Проективитет щетки Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В МАШИНОСТРОЕНИИ

К.Л. ПАНЧУК

Омский государственный технический университет

УДК 513.05

ПРОЕКТИВИТЕТ ЩЕТКИ

ДЛЯ ЦЕЛЕЙ КОНСТРУИРОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЯ ОБРАЗОВ ЛИНЕЙЧАТОГО ПРОСТРАНСТВА РАССМАТРИВАЕТСЯ ПРОЕКТИВНОЕ СООТВЕТСТВИЕ ЛУЧЕЙ ЩЕТКИ, ПРЕДСТАВЛЯЮЩЕЙ СОБОЙ КГ(1,1).

Сложное отношение четырех лучей а, (3, у, 6 щетки может быть представлено выражением [1]:

Увг УВА 8щрГ) *\П{РЗ)

из которого следует, что X не зависит от дуальных модулей винтов |А|, |В|, |Г|, |Д|, а зависит только от относительного расположения их осей а, р, у, 6, определяемого соответствующими дуальными ушами (ау), (ру), (аб), (Р5) между этими осями. Пусть Е и Р- базовые координатные винты с осями е и 1 соответственно, принадлежащими щетке.-Укажегетпроизвольно пару четверок различных винтов А, В, Г, Д и А', В', Г', А' с соответствующими осями а, р, у, 6 и а', Р', у', 6', принадлежащими той же щетке и имеющими разложение по базовым винтам Е и Р:

I

I

а2о3 - о2аг

ахЪ4 - а4ЬХ а2Ъ4 - а4Ь2

_ а\ К - о4 Ьх

!,/ , / / • 1,1 1,1 2 Ь1 ~ 2 а2 °4 ~ °4 Ь2

(3)

При этом о,, Ь,; а2, Ь2; а3, Ь3 \ а4, Ь4; а/, Ь/; о/, Ь/; а3', Ь3'; а/, Ь/ - дуальные косоугольные однородные координаты соответствующих винтов.

Зададим проективное соответствие тремя парами соответственных лучей ( по аналогии с тремя парами соответственных прямых вещественного пучка прямых [2] ). Пусть лучам а,р,у первого дуального пучка соответствуют лучи а/,Р',у/второго дуального пучка. Общим носителем этих дуальных пучков является щетка. Тогда в силу инвариантности сложного отношения для каждой пары 5 и 5' соответственных лучей щетки можно записать:

(а,р,у,5) = (а',р',т',50 (4)

Это позволяет на основании (2) и (3) получить:

А =о,£ + =аг£ + 6г£;Г = а,Е +6)/г; Д = а,Е + Л, = а1'Ё + Ь1'Ё\В' = аг'Ё + Ь2'Р;Т' = а,'Е + Ь,'Г)~К' = а,'Е + Ьл'р Составимвинтовые произведения пар соответству-ющихвинтов VAГ,VBГ,VAí,VBй, V,'/, V,'/, V//, VЙ'Л'V^ подставим их в (1). После подстановок и соответствующих преобразований получим:

ахЬ2-а2Ьх

а2Ъ4 - а4Ь2

а-,Ь2 — Ь1аъ

I,/ /, / /,/ /,!

_ахЬг - о, Ьх ах Ь4 - а4 Ъх

(5)

1 и 1 'т.' а, Ь. — а. 6,

(2)

'и ' 1. ' > ' '1

а2 оъ -Ь2 а3 а2 Ь4 „2

Обозначая делимые в правой и левой частях равенства (5) через Г и Г'соответственно, а также вводя обозначения

х> /

= х

ал

ал

после соответствующих преобразований получим

III. ! 7 ,/

а, х _ axx-bx t

а2х' -Ъ2 a2x-b2 t Обозначая t'lt = г, получим

II и' <2, X -О,

. а,х-Ь, = г —--

а,'х'-Ь2' а2х-Ъ2

(6)

(7)

Решая это уравнение относительно х', получим в кратком виде формулу

, тх + п х =

кх + 1

в которой приняты следующие обозначения:

т = Ьха2 -гахЪ2\п = гЬ2Ъх -ЪхЪ2\к =

(8)

/ / j iiii = al а2 -ra2 ax\l = ra2 bx -ax b2

(9)

Дуальные коэффициенты т, п, к, I зависят только от дуальных координат заданных лучей а.р.у.а'.р'.у'. Следовательно, дуальная координата У луча 8'второго дуального пучка представляет собой дуальную дробно-линейную функцию от дуальной координаты х луча (1 первого дуального пучка.

Правомерность принятия дуальных чисел

К _ V _

= X

= х

ал

ал

т п к I

*0,

а'( х,' ). Р'( ' ). У '( х3' ). 8'( х4'), а затем составить сложное отношение для обеих четверок лучей. Полученные сложные отношения совпадут.

Если формулу (8) преобразовать по условию х =/' к виду

кх2 + (/ - т)х -п = О, то с учетом условия

(Ю)

т п к I

4 "4

- в качестве дуальных координат лучей 5 и 6' щетки может быть обоснована следующим образом. Винты Д и д' с осими~8 и 5' соответственно, имеют, как было отмечено ранее, координатные разложения по базовым винтам Е и Р:

А =а4Ё + Ь4Ё = о4 (Я + — Л = а, А, А' = а4'Ё + Ь4Т = (Е+^ТР) = Д,'

Из этих разложений на основании свойства операции умножения винта на дуальное число_[3] следует, что существенными в определении положения осей 8 и 5' являются только соответствующие дуальные числа Ь4/а4 и Ь,'/а4'. В парах же винтов Д и Д,, д' и Д/ имеются общие оси 5 и 6' соответственно, поскольку множители а4 и а4' не нарушают соосности винтовых пар. Таким образом , имеет место следующее утверждение: проективное преобразование луча 5(х) первого дуального пучка щетки в луч З'(х') второго дуального пучка ее выражается дуальной дробно-линейной функцией.

Верно и обратное утверждение: преобразование луча 5(х) в луч Щх1) по формуле (8) при условии, что

приходим к выводу о существовании двойных лучей проективного преобразования щетки.

Если дискриминант квадратного уравнения (10) положителен, т.е.

£> = (1-т)2 + 4кп > 0, то имеем два действительных двойных луча. В этом случае между лучами дуальных пучков щетки устанавливается гиперболическое проективное соответствие. ^

Если О = 0, то имеем один действительный двойной луч с координатой х = (т-1 )12к. В этом случае между лучами дуальных пучков щетки устанавливается параболическое проективное соответствие.

Если О < 0, то корни уравнения (10) мнимы, и имеем эллиптическое проективное соответствие между лучами дуальных пучков.

Рассмотрим частный случай проективного соответствия лучей щетки - инволюцию. Преобразуем формулу (8) в уравнение с нулевой правой частью:

кхх' +1х' -тх-п = 0 (11)

Чтобы это уравнение описывало инволюционное соответствие лучей щетки, необходимо, чтобы оно было симметричным относительно дуальных переменных х их'. Это возможно при условии / = -т, которое, после подстановки соответствующих выражений для I и т, приводит к инволюционности проективного соответствия, характеризующейся заданием двух пар соответственных лучей щетки. Таким образом, уравнение, описывающее инволюцию лучей щетки, имеет вид:

/ тх + п х =■

является проективным. Для доказательства необходимо любые четыре луча а(х,), Р(х2), у(х3), 5(х4) преобразовать по формуле (8) в соответствующие четыре луча

, (12)

кх-т

Определим двойные элементы инволюции. Для этого формулу (12) преобразуем вначале к уравнению

кхх' - т{х' + х) - п = 0, (13)

от которого, с учетом условия х = х', перейдем к уравнению

кх1 -2тх-п = 0 т)

Если в (14) подставить вместо коэффициентов их дуальные выражения к = кд + toft,; т = т0 + com,; л = п0 + ton,, а вместо х -дуальное число х0 + сох,; то после разделения главной и моментной частей дуальной функции (14), представимой в общем виде как

F(x) = f(x0) + u[x1 f'(x0) + f,(x0)l,

получим два вещественных уравнения [3] f(xj=k0x?-2m0x0-n0 = 0 (15)

f'(*o) + Wo ) = 2(к0хо-то) х, +к1 хо - 2т1Хо -п1 = 0

Из (15) следует

m0±^mQ2 +к0п0

(*o)i.2 —

Из (16) следует

__кхх02 -2тхх0-пх /1,2 -

(17)

(18)

2(к0х0 -т0)

Если дискриминант уравнения (15) О = т0г + к0 п0 >0, то имеем два различных корня (х0 )1 и (х0 )2, которые после подстановки в (18) дают два различных ( х,), и (х,)г. Этот случай соответствует гиперболической инволюции лучей щетки и для него характерно наличие двух различных двойных ее лучей, которым соответствуют дуальные корни

х,'=( х0+ со (х,),, хг' = (х0)2 + ® (х, )г

Если же 0=0, то из (17) следует, что (х0 )1 = (х0 )г = т01 к0. Двойной корень х0 = т01 кд, удовлетворяющий уравнению Цх )=0, удовлетворяет также его производной Р(х0)= 2(к0хд-т0)=0. Поэтому из (16) следует, что

назовем центральным лучом инволюции, а соответственный ему в инволюции луч б'( х'), у которого х0' = 00, х/ = оо, назовем несобственным лучом щетки.

Изменим координаты соответственных в инволюции лучей, приняв за начало отсчета центральный луч щетки. Тогда для луча 5(х) можно записать измененную координату

X = х0+ сох] = х- (—- + (О —- ) =

хок0-то + ^ _ т,к0-т0к^

(21)

п.0

Для соответственного ему луча 6'(х') измененная

координата будет иметь вид

х1 = х0' + сох/ = х' - (—— + со

кппп + тп

■) =

он должен также удовлетворять уравнению f,(xj = kfx02 о v^o-^o ~то)

' i со(х ' т°

) (22)

■ 2т1х0 - п1 = 0, поскольку х1 Р(х0) + f1(x0)=0. Моментная часть х, = - [ ^(х^ IР (х0) ] в таком случае равна любому вещественному числу. Таким образом, если дискриминант вещественного уравнения (15) равен нулю, то имеем двойной дуальный корень х = х0 + ш х, где х0 = mj кд, х, - любое вещественное число. Этому случаю соответствует параболическая инволюция лучей щетки. Если же 0=0 , то корни (17) и (18) уравнений мнимы и имеет место эллиптическая инволюция ее лучей.

Рассмотрим вопрос о центральном луче инволюции лучей щетки. Пусть х -» т / к. В развернутом виде это условие будет следующим:

т т

х = хп + сох, —> — = — 0 ' к к

о . „ тА - moki --h СО -г-

ЧИМ

т

о .

*0 -г-;

кп

тхк0 - т0кх

Если составить произведение главных частей дуальных уравнений (21) и (22), то получим

__/ 1 . т0 .

хохо ~ ~Т~ (по + ~Т ) = ^о "о Ч

(23)

о Ло

Разделяя в нем главные и моментные части, полу-

Следовательно, произведение главных частей дуальных координат соответственных в инволюции лучей щетки, отсчитываемых от ее центрального луча, есть величина постоянная.

Для двойных лучей инволюции характерно равенство их дуальных координат (21) и (22), что приводит к равенству главных частей этих координат. Поэтому для этих лучей имеет место формула:

кп

(24)

(19)

Запишем также в развернутом виде дуальное уравнение (12)

что следует также из (17). Таким образом, модули главных частей дуальных координат двойных в инволюции лучей щетки, отсчитываемых от ее центрального луча, равны.

/ / / '"0Л0 х = х0 + сах | =

т„х„ + пп

к0х0 т0

+ со

к0х0 т0

х02(/и,А:0 - т0кх) - ¿„яД - х,(т02 + п0к0) + и0/и,

(к0х0 - т0)2

Из него, на основании условия (19), следует, что

/ / х0 -> оо; л:, —>оо

Луч 5(х) щетки, у которого координата х равна

mñ т,кп - тЛ, х = xñ + ш. = — + (о —, ' кп к'

ЛИТЕРАТУРА

1. Панчук К. Л. Сложное отношение четырех лучей щетки. //Современные проблемы геометрического моделирования. Сборник трудов международной научно-практической конференции.- Харьков: изд-во ХИПБ, 1998,-Ч. 1-С. 122-126.

2. Глаголев H.A. Проективная геометрия.-М.: Высшая школа, 1963.-344с.

3. Диментберг Ф. М. Теория винтов и ее приложения,- М.: Наука, 1978.-328 с.

ПАНЧУК Константин Леонидович - кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики Омского государственного технического университета

29.06.99 г.