CC BY
12
УДК 517.927.25
А. П. Хромов, Д. Г. Шалтыко
ОБ УСЛОВИЯХ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА*
Рассмотрим на отрезке [0;1] краевую задачу, определяемую дифференциальным уравнением
у" + Рг(х)У + Р](Х)У + Р3^ = 0, -1<агё(р)<у,
О)
где функции /?2(д:)е С'1 [0;1], С'[0;1] и нормированными краевыми
условиями
1/уМ = а.А)(О)+РуУ(к')0)+^1(«^>'(/)(О)+Ру,>С/)0))-О1 V = 1,2,3 (2)
У- о
27>к} >к2 >к, >0, А, >к>, П0ау| + |ру|)*0.
У=1
Известно [1, с. 58] , что дифференциальное уравнение (1) в каждом
секторе 5у = < агд(р)5 У = 1,2, допускает фундамен-
1ипьную систему решений {ук 2 3, для которой при больших р
справедливы асимптотические формулы
с!х
7Ук(х,р)=(р<0кУе<*>'
1 + С
2к-\
шк =е 3 , к = 1,2,3, 5 = 0,1,2.
Предположим также, что характеристический определитель задачи (1), (2) Д(р) = {ук (дс, р)|у к ) можно представить в виде
Л(р)=А)(р)+Л,(р>рш' +^(р>рй'2 +/13(р>ршз,
причем
/1,(р)=ара
1 + о\
, ^з(р)=РРА
ГО 1 + 0 -
V \Р);
, а] а(3*0,
р е ,7 = 1,2.
" Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 00-01-00075, и программы «Ведущие научные школы», проект
№00-15-96123
Это означает, что краевые условия (2) являются нерегулярными [1, с. 66], т.е. функция Грина С{>задачи (1), (2) имеет экспоненциальный рост по спектральному параметру как при / < х, так и при ? > х, что представляет собой основную трудность при решении задачи о разложении по собственным и присоединенным функциям. Впервые подобная задача для простейшего дифференциального уравнения у +р3^ = 0 и двучленных краевых условий была рассмотрена и полностью решена А Г1. Хромовым в работе [2].
Случай экспоненциального роста функции Грина только при / < х или при I >х встречался ранее в краевых задачах с нерегулярными распадающимися краевыми условиями. Такие задачи рассматривались многими авторами [3, 4]. В работе [4] приводится полное решение задачи о сходимости спектральных разложений для краевых задач с нерегулярными распадающимися краевыми условиями
В настоящей статье получены условия, гарантирующие равномерную сходимость спектральных разложений. К сожалению, полученное достаточное условие значительно более жесткое, чем приводимое необходимое.
Имеет место
ТЕОРЕМА 1. Собственные числа задачи (1), (2) образуют бесконечную последовательность, все они, начиная с некоторого, просты и для них справедливы асимптотические формулы
где — = Ме'х.
Р
Справедлива
ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие сходимости). Пусть ряд из собственных и присоединенных функций задачи (1), (2) сходится абсолютно и
равномерно при х е [дг0;лг13 к функции /(х), ^ < дг0 < х1 < 1. Тогда /(х) является операторно-аналитической функцией на интервале ^ - -"у-; х0 |
Предположим теперь, что /(х) - операторно-аналитическая функция на отрезке [0;1], ее обобщенные ряды Тейлора в точках 0 и 1 имеют радиусы сходимости /?() и соответственно, причем Н0 >!-/?, Пусть, далее.
если а( = Ь
+ о(1), если а) <Ь•
} >
функции /(.с), /(/), /2(/), ... удовлетворяют краевым условиям (2). Тогда справедлива
ТЕОРЕМА 3 (достаточное условие сходимости). Если = тш{У^д,Л,} то функция /(х) разлагается в равномерно сходящийся ряд по собственным и присоединенным функциям на отрезке
I 1 R о ---+ £;/< — с
[2 2
для любого е > От.е. выполняется
Iimr шах J/(x)-S,(/,jO| = 0, [г 2 • J
где Sq(f,x) представляет собой частичную сумму ряда Фурье функции f(x) по собственным и присоединенным функциям задачи (1),(2). Из теоремы 2 легко получается
СЛЕДСТВИЕ. Если R > 1, то функция /(х) разлагается в равномерно сходящийся ряд на всем отрезке [0;l],
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 НаймаркМ.А. Линейные дифференциальные операторы М : Наука, 1969.
2 Хромов А.П. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи гретьего порядка// Исследования по теории операторов Уфа, 1988 С. 182 - 193
3 Хромов А.П Разложение по собственным функциям обыкновенных дифференциальных операторов с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Мат. сб 1966. Т. 70 (112). С. 310 - 329
4 Х[М1мов А.П Дифференциальный оператор с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Мат заметки Т 6, № 6 С. 763 - 772.
УДК 517.51:518
Г. В. Хромова, И. Д. Молодецкова
ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ ЗАДАЧИ КОЛМОГОРОВА-НИКОЛЬСКОГО'
В данной статье рассматривается модификация известной задачи из теории приближения функций и дастся решение этой модифицированной задачи в случае, когда для приближения периодической функции используется некоторое специфическое семейство интегральных операторов
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 00-01-00075, и программы «Ведущие научные школы», проект № 00-15-96123.
