Об условиях задания коллинеации многообразия прямых пространств Р3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

УДКяз-oj К. Л. ПАНЧУК

Омский государственный технический университет

ОБ УСЛОВИЯХ ЗАДАНИЯ КОЛЛИНЕАЦИИ МНОГООБРАЗИЯ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА Р,

Исследуется коллинеация многообразия прямых пространства Р, на основе конструктивно-аналитического соответствия между плоскостью Р} и этим многообразием. Сформулированы и доказаны основные условия задания коллинеации многообразия прямых. Результаты теоретических исследований могут быть применены в конструировании линейчатых форм.

Между проективной плоскостью Р2 и многообразием прямых пространства Р3, которое обозначим МП(Р3), существует конструктивно-аналитическое соответствие, реализуемое по схеме Р., -» S2 МП(Р3), где Р2 -» S.2конструктивное (проекционное) соответствие между Р2 и проективной связкой S¿1 S.,—» МП(РЭ) — аналитическое соответствие между S2 и МП(Р3), обеспечивающее переход от вещественных чисел, описывающих фигуры связки S., к дуальным числам ( а = а0 + ша,, от = 0), описывающим фигуры МП(Р3) [1]. На основании этой схемы исследуем условия, определяющие коллинеацию МП(Р.,).

Проективным соответствием между фигурами МП(Р3) назовем такое взаимнооднозначное соответствие, которое каждому образу МП(Р3) ставит в соответствие проективный ему прообраз. Если образ и прообраз являются одноименными фигурами (прямыми, щетками), то проективное соответствие МП(Р3) называется коллинеацией.

Коллинеация двух совмещенных плоских полей в Р2 определяется, как известно [2], заданием четырех пар соответственных элементов, приводящих к двум парам проективных пучков или к двум парам проективных рядов. При этом общие элементы этих пучков и рядов соответствуют друг другу.

Рис. 1. Задание коллинеации проективными рядами

а, = Ь,

Рис. 2. Задание коллинеации проективными щетками

Рассмотрим один из вариантов задания этой коллинеации. Пусть коллинеация в Р2 определена двумя парами соответственных рядов

а(А,. А2, А )Ла' (А7!, А' 2, А'з)

Ь(В1,В21В3)ЛЬ/(ВЛ,В/21В/З) при этом А, = В.А'^В', (рис.1). Выполняя переход по схеме Р.2 -> МП(Р3), получим в МП(Рп) соответствие двух пар щеток первого порядка (рис. 2). Между этими парами щеток существует проективное

соответствие их лучей:

£г'(а|,а2,аз,...)Ла!||(а/11а/21а/з,...)

/?'(Ь),Ь2,Ь:1,...)Л/?',(Ь/1,Ь/2,Ь/3,...), (1)

при этом а, = Ь,, а/| = Ь/|.

Покажем, что если выполняется условие (1), то в МП(Р3) будет определена единственная коллинеация. Пусть й — любая прямая МП (Р.,), не пересекающая луч а, = Ь, (см. рис.2). Задание прямой Ь выделяет из щеток а1 и р'по одному лучу а и Ь соответственно. На основании соответствий 1) определяется единственная пара лучей а7 и Ь/ в щетках а1, и р1, соответственно таких, что а - а', Ь - к/. Лучи а7 и Ь' определяют единственную прямую Ь'.

Пустье1 — любая щетка первого порядка в МП(Р3). Тогда между а' и р1 можно установить СП (сложное перспективное) соответствие [1]:

а'( а,„...)Л/?'(Ъ„,...), при этом а, — Ь,, а, = Ь,. Щетка г1 образует с каждой из щеток а1 и Р' ПП (простое перспективное) соответствие:

а'(а„,..)А£'( с,...)

Поскольку а[7ю\ • /?'Л/?'|, а' А/71, то следует, что

а\кр\ . Но так как а', - Ь',, а', = Ь',, то имеет место СП соответствие , то есть существует единственная щетка е',, обеспечивающая это соответствие. Таким образом, щетке е1 соответствует в коллинеации 1) единственная щеткае1, в МП(Р3).

Из схемы построения проективных соответствий следует, что е1 АгЛ. Построение оси щетки е1 , можно выполнить, если в щетке е 1 взять два луча и построить им соответственные, как в случае прямой Ь, рассмотренной выше. Пара новых лучей определит ось щетки е',.

Вышеизложенное позволяет сформулировать следующее утверждение: коллинеация МП(Р3) вполне определяется заданием двух пар проективных щеток, общие лучи которых соответствуют друг другу.

Имеет место также другое утверждение: коллинеация МП(Р3) может быть определена заданием

четырех пар соответственных прямых, из которых никакие три в каждой из двух четверок соответствия не принадлежат одной щетке.

Для доказательства зададим четыре пары соответственных прямых: я ■ Ь - b'', ^ - с', d - d7. Рассмотрим четыре прямые а, b, с, ci. Примем одну из них, например прямую а, за ось щетки а1 и построим три ее луче ar a2, a3 по заданным прямым b, d, с как линии кратчайших расстояний этих прямых с осыо а. Примем затем другую прямую, например Ь, за ось щетки р1 и также построим три ее луча Ь,, Ь.,, Ъ.,, опираясь на прямые а, с, d. В итоге от задания четырех прз мых а, Ь, с, d выполнен переход к заданию двух щеток ос'(а,, а2, а3,...) и P'(b,, b2, Ь.,,...) с общим элементом а, = Ьг Аналогично выполняется переход от четырех прямых а', Ь', с', d' к двум щеткам et1, (а',, a'j, а^,...) и p^ft/,, b^, b'.,,...) с общим элементом а7, = Ь',. Очевидно, соответствие четырех пар прямых а - а', b - W, с - с\ d - d', па основании однозначности приведенных конструктивных построений, преобразуется в соответствие 1) образованных двух пар щеток. Последнее позволяет на основании первого утверждения сделать вывод о справедливости второго.

Если коллинеация в Р2 определена двумя парами проективных пучков прямых, общие лучи которых соответствуют друг другу, то на основании схемы P2->S2->Mn(P3) ей будет соответствовать коллинеация МП(Р.,), определяемая двумя парами проективных щеток второго порядка, общие щетки первого порядка которых соответствуют одна другой. Такое определение коллинеации МП(Р3) позволяет доказать, что коллинеация МП(Р3) может быть определена четырьмя парами щеток первого порядка, из которых никакие три в каждой из двух четверок соответствия не принадлежит щетке второго порядка.

Результаты теоретических исследований, изложенные выше, могут служить основой для конструирования линейчатых форм, принадлежащих МП(Р3), при помощи известных методов проективной геометрии плоскости.

Библиографический список

1. К.Л. Панчук. Дуальные ряды и пучки второго порядка. // Современные проблемы геометрического моделирования. Сб. труд. 8-й междунар. науч.-практ. конфер. - Мелитополь (Украина), 2003. - С. 56-60.

2. H.A. Глаголев. Проективная геометрия. Госуд. нэд-во "Высшая школа". М., 1963. С. 344.

ПАНЧУК Константин Леонидович, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики.

Дата поступления статьи в редакцию: 26.12.05 г. © Панчук К.А.