CC BY
19
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Д. И. БОРИСОВ
ОБ УСРЕДНЕНИИ ОПЕРАТОРА ШРЁДИНГЕРА В ПОЛОСЕ С БЫСТРО МЕНЯЮЩИМСЯ ТИПОМ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ*
Рассматривается плоский квантовый волновод с быстро меняющимся типом краевых условий. Волновод моделируется плоской полосой, на нижней стороне которой задается частая смена краевых условий Дирихле и Неймана. В качестве оператора берется Лапласиан с вещественным потенциалом. Изучается случай, когда усредненный оператор содержит краевое условие Дирихле вместо частой смены в возмущенной задаче. Доказана равномерная резольвентная сходимость возмущенного оператора к усредненному и получены оценки скорости сходимости.
Ключевые слова: усреднение, волновод, скорость сходимости.
1. Постановка задачи и формулировка основного результата
В настоящее время задачи, возникающие на стыке теории усреднения и спектральной теории неограниченных операторов, стали привлекать внимание математиков. В первую очередь это связано с сериями работ М. Ш. Бирмана,
С. Е. Пастуховой, Т. А. Суслиной и В. В. Жикова, см., например, [1-3] и дальнейшие работы этих авторов. Здесь рассматривались операторы с быстро осциллирующими коэффициентами. Было показано, что для них верна равномерная резольвентная сходимость к усредненному оператору. Более того, использование различных корректоров позволяет либо улучшить скорость сходимости, либо усилить норму, в которой доказывается сходимость. Как продолжение данных работ можно рассматривать статьи [4-7]. Здесь рассматривался плоский волновод с частой сменой краевых условий. Волновод моделировался плоской прямой бесконечной полосой, на нижней стороне которой задавалась частая периодическая смена краевых условий Дирихле и Неймана. В качестве оператора выбирался Лапласиан. Рассматривались случаи, когда усреднение приводит к краевому условию Дирихле или Неймана на нижней границе волновода. Была доказана равномерная резольвентная сходимость и получены оценки скорости сходимости. В случае усредненного краевого условия Неймана использовался специальный граничный корректор, который также позволял либо улучшить скорости сходимости, либо усилить норму для рассматриваемой разности резольвент. В случае усредненного краевого условия Дирихле использование корректора не требовалось. Кроме того, были получены двучленные асимптотики первых зонных функ-
* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ, грантов Президента России для молодых ученых — докторов наук (МД - 453.2010.1) и поддержки ведущих научных школ (НШ - 6249.2010.1) и Федеральной целевой программы «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» (02.740.110612).
ций возмущенного оператора и построено полное асимптотическое разложение нижнего края зонного спектра.
Цель настоящей работы — показать, что результаты работ [4-7] удается перенести и на случай операторов более общего вида. А именно, в настоящей работе в качестве оператора выбирается Лапласиан с вещественным потенциалом. Мы рассматриваем более простой случай усредненного условия Дирихле и останавливаемся только на доказательстве равномерной резольвентной сходимости и получении оценок скорости сходимости. Анализ поведения спектра, аналогичный проведенному в работах [4-7], также возможен в рамках подхода. Мы на нем останавливаться не будем.
Переходим к постановке задачи. Пусть х = (хі, х2) — декартовы координаты в К2, П — полуполоса {х : 0 < х2 < п} ширины п, є — малый положительный параметр, п = п(є) — некоторая заданная функция со значениями в (0,п/2). Предполагается, что
є 1п п ^ 0, є ^ +0. (1)
Нижнюю границу полосы П разобьем на два подмножества:
1є := {х : |хі - єп? | < єп, х2 = 0}, Г£ := \ (2)
Через V = V(х) обозначим некоторую заданную вещественную функцию из Lж (П). Еще положим Г := {х : х2 = ^}.
В работе рассматривается оператор Шрёдингера
-Д + V
в полосе П. На Г и 7Є ставится краевое условие Дирихле, а на Г£ — краевое условие Неймана. Обозначим такой оператор через Н£. Строго определим его как самосопряженный оператор, соответствующий симметричной полуторалинейной полуограниченной снизу форме
&є(и,а) = (Уи, У^)ь2(п) + (V«, ^)^2(п) на ^(П, Г и 7е). (3)
Здесь ^21(П, 5) — подпространство функций из ^21(П), обращающихся в нуль на многообразии Б, лежащих в замыкании области П.
Для формулировки основного результата нужно еще ввести усредненный оператор. Его определим как оператор
-Д + V
в П с краевым условием Дирихле всюду на дП. Обозначим его через Н0 и строго определим как самосопряженный оператор, соответствующий симметричной полуторалинейной полуограниченной форме
^о(м,^) = (Ум, У^)Ь2(п) + (V« ^)^2(п) на ^(П^П). (4)
Через || • ||х^у обозначим норму оператора, действующего из банахова пространства X в банахово пространство У.
Наш основной результат выглядит следующим образом.
Теорема. Справедлива оценка
1/4
||(Нє + І) 1 — (Но + І) 1|Ь2(П)^Ж21(П) ^ ^8сіС2 ^ 3 + ~) є| 1пвІп п(є)|
Сі := 1 + |^||^^(П), С2 := (2 + |^¡¿2(П))2-
2. Резольвентная сходимость
В настоящем параграфе мы доказываем наш основной результат.
Пусть / — произвольная функция из ¿2(П). Положим м£ := (Н£ + 1)-1/. Функция м£ удовлетворяет равенству
^£(и£,ф)+1(и£,ф)ь2(п) = (/, Ф)Ь2(П) (5)
для всех ф £ РУ2 (П, Г и 7е). Положим ф = м£ и возьмем мнимую часть от полученного равенства:
(КН^П) = ^е (/,ив)Ь2(П) ^ ||/^(П^М^Щ),
||иеН^2(П) ^ ||/||ь2(П)- (6)
Вычислим теперь реальную часть от равенства (5) и учтем (3) и последнее неравенство. Тогда получим
Н^2(П) ^ 11/11^2(П^Ы^Щ) + 11^|к»(П)|| ^Н^П), (7)
||^£||^2(П) ^ 1 + ||^1к^(п)||/||^2(П)- (8)
Аналогично удается оценить и нормы усредненного решения и0 := (Но + 1)-1/:
||и0|Ь2(П) ^ ||/11^2(П), 11^^и0 ||¿2(П) ^ 1 + ||^||ь^(П) ||/||ь2(П)- (9)
Далее нам понадобится специальная вспомогательная функция, которая учитывает микроструктуру множеств 7£ и Г£, то есть микроструктуру чередующихся краевых условий. Определим эту функцию.
Обозначим £ = (£1 ,£2) = же-1, £ = £1 +1£2 и введем функцию
X = X(£, п) = 1п ^Іп г + ^віп2 г — віп2 п^ — £2,
(10)
где ветви корня и логарифма выбираются из условий 1п 1 = 0, \/Т = 1. Эта функция была введена в [8]. Там же было показано, что она гармонична в полуплоскости £2 > 0, четна и п-периодична по £1, экспоненциально убывает при £2 ^ +то и удовлетворяет краевым условиям
дХ
X = 1пвіп п на 7п, —— = —1 на Гп, (11)
д£2
где
7п := {£ : |£1 - пт| < п, т £ £2 = 0}, Гп := \ ^.
Функция Х непрерывна в полуплоскости {£ : £ ^ 0} и удовлетворяет оценке
|Х| ^ 11пвтп| (12)
равномерно по £. Последняя была доказана в [7] на основе принципа максимума для гармонических функций.
В силу [7, лемма 3.2] функция X является элементом пространства (П, Г и 7е). Возьмем ее в качестве тестовой в (5), то есть положим там ф = и£Х:
^£(и£,и£Х )+1(и£,и£Х )Ь2(П) (/) и£Х )Ь2 (П) )
(Уи£ ,ХУи£)^2(П) + (Уи£,и£уХ )ь2(П) + (^и£, и£)ь2(П)+ (13)
+ 1(и£,и£Х )ь2(П) = (/, и£Х ) ¿2 (П) •
Проинтегрируем по частям с учетом описанных свойств функции Х:
Ке(Уи£,и£УХ)ь2(П) =2 У УХ ' (и£Уй£ + й£Уи£) = 2> J УХ ■ У|и£|2 =
П П
= - 1 У |ад£|2- У КР^Х^ж = 2; У КР аж1.
г£ п г£
Учтем полученное равенство и возьмем реальную часть от (13):
(У«£,ХУ«£)ь2(П) + (^«£, «£)ь2(П) + 2; 11М£ 1112(Гг) = Ке (/, ^Х)ь2(П).
Отсюда в силу (12), (6), (8) выводим 1
; Пи£ПЬ2(г£)
^ 2(1 + 11^|ь»(п))| 1пй1пП(е)|11/11¿2(п)
2Г 1|и£|¿2(Ге) ^ Ке(/,«£Х)ь2(п) + |(Уи£,ХУ«£)ь2(п)| + (^«£,«£)ь2(п) ^
(Ы^г^) ^ С^1^ 1пй1пп(е)|1/2|/||Ь2(П), С1 2(]. + ||У||^(П)) • (14)
Обозначим г>£ := и£ — и0 и оценим норму этой функции. Она принадлежит пространству РУ^П, Г и 7£) и является обобщенным решением задачи
—Д^£ + Уг>£ + ш£ = 0 в П,
^ 5^£ 5м0 ^
^£ = 0 на Г и 7£, 77— = --— на Г£.
дж2 дж2
Умножим уравнение в этой задаче на г£ и проинтегрируем по частям: д^
У ^дХ2 ^ + ^Уге^^2(п) + (^гв,гв)ь2(П) +1|Ы1ь2(п) = 0,
г£
С д' г£дж^ ^Х1 + |Уге|^2(п) + (^гв,гв)Ь2(П) + ^КН^п) = 0
,2 . т [- д-0
1 ^ Тт —
1^2 (П)
'дж2
д-0
дж2
¿2(Г_)
(15)
(16)
^еЦ^п) = Ие I V
ед—0 аЖ - (Уг£,г£)^2(П) =
2
дж _ д-0
Ие / -е^— ¿Х1 - (^г£,г£)Ь2(п),
дж2 д-0
дж2
¿2(Г_)
+ II ^ Ць^(П) ||геУь2(П)
<
<
(! + 11^1к»(п)) ||-£|Ь2(г£
д-0
дж2
Согласно [7, неравенство 3.18] выполнена оценка
д-0
дж2
(ж1, 0)
д2-0
дж2
(жъ ■)
¿2 (0,п)
+
д-0
Интегрируя ее по ж1 € К, получаем неравенство
д-0
дж2
2 /п
д2-0
дж2
¿2(П)
+
дж2
д-0
¿2(Г-)
(х1, •)
(17)
¿2(0,п)
дж2
¿2(П)
(18)
Аналогично доказательству леммы 7.1 в [9, гл. 3, §7] несложно установить равенство
д2-0 2 д 2-0 2 0 д
+ ¿2(П) + 2 ¿2(П)
дж1 дж2 дж1дж2
2
¿2(П)
+ Шо — ^-о|||2(П),
откуда и из (9) следует д2-0
дж2
¿2(П)
^ II/ + 1-0 - ^-0^Ь2(П) ^ (2 + II V ||ь^(П))|/||Ь2(П).
Из последней оценки, (18) и (9) теперь выводим
д-0
дж
¿2(Г-)
2 II / ||Ь»(П),
М2г
8п 2
\ 1/2
Ь»(П) + -3 +
V
£
2
2
2
2
2
2
2
Полученную оценку и (14) подставим в (16), (17):
К1И2(п) ^ ^1/2!lnsinп(е)Г/2с1с2||/|Ц2(п}>
l|Vve|i2(n) ^ ^ lnsin П(е)|1/2(1 + II V ||L»(n))C1C2|/11L2 (П) *
Отсюда уже вытекает утверждение теоремы.
Список литературы
1. Бирман, М. Ш!. Усреднение периодических дифференциальных операторов с учетом корректора. приближение решений в классе Соболева H 1(Rd) / М. Ш. Бирман, Т. А. Суслина // Алгебра и анализ. — 2006. — Т. 18, № 6. —С. 1-130.
2. Ж!иков, В. В. О некоторых оценках из теории усреднения / В. В. Жиков // Докл. РАН. — 2006. — Т. 406, № 5. — С. 597-601.
3. Пастухова, С. Е. О некоторых оценках из усреднения задач теории упругости /
C. Е. Пастухова // Докл. РАН. — 2006. — Т. 406, № 5. — С. 604-608.
4. Borisov, D. Homogenization and asymptotics for a waveguide with an infinite number of closely located small windows / D. Borisov, R. Bunoiu, G. Cardone // J. Math. Sci. — 2011. — Vol. 176, № 6. — P. 774-785.
5. Borisov, D. On a waveguide with frequently alternating boundary conditions: homogenized Neumann condition / D. Borisov, R. Bunoiu, G. Cardone // Ann. H. Poincare. — 2011. — Vol. 11, № 8. — P. 1591-1627.
6. Borisov, D. On a waveguide with an infinite number of small windows /
D. Borisov, R. Bunoiu, G. Cardone // C.R. Mathematique. — 2011. — Vol. 349, № 12. — P. 53-56.
7. Borisov, D. Homogenization of the planar waveguide with frequently alternating boundary conditions / D. Borisov, G. Cardone // J. Phys. A. — 2009. — Vol. 42, № 36. — id365205 (21pp).
8. Гадыльшин, Р. Р. Об асимптотике собственных значений для периодически закрепленной мембраны / Р. Р. Гадыльшин // Алгебра и анализ. — 1998. — Т. 10, № 1. — С. 3-19.
9. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. М. : Наука, 1973.
