CC BY
45
Рис. 1. Оптимальная траектория системы ЛИТЕРАТУРА
1. Жуковский В.И., Салуквадзе М.Е. Риски и исходы в многокритериальных задачах управления. Тбилиси: Интелекти, 2004.
2. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. М.: Изограф, 1997.
3. Петросян Л.А., Захаров В.В. Введение в математическую экологию. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980.
Mezgo V.V. MANAGEMENT OF SYSTEM «PREDATOR-PREY» (WITH THE CONSIDERATION INTRASPECIFIC COMPETITION)
An example of application of analysis of the differential information model of two-level hie-rarchical system in conditions of uncertainty in the problem of two hunting is shown.The lower level selects his answer within the unfavorably principle. Using the penalty technique, initial maxmin problem is reduced to the maximization one. The necessary optimality conditions allow us to find the optimal trajectory of the system and the optimal strategy of the lower level.
Key words: hierarchical system; uncertainty; penalty technique; pessimism principle; «predator-prey».
УДК 517.977.5
ON THE OPTIMALITY CONDITIONS FOR SINGULAR CONTROLS © Z.T. Mingaleyeva, I.A. Shvartsman
Key words: optimal control; singular control; second-order conditions.
We derive second-order necessary optimality conditions for singular controls for an unconstrained nonlinear Mayer problem. By using the method of finite-dimensional approximations we relax the assumption of piecewise-continuity of the optimal control present in the earlier literature.
This work is devoted to the derivation of the second-order necessary optimality conditions for singular controls for an unconstrained nonlinear Mayer problem
ф(х(Т)) ^ min
x(t) = f (t,x(t),u(t)),t e [S,T], x(S) = x0,
u(t) e U(t), t e [S,T],
The data for this problem comprise an interval [S, T], functions ф : R™ ^ R, f : R x R™ x x Rm ^ R™, and a multifunction U : [S, T] ^ Rm. A control function is a measurable function
2609
u :[S,T] ^ Rm such that u(t) e U(t) for a.a. t e [S,T]. A process (x,u) comprises a control function u and an absolutely continuous function x satisfying the constraints of (1).
We assume the following on the problem data:
(H1) The functions ф( ), f (t, ■, ■) are continuous together with the derivatives фх( ), фхх( ), fx(t, ■, ■) and fxx(t, ■, ■) for all t e [S,T];
(H2) The functions f (^,x,u), fx(^,x,u), and fxx(^,x,u) are measurable for all (x,u);
(H3) U(■) is a bounded closed-valued multifunction, continuous with respect to the Hausdorff metric.
Let the process (x,u) be a Pontryagin local minimizer of (1), that is, there exists e> 0 such
that (x, u) minimizes the cost function over all admissible processes (x, u) satisfying
\\x — x\\c + meas {t e [S,T ]| u(t) = u(t)} ^ e.
Let H (t,x,u,p) = pT f (t,x,u), where p(^) is the solution of the adjoint system
p(t) = —Hx(t, x(t), u(t),p(t)) with the endpoint condition p(T) = —фx(X(T)).
The main result of the work is the following theorem, which provides necessary optimality conditions for a singular optimal control, that is, in the situation when the Hamiltonian of the system does not depend on u.
Theorem. Let v(t) e U(t), v(t) = u(t) a.e. on [t1,t2] be a continuous function such that
H(t,x(t),v(t),p(t)) = H(t,x(t),u(t),p(t)), t e [t\,t2]-
For optimality of u it is necessary that for any t e [ti,t2] where f (■,x,u') and u are left- or right-continuous, it holds that
(Av f (t))TV(t)Ay f (t) — Av^(t)Avf (t) ^ 0, (2)
where
^v f (t) = f (t, x(t),v(t))—f (t, x(t),u(t)) and Av Hx(t) = Hx(t, x(t), v(t),p(t))—Hx(t, x(t),u(t),p(t)) and the matrix ^(t), t e [S, T] is the solution of the equation
ф(t) = Hxx(t) — fi (t)^(t) — тш
with the endpoint condition
*(T )= фxx(X(T)).
Consequently, if u and f (■,x,u) are Riemann integrable, inequality (2) holds almost everywhere on [ti,t2].
ЛИТЕРАТУРА
1. Gabasov R., Kirillova F.M. High-order necesssary conditions for optimality // SIAM J. Control and Optimization. 1972. V. 10 (1) P. 127-169.
2. Gabasov R., Kirillova F.M. Singular Optimal Controls. Librokom (in Russian).
3. Alekseev V.M., Tikhomirov V.M., Fomin S.V. Optimal Control. Consultants Bureau. New York, 1987.
4. Arutyunov A.V. Perturbations of extremal problems with constraints and necessary optimality conditions// J. Soviet Math. 1991. Серия Естественные и технические науки. V. 54 (6) P. 1342-1400 (in Russian).
Мингалеева З.^, Шварцман RA. ОБ УСЛОВИЯХ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ОСОБЫХ УПРАВЛЕНИЙ
Мы получили необходимые условия оптимальности второго порядка для особых управлений для нелинейной задачи Майера без ограничений. Используя метод конечномерных аппроксимаций,
2610
мы ослабили предположение о кусочной непрерывности оптимального управления, которое присутствует в более ранних работах
Ключевые слова: оптимальное управление; особое управление; условия второго порядка.
УДК 517.9
АППРОКСИМАЦИЯ И ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ УПРАВЛЕНИЙ © Д.О. Михайлова
Ключевые слова: динамическая система; управление; динамическая регуляризация. Построены новые динамические регуляризующие алгоритмы реконструкции граничного управления в параболических системах, которые позволяют получить кусочноравномерную сходимость регуляризованных приближений. Выполнена конечномерная аппроксимация задачи. Обсуждаются результаты численного моделирования.
Рассматривается задача о восстановлении неизвестных управлений в параболической системе по результатам приближенных измерений состояний наблюдаемого движения системы. Задача решается в динамическом варианте, когда для определения текущего приближения неизвестного управления разрешено использовать только измерения, поступившие в данный момент времени. Для решения задачи предлагается воспользоваться методом динамической регуляризации [1]. Работа продолжает исследования [2, 3].
Пусть управляемая система на конечном отрезке времени T = [to, $] описывается параболической краевой задачей [4, гл. 3]
™ д д yt = dx { aij(x) dx~ ) — a(x) У + f (t, x), (t,x) e Q = T x tt;
i,j=1 i j
У (to, x) = yo(x), x e tt С R™;
д y
+ иУ = g(x) u(t), t e T, x e Г = дtt, v = const ^ 0;
эллиптический оператор в правой части уравнения коэрцитивен [4, гл. 3, § 3], aij = aji e e L^(tt), a e L^(tt), a ^ a0 = const ^ 0, f e L2(Q), g e LV!l(Г), y0 e L2(tt), управление u e L2(T; Rm), u(t) e P С Rm, t e T.
Пусть в соответствующие текущие моменты времени t e T приближенно измеряются состояния системы y[t], причем результаты этих измерений ys[t] удовлетворяют условию || ys[t] — y[t] ||ь2(п) ^ ё , 0 ^ ё ^ 5o. Задача восстановления состоит в том, чтобы построить
динамический алгоритм D : ys ^ us , восстанавливающий ту реализацию u управляющего воздействия на динамическую систему, которая соответствует результатам наблюдений. При этом результат us = us (t), t e T, восстановления искомого управления u = u(t), t e T, должен быть тем точнее, чем меньше ошибки измерений: us ^ u, ё ^ 0.
Задачу реконструкции предлагается решать модифицированным методом динамической регуляризации, предложенным Ю.С. Осиповым и А.В. Кряжимским [1]. Решение задачи восстановления будем искать в виде семейства конечношаговых динамических алгоритмов D = { DJ : a e Е, 0 ^ ё ^ So }. Каждый алгоритм формализуется в виде тройки D$ = = {(ti)i=0; (Ei)i=o; (Fi)li=o ), где (ti)i=o — точки разбиения a отрезка времени T: to = to < < 11 < ■ ■ ■ <t[-1 <ti = $; Ei — отображение, которое в динамике формирует на отрезке
2611
