CC BY
39
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 1 (2014). С. 30-58.
УДК 517.9
ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР ТОНКОГО РТ-СИММЕТРИЧНОГО волновода
Д.И. БОРИСОВ
Аннотация. В тонком многомерном слое рассматривается дифференциальный РТ-симметричный оператор второго оператора. Оператор имеет достаточно общий вид, его коэффициенты - произвольные функции, зависящие как от медленных, так и от быстрой переменных. РТ-симметричность оператора обеспечивается путем введения краевых условий третьего типа с чисто мнимым коэффициентом. В работе определяется вид предельного оператора, доказывается равномерная резольвентная сходимость возмущённого оператора к предельному и выводятся неулучшаемые по порядку оценки скорости сходимости. Установлена сходимость спектра возмущённого оператора к спектру предельного. Для возмущённых собственных значений, сходящихся к предельным изолированных собственным значениям конечной кратности, доказана их вещественность и построены полные асимптотические разложения. Также получены полные асимптотические разложения для соответствующих собственных функций.
Ключевые слова: РТ-симметричный оператор, тонкая область, равномерная резольвентная сходимость, оценки скорости сходимости, спектр, асимптотические разложения.
Mathematics Subject Classification: 35P05, 35B25, 35C20
1. Введение
В конце прошлого века возникло новое направлении в математической физике -РТ-симметричные операторы. Таким термином обычно обозначают дифференциальные (или более общие) операторы, коммутирующие с композицией РТ, где Т - операция взятия комплексного сопряжения, (Тu)(x) = u(x), а Р - обычно некоторый оператор, описывающий симметричное преобразование по пространственной переменной, скажем, (Рu)(x) = u(—x). Такие операторы обычно являются несамосопряжёнными, и основной интерес связан с их различными спектральными свойствами. Одни из первых пионерских работ, с которых началось бурное исследование РТ-симметричных операторов - это статьи [1]—[9], см. также обзор [10], а также списки литературы в цитированных работах.
Одно из наиболее интересных свойств РТ-симметричных операторов связано с тем, что они могут обладать вещественным спектром, что несёт потенциальную возможность дать квантово-механическую интерпретацию этим оператором. В частности, был обнаружен ряд примеров РТ -симметричных операторов с вещественными спектрами, см., например, [11]—[18]. Следует подчеркнуть, что достаточно большая часть исследований была посвящена случаю оператора Шрёдингера с РТ -симметричным потенциалом.
Более сложная модель РТ -симметричного оператора, в которой РТ -симметричность была обусловлена граничными условиями, а не дифференциальным выражением, была
D.I. Borisov, Discrete spectrum of thin РТ-symmetric waveguide.
© Борисов Д.И. 2014.
Работа частично поддержана грантом РФФИ, грантом Президента РФ для молодых ученых-докторов наук (МД-183.2014.1) и стипендией фонда Династия для молодых математиков России.
Поступила 14 августа 2013 г.
предложена в работе [19]. Здесь рассматривался оператор Лапласа в прямой бесконечной плоской полосе с краевыми условиями третьего типа. Коэффициент в краевом условии был чисто мнимым, что и обеспечивало требуемую РТ-симметричность. Предполагалось, что коэффициент отличается от постоянного лишь на финитную функцию, умноженную на малый параметр. Был найден существенный спектр такого оператора, который оказался фиксированной вещественной полуосью, и исследован эффект возникновения изолированных собственных значений из края существенного спектра. Ряд численных экспериментов, проведённых в работе [20], показал, что в случае, когда упомянутый выше малый параметр становится конечным и возрастает, в спектре данной модели появляются и пары комплексно сопряжённых изолированных собственных значений, которые ведут себя достаточно причудливым образом. Схожая модель, но существенно более сложная -оператор Лапласа-Бельтрами в полосе на двумерном римановом многообразии, рассматривалась в [21]. Был получен ряд результатов общего характера о самом операторе и его спектре.
Описанная модель из работы [19], по сути, была оператором с малым регулярным возмущением, что серьезно облегчала её изучение. Более сложные случаи сингулярного возмущённых РТ -симметричных операторов рассматривались в недавних работах [22], [23]. В [22] вновь рассматривалась модель из [19], однако коэффициент в краевом условии на границе был произвольной достаточно гладкой ограниченной функцией, а возмущение состояло в прорезании пары малых симметричных отверстий внутри полосы. Предельным оператором здесь является такой же РТ -симметричный оператор, но без малых отверстий. Была доказана равномерная резольвентная сходимость возмущённого оператора к предельному и доказаны оценки скорости сходимости. Кроме того, отдельно был детально исследован эффект возникновения изолированных собственных значений из края существенного спектра и показано, что достаточные и необходимые условия возникновения либо отсутствия таких собственных значений здесь существенно отличаются от схожих результатов для самосопряжённых операторов [24].
В работе [23] рассматривалось ещё одно развитие модели из [19]. Здесь полоса заменялась на многомерный слой, а сингулярность возмущения состояла в том, что ширина этого слоя предполагалась малой. Основной результат статьи [23] - определение вида предельного оператора для такой модели, доказательство равномерной резольвентной сходимости возмущённого оператора к предельному и получение оценок скорости сходимости. Предельный оператор оказался самосопряжённым - это позволило утверждать, что спектр возмущённого оператора если и не является вещественным, то, по крайней мере, локализуется возле вещественной оси.
Настоящая работа посвящена обобщению и дальнейшему развитию результатов работы [23]. Мы вновь рассматриваем РТ -симметричный оператор в многомерном тонком слое. Однако, в отличие от [23], мы рассматриваем произвольный скалярный оператор второго порядка с переменными коэффициентами общего вида, а не просто Лапласиан. На коэффициенты оператора налагаются лишь достаточно слабые условия гладкости, а также условия, обеспечивающие РТ-симметричность. Кроме того, эти коэффициенты могут зависеть от быстрой (растянутой) переменной по поперечному направлению в слое, что фактически делает эти коэффициенты быстро осциллирующими. РТ-симметричность оператора вновь порождается краевым условием третьего типа с чисто мнимым коэффициентом.
Первая часть работы посвящена определению вида предельного оператора. Такой оператор найден, причём его вид существенно более сложный по сравнению [23]. Это связано с присутствием всех коэффициентов в возмущённом операторе и весьма нетривиальными формулами для коэффициентов предельного оператора. Наш основной результат здесь -
доказательство равномерной резольвентной сходимости возмущённого оператора к предельному и получение оценок скорости сходимости. Показано, что эти оценки неулучша-емы по порядку, причём в [23] такой результат отсутствовал.
Во второй части работы рассматривается асимптотическое поведение спектра возмущённого оператора. Вначале доказывается сходимость спектра возмущённого оператора к спектру предельного. Следует подчеркнуть, что здесь не удаётся воспользоваться классическими теоремами о сходимости в случае равномерной резольвентной сходимости, так как возмущённый оператор несамосопряжён. Вместо этого мы предлагаем подход, основанный на несамосопряжённой версии метода Бирмана-Швингера, предложенной в [25], [26], в комбинации с доказанной равномерной резольвентной сходимостью.
Затем изучается поведение собственных значений возмущённого оператора, сходящихся к изолированным собственным значениям предельного оператора. Здесь удалось найти простой, но оригинальный трюк и показать, что все такие возмущённые собственные значения вещественные, причём кратность этих собственных значений не важна, см. (5.17), (5.18), (5.19). Отметим, что схожие результаты о вещественности исследуемых собственных значений в [19], [22] были основаны на их простоте.
Далее мы строим полные асимптотические разложения вышеупомянутых собственных значений и соответствующих собственных функций. Асимптотики строятся вначале формально на основе метода многих масштабов [34], а затем обосновываются. И если формальное построение по сути не отличалось от аналогичных конструкций для самосопряжённых операторов в тонких областях (см., например, [27]-[30], а также [31], [32]), то для обоснования не удалось воспользоваться стандартным подходом из самосопряжённого случая, как, например, в [27], [33]. Здесь для обоснования нам пришлось отдельно разрабатывать определённый теоретико-функциональный аппарат. Следует также подчеркнуть, никаких результатов об асимптотическом поведении спектра в [23] получено не было.
В заключение опишем структуру статьи. В следующем параграфе даётся постановка задачи и формулируются основные результаты. В третьем параграфе доказываются общие качественные свойства возмущённого оператора. Четвёртый параграф посвящён доказательству равномерной резольвентной сходимости и получению оценок скорости сходимости. В пятом параграфе проводится доказательство сходимости спектра. В шестом параграфе на формальном уровне строятся асимптотические разложения собственных значений и собственных функций возмущённого оператора, а в седьмом параграфе они строго обосновываются.
2. Постановка задачи и основные результаты
Пусть ж = (ж/,жга) - декартовы координаты в Кп, п ^ 2, П := (ж : -є/2 < хп < е/2) -тонкий многомерный слой в Кп, е - малый положительный параметр, причём е ^ е0, где е0 - малое фиксированное положительное число. Обозначим
П:= ((ж',£): X Є Кп-1, £ Є (-1/2,1/2)), П := П х (0,ео).
В П зададим функции Ау = Ау(ж;,£,е), Ау = Ау(ж;,£,е), А0 = А0(ж;,£,е), удовлетворяющие условиям
Ау(■, -,е),А,-(■, ■, е) Є С 1(П), Ао(■, ■, е) Є С(П), (2.1)
п
Ац = Ау, £ А„(ж',£,е)<іСу > со К|2, С Є К”, (ж',£,е) Є П, (2.2)
1,3 = 1
где с0 - положительная константа, не зависящая от ж;, £, е и £. Функции Ау считаем вещественными, функции Ау, А0 - комплекснозначными, и
Ау, Vx,5Ау, Ау, Vx,5Ау, Ао Є Ь^(П).
Кроме того, предполагаются выполненными следующие условия симметричности:
Aij(x', — £,£) = Aij(x',£,£), i, j = 1,... ,n — 1,
Ain(x , £, £) Ain(x , £, £) , i 1,...,n 1,
Ann (x , ^ £) Ann(x , ^ £) ,
— (2 3)
Aj (x/, — £,£) = Aj (x',£,£) j = 1,...,n — 1, .
^^-n(x', —£, £) = — An(x £, £)
Ao(x', — £,£) = Ao(x',£,e).
Пусть a = a(x', £) - вещественная функция, принадлежащая W^(Rn-1) для всех £ E [0,£0]. Обозначим:
n
П(£) := ^ suP |Aij(x',£,e) — Aij(x,£, 0)| i,j=1 ^ n
+ ^ sup |Vx,?(Aij(x',£,e) — Aij(x',£, 0))| i,j=1 ^ n
+ ^ suP |Aj(x',£,e) — Aj(x/,£, 0)| j=i n
+ sup |a(x',e) — a(x',0)|.
Rn-1
Всюду далее функции Aij, Aj, A0, а предполагаем непрерывными по £ в точке £ = 0, а именно,
lim n(e) = 0. (2.4)
£^+0
Aij(x) := Aij ^x', ^7, £^ , A£(x) := Aj ^x', ,£^ ,
Положим
А0(ж) := А0 ^—', —, , а£(—') := а(ж',е).
Основным объектом изучения настоящей работы является оператор
п д д п ( д д _______________________N
Н = - ^ д—д— + ^ Ад— - -д-Л£) + А0 в (2.5)
дxi ij дxj ^ \ j дx7• дx7• j
i,j=1 J j = 1 4 J J
с граничным условием
д \ д п д ___________________________________________
—---+ іл ) и = 0 на дП, —— := N Л АП^^т;-+ А”, (2.6)
д^£ / д^£ ^ п3 дж3 п
/ 3=1 ./
где і - мнимая единица.
Строго мы вводим оператор как оператор в Ь2(П), заданный дифференциальным выражением (2.5) на области определения
Р(Н^) = (и Є (П) : выполнено краевое условие (2.6)). (2.7)
Далее этот оператор называем возмущённым.
Основной целью работы является изучение асимптотического поведения резольвенты и дискретного спектра оператора при е ^ +0.
Для формулировки основных результатов нам понадобятся дополнительные обозначения. В Ь2(П) определим отображения
(Ри)(ж) := и(ж;, — жп), Ти := и. (2.8)
(2.12)
Наш первый результат описывает качественные свойства оператора H».
Теорема 2.1. Оператор Н» т-секториален, T-самосопряжён и P-псевдоэрмитов, то есть,
(«)* = , («)* = PWJP, (2.9)
и PT -симметричен:
pth; = н pt. (2.10)
Сопряжённый к Н» оператор даётся равенством
(«а )* = Н-а. (2.11)
Для спектра оператора «а выполнено вложение
(К) с к,
K : = / z Є C : і Im Л| ^ — ^e't + y/' t + ' o(I Re Лі + '2)^ + £2
Л,- Є C : j ImЛ| « VR^ + (C + Vct + e°e2)£3 + Є2
I V co co
t/2
Cl := ( y^sup 2jA-(x',£,e)
П
c2 := sup2|A0(x',£,e)j, c3 := 2 sup ja(x',e)j.
П Rn-1x[0,e0]
Для описания асимптотического поведения резольвенты оператора «а определим предельный оператор. Пусть
1/2
A-(x'):= J (a.,(x',C,0) — Ain(x'4^0)A 10)^0)) dC,
-1/2 nn
A0(x'):= /(a,(x',5,0) — ^^^0)) dC, (213)
-1/2 (2.13)
1/2
где
A0(x') := J (Ao(.r',e 0)+ q2^ 0)
Ann(x',C, 0)
-1/2
—2ia(x 0)ReA"^0) — 0)j^ dC
( , ) A^C,0) An^C,0) 1 ^
n1
где і, ^ = 1,..., п — 1. В Ь2(Кга :) введём оператор
П-1 д д га-1 / д д \
Н := — X] дХдХ” + ^ АдХ”— дХ”” + А (2Л4)
г,^_1 и ”_1 \ ./ и /
на области определения Ж22(Кга_1). Через обозначим проектор в Ь2(ПЄ):
є/2
(2£/)(х') := є-1 J /(ж)аж„ (2.15)
-є/2
и положим
" £ Ґ~\Є Т ГЄ
Ь := Ь2(П£), Ь! := е^Ш, 21 := I — 2£. (2.16)
Пространство Ь2(ПЄ) тогда можно представить в виде прямой суммы
І2(ПЄ) = Ь 0 Ь1. (2.17)
В смысле этого разложения оператор є' -1/2(нО - А)-‘й', действующий в Ь при подходящих Л Є С, можно расширить до оператора є-1/2(НО — Л)-12є 0 0, действующего в
Сформулируем основной результат об асимптотическом поведении резольвенты оператора на.
Теорема 2.2. Оператор НО самосопряжён. Для любого Л Є С \ (К и 0"(НО)) и достаточно малых є операторы (НО — Л)-1 и (Н00 — Л)-1 корректно определены и ограничены. Для всех / Є Ь2(ПЄ) справедливы равномерные по є и / оценки
11(на— л) V— ((н0— л) 1^£0о)/іі£2(П£) ^(є+п(є))с(л)н/(2.18)
Кна — л)-1/ — ((на — Л)-1й'е о)/
— є№(на — Л)-1е*/У^.(П£) « (є + п(є))С(Л)»/||l2(0£),
(2.19)
где С (Л) - некоторые константы, не зависящие от є, /, но зависящие от Л, а оператор : Ж22(Кга-1) ^ Ж2 (П£) определяется следующим образом:
(W£u)(x^) := — (^Оу anj (x t’ є) dt — u(x'^ А„(ж',і,є) dt
i,j=1 j о nn ’ ’ 0
Xn
£
dt — ia (x/их) '
J Arara(x/, t, є) 0
Кратко остановимся на результатах этой теоремы. Вначале отметим, что по сравнению с частным случаем в [23] вид коэффициентов предельного оператора достаточно нетривиален, и фактически в пределе происходит “перемешивание” коэффициентов возмущённого оператора, см. (2.13).
Отдельно следует подчеркнуть, что оценки скорости сходимости в теореме 2.2 неулуч-шаемы по порядку. А именно, если предположить коэффициенты возмущённого оператора и функцию / бесконечно дифференцируемыми так что п(є) = Сє, C = const, то на основе метода многих масштабов [34] можно построить полное асимптотическое разложение функции (на — Л)-1/. Подобные конструкции мы используем ниже для построения асимптотик собственных значений. В данном случае они приводят к формулам:
(на— л) 1/ = ((на— л) 1 ® о)/+єи1+°(є2+^2(є))
в норме L2(Q£), и
(на—л)-1/=((на—л)-1 ® о)/—£w* (на—л)-1а* /++оа
в норме W2(ne), где u1 = u1(x/, жгає-1), u2 = и2(ж/,жгає-1) - некоторые функции, зависящие от выбора /. Отсюда и следует оптимальность оценок скорости сходимости в теореме 2.2.
Наш следующий результат описывает сходимость спектра возмущённого оператора. Подчеркнём, что в данном случае не удаётся воспользоваться классическими теоремами
о сходимости спектра в случае равномерной резольвентной сходимости, так как оператор на несамосопряжён. Кроме того, возмущённый и предельный операторы действуют на разных пространствах, а для возмущённого оператора пространство ещё и зависит от є.
и
n
£
Теорема 2.3. Спектр оператора на сходится к спектру оператора на при є ^ +0. А именно, для любого компакта M С C, 6 > 0 существует k(M’6) > 0 такое, что при 0 < є < k(M’6) часть спектра а (на) П M оператора на лежит в 6-окрестности части спектра а (на) П M оператора н°а. Если Л0 - изолированное т-кратное собственное значение оператора на, то существует в точности m собственных значений оператора на, взятых с учётом кратности, сходящихся к Л0 при є ^ +0. При достаточно малых є эти собственные значения вещественны.
Данная теорема утверждает сходимость спектра в каждой компактной части комплексной плоскости. При этом не исключается наличие точек в спектре возмущённого оператора, которые стремятся к бесконечности при є ^ +0. Отдельного внимания заслуживает утверждение о вещественности собственных значений, сходящихся к изолированным собственным значениям предельного оператора. Единственное требование - конечная кратность предельного собственного значения, и вообще говоря, сходящиеся к нему собственные значения возмущённого оператора не обязательно должны быть простыми. Этим наш результат выгодно отличается от аналогичных утверждений в [19], [22], где простота собственных значений была основой для доказательства их вещественности.
Наш следующий результат посвящён получению полных асимптотических разложений собственных значений возмущённого оператора, сходящихся к предельным изолированным собственным значениям конечной кратности, а также получению полных асимптотик для соответствующих собственных функций.
Теорема 2.4. Предположим, что функции Ay, Aj, A0, а не зависят от є, бесконечно дифференцируемы по x так, что для всех в Є Z+-1 выполнено
^ ^ є Cffln L*
Пусть Л0 - изолированное т-кратное собственное значение оператора на. Тогда асимптотические разложения собственных значений Л|, k = 1’...’m, сходящихся к Л0 при є ^ +0, имеют вид:
ГО
Л| = Л0 + £ єрЛ“ (2.21)
p=1
где числа определены в шестом параграфе. Если существует такое г > 0, что для всех достаточно малых £
А - АУ| ^ С£г, к = ь (2.22)
где С - константа, не зависящая от £, к, ], то собственные функции, соответствующие А|, можно выбрать так, что они будут иметь асимптотики
ГО
( ПгЛ - С - 1/2 I Ал, (ПТ?\ -X- ^ Л С-Р
№(x) =є 1/2 (x/) + ^fcp)(x/’0 (2.23)
Р=1
в норме Ж21(Пе), где члены этого ряда определены в шестом параграфе.
Следует отметить, что условие отсутствия зависимости функций Ау, Ау, А0, а от £ несущественно и сделано лишь для упрощения. В случае, если коэффициенты от £ зависят, то конструкция асимптотик в целом сохраняется, и все формулы в шестом параграфе остаются без изменений - необходимо лишь считать, что коэффициенты асимптотик собственных значений и собственных функций зависят от £, и эта зависимость порождается как раз аналогичной зависимостью для Ау, Ау, А0, а. Вместе с тем, для обоснования асимптотик в этом случае нужно требовать равномерную ограниченность по £ в норме ЬГО(П) всех производных из (2.20). В случае, если коэффициенты Ау, Ау, А0, а при этом
раскладываются в какой-либо асимптотический ряд по £, то эти разложения можно подставить в формулы для коэффициентов асимптотик (2.21), (2.23), получить аналогичные разложения для коэффициентов и подставить затем их в ряды (2.21), (2.23). Полученные при этом двойные асимптотические ряды будут давать асимптотики для собственных значений и собственных функций возмущённого оператора. Описанные конструкции, являясь простыми с идейной точки зрения, достаточно громоздки с технической стороны. Именно поэтому мы не приводим эти выкладки в работе, а ограничиваемся лишь случаем, когда функции Ау, Ау, А0 не зависят от £.
3. Качественные свойства оператора Н
В настоящем параграфе мы доказываем теорему 2.1. Основные идеи доказательства заимствованы из [19, §3].
Доказательство основано на теории секториальных полуторалинейных форм, см. [35, Гл. VI]. В пространстве Ь2(П;) определим полуторалинейную форму
^(м,м) := £ ( А
*,.7 = 1
дм дм
+ £ А
дм
' дх7
+ £ 1и,А[
дм
(3.1)
+ (А0м, м)ь2(п^) + іЬ;(а;м, м),
Ь;(м,м) := [ м ^х', ^ V ^х', 0 dx' — [ м ^х', — ^ V ^х', — ^ dx/
К"-1
К"-1
с областью определения ^(^0.) := ^2 (П£). Здесь Ь£ следует понимать как полуторалинейную форму в Ь2(Пе) с областью определения Ж2 (П£).
Согласно [35, Гл. VI, §1.1], вещественная и мнимая части формы \)£а имеют вид:
^,г(м,м) := £ ( А
дм дм
дх • дх •
*,7=1 \ дх* дх^ Ь2(Пе)
+£ А
,=1 1
дм
-, V
7 дх • /
дх, / Ь2(П£)
/ ^ дм
+ ( u, А/т;— ^ дх,
(3.2)
7/ Ь2(П£)/
+ 2 м)І2(П£) + (X А0м)Ь2(П£))
и
^а,і(м,м) := 2і ((А0м,м)ь2(п-)— (м,Аом)ь2(п-)) + ье(а£м,м).
(3.3)
Областью определения этих форм вновь является пространство Ж2 (П£).
Ясно, что форма \)£а г плотно определена, симметрична и замкнута. Из элементарных оценок
£ а;
дм
7 дх
,=1 V / Ь2(П£)
. ,; дм
+ ( м А/т;— 7 дх-
БИр ^
7=1 ^
8 - произвольно, и
дм
(3.4)
дх7
І2(П^)
|((^е А0)м, м)І2(П£) | ^ С2І|м||і2(П£
(3.5)
V
;
вытекает полуограниченность снизу формы ^
; .
а,г*
и£ ( \ "ч. + С2С0 и ц2 (о
^а,г(и,и) ^-------С------1Ы1ь2(^)* (3.6)
С0
Нетрудно видеть, что граничный член в форме ^ ; можно оценить следующим образом:
|Ь;(а;м, м)|
ч '\д|м|2 і
а (х ) —— dx дх„,
^ Сз|Ум|і2(П^)|м|і2(П^). (3.7)
Отсюда и из оценки (3.4) с 8 = с0/2 и произвольным 8 следует, что форма ()О і ограничена относительно формы ^Ог. А именно, для любого 8 > 0 верна оценка
|^а,і(м,м)| ^ «,г(м,м)| + С (8) ум у ^2 (п^), (3.8)
где С(8) - некоторая константа, не зависящая от м. Из полученных свойств форм г и і в силу [35, Гл. VI, §1, Теорема 1.33] следует, что форма секториальна. Применяя теперь первую теорему о представлении [35, Гл. VI, §2.1, Теорема 2.1], заключаем, что существует т-секториальный оператор 7НО такой, что
^а(м,м) = (На ^Ып) (3.9)
для всех м Є Р(7НО), V Є Р(^О). Область определения оператора НО состоит из функций м Є ^(^О), таких что существует функция f Є Ь2(П;), зависящая от выбора м и удовлетворяющая равенству
(3.10)
для всех V Є Р(^О). Легко убедиться, что ^(НО) С Р(7НО), и оператор НО является расширением оператора НО. Теперь для доказательства т-секториальности оператора достаточно проверить равенство НО = НО, что эквивалентно равенству областей определения. С другой стороны, последнее эквивалентно тому, что любое решение интегрального тождества (3.10) для f Є Ь2(П;) принадлежит Р(НО). Этот факт означает выполнение теоремы
о повышении гладкости обобщённых решений эллиптических краевых задач. В нашем случае такую теорему можно легко доказать стандартным образом на основе анализа соответствующих разностных отношений (см., например, [36, Гл. VI, §2], [19, Ьш. 3.2]), поэтому на этом доказательстве мы не останавливаемся.
Применим теперь теорему 2.5 из [35, Гл. VI, §2.1], тогда получим, что сопряжённый к НО оператор соответствует в смысле первой теоремы о представлении сопряжённой форме (&О)*. Согласно [35, Гл. VI, §1.1] и в силу равенств (3.3) сопряжённая форма имеет вид:
Ш*(иХ =
откуда и вытекает равенство (2.11). Равенства (2.9), (2.10) теперь несложно проверить прямыми вычислениями с использованием соотношений (2.3).
Остаётся доказать вложение (2.12). Спектр т-секториального оператора является подмножеством его числовой области значений [35, Гл. V, §3.10], а потому достаточно определить положение последней для нашего оператора. Непосредственно из оценок (3.4), (3.5), (3.7) и условия эллиптичности (2.2) вытекают неравенства
^Д(и,и)| ^ Сз||Уи||ь2(П£)|Ни2(П£) + С2|Н|!2(П£),
_ О — о (3.11)
^>,и)| ^ С0||^||£2(П-) - 2С1||Уи||Ь2(П-)|Ни2(П-) - С2 |Н|Ь2(П-)-
Положим теперь ||и||ь2(П£) = 1, решим второе неравенство относительно ||Уи||£2(П£), и полученную оценку для ||Уи||£2(П£) подставим в первое неравенство для ;(«,«). Тогда
получим
|^О,і(м,м)| ^ С3 (С1 + \/С1 + С0(|^О,г(м,м)| + С2^ + С2
,________ , , (3.12)
^ С3 [\йе 41 I (с1 + V С1 + С0С2)С3 || ||
^ —л/|^а,г(и,и)| + -------------------- + С2 при 1Мк(П.) = 1
-\/С0 У С0
Из этого неравенства и упомянутого выше вложения спектра в числовую область значений вытекает (2.12). Теорема 2.1 полностью доказана.
4. Равномерная резольвентная сходимость
В настоящем параграфе будет исследовано асимптотическое поведение резольвенты возмущённого оператора при £ ^ +0 и доказана теорема 2.2. Всюду в параграфе через С (А) обозначаем различные несущественные константы, не зависящие от £, х и f, но, вообще говоря, зависящие от А.
В силу теоремы 2.1 при А € С \ К резольвента (Н* — А)-1 определена корректно. Следующая лемма является ключевой в доказательстве теоремы 2.2.
Лемма 4.1. Пусть А € С \ К, f € Ь\. Тогда верна равномерная по £ и А оценка
н(на— А) V 11^1(0^) ^£Смнуи^п.).
Доказательство. Обозначим Vе := (На — А)-1f. Тогда в силу результатов предыдущего параграфа и принадлежности f € Ь\_ функция Vе удовлетворяет равенству
^а(^е) — а1ИИ2(о) = = (л< ^2(0), (4.1)
где := 21 Vе € Ь^_. Так как в силу результатов предыдущего параграфа
(Vе, Vе)/1Vе|(п£) € К (см. (3.12)), то из равенства (4.1) получаем
1„,;ц ^ и-' и^2(П£) у ^: ||£2(П£) г л п\
|г’ |к>(П,) < —лй(к:л)—. (4.2)
Возьмём теперь реальную часть равенства (4.1):
^О,г — Ке А|И|І2(П) ^ 1^ |к(П)|К |к(П)
и воспользуемся оценкой (3.11):
,е||2 п„ ИТ7„,£|| И„,£|, 7 ч
I Г.„(П£)
(4.3)
Со||^; уІ2(п) — ^іІІ^Ік^ІИ^п)
— (с2 + Б,е А)у^еу|2(п^) ^ yf уь2(п^)у^1 уЬ2(П^)-В силу (4.2) отсюда выводим:
уу^у
Ы0Е) ^ С(А)УfуЬ2(П£)у^1 уЬ2(П^)- (4.4)
Разлагая функцию Vе в стандартный ряд Фурье по переменной хп, приходим к неравенству
£
, ,01) < И^Иы*,). (4.£>)
Ь2(0£)
дх,
Подставим эту оценку вначале в левую часть (4.4):
11^1 Нмо) ^ £2С (А) у f ||да, (4.6)
а затем в правую:
уУ«еуьа(П.) « £С(А)у/||ь3(0-). (4.7)
Из неравенства (4.2) теперь следует:
у^еуЬ2(П.) ^ £С (А>у/ уь2(п.)- (4.8)
Отсюда и из (4.7) следует утверждение леммы. □
В следующей лемме мы доказываем самосопряжённость оператора На и оценку его резольвенты.
Лемма 4.2. Оператор На самосопряжён. Для всех А € ^СН*) и всех ^ € Ь2(К^-1) справедлива оценка
у(На—а) 1^ у^22 (кп-1) ^ с (А)у^ уь2(кп-1)-
где С (А) - некоторая константа, не зависящая от ^.
Доказательство. Из равенств (2.3), (2.13) следует, что функции А0., А° вещественны и справедливы принадлежности А0.,, А° € (Кп-1), А0 € Ь^(КЙ-1). Коэффициент
Апп(х;,р, 0) при этом положителен и равномерно отделён от нуля в силу условия эллиптичности (2.2) с £ = С* := (0, • • • , 0,1). Покажем, что схожее условие эллиптичности верно и для коэффициентов А0..
Через А обозначим матрицу с коэффициентами А. (х;, р, 0) и пусть (' := (£ь • • • , Сп-ъ 0),
О € К. Тогда из (2.13) и (2.2) следует
п-1 1/2 1
£ а0-ОС- = а (х/ р 0) ((АС*,^*)кп(АС/,С/)кп — (АС/,С*)к"-0 (4.9)
.... ,/ Апп(х,р, 0)
Г-_1 -1/2
Ввиду условия (2.3) форму (А-, можно рассматривать как эквивалентное скалярное произведение в Кп, а потому в силу неравенства Коши-Буняковского получаем:
(АС/,С*)к" < (АС;,СОк"(АС*,С*)кп•
Данное неравенство строгое ввиду неколлинеарности векторов £' и £*. Следовательно,
шт ((А(;,(;)кп(А(*,(*)к" — (А(/,(*)К") ^ С > °
УС 'Укп-1 _1
Отсюда и из (4.9) вытекает требуемое условие эллиптичности.
Доказательство самосопряжённости оператора На теперь несложно провести аналогично доказательству т-секториальности оператора На в предыдущем параграфе. При этом аналогом формы \)£а будет следующая форма:
и0/ ^ \-л ( и0 ди ди \ л ( 0 ди \
^°(и,,у):=£ (А- дх-, дх) + ^ (А.? дх.,^)
г,._^ - дх^ь2(кп-1) -_^ - / ь2(кп-1)
п— 1
Требуемую оценку резольвенты можно доказать на основе второго основного неравенства для эллиптических операторов, см. [37, Гл. Ш, §8]. □
Переходим непосредственно к доказательству теоремы 2.2. Пусть f € Ь2(Пе), А € С \ (К и а(Н)). Положим
^ := £-1/22еf, П := ие := (Н — А)-7,
ие := (На — А)-1П и0 := (На — А)-1^
Ясно, что
" Г7^1ь2(п.) + уг1уь2(о.) = НУ уь2(П£), и в силу леммы 4.1
Х — иеу^21(п.) ^ £С(а)|у 11^2(0.)• (4.11)
Таким образом, достаточно оценить норму разности [7е — и0. Для этого мы вводим специальный корректор, который далее будет играть ключевую роль. Фактически, данный
1^еу1 (о.) + у^е III(о.) = ууIII(о.), (4А0)
корректор является вторым членом асимптотического разложения функции ие, если последнее строить на основе метода двух масштабов. А именно, положим
^(ж',р,е) := - £ (ж') / ^ - и°(ж') / Ап(ж',і,є)аі
. ,/ Апп(ж ’*’Є) ./
г>^=1 ° °
— іа£(ж')и°(ж') ^
Апп(ж',І’Є) ’
°
и>£(ж) := и> ^ж'’ —’ = (М’£и°) ^ж'’ —’ .
Ясно, что ^е € Ш^П1) для всех £ € [0, £0]. Функция ^е является вышеупомянутым корректором и далее наша цель - оценить норму разности функции Vе(х) := ие(х) — Ше(х), Ше(х) := и0(х') — £^е(х).
Вначале отметим, что функция ш является решением уравнения
дш п-1 ди0 ___________ ___________________________
Апп’др' + ^ ^ Ап-дХ + (Ап + 1а)М0 = 0, (х/,р,£) € П (4.12)
._1 .
Из определения функции ие и доказательств теоремы 2.1, и леммы 4.1 следует, что эта функция удовлетворяет интегральному тождеству
^(и» — А(ие,^)Ь2(о.) = (^»Ь2(о.) (4.13)
для всех V € Ш21(Пе). А из леммы 4.2 и гладкости коэффициентов оператора На вытекает соотношение
п-1 ^ А° + п-1 (А° — дт А°) + (А°— А)) “°
гт = 1 т=1 /
Положим теперь V = Vе в (4.13) и воспользуемся равенством ие = Vе + и + £и>е. Тогда получим:
№>е) — А1Ик(0.) = ^^^(О.) — ^(Ш е,vе) + (4.15)
Основная идея в получении оценки для Vе состоит в том, что мы вначале преобразуем правую часть последнего равенства к более удобному виду, потом оценим её малой величиной и затем уже выведем оценку для Vе.
Займемся преобразованием правой части. Интегрируя по частям, имеем:
№>е) — А(^ ^2(0.) =(#е + (^ ^2(0.)
(ди0 е 0 е) (4.16)
+ ^ + шеи°,ие
*е ;= — .п-1 дхАе- д.+п-1 (Ае дх.— дх.Ае)и0 +(А0 — А)и°'
—1 - —1
е := _ дАп. ди0 _ дАп и 0
2 : ^ дхп дх- дхп •
._1
Аналогично интегрируем по частям:
дхе -Vе \ ( д д—е
£Х/(А*пдх , -х. ) £Х/(—х.А*п-х ^
г_1 \ -хп дхг/ Ь2(0.) г_1 \дх» -хп / Ь2(0.)
+ £Ье (Ап„IXе.Vе) , (4.17)
—Vе \ / д—е
1£Ье(ае—е, Vе) = 1£ ( ае—е, —— ) +1£ ( ае ——, Vе
дхпЛ2(0.) V дхп /Ь2(0.)
В силу (4.12) получаем:
£Ап!т = — А^ ап- ди00 + (Ап + 1“е)и°
—хп Апп \-_1 —х.
д ,е д—е д Аеп /V- ди0 ;— . е. 0
—£ > т^Аеп— = > -—> АП-^— + (Ап + 1ае)и0
дх. дхп дх. АПП \ ^ - дх.
г_1 г П г_1 г ПП \-_1 -
Из последних равенств и (4.16), (4.17), (4.12) выводим:
^(Ш >е) — А(Ше, Vе) = £С1(—е ,vе) + С2(и0, Vе) + С3(и0, Vе), (4.18)
.ое / е е\ ( ле д—е дvе) V- ( . е д—е е
С(—е,^) := .4.^,^1 + £ ( Ае-Vе
г_1 -_1 V дхг дх^Ь2(0.) -_1 V дх- / Ь2(0.)
П-1 ( дvе)
+ — (—е ,Ае + ((А0 — А0)—>^(0.)
-_1 V дх^Ь2(0.)
+ 1£ I ае—е
-Vе
дхп/ Ь2(0.)
С2(и0,Vе) := 1 — (и»— ,„е
-_1 V -х- V АПП / / Ь2(0.)
С3(и0,-<) := — П- (^В«-и0,VI) + П-; (В-^
г—_^ Vдхг дх- / Ь2(0.) -_1 V дх- / Ь2(0.)
П-1 ( д __ )
— ( -хВ-+ ((В0 — А)и0,^^2(0.),
-_1 V - / Ь2(0£)
где В- (х) = В- (х', хП£-1, £), Ве(х) = В- (х', хП£-1, £), В0(х) = В0 (х', хП£-1, £),
В.- = В.(х',р,£), В- = В-(х',р,£), В0 = В0(х',р,£),
А 4 • 4 4В_______________________________4 АгпАп- В = А АпАп-
В. := А. 4 , В- := А- 4 ,
Апп ____ Апп (4 19)
а2 . Ап + Ап |Ап|2 ( . )
В0 :— А0 +— ------------------1а
4 4 4
пп пп пп
Непосредственно из определения функции —е и леммы 4.2 следует оценка:
|С](—е, Vе) | ^ £С(А) у у II £2(0.) у Vе II ^2 (0.) • (4.20)
Положим „3 := „з. В силу условий (2.3) выполнены равенства:
2
Атп (ж'’ — ’в)
3 dжn = 0 для всех ж Є К ’ е Є [0; е°].
Апп (ж'’ Хп’в)
д Аеп
Так как функции аз и м° не зависят от р, то м° д—аз Є ЬЗ. Тогда величину С2 можно
Апп
переписать в виде
° є\ • ' ( ° д ( є дАТп) є
С2(м°’^£) = О м°^— аз —-т- ’VI
Т=1 V Т дп„ / ’ х, £2(пч
откуда, из леммы 4.2 и неравенства (4.5) выводим оценку:
|С2(м°’^£ )| ^ еС (А)У/Н^П) ||„3||ж1(П). (4.21)
Положим
С.(И". „з) := — п-1 (д_В°^. „Л + 2 (В°^. V
г,т=^; т / Ь2(П£) т=^ Т ^ Ь2(П£)
п-1 / о
д *7°^,° \ | ({ ї?° \^„,°
где
— г^B>0."^ + ((в"° — А)“0."‘)L»(«■)
Т=1 \дж7 /Ь2(п^)
(ж’ е) := £у ^ж'’ — ’ 0^ ’ В°(ж’ е) := В ^ж'’ —’ 0^ В°(ж’ е) := В° ^ж'’ —’ 0^ .
(4.22)
Тогда из гладкости и ограниченности функций А., А-, А0 и их производных, а также из леммы 4.2 следует оценка:
|С4(и>е) — С3(и>е)| ^ П(£)С(А)уУ УL2(0.)УvеyL2(0.)• (4.23)
Непосредственно из определения (2.13) функций А0-, А°, А0 и определения (4.19), (4.22) , В-, В0
функций , В°, В° вытекает, что
(А°(ж') — В°(ж’ е)) dжn = 0’ Ь = г^’ Ь = ^ Ь = 0.
2
Из этих равенств и леммы 4.2 следует, что выполнено соотношение
(^3’„3)Ь2(П) — С.(м°’„Є) = (#Є’„£ ^(П)’ где функция принадлежит пространству Ь^ и удовлетворяет оценке
іі^зііМп) ^ С (А) у/Уь2 (п).
Отсюда аналогично выводу (4.21) несложно проверить, что верно неравенство:
|(^3’„3)Ь2(П^ — С.(м°’„з)| ^ (е + п(е))С(А)У/ІкМИк(п).
В силу этой оценки и (4.15), (4.18), (4.20), (4.21), (4.23) заключаем, что правая часть в (4.15) оценивается величиной (е + п(е))С(А)У/||ь2(п)||„3|ж2і(п). Теперь достаточно повторить рассуждения из доказательства леммы 4.1, чтобы получить требуемую оценку для
„з:
іі„3ііжі(п) ^ (е + п(е))С(А)у/11^(п).
2
Отметим ещё очевидное неравенство, вытекающее непосредственно из определения функции и>з:
1К1к(П) ^ еС(А)У/уЬ2(п).
Из последних двух оценок и (4.11) получаем утверждение теоремы 2.2.
5. СХОДИМОСТЬ СПЕКТРА Данный параграф посвящён доказательству теоремы 2.3.
Пусть А лежит в некотором компакте на комплексной плоскости, а и Є С - некоторое фиксированное число, находящееся на расстоянии 1 от множества К и а(Н0,). Рассмотрим уравнение
(К — А)м = /’ / Є Ь2(Пз) (5.1)
и исследуем его разрешимость. Перепишем его в виде
(на - и+и -А)м =/
и применим оператор (На - и)-1, который определён в силу теоремы 2.2. Обозначая тз := (на - и)-1 - (на - ^)-12з ® 0, получим:
м+(и- А)(на- и)12зм ф 0+(^- А)т1зм =/з’ /з := (на- и) 1/. (5.2)
В силу теоремы 2.2 норма оператора Т3 : Ь2(Пз) ^ Ь2(Пз) стремится к нулю при е ^ +0. Поэтому при достаточно малых е оператор I + (и - А)Т3 обратим и
и = Т23(А)/Є - (и - А)Т2з(А)(на - и)-12зм ф 0’ (5.3)
Т2з(А) := (I + (и - А)^3)-1.
Эта равенство означает, что для решения уравнения (5.1) достаточно отыскать функцию
23м. Отметим также, что оператор Т>3(А) голоморфен по А. Производная этого оператора по А имеет вид
-Т 3
(А) = (I + (и - А^Т/Г^ТЛІ + (и - А)23Т3)-1’ (5.4)
и его норма стремится при е ^ +0.
Подействуем оператором 23 на уравнение (5.2) и подставим затем формулу (5.3) в определение Т3 и воспользуемся затем легко проверяемыми равенствами
1+(и - А)(на- и) 1 = (на- А)(на- и) 1’ (на- и) іоє = 2з(на- и) 12з.
Тогда получим:
(на - А + Тз3(А))(на - и)-123и = /2’ (5.5)
/2 := (I - (и - А)23Тз1(А)Тз2(А))23/з1’
Тз3(А) := -(и - А)223Т3Т23(А)23.
Полученное равенство мы рассматриваем как уравнение на (на - и)-123м. Оно эквивалентно исходному уравнению (5.1), так как, отыскав (на - и)-123и, по формуле (5.3) уже можно восстановить решение уравнения (5.1).
Отметим, что, отождествляя пространства Ь2(Кп-1) и Ь3, для всех „ Є Ь2(Кп-1) имеем очевидное равенство ||23„||ь2(п) = є1/2||„||і2(кп-і). Отсюда и из определения оператора Т33(А) : Ь2(Кп-1) ^ Ь2(Кп-1) следует, что его норма стремится к нулю при е ^ +0. Кроме
того, этот оператор голоморфен по А’ ив силу (5.4) норма его производной по А стремится
к нулю при е ^ +0.
Если теперь А отделено от спектра оператора на для всех достаточно малых е, то уравнение (5.5) однозначно разрешимо:
(на - и)-123и = (на - А + Т3(А))-1/3. (5.6)
Следовательно, спектр оператора на сходится к спектру оператора на в том смысле, как это было указано в утверждении теоремы 2.3.
Пусть теперь А° - изолированное т-кратное собственное значение оператора на, ф1, ... фт - соответствующие собственные функции, ортонормированные в Ь2(Кп-1). Положим / = 0 в (5.1), то есть будем рассматривать уравнение на собственные значения для возмущённого оператора. Для его изучения воспользуемся модифицированной версией метода Бирмана-Швингера из [25], [26].
При А, близких к А°, справедливо представление [35, Гл. V, §3.5]:
(на - А)-1 = - ф, + Т.(А)’ (5.7)
Т=1 °
где оператор Т.( А) действует из Ь2(Кп-1) в подмножество Ж|(Кп-1), состоящее из функций, ортогональных ф1, ... , фт в Ь2(Кп-1). Кроме того, оператор Т.( А) голоморфен по А из достаточно малой окрестности °. Обозначим
и := (на - А)-1£3и (5.8)
и обернём оператор (на - А) в (5.5) с учётом (5.7):
/т I т {\\п-з{\\\тт I ^ (Тз3 ( А)и’фт )Ь2(Кп-1) , п
(I + Т.( А)Тз ( А))и + > ------------------= 0.
-г-Г А° - А
т = 1
Так как оператор Т3( А) мал, а оператор Т.( А) - голоморфен, то оператор (! + Т.( А)Т3( А)) обратим и
и + — (Тз ( А)и’фт)Ь2(кп-1) (I + т.( А)тзз( А))-1фт = 0. (5.9)
Т=1 °
Положим:
£ = (гь... ’2т)*’ г, := (тзз( А)и’фт)ь2(И"-1). (5.10)
Как следует из (5.9), зная величины г,, можно определить функцию и и, тем самым, с
помощью (5.3), (5.8) решить уравнение (5.1) с / = 0. Чтобы определить вектор г, подей-
ствуем оператором Т23( А) на уравнение (5.9) и умножим затем скалярно на ф; в Ь2(Кп-1). Тогда получим матричное уравнение:
((А° - А)Ет + В3(А))£ = 0’ (5.11)
где Ет - единичная матрица размера т х т, В3( А) - матрица с компонентами
АЗ,(А) := (Тз3(А XI + Т.(А)Тз3(А))-1ф„фт)адк„-,).
Точки, в которых матрица (А°- А)Ет+В3( А) необратима, являются в точности собственными значениями оператора на. Действительно, если А - одна из таких точек, то уравнение
(5.11) имеет конечное число линейно независимых решений. Каждому такому решению по формулам (5.9), (5.10), (5.3) с /3 = 0 соответствует собственная функция оператора на:
т
и = ТЧ А )ии и = — г, а + Т.( А )Т3 (А)ГЧ'. (5.12)
т=1
Множители 1/( А - А°) в формуле для и и (и - А) в формуле для и можно убрать, так как собственная функция определена с точностью до умножения на константу. Также несложно проверить, что линейно независимым векторам г соответствуют линейно независимые собственные функции оператора на. Таким образом, кратность собственного значения А оператора на совпадает с числом линейно независимых решений уравнения (5.11).
Из свойств оператора Т3е(А) и Т4 (А) следует, что элементы матрицы Ве (А) голоморфны по А. Кроме того, эти элементы и их производные по А стремятся к нулю при £ ^ +0 равномерно по А из малой окрестности точки А0. Обозначим:
Яе(А) :=ае1(А — А0 — Бе(А))-
Лемма 5.1. Функция А ^ Де(А) имеет ровно т нулей (с учётом порядков), сходящихся к А0 при £ ^ +0.
Доказательство. Ясно, что
Яе (А) = (А — А0Г + Я?(А)
где функция Л|(А) голоморфна по А из малой окрестности точки А0 и равномерно по А стремится к нулю при £ ^ +0. Используя данное представление и применяя теорему Руше, приходим к утверждению леммы. □
Пусть Ае - один из нулей функции Де (А) порядка к(£), описанный в лемме 5.1. Ему соответствует д(£) линейно независимых решений уравнения (5.11), причём д(£ является также кратностью Ае, рассматриваемого как собственное значение оператора На. Докажем, что кратность Ае, рассматриваемого как собственное значение, совпадает с его порядком как нуля функции Де(А).
Лемма 5.2. Для всех достаточно малых £ и всех нулей функции Де(А) выполнено равенство р(£ = д(£).
Доказательство. Пусть ^1, ..., ^ - линейно независимые решения уравнения (5.11), соответствующие А = Ае. Без ограничения общности выберем векторы 2. ортонормиро-ванными в Ст. Так как д ^ т, то эти вектора дополним векторами 2., ] = д + 1, • • • , т, так чтобы в совокупности полученная система образовала ортонормированный базис в Ст. Через Я обозначим матрицу со столбцами 2-, ] = 1, • • • ,т. Так как вектора 2- орто-нормированы, то матрица Я невырождена и ортогональна: Я-1 = Я*.
В силу упомянутых выше свойств элементов матрицы Ве(А) и леммы Адамара справедливо представление
Ве(А) — Ве(Ае) = (А — Ае )В1 (А),
где матрица В|(А) голоморфна по А из малой окрестности точки А0, и её элементы стремятся к нулю равномерно по А при £ ^ +0. Используя данное представление, прямыми вычислениями проверяем, что
Я-1((А — А0)Ет — Ве(А))Я = (А — Ае )(Ет + Я-1 В1(А)Я)
+ Я-1((Ае — А0)Ет — Ве(Ае ))Я = (Ет + Я-1В1 (А)Я)((А — Ае )Ет + В22),
В2(А) := Я-1 (Ет + В1(А))-1 ((Ае — А0)Ет — Ве(Ае)^
В силу определения матрицы Я матрица В2 имеет вид блочный вид:
Ве(А) _ (0 В3(А))
В2(А) = ^0 В*4(Ау '
где нулевой блок в левом верхнем углу имеет размер д х т, нулевой блок в левом нижнем углу имеет размер (т — д) х т, а блоки В3 и В| соответственно размера д х (т — д) и (т — д) х (т — д). Отсюда и из свойств матрицы В1 следует:
Яе (А) = (А — Ае )9 Д1(А), (5.14)
Д1(А) := ае1 -1(Ет + Я-1 В1(А)Я) ае1 ((А — Ае)Ет_, — В4(А))-
(5.13)
Из равенства (5.13) с Л = Л£ и предположения
rank ((Л£ — Л0)Em — Б£(Л£)) = m — q
следует, что гапкА4(Л£) = m — q, а потому Д^(Ле) = 0. Отсюда и из (5.14) уже следует утверждение леммы. □
Замечание 5.1. Отметим, что схожая лемма в рамках аналогичного подхода на основе модифицированного метода Бирмана-Швингера была доказана в [38, Lm. 6.3]. Вместе с тем, в указанной работе по существу использовался факт самосопряжённости как возмущённого, так и предельного операторов. В настоящей работе нам удалось избавиться от этого предположения для возмущённого оператора.
Из лемм 5.1, 5.2 вытекает вторая часть утверждения теоремы 2.3 о сходимости собственных значений. Осталось доказать вещественность собственных значений возмущённого оператора, сходящихся к Л0.
Пусть Л£ - одно из таких собственных значений, а - соответствующая собственная функция. Тогда для справедливо представление (5.12) с заменой и на . Нормируем нетривиальное решение Z уравнения (5.11) следующим образом:
||Z ||cm = е 1. (5.15)
Тогда из (5.12), определений операторов 7^, 73, 74 и теоремы 2.2 выводим:
m
Zjф + O(e + п) в норме L2(H£). (5.16)
j=i
Используя равенства (2.9), (2.11) и уравнение на собственные значения для , непосредственными вычислениями проверяем:
(5.17)
0 =((«а — Ае)#, Р#)адп., = (#, (Н1а — Ае)Р#)Ьз(п.)
=(#, р («а—а1)# }Ь2(П.) = (А1—Ае )(#, р#
Из определения оператора Р и (5.16) следует, что
т
Р#е = г.ф. + 0(£ + п) в норме Ь2(Пе), (5.18)
-=1
а потому в силу (5.15), (5.16) и ортонормированности ф. в Ь2(Кга-1)
р #е )ь2(п.) = 1 + °(£ + п)- (5.19)
Отсюда вытекает, что равенство (5.17) возможно только при вещественных Ае. Теорема 2.3 полностью доказана.
6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ: ФОРМАЛЬНОЕ ПОСТРОЕНИЕ
В настоящем параграфе мы приводим первую часть доказательства теоремы 2.4 - формальное построение асимптотических разложений собственных значений и собственных функций возмущённого оператора. Вторая часть доказательства - строгое обоснование и получение оценок остатков - будет дана в следующем параграфе.
Пусть А0 - изолированное т-кратное собственное значение оператора «а, а ф^ = ф^(X), к = 1, • • • ,т - соответствующие ортонормированные в Ь2(Кга-1) вещественные собственные функции. Согласно теореме 2.3, существует ровно т собственных значений А|,
к = 1,... , т, возмущённого оператора, сходящихся к Л0 при є ^ +0. Асимптотики этих собственных значений будем строить в виде:
Л£ = Л0 I^A^. k = 1.....m. (6.1)
p=1
а асимптотики соответствующих собственных функций - в виде:
#(ж) = фй(ж') + £ £рф!р)(х/,Р), к = 1, • • •, т, (6.2)
р=1
где р = жп£—1 - растянутая переменная, Л^,р) и #р) - некоторые числа и функции, определение которых и является основной целью формального построения асимптотик. Асимптотики будем строить на основе метода многих масштабов [34].
Собственные функции возмущённого оператора далее будет удобно рассматривать как обобщённые решения краевых задач:
д 1е_а ^ ( А е® _ , ле 1 /е _ ле /е
(6.3) д
I ia* ) # = 0 на дП*.
д^£
Подставим ряды (6.1), (6.2) в эту краевую задачу, учтём зависимость функций фкР) от переменной р и соберём затем коэффициенты при одинаковых степенях є. Тогда получим рекуррентную систему краевых задач:
д л д дфкР-1) д дфкР-1)
др др -V* др др -V
I г5ф<"-2) = Л><Г-2) + £ л“ф*'’-»-2) в П. (6.4)
9=1
дФ(р) дФ(р-1)
Ann^ ^------= 0 на дП. p ^ 1.
др -V
где обозначено
n- 1
IV:-£ Anj-ж,+ An + iQ.
j=i j
д n=i д
Anj I------ъ An I iQ.
-v * nj дж,
j=i j
n-1 д д n-1 / д д \
75 :=- £ -ж:Aij їж;+ £ (Aj їж; — -ж;Aj) + A°.
i,j = 1 ./ ;=i \ j j /
фі0) := . фі-1) := 0.
Для решения задач (6.4) мы будем использовать следующую вспомогательную лемму.
Лемма 6.1. Пусть F = F(ж7.р) - некоторая функция, такая что F(ж7. •) Є L2(—1/2.1/2) для всех ж7 Є Rn-1, g± = $±(ж7) - некоторые функции. Краевая задача
д дФ дФ(р)
— ^AnnI F = 0 в П. Ann1 g± = 0 при р = ±1/2. (6.5)
др др др
разрешима т,огда и только тогда, когда
^(х', р) ^ = д-(х') — д+ (х') для всех х' Є К
П— 1
(6.6)
Существует единственное решение задачи (6.5), удовлетворяющее условию
ф(х', р) dр = 0 для всех х' Є К
П— 1
(6.7)
Это решение даётся формулой
ф(ж',р) = —£-(ж0 / С
-
АПП (х',і) ] Апп(х',і)
/
+
d^
-
Апп(х',і)
^(х',з^з + / d^
і —
\
Апп(х',і)
^(х', в) ds
/
(6.8)
Общее решение отличается от последнего на произвольную функцию, зависящую лишь
от х.
Утверждение данной леммы проверяется непосредственными вычислениями.
Переходим к решению задач (6.4). Вначале мы отдельно рассмотрим эти задачи для р =1, 2, 3, а затем уже построим решения для произвольного р. Необходимость отдельного рассмотрения случаем р = 1, 2, 3 связана с тем, что для построения решения в случае произвольного р используются конструкции из решений для р = 1, 2, 3.
Для р =1 задача (6.4) принимает вид:
(1)
дрАпп др др д^
др + д^
Отсюда следует, что
= 0
Апп др + д^ 0,
Ф™ = фк1: + ф^1), фк1)-
где Ф^1) = Ф/';1)(х/) - некоторая функция, которая будет определена ниже,
(Тбф)(х',р) := £ С-(ж',р)(ж/) + С0
І=1
Апп(х',і) 7 Апп(х',/)
? _
Со(х',р) := — / ЛЛхД+Ох'Ц —
Апп(х',і)
(6.9)
(6.10)
(6.11)
[
[
[
С
2
С учётом равенств (2.3) несложно проверить, что функция ф^1) удовлетворяет условию
(6.7).
Выпишем теперь задачу (6.4) для р = 2:
д
др п
дфк2) + д дфк1:
1 др д^* др др д^
д дфк1)
+
Ап
дфк2) + дфк1)
0 на дП.
др д^
Запишем для неё условие разрешимости (6.6):
Л0
П,
(6.12)
д дфк1) .р_ д^* др р
д дФк) dр + / (75фк — Л0ф»)ёр
др д^
дф
откуда следует:
д д д^* др
76 + ^5 — ЛМ ф» dр = 0
Подставив сюда выражение для и равенства (6.9), (6.10), получим уравнения для собственных функций фй:
наф^ = А0фй,
которое выполнено по определению собственных функций ф» и собственного значения Л0. Возвращаясь теперь к задаче (6.12), подставим в неё формулы (6.9), (6.10), учтём равенство
дфк1) = дф(1к) др др
и выпишем затем решение с помощью леммы 6.1. В результате получим:
фк2)(х',р) = ф!2)(х',р) + фк2)(х',р) + ф!2)(х'),
ф'2) = ГбФк‘), ф»
где 77ф - функция, определённая формулой (6.8) с
1(2)
Т7Ф<1),
(6.13)
(6.14)
(6.15)
д д г д д Г \ Т Л0 1 ф
^др76 — зрз;76+75 — Л |ф
д-
£=- 1
Переходим к случаю р =3. Здесь задача (6.4) принимает вид:
д
др п
(2) д дф»2)
др ' д^* др др д//
+
+75ф/1) = Л0ф/1) +Лк1)фк в П>
г5ф»
. дф^ + дфк2) Апп ^ ~+
др
0 на дП.
(6.16)
в
Выпишем условие разрешимости (6.6) для этой задачи и учтём формулы (6.10), (6.14), (6.14) и равенство (6.7) для фк^, фк2), фк2). В результате имеем:
(на— л0)ф»1) = ^»1)+Л»1)ф»
(6.17)
к
(1)
д дфк2) + г ф(1) д^* др + 5фк
dр = —
д д д^* др
77 + 7576 ) фк dр
Так как Л0 - т-кратное собственное значение оператора и последний самосопряжён, то полученное уравнение будет разрешимо тогда и только тогда, когда правая часть ортогональна всем ф8, ^ = —1,..., т, в Ь2(Кп-1):
(к»1),ф5)ь2 (К"-і) + Л»1^ = 0, к, в = 1,...
т,
(6.18)
где ^ - символ Кронекера-Капелли. Покажем, что числа Л^1) и функции фд можно выбрать так, что эти равенства будут выполнены. Для этого вначале докажем, что матрица, составленная из чисел — (^Д1), ф5)ь2(кп-1), эрмитова. Обозначим эту матрицу через Ь. Непосредственно из определения следует
д дфк2) д^* др
ф«
+ (75'^к1),ф«)Ь2(п).
(6.19)
Ь[(П)
Интегрируя по частям с использованием (6.9), (6.13), (6.15), имеем:
А
д^* др
Ап
дф
Ь[(П)
(2)-------
к Д(1)
др д^ *
Ь[(П)
др
др
Ь[(П)
К"-1
др
-ф!
«= 2
д
dx' + —А.
Ап
дфк2) Д(1)
К"-1
дф
др
-ф!
dx' —
др пп др
дф»2) ф<‘)
(П)
д
дфк1)
(1) дф!^
+
дф^ дф!1
д^* др + ^ф* ,ф(1)
— 75ф» ,ф!1)
(П)
Ь[(П)
д^ ’ др / \ др ’ д^
/ Ь2(П) \ / Ь2(П)
Эти равенства и (6.19) доказывают эрмитовость матрицы Ь. В силу теоремы об одновременной диагонализации двух квадратичных форм теперь заключаем, что, сохраняя собственные функции фй ортонормированными в Ь2(Кга-1), можно выбрать их так, что матрица Ь будет диагональной. В таком случае равенства (6.18) очевидно выполнены, если положить л!4 равными собственным значениям матрицы Ь. Всюду далее величины и собственные функции фд считаем выбранными именно таким образом.
Так как условия разрешимости (6.18) выполнены, то уравнение (6.17) имеет единственное решение, ортогональное всем собственным функциям фз, в = 1, •••,■№,, в Ь2(Кга-1). Обозначим это решение через фД1); тогда общее решение уравнения (6.17) даётся формулой:
Ф
(1)
*кч + Е € ф>
(6.20)
8=1
где ЬЦ - некоторые константы. Решив уравнение (6.17), мы возвращаемся к краевой задаче (6.16) и находим её решение с помощью леммы 6.1.
к
к
Далее мы дополнительно будем предполагать, что собственные значения матрицы Ь различны. Такое предположение является техническим и несущественным и нужно лишь для упрощения дальнейших построений, см. замечание 6.1 ниже.
Дальнейший процесс решения краевой задачи (6.4) для произвольного р аналогичен приведённым выше рассуждениям. А именно, выписывая условие разрешимости (6.6) для задачи (6.4), получаем уравнение для функции фкР 2)(х'), возникающей при решении задачи (6.4) для (р — 2) в качестве произвольного слагаемого в общем решении. Уравнение на функцию фкР 2) аналогично уравнению (6.17), но с некоторой другой правой частью. Условие разрешимости этого уравнения - ортогональность правой части всем собственным функциям ф9, д = 1,... . т, в Ь2(Кга -:) - позволяет определить числа ЛкР 2). Затем решаем полученное уравнение для фкР 2) и с помощью леммы 6.1 - задачу (6.4). Построенные таким образом функции ф^ и числа ЛкР) описываются в следующем утверждении.
Лемма 6.2. Существуют числа Л^, р ^ 1, такие, что краевая задача (6.4) разрешима для всех р ^ 1. Решения этих задач представимы в виде:
фр,(х'.е) = ф1Р)(х',о + ф!Р)(х',‘Э + ф1Р)(х',о + ф1Р)м.
(6.21)
где
(6.22)
т
(6.23)
(6.24)
9=1
2
2
2
2
2
2
числа и Л кР) определяются равенствами
Р 1
9=2
(6.25)
Функции фопределяются формулой (6.8) с
р-2
9=1
Функции ф^ бесконечно дифференцируемы по ж', и для всех в € 2+ 1 справедливы принадлежности
Утверждение леммы несложно проверить по индукции, используя вид функций ф^, ф[,2), полученный выше. При этом следует считать, что ф^ = фк_2) = фк.2) = 0-
Замечание 6.1. Предположение о различных собственных значениях матрицы Ь использовалось в лемме 6.2 для вывода формул (6.25). Если такое предположение не выполнено, то это лишь означает, что полного расщепления возмущённых собственных значений на уровне первых поправок не происходит. В этом случае определение членов рядов (6.1), (6.2) также не составляет большого труда. Единственным отличием будет лишь то, что на следующих шагах возникнет матрица, аналогичная Ь, которая и будет определять нужный выбор собственных функций фк. Существенных изменений в схеме построения решений задач (6.4) при этом не будет.
Таким образом, независимо от вида собственных значений матрицы Ь, можно построить формальные асимптотические ряды (6.1), (6.2), такие что, будет выполнено следующее утверждение.
Лемма 6.3. Пусть N - произвольное натуральное число. Для функций
Здесь С - некоторые константы, не зависящие от £, но зависящие, вообще говоря, от N, а оценка (6.27) включает в себя также утверждение о принадлежности функции
В данном параграфе мы завершаем доказательство теоремы 2.4 и проводим обоснование формальных асимптотических разложений, построенных в предыдущем параграфе. Вначале мы докажем два вспомогательных утверждения, а потом уже займёмся непосредственно обоснованием.
Лемма 7.1. Собственные функции ^ возмущённого оператора можно выбрать так, что для них будут выполнены соотношения
(є,м )ч,(є,м)
(6.26)
(6.27)
фкє’М) области определения оператора НЄ.
7. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ: ОБОСНОВАНИЕ
И'є.Р^|)ьа(П«) = %к. = 1,... ,т.
(7.1)
Доказательство. Согласно результатам пятого параграфа, для каждой собственной функции возмущённого оператора справедливы равенства (5.16) и (5.19). Умножая собственные функции на подходящие константы, из (5.19) получаем (7.1) для ] = к. В силу этих соотношений форма (• , Р^)ь2(пг) является скалярным произведением на пространстве собственных функций возмущённого оператора, соответствующие одному и тому же собственному значению. Поэтому эти собственные функции можно выбрать так, что они будут удовлетворять соотношениям (7.1).
Пусть теперь собственные функции йк и й| соответствуют различным собственным значениям А| и А^. Тогда, учитывая вещественность этих собственных значений, аналогично (5.17), легко проверить, что
0 = ((К - Ак)йк. Р^)адп.) = (А -А* )(«■ рй;)ып.,-
откуда вновь следует требуемое равенство (7.1). □
Лемма 7.2. При А, лежащих в некоторой малой фиксированной окрестности точки А0, и всех достаточно малых £ резольвента (К, — А)-1 представима в виде:
(К — А)-1 = Е (•' ^(П,) Й + !?(А), (7.2)
к=1 к
где оператор Т^£(А) : Ь2(Пе) ^ ^21(Пе) - ограничен равномерно по А и £ и голоморфен по А, а функции выбраны согласно лемме 7.1.
Доказательство. Пусть 7 - окружность малого радиуса с центром в точке А0, не содержащая никаких других точек спектра оператора Ка. Тогда в силу теоремы 2.3 при достаточно малых £ все собственные значения возмущённого оператора, сходящиеся к А0 при £ ^ +0, находятся внутри окружности 7 и отделены от неё на положительное расстояние. Из теоремы 2.2 теперь следует, что верна сходимость
—2й/(К— А) 1 ^А ^ — 2й/(К— А) 1 ф 0 ^А' (7.3)
7 7
понимаемая в смысле нормы операторов в Ь2(Пе). Согласно [35, Гл. Ш, §6.5], обе части этой сходимости есть проекторы в Ь2(Пе), причём в силу самосопряжённости оператора К и [35, Гл. V, §3.5] выполнено
— ± [(К — А)-1 ® 0с1А = £) £~‘(.'оФ*)А2(П,)Фк. (7.4)
^ 1 к=1
Согласно [35, Гл. I, §4.6] отсюда вытекает, что размерность проектора в левой части (7.3) также равна т для всех достаточно малых £.
Непосредственно из определения собственной функции следует
(К — А)-1йк = (Ак — А)-1йк,
а потому с учётом [35, Гл. Ш, §6.5, урав. (6.36)] имеем:
1 2п1
“ /(Н - А)-1йк аА = йк.
Следовательно, проектор в левой части (7.3) является проектором на конечномерное пространство, натянутое на функции йк, к = 1,... , т. Подчеркнём, что, вообще говоря, он не
является оператором ортогонального проектирования, так как оператор НО, несамосопряжён. Таким образом,
1 т
-(Н - А)-1 аА = £ ск(-)йк, (7.5)
7 к=1
где ск : Ь2(Пк) ^ С - некоторые функционалы.
Определим вид функционалов ск. Для произвольной функции f Є Ь2(Пк) и А Є 7 аналогично (5.17) выводим
(Л р йк )і2(п£) = ((на- А)и р йЮь2(п£) = (Ак- А)(и Р йк )і2(п£)
откуда, из (7.5) и леммы 7.1 получаем
4(/) =(/'р йк )^2(п.). (7.6)
С каждым собственным значением Ак в смысле [35, Гл. Ш, §6.5] связан квазинильпотентный оператор, который имеет вид:
- 2Лї(на- Ак) у (на- А) 1
Здесь 7к - малая окружность с центром в точке Ак, не содержащая никаких других собственных значений возмущённого оператора, отличных от Ак. Так как интеграл
- 2П /(На - А)-1 аА является частью соответствующего проектора из (7.3), то в силу (7.5),
(7.6) вышеупомянутый квазинильпотентный оператор равен нулю. Отсюда, из (7.5), (7.6) и [35, Гл. Ш, §6.5, урав. (6.35)] вытекает представление (7.2), где Тк(А) - ограниченный в Ь2(Пк) оператор, голоморфный по А. Остаётся лишь доказать, что он равномерно ограничен по є и А и голоморфен по А как оператор из Ь2 (Пк) в Ж2 (Пк).
Для произвольного f Є Ь2(Пк) в силу оценок (3.11) норма ||У(Нк - а)-1/||ь2(п£) равномерно оценивается через нормы і/||^2(П) и [[(Н^ - а)-1/||ь2(П£). С помощью этой оценки несложно проверить, что оператор Тк(А) голоморфен по А и как оператор из Ь2(Пк) в ^(Пк).
В силу теоремы 2.2 при А Є 7 оператор (Нк - А)-1 сходится к (Н^, - А)-1 ф0 при є ^ +0. Выражая оператор Тк(А) из (7.2), при f Є Ь2(Пк), А Є 7 и достаточно малых є получаем равномерную оценку
НТ^А)/||^(п) ^ Сі/|^2(п), (7.7)
где С - некоторая константа, не зависящая от f, А и достаточно малых є. В силу принципа максимума модуля для голоморфных функций оценка (7.7) верна и для А, лежащих внутри окружности 7. Лемма доказана. □
Переходим непосредственно к обоснованию. Из лемм 6.3, 7.2 следует:
/ (к фк
N)
£
9=1
(Л""). Р й|)
«/МП)
А9- Ак
(к,")
й9 + Тк(Ак
)}/і‘
N)
к = 1,
(7.8)
Используя лемму 7.1, получаем:
(Фк*л — т?(аГ>)/Г ), р «*'” — э?(а?'л°)/Г’))
Ь2(П.)
т
Е
9=1
(/к*'"), р й;
^^2(П.)
(/(*•"), р й;
^^2 (П.)
(7.9)
А* — Ак
(*•")
к*'") — г8*(а<*'"))/<*'")' р й;)Ь2(п.)
А* — А?*'")
(/к*'"), р й;
А* — Ак
(*•")
(7.10)
Из лемм 6.3, 7.2 вытекает сходимость
|Т8*(Ак*'"))/к*'")|ь2(П.) — 0 при £ — +0,
а из оценок (6.26) - соотношения
,(*•") ~, ,(*•")
(Фк ' Рф/' ) £2(П.) = ^к- + 0(1)' £ — +0'
№ | « С' В,
(/к*'")' Р й*)
А* - А(*'")
(7.11)
где константа С не зависит от £, к, ^. Отсюда следует, что определитель матрицы, составленный из левых частей равенств (7.9), стремится к единице при £ — +0. С другой стороны, матрицу, составленную из правых частей равенств (7.9), можно представить в виде произведения Е*(Е*)*, где Б* - матрица с элементами Р*. Таким образом, получаем:
| det Б* | —^ 1 при £ — +0.
Следовательно, для каждого достаточно малого £ существует перестановка ^ > дт, та-
кая что
П
к=1
1
^ ' т!
откуда и из (7.11) выводим:
1
С т-1т!
Подставляя сюда определение В* из (7.11) и используя оценки (6.27), приходим к равенствам
А*к„, — А к*'") = 0(£"-1)'
которые доказывают асимптотики (2.21) для собственных значений возмущённого оператора после подходящего их упорядочивания.
Переходим к обоснованию асимптотик собственных функций. Пусть выполнено условие (2.22). Тогда из асимптотик (2.21) следует, что
|а; — а<*'" )| > С£г
при N > г, а потому в силу (6.27) выполнено
где С - некоторая константа, не зависящая от £, к, ]. Подставим последние оценки и (6.27) в равенство (7.8) и перенесём член Р*.й* в левую часть. Тогда получим:
'-к*'") — р* й; Ли-2‘(п-) « с£
Так как - число, то - собственная функция, соответствующая А|. Поэтому
последняя оценка доказывает асимптотики (2.23) для собственных функций возмущённого оператора. Теорема 2.4 доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. C.M. Bender, S. Boettcher Real spectra in non-hermitian Hamiltonians having PT symmetry // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80. No. 24. P. 5243-5246.
2. A. Mostafazadeh Pseudo-Hermiticity versus PT-Symmetry: The necessary condition for the reality of the spectrum of a non-Hermitian Hamiltonian // J. Math. Phys. 2002. V. 43. No. 1. P. 205-214.
3. A. Mostafazadeh Pseudo-Hermiticity versus PT-Symmetry II: A complete characterization of non-Hermitian Hamiltonians with a real spectrum // J. Math. Phys. 2002. V. 43. No. 5. P. 2814-2816.
4. A. Mostafazadeh Pseudo-Hermiticity versus PT-Symmetry III: Equivalence of pseudo-Hermiticity and the presence of antilinear symmetries // J. Math. Phys. 2002. V. 43. No. 8. P. 3944-3951.
5. A. Mostafazadeh On the Pseudo-Hermiticity of a Class of PT-Symmetric Hamiltonians in One Dimension // Mod. Phys. Lett. A. 2002. V. 17. No. 30. P. 1973-1977.
6. M. Znojil Exact solution for Morse oscillator in PT-symmetric quantum mechanics // Phys. Lett. A. 1999. V. 264. No. 2. P. 108-111.
7. M. Znojil Non-Hermitian matrix description of the PT-symmetric anharmonic oscillators // J. Phys. A: Math. Gen. 1999. V. 32. No. 42. P. 7419-7428.
8. M. Znojil PT-symmetric harmonic oscillators // Phys. Lett. A. 1999. V. 259. No. 3-4. P. 220-223.
9. G. Levai and M. Znojil Systematic search for PT-symmetric potentials with real energy spectra // J. Phys. A: Math. Gen. 2000. V. 33. No. 40. P. 7165-7180.
10. С.М. Bender Making sense of non-Hermitian Hamiltionians // Rep. Prog. Phys. 2007. V. 70. No. 6. P. 947-1018.
11. E. Caliceti, F. Cannata, S. Graffi Perturbation theory of PT-symmetric Hamiltonians // J. Phys. A. 2006. V. 39. No. 32. P. 10019-10027.
12. E. Caliceti, S. Graffi, J. Sjostrand Spectra of PT-symmetric operators and perturbation theory // J. Phys. A. 2005. V. 38. No. 1. P. 185-193.
13. E. Caliceti, F. Cannata, S. Graffi PT-symmetric schrodinger operators: reality of the perturbed eigenvalues // SIGMA. 2010. V. 6. id 009. 8pp.
14. P. Dorey, C. Dunning, and R. Tateo Spectral equivalences, Bethe ansatz equations, and reality properties in PT-symmetric quantum mechanics // J. Phys. A. 2001. V. 34. No. 28. P. 5679-5704.
15. D. Krejcirik, H. Bila and M. Znojil Closed formula for the metric in the Hilbert space of a PT -symmetric model // J. Phys. A. 2006. V. 39. No. 32. P. 10143-10153.
16. H. Langer and Ch. Tretter A Krein space approach to PT-symmetry // Czech. J. Phys. 2004. V. 54. No. 10. P. 1113-1120.
17. K.C. Shin On the reality of the eigenvalues for a class of PT-symmetric oscillators // Commun. Math. Phys. 2002. V. 220. No. 3. P. 543-564.
18. M. Znojil PT-symmetric square well // Phys. Lett. A. 2001. V. 285. No. 1,2. P. 7-10.
19. D. Borisov, D. Krejcirik PT-symmetric waveguide // Integr. Equat. Oper. Th. 2008. V. 62. No. 4. P. 489-515.
20. D. Kreicink and M. Tater Non-Hermitian spectral effects in a PT-symmetric waveguide // J. Phys. A. 2008. V. 41. No. 24. id 244013.
21. D. Krejcirik and P. Siegl PT-symmetric models in curved manifolds // J. Phys. A. 2010. V. 43. No. 48. id485204.
22. Борисов Д.И. О PT-симметричном волноводе с парой малых отверстий // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18. № 2. С. 22-37.
23. D. Borisov, D. Krejcirik The effective Hamiltonian for thin layers with non-Hermitian Robin-type boundary conditions // Asympt. Anal. 2012. V. 76. No. 1. P. 49-59.
24. Назаров С.А. Вариационный и асимптотический методы поиска собственных чисел под порогом, непрерывного спектра // Сиб. матем. журн. 2010. Т. 51. No. 5. C. 1086-1101.
25. Гадыльшин Р.Р. О локальных возмущениях оператора Шрёдингера на оси // Теор. и матем. физика. 2002. Т. 132. No. 1. С. 97-104.
26. Борисов Д.И. Дискретный спектр пары несимметричных волноводов, соединенных окном // Математический сборник. 2006. Т. 197. № 4. С. 3-32.
27. Назаров С.А. Асимптотический анализ тонких пластин и стержней. Т. 1. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Научная книга (ИДМИ). 2002. 406 с.
28. D. Borisov and P. Freitas Singular asymptotic expansions for Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions on thin planar domains // Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire. 2009. V. 26. No. 2. P. 547-560.
29. D. Borisov, and P. Freitas Asymptotics of Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian on thin domains in Rd // J. Funct. Anal. 2010. V. 258. No. 3. P. 893-912.
30. D. Borisov, and G. Cardone Complete asymptotic expansions for the eigenvalues of the Dirichlet Laplacian in thin three-dimensional rods // ESAIM. Contr. Op. Ca. Va. 2011. V. 17. No. 3. P. 887-908.
31. G. Cardone, A. Corbo-Esposito, G. Panasenko Asymptotic partial decomposition for diffusion with sorption in thin structures // Nonlin. Anal. 2006. V. 65. No. 1. P. 79-106.
32. G. Panasenko, E. Perez Asymptotic partial decomposition of domain for spectral problems in rod structures // J. Math. Pures Appl. 2007. V. 87. No. 1. P. 1-36.
33. Борисов Д.И. Асимптотики и оценки собственных элементов Лапласиана с частой непериодической сменой граничных условий // Изв. РАН. Сер. матем. 2003. Т. 67. No. 6. C. 23-70.
34. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974. 408 с.
35. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1982. 740 с.
36. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 392 с.
37. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 577 с.
38. D. Borisov Asymptotic behaviour of the spectrum of a waveguide with distant perturbation // Math. Phys. Anal. Geom. 2007. V. 10. No. 2. P. 155-196.
Денис Иванович Борисов,
Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,
450008, г. Уфа, Россия
Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы, ул. Октябрьской революции, 3а,
450000, г. Уфа, Россия E-mail: BorisovDI@yandex.ru
