики // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2010. Т. 10, № 8. С. 1357-1366.

8. Поляк Б. Т. Введение в оптимизация. М.: Наука, 1983.

9. Ж^ильцов А. В., Намм Р. В. Метод множителей Лагранжа в задаче конечномерного выпуклого программирования // Дальневост. мат. журн. 2015. Т. 15, № 1. С. 53-60.

Статья поступила 18 августа 2016 г.

Жильцов Александр Владимирович Дальневосточный гос. университет путей сообщения, ул. Серышева, 47, Хабаровск 680021 egrevid@gmail.сот

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2016. Том 23, № 4

UDC 519.853

MODIFIED DUALITY SCHEME FOR NUMERICAL SIMULATION OF THE CONTACT BETWEEN ELASTIC BODIES A. V. Zhiltsov

Abstract. We consider the problem of unilateral contact of two elastic bodies, a static problem in displacements. Bodies are influenced by volume and surface forces, while frictional forces are absent. Justification of use of the modified Lagrangian functionals method is given. We provide the results of numerical calculations.

Keywords: Lagrangian functional, finite element method, duality scheme, elastic contact.

REFERENCES

1. Duvaut G. and Lions J. L., Inequalities in Mechanics and Physics, Springer-Verl., Berlin, Heidelberg (1976). (Grundlehren Math. Wiss.; V. 219).

2. HlävaCek I., Haslinger J., Necas J., and Lovisek J. Solution of Variational Inequalities in Mechanics, Springer-Verl., New York (1988). (Appl. Math. Sci.; V. 66).

3. Kustova V. I. "A method for the solution of the contact problem with weakly coercive operator," Optimizatsiya, 36, No. 53, 31-48 (1985).

4. Vikhtenko E. M., Woo G. S., and Namm R. V. "The methods for solution semi-coercive variational inequalities of mechanics on the basis of modified Lagrangian functionals," Dal'ne-vost. Mat. Zh., 14, No. 1, 6-17 (2014).

5. Zhiltsov A. V. and Namm R. V. "Lagrange multiplier method for solving a model problem with a crack," Mat. Zamet. SVFU, 22, No. 1, 93-103 (2015).

6. Vikhtenko E. M. and Namm R. V. "Duality scheme for solving the semicoercive Signorini problem with friction," Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 47, No. 12, 2023-2036 (2007).

7. Vikhtenko E. M., Woo G. S., and Namm R. V. "On the convergence of the Uzawa method with a modified Lagrangian functional for variational inequalities in mechanics," Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 10, No. 8, 1357-1366 (2010).

8. Polyak B. T., Introduction to Optimization [in Russian], Nauka, Moscow (1983).

9. Zhiltsov A. V. and Namm R. V. "The Lagrange multiplier method in the finite convex programming problem," Dal'nevost. Mat. Zh., 15, No. 1, 53-60 (2015).

SSubmitted August 18, 2016

Zhiltsov Alexander Vladimirovich Far Eastern State Transport University, 47 Seryshev Street, Khabarovsk 680021, Russia egrevid@gmail.com

© 2016 A. V. Zhiltsov