К оптимальности особых в классическом смысле управлений в одной задаче оптимального управления системами с переменной структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2018 Управление, вычислительная техника и информатика № 44

УДК 517.977

DOI: 10.17223/19988605/44/2

К.Б. Мансимов, Ш.Ш. Сулейманова

К ОПТИМАЛЬНОСТИ ОСОБЫХ В КЛАССИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ УПРАВЛЕНИЙ В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ

Рассматривается одна задача оптимального управления с переменной структурой для системы, описываемой уравнением Гурса-Дарбу. При предположении открытости области управления выведены необходимые условия оптимальности первого и второго порядков. Исследованы на оптимальность особые, в классическом смысле, управления.

Ключевые слова: система Гурса-Дарбу; особые в классическом смысле управления; необходимые условия оптимальности; вариация функционала; уравнения в вариациях.

К настоящему времени различные аспекты задач оптимального управления для систем, описываемых уравнениями Гурса-Дарбу, изучены в работах многих авторов, начиная с работы А.И. Егорова [1]. Довольно подробный обзор соответствующих результатов имеется, например, в [2-10] и др.

При предположении открытости области управления установлен аналог уравнения Эйлера [11-14]. Далее, применяя модифицированный вариант метода приращений, предложенный и развитый в работах [1-10, 15-21] и др., для систем Гурса-Дарбу выведено довольно общее необходимое условие оптимальности второго порядка. Отдельно изучен случай вырождения аналога условия Лежандра-Клебша (в классическом смысле особый случай [10, 13, 15, 20, 21]).

В отличие от работ [1-10], предлагаемая работа посвящена исследованию задачи оптимального управления с переменной структурой для систем, описываемых уравнениями Гурса-Дарбу.

1. Постановка задачи

Рассмотрим задачу о минимуме функционала

5 (и, V ) = ф1 ( г (*,, X )) + ф2 ( у (г2, X)) (1)

при ограничениях

и ((, х )еи с Яг, ((, х )е Ц = [(0, ^ ]х[ х0, X ], V ((, х)е V с Я, ((, х) е Ц =[^, (2 ]х[х0, X ],

гх = I((, ^ г, иX ((, х)е Ц, (3)

г(^х) = а(х), х е [х0,X],

(4)

г ((, х0 )= Ь1 (() , ( е^ (1 ], Ух = §((, ^ У, V), (^ х)е Ц2 , (5)

У ((1, х)= С(г((1, х)), х е[xo,X],

(6)

У ((, х0 )= Ь2 (( ), ( (2 ], С (г (^ х0 )) = Ъг ((1) .

Здесь / ((, х, г,и) , (§ ((, х,у,V)) - заданная п (т)-мерная вектор-функция, непрерывная в Ц1 х Я" х Я (Ц х Ят х Я9 ) вместе с частными производными по (г,и) ((у, V)) до второго порядка включительно,

(2)

О (2) - заданная дважды непрерывно дифференцируемая в Я" т-мерная вектор-функция, а(х), Ь (t), г —1,2 - заданные вектор-функции соответствующих размерностей, удовлетворяющие условию Липшица с некоторыми константами, ^, t1, t2, х0, X - заданы, причем t0 < ^ < t2, х0 < X, управляющие вектор-функции и (t, х) (у (^ х)) всюду в дальнейшем считаются измеримыми по Лебегу на прямоугольнике Д (Д), и (V) - заданное непустое, открытое и ограниченное множество.

Пару (и ^, х), у ^, х)) таких управляющих воздействий назовем допустимой.

Предполагается, что при заданном допустимом управлении (и х), х)) краевые задачи (3)-(4) и (5)-(6) имеют единственное абсолютно непрерывное (в смысле [2, 3]) решение х) и у t, х ) соответственно.

Допустимое управление (и0(^х),х)), доставляющее минимум функционалу (1), при ограничениях (2)-(6) назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс (и° ^, х),у° ^, х), 2° (^ х),у° ^, х)) - оптимальным процессом.

2. Вычисление вариаций функционала качества

Пусть (и° ^,х),х),г,х),у° х)) есть фиксированный допустимый процесс. Через (и (^ х) — и х) + Аи (^ х), у^, х) — х) + Ау^, х), г^, х) — х) + Аг ^,х), у^, х)—у°^, х) + +Ду (г, х)) обозначим произвольный допустимый процесс.

Тогда ясно, что приращение (Дг^,х),Ау(^х)) состояния (г°(х,х),у°(t,х)) будет решением краевой задачи

Д^ — ,х,2,и)-/(,х,г0,и0), Д, (7)

Аz(t0, х) — х ^[x0, х ], Дг^, х0) — 0, t , ^ ], АУх = g(t,х,у,у)-g(t,х,у0,у0), Д2, (9)

Ау (1 х) — АО(г0 (1 х)) — О(2(1 х))- О(20 (1 х)), Ау (^ хо ) — 0, t е[1 ^2 ], О(гх00 ))— Ь2 (^ ) .

Через у0 (t,х), г —1,2 обозначим пока неизвестные п и т-мерные вектор-функции соответственно. Умножая обе части соотношения (7) ((9)) слева скалярно на у0 (t, х) (у (¿, х)), а затем интегрируя по области Д (Д ) и вводя обозначения

Нх,г,и,у0) — У '/(^х,г,и), Мх,у,у,у0) = У0 'g(t,х,у,у) ,

получим

1 х

(t, х)А^& х) dxdt — — Ц[Н(^х,г (^х),и (^х),у0(t,х))-Н(t,х,г,х),и,х)х))~\dxdt,

t о хо

(2 X

ЦуО' (", х )Ау& (", х) СхС" =

,2 X О2)

||[м (", х, у (", х ), V (", х ), у2 (", х ))- М (", х, уО(", х ), V°(", х ) ,у| (", х ))]СхС".

(1 х0

Считая у° (", х), I = 1,2 достаточно гладкими вектор-функциями и учитывая краевые условия (8), можно убедиться в (10) в справедливости тождеств

"1 X X ^О' (" х)

11 уО (", х) А^ (", х) СхС" = (", X)Аг (", X) -1 у (1, ) Аг (", х) сх -

"0 х0 х0

Аг(",X)С" + Аг(",х)СхС",

0 0 х0 "2 X X ^О' ( ( х)

11 у' ( ", х )Ау,х (", х) СхС" = у О' ("2, X )Ау (,2, X)-1 у ^, ) Ау ( (2, х) Сх - у' (", X )Ау (", X) +

(1 х0 х0

X 5у°'(", х) . . \ 5у°'(", X) . . \ X д2у°'(?, х) . .

+ | Т2 и ' Ау (", х) Сх - | Т2 ^ ' Ау (", X) С + | | Т2 ^ ; Ау (", х) СхС".

дх 1 д д дх

х0 "1 "1 х0

Поэтому с учетом тождеств (11), (12), а также того, что

Ау х) = С(г (г,,х)) - С(г° х)), формула для приращения критерия качества (1) записывается в виде:

А5 (и °, = 5 (и, V )-5 (и О, ^) = [ф( г ("„ X ))-ф ( г О("„ X ))] + [ф2 (у (" 2, X ))-ф2 (у ° (" 2, X ))] +

+у1О'(", X )Аг (", X )-| ( х ) Аг х ) Сх -|ду' ( ",X ) Аг (", X ) С" +

дх , д"

х "0

к X д2уО'( "х) X дш°'(" х)

у ( , ) Аг (", х) СхС" + уО ( "2, X )Ау ( "2, X )-| Т2 ( 2 , ) Ау ( "2, х ) Сх - уО (", X )Ау (", X ) +

, д" дх дх

"0 х0 х

ХГ дуО'(", х) . . % дуО (", X) . . ) X д2уО'(", х) . . + | У2 и ' Ау (", х) Сх - | У2 ^ ' Ау (", X ) С" + | | У2 ^ ' Ау (", х) СхС" -

* дх • д" д" дх

х0 " "1 х0

4 X

Н (",х, г (", х),и (", х),уО (",х)) - Н (",х, г° (",х),и° (", х),уО (", х))^СхС - (13)

"0 х0 "2 X

-||[М (", х, у (", х ), V (", х ), уО (", х ))-М (", х, у ° (", х ), V0 (", х ) (", х ))]СхС.

" х0

Полагая

N

х ддй .г (", х = ^ у (". х ) = С (г (", х)),

е(у2, г("1,X)) = у2' ("1,X)С ( г ("1,X)) и используя формулу Тейлора из (13), получим

А5(„о,^М^М)) Дг(X) +1 ¡г(,,,X)д'ф. ()) Дг((^^^^^^Цдг(х2)

Ау ^ 2, X) +1 А/ (22, X )М2£>1 Ау (, 2, X ) + О2 (|Ау 2. X |') +

+у0'( ч-, х )Аг (ч-, х )-{

х ду0'( tl, х)

А (4, х)dx - { ду (t,х) А (t,х)dt + { {

дх

4 хд ^х) дt дх

дt

¿0 -^0

Аг (t, х ) dxdt +

+у0'(ч2, х ) Ау ( Ч2, х )-Ау ( Ч2, х ) dx (у 0, ^ х )) Аг «, х )-

1*4 ^д2б (^0, г (tl, х ))

-1М t1, х )--- Аг (^ х ) + °3

дЫ'

+

ду0 / \ x, , г (^, х) дх

д

л

Аг (ч, х ) dx +

+ — 2

1 х

- {А' (tl, х )-

д2 N

ду0 / \ дх 1

&0

л

Аг (ч, х) dx + {0

t1, х)|| )dx -

* ду0'(ч, х)

Ау (t, х ) Ж + {{

'0 х д2^0' (t, х)

дt • дt дх

п х0

Ау (t,х)dxdt -

Ч х

■{{[Н'и (ч,х,г° (t,х),и0(ч,х), у0(ч,х))Ам (Ч,х)-Н' (Ч,х,г0(t,х),и0(Ч,х), у0(ч,х))а (t,х)Jdxdt -

Ч0 х0 ¿0 х

-ЯМ (t,х,у° (t,х),у° (t,х),у0 (t,х))Ау(ч,х) -М'у (ч,х,у° (ч,х),у° (t,х),ур (t,х)) Ау (ч,х)]ЛхЛч -

К х0

х

-1 {{[Аг'(Ч,х)Нг (Ч,х, г° (Ч,х),и° (Ч,х),У-0 (t,х))Аг(t,х) + 2Аи'(Ч,х)х

¿0 х0

хНи (ч,х,г° (Ч,х),и°(Ч,х),у0(Ч,х))а(Ч,х)+Аи'(ч,х)Нш (ч,х,г° (ч,х),и° (ч,х),у0(ч,х))Аи (ч,х)]ЛхЛЧ

^ Ч2 х

- - {{[Ау ' (Ч, х )Муу (Ч, х, у ° (Ч, х ), у° (Ч, х ), ур (ч , х ))Ау (ч , х ) + 2Ау ' (ч , х )х

Ч х0

М (ч, х, у ° (Ч, х ), у° (Ч, х ), у0( Ч, х ))Ау (ч, х ) + Ау ' (ч, х )М„ (ч, х, у ° (ч, х ), у° (ч , х ), ур 2, х ))Ау (ч, х )] ЛхЛЧ

-{{ 0 ([||Аг (Ч, х)|| +1|Аи (Ч, х)||]2)ЛхЛч - { {0, ([¡Ау (ч, х)|| + ||Ау (ч, х)||]0)ЛхЛч .

¿0 х0 Ч х0

Если предполагать, что у0 (Ч, х), г —1,2 удовлетворяют соотношениям

д2у0(ч, х^ дН (Ч, х, г°(Ч, х),и°(Ч, х), у0(ч, х))

(14)

дЧ дх

дУ^-, х)

дЫ

дг

ду0 0, ч x, , г (х)

(15)

дх

дх

х) — -

_ ду0( Ч, х)

& ' дЧ

дФ1 ( 2°(ч-, х (у0, г (¿1, х))

— 0,

дг дг

д2у0(Ч, х^ дМ (Ч, х,у°(Ч, х),у°(Ч, х), ур (ч, х)) дЧ бт ду

ду 0 (ч 2, х)=() дур (Ч, х ) =()

(16) (17)

дх

дЧ

2

уЦЧр, х ^^ФоМ^ , (,8)

ду

то формула приращения (14) примет вид:

4 х

АЗ (и°, у°) — -{{Н' (-, х, г° (-, х),и° (-,х), у0 (-,х)) Аи (-,х) ЛхЛч -

|и /

-0 х0

-0 х

-{{ми (-, х, (-, х), у° (-, х), у0 (-, х)) Ау (-, х) ЛхЛч

-1 х

(19)

0 1 ^ „ 1 I Л , . I „ 1 „/„ ,7,» +

+1 (-„ х )дФМ0) А. (-„ х ) + !д, (Чо, х Ау (Чр, х )-

,ол/ ду[ ( ^ х, , г (Ч1, х)

1 д(у0, ^,х)) 1 х д Ы х, 'г ('1,х)\ -1 Аг'('1, х Аг ('1, х )-1 {а2'(1, х )-о-1 Аг ('1, х ) Лх -

дг2 41 7 21 41 ' дг2

х0

уЬ х

1 {{ [Дг'(-,х)Нгг (-,х,г° (-,х),и° (-,х),у0 (-,х)) Аг(-,х) + 2Ди'(-,х)х

-0 х0

хНмг (-,х,г°(-,х),и0(-,х),у0(-,х))Дг(-,х)+Ди'(-,х)Нмм (-,х,г° (-,х),и°(-,х),у0(-,х))Аи (-,х)]ЛхЛ--

-0 х

1 г

-1 { { [Ау'(-, х)Муу (-, х, у0 (-, х), у° (-, х), у0 (-, х)) Ау (-, х) + 2Ду'(-, х)х

— х0

хМу (-, х,у° (-, х),у° (-,х), у0 (-,х)) Ду (-,х) + Ду'(-,х)Мгг (-,х,у° (-,х),у° (-,х), ур (-,х)) Ду (-,х)]ЛхЛ- -

+01 (||Дг (-1, х )||0 ) + 0р (||Ау (-о, х )||0 ) + 0з (|Аг (-1, х )||0) + ^ (||Дг (-1, х )||0) Лх -

х0

-{^^^ ([||Д (-,х)|| + ||Аи (-,х)||]0)ЛхЛ- - {— ([||Ау (-,х)|| + ||Ду(-,х)||]0)ЛхЛ-.

Краевую задачу (15)-(18) назовем сопряженной системой в задаче оптимального управления (1)-(6). Поскольку множества и и V открытые, то специальное приращение допустимого управления (и°(-,х),у°(-,х)) можно определить по формуле:

Аи (-, х) — е5и (-, х),

^ ^ ; v ; (20) Ау (-, х) — е5у (-, х).

Здесь е достаточно малое по абсолютной величине произвольное число, а 5и (-, х) и 5у (-, х) произвольные измеримые и ограниченные соответственно г и ^-мерные вектор-функции со значениями из Яг и Яд соответственно.

Такие 5и (-, х) и 5у (-, х) назовем допустимыми вариациями управляющих функций и0(-, х) и у0(-, х) соответственно.

Через (Д^е (-, х; е), Ауе (-, х; е)) обозначим специальное приращение состояния ( г °(-, х), у °(-, х)), отвечающее приращению (20) управления (и° (-, х),у° (-, х)) .

Из оценок, установленных, например, в [1-3], следует, что

-1 х

ЦДг(-,х)||< Ц {Аи(х,^)||х, (21)

-0 ^Ь

¡Ay (t, х )||< Ц

2 X

JJ||Av (т, ^ )|| dsd T + ||Az (t, х )||

(22)

где Ц = const > 0, i —1,2 - некоторое постоянное. Из (22) с учетом (21) получаем, что

|| Ay (t, х )||< Цз

t x

t х

j j ||av(т,s)||dsdт + j j ||Am (т,s)||dтds

t1 х0

(23)

где Ц = const > 0 - некоторое постоянное.

Из оценок (21), (23) следует, что ||Аг(",х;в)|| и ||Ау (",х;в)|| имеют порядок малости е . А из краевых задач (7)-(10) получаем, что (АгЕ (", х), Ау (", х)) является решением линеаризованной краевой задачи

(",х; в) = I (",х,г°(",х),и°(",х))Аг(",х; в) + в/и (",х,г°(",х),и°(",х))би(",х) + О(В; ",х), (24)

Аг("0,х; в) = 0, Аг(",х0; в) = 0, (25)

Ауа (",х; в) = §у (",х,у° (",х),V0 (",х)) Ау (",х; в) + в§ (",х,у° (",х),V° (",х(",х) + о(в;",х), (26)

Ау(",х; в) = Сг (г°(",х))Аг(",х; 8) + °(8;х), Ау (", х0; в) = 0.

При помощи (24)-(27) по схеме, аналогичной, например, схеме из [13], доказывается Теорема 1. Для специального приращения (Аг(",х; в),Ау (",х;в)) состояния (г°(", х),у°(",х)) имеют место разложения

Аг (", х; в) = в5г (", х ) + о(в;" , х), Ау (", х; в) = в5у (", х ) + о(в; ", х). Здесь (5г(", х),5у (",х)) - вариация вектора состояния (гх),у°(",х)), являющаяся решением урав-

(27)

(28)

нения в вариациях

(Sz)Х — fz (i, х, z° (i, х),и° (t, х))Sz + f (i, х, z° (i, х),и° (t, х))Su (t, х),

Sz (to, х) — 0, х е[ хо, X ], Sz (t, х0) — 0, t e[t0, ^ ],

(Sy)х — gy (t, х,y° (t, х),v° (t, х))Sy + gv (t, х,y° (t, х),v° (t, х))Sv(t,х), Sy (t, х) — G (z° (t, х)) Sz (t, х),

Sy (t, х0) — 0.

Используя разложения (28) и (20) из формулы приращения (19) получаем справедливость соот-

(29)

(30)

(31)

(32)

ношения

— —е

ASe (u °, v°) = S (и ° + Aue, v°+Ave ) — S (и °, v°) =

<1 X

JJ H'u (t, х, z° (t, х), и ° (t, х), (t, х))5u (t, х)

+

(33)

2 X

+JJ ^U (t, х, y ° (t, х ), v ° (t, х ), (t, х ))5v (t, х )

h х0

+

в2 , д2ф (г° (" ,X)) д2О(шО,г° (" ,X))

+вГ"1,X5г("1,X)-5г'("1,X) °^ (l, ))5г("„X)-

(

X

15г(", х)

х0

д2 N

дуО О / ч

x, , г ("l, х) дх 1

д?

л

д 2ф( у°("., X)) 5г("1,х)Сх + 5у'("2,X)-п ^ 2 "5у("2,X)-

"1 X

||^5г'(",х)Нгг (",х,г° (",х),и° (",х),уО (",х))5г(",х) + 25и'(",х)х

"0 х0

хНЕ (", х,г° (",х),и° (",х),уО (",х))5г(",х)+8и'(",х)Наа (",х,г° (",х),и° (",х), уО (",х))5и (",х)]СхС" -

"2 X

Л[5у'(",х)Муу (",х,у° (",х),V0 (",х),у2 (",х))5у(",х) + 25^(",х(",х,у° (",х),V° (",х),у2 (г,х))х 5у (",х) + 8v'(",х)Мт (",х,у° (",х),V0 (",х),уО (",х(",х)]СхС"| + О(В2).

"1 х0

Из разложения (33) следует, что первая и вторая вариации (в классическом смысле) функционала качества (1) имеют вид:

515(и°,V0; 5и,5v) =

" X

||Н' (",х,г°(",х),и°(",х),уО (",х))5и (",х)СхС"

+

"0 х0

2 х

+ Цм' (", х, у ° (", х), v0(", х), у О (", х)) Sv (", х) СхС"

"1 х0

(34)

д2 ф( г , X )) д 2О (уО, г , X ))

525 (и О, V0; 5и, 5v ) = 5г'(", X ) Ф1 ^ я((1, П 5г (", X )-5г'(", X ) ^ 2 ^ П 5г (", X )-

дг2

дг2

(

X

|бг ( ", х )

х0

д2 N

дуО О / \

x, т , г С "1, х) дх 1

Л

4 X

д 2ф( у°( и, X ))

&2 5г°( "1, х) Сх-5у'("2, X )--^ 5у ^2, X )- (35)

| |^5г ' (", х ) Нгг (", х, г ° (", х ), и О(", х ), уО(", х ))бг (", х ) + 25и' (", х )х

"0 х0

хНш (", х,г° (",х),и° (",х), уО (",х))бг(",х)+8и'(", х)НИИ (",х,г° (",х),и° (",х), уО (",х))би (",хСхС" -

"2 X

-||[5у '(",х)Му (",х,у° (",х),V0 (",х),уО (",х))5у(",х) + 25v '(",х)М^ (",х,у° (",х),V° (",х),у2 (г,х))х

"1 х0

х5у (", х) + 5v '(",х)Муу (",х,уО (",х),V0 (",х), уО (",х(",х)]СхС".

3. Необходимые условия оптимальности

Из результатов классического вариационного исчисления (см. напр.: [11-14]) следует, что вдоль оптимального управления (и ° (", х), V0 (", х)) первая вариация функционала качества равна нулю, а вторая неотрицательна, т.е. для всех (5и (", х), 5v (", х))

515(и°,V0; 5и,5v) = 0 , (36)

525(и°,V0; 5и,5v)> 0 . (37)

При помощи (36) по схеме, например, из [13, 22] доказывается справедливость утверждения Теорема 2. Для оптимальности допустимого управления (и° (-,х), у°(-,х)) необходимо, чтобы соотношения

Ни (9,$х° (0^),и° (0^),у0 (0,— 0, (38)

Му (0,(0,^,у° (0,^,у0 (0, ^ — 0 (39)

выполнялись для всех (0,^)е[-0,-)х[х0,х) и (0,,-2)х[х0,х) соответственно.

Здесь и в дальнейшем (0, £,)е[-0,-)х[х0, х) ((0, %)е[-, -2 )х[х0, х )) - произвольная правильная точка (точка Лебега) [2, 3] управления и (-, х) (у (-,х)) .

Соотношения (38), (39) представляют собой аналог уравнения Эйлера [11-14] для рассматриваемой задачи и являются необходимым условием оптимальности первого порядка.

Каждое допустимое управление (и° (-,х), у°(-,х)), удовлетворяющее уравнению Эйлера, назовем классической экстремалью для рассматриваемой задачи.

Неравенство (37) есть необходимое условие для оптимальности классических экстремалей, заданное в неявном виде. С его помощью получим необходимые условия оптимальности, явно выраженные через параметры задачи (1)-(6).

Через Я (-, х; х, 5), г —1,2 - обозначим решения матричных интегральных уравнений

- х

Я (-, х; х, 5 ) — Е + {{Я (-, х;а, Р) / (а,р, (а,р), и° (а,р)) Л а Лр , (-, х) е Д,

х 5

- х

Я (-, х; х, 5 ) — Д + {{Я (-, х; а, р) ^ (а, р, у ° (а, р), у° (а, р)) Л а Лр , (-, х) е Д.

х 5

Уравнения в вариациях (29), (31) являются линейными неоднородными дифференциальными уравнениями гиперболического типа с краевыми условиями Гурса (30), (32) соответственно. Решения краевых задач (29)-(30) и (31)-(32) допускают в соответствии с представлением [23]

- х

5г (-, х) — {{ Я (-, х; х, 5)/ (х, 5, г0 (х, 5), и0 (х, 5))5и (х, 5)Л* Лх , (40)

-0 х0

5у (-, х) — { {я (-, х; х, 5 ) ^ (х, 5, у°(х, 5 ), у°(х, 5 ))5у (х, 5 ) Ля Л х + { Я2 (-, х;-х, 5 )д5у (-1,5 ) . (41) -1 х0 х0 Из (41) получим

5у (-, х) — Я (-, х; ^, х) 5у (-, х) - { дЯр (-, х; tl, 5) 5у (^, 5 ) +

х0

- х

+{{^0 (-, х; х, 5 ) gv (х, 5, у 0 (х, 5 ), у0 (х, 5 ))5у (х, 5 ) Л х.

-1 х

Поскольку

5у (-1,5) — О2 (г0(-1,5))5г(-1,5),

то из (41) получаем, что

5у (-, х) — Я (-, х; -, х) О (г0 (-, х))5г (-, х) - { дЯр (-, х; tl, 5) ^ (г0 (-, 5))5г (-, 5)+

(42)

+{{Яр (-,х; х,5)gv (х,5,у0 (х,5),у° (х,5))5у (х,5)Лх.

' х0

Введя обозначения

/и (-, х) = /и ^ г° (-, х) , и0 (-, х)) , gv (х) = gv (-, x, у° (-, х) , (-, х))

и принимая во внимания представление (40), формулу (42) представим в виде:

- х

5у(-,х) — {{Я (-,х;-,х)О (г0 (-,х))Я1 (-,х;х,5)/ (х,5)5и(х,5)ЛяЛх -

-0 х

х 1 5 -{ {{

дЯр (-, х; -1,5)

дя

Ог (г0(-1,5))Я- (-1,х;х,р)/ (х,р)5и (а,р)ЛхЛр

ЛИ +

+{{ Я2 (-, х; х, я) gv (х, я) 5у (х, я) Ля Лх. Используя формулу Дирихле, получим

Ч х

5у (-, х) —{{Яр (-, х; -1, х ) Ог( г ° (-1, х)) Я- (--, х; х, я ) / (х, я )5и (х, я ) Ля Л х-

-0 х0

х дЯр (-,х;-1,р)

(43)

{{{

дя

О (г0(-1,р))Я- (-1, х; х, я)Лр

/ (х,5)5и (х,5)ЛхЛя +

I х

+{{Я2 (-, х; х, я) gv (х, я)5у (х, я) Ля Лх.

¿0 х

Полагая

б (-, х; х, * ) — Яр (-, х;-1, х ) Ог( г х )) Я- (--, х; х, * )-{ ^Я Ог( г р)) Я- (--, х; х, * ) Л р,

формула (43) записывается в виде:

-1 х - х

5у (-, х) — {{ О (-, х; х, я ) /и (х, я )5и (х, я ) Ля Л х + {{ Яр (-, х; х, я ) gv (х, я )5у (х, я ) Ля Л х. (44)

Представления (40), (44) позволяют вывести необходимые условия оптимальности второго порядка, явно выраженные через параметры задачи (1)-(6).

Используя произвольность 5и(-,х) и 5у(-,х), предположим, что 5у(-,х) — 0 . Тогда неравенство (37) с учетом (35) примет вид:

5г'(-,, х }д02Ф-2X)) 5г (-,, х (-,. х }д0Q(УiOX}l 5г (-,. х

дг1

д0 N

(

-{ 5г'(-1, х)

Л

ду0 0 / \

x, г , г (-1, х) V дх /

д0ф( у° (-,, х )) 5г(-1,х)Лх+5у'(-р,х)-П ^ 0 "5у(-2,х)-

&2 7 ' Ч2' 7 су2

{{^'(ч,х)Нгг (-,х, г° (-,х),и° (-,х), у0 (-,х))5г(-,х) + 25и'(-,х)х

(45)

- х

¿0 х0

хН„ (-,х,г° (-,х),и°(-,х),у0(-,х))5г(-,х)+5и'(-,х)НИИ (-,х,г° (-,х),и° (-,х),у0(-,х))5и (-,х)]ЛхЛ--

ь х

{ { 5у'(-,х)М^ (-,х,у° (-,х),у° (-,х),у0 (-,х))5у (-,х) ЛхЛч > 0,

— х0

При этом представление (44) примет вид:

- х

5у (-, х) — {{б (-, х; х, я) / (х, я )5и (х, я) Ля Л х .

(46)

¿0 х0

х

Используя представления (40), (45), доказывается справедливость тождеств

5г'("!, X )

д2ф1 ( г °("1, X )) д2О(уО, г ° ("1, X ))

дг2 дг2

д2ф1 ( г° ("1, X )) д2О(уО, г° ("1, X ))

"1 X ь X

5г ("1, X ) = ||||5и'(т, * ) /;(т,* ) Я1(", х; т,* )х

"0 х0 "0 х0

дг2

д2 N

(

|5г' (", х )

дг2 Л

Я ( ^, X; а, р) / (а, р)5и (а, р) С* С т С а Ср,

ду2 О / \

x, , г ("1, х)

дх

дг2

"1 х "1 х

"0 х0 "0 х0

(

д2 N

дуО О / \

x, т , г ("1, х) дх

дг1

Л

Я ( ^, х; а, р) / (а, р)5и (а,р) С т С* С а С р

Сх =

"1 "1 XX

ЯП5и ' (т *) /(т *)

"0 "0 х0 х0

(

д2 N

| Я(" 1, х;т,*)-

тах (*,р)

дуО / \

x, ~ , г ("1, х) дх 1

Л

Я ( ^, х; а, р) Сх

х/ (а,р)5и (а,р)СтС*Са Ср,

"1 X

"1 X "1 X

115г '(", х)Н„ (",х,гО (",х),и° (",х), у? (",х))5г(",х)СхС" = 11115и'(т,*)/' (т,*)х

"0 х

"0 х0 "0 х

" X

| | Я(" 1,х;т,*)Нгг (",х,г°(",х),и°(",х),у^",х))("1,х;а,р)СхС"

тах (т, а) тах (*,р)

х / (а, р)5и (а, р) С т С* С а Ср, ||5и'(",х)Нмг (",х,г° (",х),иО (",х),уО (", х))5г(",х)СхС" -

"1 X

"1 X

11 ||5и'(т,*)Нш (т,*,гО (т,*),иО (т,*),уО (т,*))Я (т,*;",х)СтС* д2 ф2 ( у °("2, X ))

"1 X ч X

5у ' ("2, X )

ду2

-5у ("2, X ) = Ш|5и' (т, * )/(т, * ) О' ("2, X; т, * )

/' (", х )5и (", х ) СхС",

д2ф2 (у О О"2, X- ))

д

"0 х "0 х0

хО ("2, X; а, р) / (а,р)5и(а, р) С*С т С а Ср,

"2 X "1 "1 XX

115у '(",х)М^ (",х,у° (", х), V0 (", х), уО (", х))5у (", х)СхС" = 11115и '(т,*)/'(т,*)х

"1 х

"0 "0 х0 х0

"2 X

| | О'(",х;т,*)Муу (",х,у°(",х),v0(",х),уО (",х))О(",х;а,р)СхС"

"1 тах (*,р)

(47)

5г("1,х)Сх = | Л||5и'(т,*)/(т,*)Я(" 1,х;т,*)х (48)

(49)

(50)

/ (а, р)5и(а, р) С*С т С а Ср.

Введя обозначение

К(т, *; а,р) = -

д2ф1 ( г ° ("1, X )) д2О (уО, г ° ("1, X ))

дг2

дг2

х

х

х

х

х

+ j R (tх; х, 5 )-

max (s,p)

f °

a2N х,^, z(t, х) сх U'

dz2

R (t, х; a,p)dx -

с 2ф2( J ° (t2, X ))

-Q'(t2,X;х,5) wj2 п Q(t2,X;a,p) +

су

4 X

+ j j R(t, х;х, 5)Hzz (t, х,z°(t, х),u°(t,х), y°(t,х))R (t,х;a,p)dxdt +

max (х, a) max (5, p)

t2 X

+j j Q'(t,х;х,5)M^ (t,х,у°(t,х),v°(t,х),y°(t,х))Q(t,х;a,p)dxdt,

t. max(5,p)

и учитывая тождества (47)-(50), из неравенства (45) получим

j j 5u '(х,5) f (х,5)K(х,5; a,p) f (a,p)5u(a,p)d5dхdadp +

(51)

D D

t. X

+2 j jj5u' (х, 5 ) НШ (х, 5, z °(х, 5 ), u °(х, 5 ), у?(х, 5 )) R (х, 5; t, х ) d х ds

f (t, х)5u (t, х) dxdt

+

+j 5u'(t,х)Нии (t,х,z°(t,х),u°(t,х),t,х))Su (t,х)dxdt < 0.

D

Теперь предположим, что 5и(-,х) = 0, 5у (-,х0 . При этом предположении неравенство (37) примет вид:

д2фр (у° (-р, х))

5у' (t2, X )-

-5у (-о,х) -{{[5у '(-,х)Муу (-,х,у0 (-,х),у° (-,х),ур (-,х))5у (-,х) + у ¡1 х0 +25у'(-, х)М^ (-, х,у0 (-, х),у° (-, х), у0 (-, х))5у (-, х)+ (52)

+5у' (-, х)(-, х, у° (-, х),у0 (-, х), у0 (-, х))5у (-, х)]ЛхЛч > 0.

Используя представление (44) (с учетом того, что 5 и (-, х) — 0), получим

д 2ф( у° (-2, х )) 5у'(-2,х) Ф2 (у Р )) 5у (-2,х) —

Су2

12 Xt2 X с2ф (у°(t X ))

:jjjj5v' (х, 5 ) g^, 5 ) R, {t2, X; х, 5 )-2\;22' " R (t2, X; a,p) g(a,p)5v (х, 5 ) d5d х d a dp,

h хо h хо

(53)

Су2

h x

jj5v ' (t, х)My (t, х, у°(t, х), v° (t, х), (t, х))бу (t, х) dxdt ■

h хо

t2 X

i J

t. хо

t2 X

j jSv ' (х, 5 )Mvy (х, 5, у° (х, 5 ), v° (х, 5 ), (х, 5 )) R (х, 5; t, х) d5d х

t х

(54)

, (t, х )5v (t, х ) dxdt.

Далее имеет место тождество

h x

jj5y ' (t, x)(t, x, у2 (t, x), v° (t, x), (t, x))бу (t, x) dxdt --

4 x0

j jSv'(х, 5) gv (х, 5)

D D2

j j R (t, x; х, 5)Муу (х,5, у2 (х, 5), v° (х, 5), (х, 5))R (t, х;a, p)dxdt

t=mаxVх, x) x=max(5,p)

xgv (a, p)5v (a,p) da dp.

Введя обозначение

N (г, а,р)= | | Я (V, х; т, 5) Муу (?, х, у°(?, х), х), у^, х)) Я (V, х; а, р) ЛхЛ

V=тах(т, х) х=тах(5,р)

5 2ф2( у °(?2, X)) (?2, х; г, 5)-Ц—--- Я (?2, х; а,р)

и учитывая тождества (53)-(55), из неравенства (52) получим

| '(т,5)(т,5)N(т,5;а,р)^ (а,р)5у(а,р)ЛтЛЛаЛр + (56)

А А

¿2 X

+21 (т,5)МУу (т,5,у°(т,5),у°(т,5),у^ (т,5))Я2 (т,5;V,х)ЛтЛ5 ^^ (V,х)5у (V,х)ЖЛх +

А х

+1 5у '(V,х(V,х,у° (V,х),V0 (V,х),у^ (V,х))5у(¿,х)ЛхЖ < 0.

А

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 3. Для оптимальности классической экстремали (и° (V, х), V0 (V, х)) в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы неравенства (51), (56) выполнялись для всех Зи(V,х)е Яг, (V,х)е А и 5v(V,х)е Я9, (V,х)е А соответственно.

Неравенства (51) и (56) являются довольно общими необходимыми условиями оптимальности второго порядка. Из них можно получить ряд более легко проверяемых необходимых условий оптимальности, и в частности аналог условия Лежандра-Клебша.

Теорема 4. (Аналог условия Лежандра-Клебша) Для оптимальности классической экстремали (и° (V,х), V0 (V,х)) необходимо, чтобы выполнялись соотношения

ы'Иии (0,4х° (04),и° (0^),у° (0,4))и < 0, (57)

для всех и е Яг, (0,4) е , V )х[х0,X),

V ' Мт (0,4, у° (0,4), V0 (0,4), у2 (0,4)) V < о, (58)

для всех V е Я9, (0,4) е [^,£2)х[х0,X) .

Неравенства (57), (58) являются аналогом условия Лежандра-Клебша. Рассмотрим случай вырождения аналога условия Лежандра-Клебша.

Определение. Классическую экстремаль назовем особым, в классическом смысле, управлением, если для всех (0,4)е[^)х[х0,X) и и еЯг

ы'Иии (0,4 (04), и ° (04), у (0,4)) и = о, (59)

а для всех (0,4)е[^)х[х0,X) и V е Я9

V' мт (0,4, у° (0,4), V0 (0,4), у2 (0,4)) V = о. (60)

Имеет место

Теорема 5. Для оптимальности особого в классическом смысле, управления (и°(?, х), v0( V, х)) необходимо, чтобы выполнялись соотношения

и ' [[ (0, 4) к (0,4; 0,4)/и (0, 4) + о,5И„ (0,4, *°(0,4), ио(0,4), у°(0,4)) / (0,4)]и < о, (61)

для всех (0,4)е[^,V)х[х0,X), и еЯг,

V [&, (0,4) N (0,4; 0,4) (0,4) + о,5М^ (0,4, у0 (0,4), V0 (0,4), у2 (0,4)) gv (0,4)] < о, (62) для всех (0,4)е[^)х[х0,X) и V еЯ9.

Докажем, например, соотношение (61). Неравенство (62) доказывается симметричными рассуждениями. Считая (и°(-,х),(-,х)) классически особым оптимальным управлением, вариацию 5и(-,х)

управляющей функции и° (-, х) определим по формуле

и, (-,х

Ч(-,хН . . г ^ г (63)

0, (-,х)е0,0 + Л/ц}х[^,^л/Ц),

где ц > 0 достаточно малое произвольное число, такое что 0 + < ^, + ^/ц < х, а и е Яг произвольный вектор.

Принимая во внимание (63) в неравенстве (51) и учитывая (59), после некоторых преобразований получим

Ц°{и'[[(0,(0,0,$)/ (0,$) +0,5Нш(0,г°(0,$),и0(0,$),у°(0,$))/и (0,^)]и} + 0(ц2)< 0. Отсюда в силу произвольности ц > 0 следует неравенство (61). Этим теорема 5 доказана.

Заключение

В статье рассматривается одна задача оптимального управления, описываемая системой гиперболических уравнений с краевыми условиями Гурса. При предположении открытости областей управления установлены необходимые условия оптимальности первого и второго порядков. Отдельно изучен случай вырождения аналога условия Лежандра-Клебша. Выведено необходимое условие оптимальности (в классическом смысле особых управлений).

ЛИТЕРАТУРА

1. Егоров А.И. Об оптимальном управлении процессами в некоторых системах с распределенными параметрами // Автома-

тика и телемеханика. 1964. № 5. С. 613-623.

2. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемые системой Гурса-

Дарбу // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1972. № 1. С. 61-77.

3. Новоженов М.М., Сумин В.И., Сумин М.И. Методы оптимального управления системами математической физики. Горький :

Изд-во Горьковского гос. ун-та, 1986. 87 с.

4. Ахмедов К.Т., Ахиев С.С. Необходимые условия оптимальности для некоторых задач теории оптимального управления //

Доклады АН Азербайджанской ССР. 1972. № 5. С. 12-16.

5. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения. Новосибирск : Наука, 1990. Ч. 2:

Оптимальное управление. 151 с.

6. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами.

Н. Новгород : Изд-во Нижегородского гос. ун-та, 1992. Ч. 1. 110 с.

7. Срочко В.А. Вариационный принцип максимума и методы линеаризации в задачах оптимального управления. Иркутск :

Изд-во Иркутского гос. ун-та, 1989. 1 60 с.

8. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Принцип максимума для терминальной задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу в классе

функций с суммируемой смешанной производной // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. № 2. С. 52-67.

9. Мансимов К.Б., Марданов М.Дж. Качественная теория оптимального управления системами Гурса-Дарбу. Баку : Изд-во

ЭЛМ, 2010. 360 с.

10. Меликов Т.К. Особые в классическом смысле управления в системах Гурса-Дарбу. Баку : Изд-во ЭЛМ, 2003. 96 с.

11. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Альсевич В.В. и др. Методы оптимизации. Минск : Четыре четверти, 2011. 472 с.

12. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М. : Физматлит, 2005. 335 с.

13. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М. : Наука, 2013. 256 с.

14. Демьянов В.Ф. Условия экстремума и вариационное исчисление. М. : Высшая школа, 2005. 335 с.

15. Абдуллаев А.А., Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности в процессах, описываемых системой интегральных уравнений типа Вольтерра. Баку : Изд-во ЭЛМ, 2013. 224 с.

16. Мансимов К.Б. Об одной схеме исследования особого случая в системах Гурса-Дарбу // Известия АН Азербайджана. 1981. № 2. С. 100-104.

17. Мансимов К.Б. Об оптимальности квазиособых управлений в системах Гурса-Дарбу // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 11. C. 1952-1960.

18. Мансимов К.Б. Интегральные необходимые условия оптимальности квазиособых управлений в системах Гурса-Дарбу // Автоматика и телемеханика. 1993. № 5. C. 36-43

19. Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности особых процессов в задачах оптимального управления : автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Баку, 1994. 42 с.

20. Мансимов К.Б. К теории необходимых условий оптимальности в одной задаче с распределенными параметрами // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. № 10. C. 1505-1520.

21. Мансимов К.Б. Условия оптимальности второго порядка в системах Гурса-Дарбу при наличии ограничений // Дифференциальные уравнения. 1990. № 6. C. 954-965.

22. Мордухович Б.Ш. Методы апроксимаций в задачах оптимизации и управления. М. : Наука, 1988. 359 с.

23. Ахиев С.С., Ахмедов К.Т. Об интегральном представлении решений некоторых дифференциальных уравнений // Известия АН Азербайджана. Сер. физ.-техн. и матем. наук. 1973. № 2. C. 116-120.

Поступила в редакцию 8 апреля 2018 г.

Mansimov K.B., Suleymanova Sh.Sh. (2018) TO THE OPTIMALITY OF SINGULAR CONTROLS IN THE CLASSICAL SENSE IN ONE PROBLEM OF OPTIMAL CONTROL OF SYSTEMS WITH VARIABLE STRUCTURE. Vestnik Tomskogo gosudarstven-nogo universiteta. Upravlenie vychislitelnaja tehnika i informatika [Tomsk State University Journal of Control and Computer Science]. 44. pp. 10-24

DOI: 10.17223/19988605/44/2

The paper deals with the problem of the minimization the functional

5(u,v) = ф1 (z(tvX)) + ф2 (7(i2,X)) ,

under constraints

u (t,x) e U с Rr, (t,x) e Д = [i0] x [x0,X], v(t,x) e V с Rq, (t,x) e Д = [t,i2] x [x0,X],

ztt = f (t, x, z,u), (t, x )e D1 , z (t0, x ) = a (x), x e[ x0, X ], z (t, xo ) = bi (t), t e[to,tl],

ya = g (t, x, y,v), (t, x)e D2 , у(t,x) = G(z(tl,x)), x e[x0,X], У (t, xo ) = b2 (t), t e[tit ], G (Z (tl> x0 ))= b2 (f1 ) .

Here f (t,x,z,u) , (g(t,x,y,v)) is a given n (m)-dimensional vector-function continuous in д x R" x Rr (Д x Rm x Rq) together with their partial derivatives with respect to (z,u) ((y,v)) up to the second order inclusive, G (z) is a given twice continuously differentiable in Rn m-dimensional vector-function, a(x), b (t), i = 1,2 , are given vector-functions of the corresponding dimensions satisfying a Lipschitz condition with some constants, t0, t, t2, ^, X are given, so that t0 < ^ < t2, ^ < X , control vector-function u(t,x) (v(t,x)) everywhere is Lebesgue measurable on a rectangle Д (Д) , U (V) is a given non-empty, open, and bounded set.

When the control domain is open, the first and second orders necessary optimality conditions are derived. Optimal singular controls in the classical sense are studied.

Keywords: Goursat-Darboux system; singular control the classical sense; necessary optimality conditions; variation of the functional; equations in variations.

MANSIMOV Kamil Bayramali ogly (Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Baku State University, Institute of Control Problems of Azerbaijan National Academy of Sciences , Baku, Azerbaijan). E-mail: [email protected]

SULEYMANOVA Shabnam Shakir gyzy (Institute of Control problems of Azerbaijan National Academy of Sciences, Baku, Azerbaijan). E-mail: [email protected]

K.E. MancuMoe, CyßeüManoea

REFERENCES

1. Egorov, A.I. (1964) Ob optimal'nom upravlenii protsessami v nekotorykh sistemakh s raspredelennymi parametrami [On the optimal

control of processes in some systems with distributed parameters]. Avtomatika i telemekhanika - Automation and Remote Control. 5. pp. 613-623.

2. Plotnikov, V.I. & Sumin, V.I. (1972) The optimization of objects with distributed parameters, described by Goursat-Darboux sys-

tems. Zhurnal vychislitelnoy matematiki i matematicheckoy fiziki - Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1. pp. 61-77. (In Russian).

3. Novozhenov, M.M., Sumin, V.I. & Sumin, M.I. (1986) Metody optimal'nogo upravleniya sistemami matematicheskoy fiziki

[Methods of optimal control of systems of mathematical physics]. Gorkiy: Gorky State University.

4. Akhmedov, K.T. & Akhiyev, S.S. (1972) Neobkhodimyye usloviya optimal'nosti dlya nekotorykh zadach teorii optimal'nogo up-

ravleniya [Necessary pptimality conditions for some problems in optimal control theory]. DokladyANAzerbaydzhanskoy SSR. 5. pp. 12-16.

5. Vasilyev, O.V., Srochko, V.A. & Terletskiy, V.A. (1990) Metody optimizatsii i ikh prilozheniya [Optimization methods and their

applications]. Vol. 2. Novosibirsk: Nauka.

6. Sumin, V.I. (1992) Funktsional'nyye vol'terrovy uravneniya v teorii optimal'nogo upravleniya raspredelennymi sistemami [Func-

tional Volterra equations in the theory of optimal control of distributed systems]. Nizhny Novgorod: Nizhny Novgorod State University.

7. Srochko, V.A. (1989) Variatsionnyyprintsip maksimuma i metody linearizatsii v zadachakh optimal'nogo upravleniya [Variational

Maximum Principle and Linearization Methods in Optimal Control Problems]. Irkutsk: Irkutsk State University.

8. Lisachenko, I.V. & Sumin, V.I. (2011) The maximum principle for terminal optimization problem connected with Goursat-Darboux

system in the class of functions having summable mixed derivatives. Vestnik Udmurtskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki - The Bulletin of Udmurt University. Mathematics. Mechanics. Computer Science. 2. pp. 52-67. (In Russian).

9. Mansimov, K.B. & Mardanov, M.J. (2010) Kachestvennaya teoriya optimal'nogo upravleniya sistemami Gursa-Darbu [Qualitative

theory of optimal control of Goursat-Darboux systems]. Baku: ELM.

10. Melikov, T.K. (2003) Osobyye v klassicheskom smysle upravleniya v sistemakh Gursa-Darbu [Special in the classical sense of control in Goursat-Darboux systems]. Baku: ELM.

11. Gabasov, R., Kirillova, F.M., Alsevich, V.V. & etc. (2011)Metody optimizatsi [Methods of optimization]. Minsk: Chetyre chetverti.

12. Alekseyev, V.M., Fomin, S.V. & Tikhomirov, V.M. (1979) Optimal'noye upravleniye [Optimal control]. Moscow: Nauka.

13. Gabasov, R. & Kirillova, F.M. (1973) Osobyye optimal'nyye upravleniya [Special optimal controls]. Moscow: Nauka.

14. Demyanov, V.F. (2005) Usloviya ekstremuma i variatsionnoye ischisleniye [Extremum conditions and calculus of variations]. Moscow: Vysshaya Shkola.

15. Abdullayev, A.A. & Mansimov, K.B. (2013) Neobkhodimyye usloviya optimal'nosti vprotsessakh, opisyvayemykh sistemoy inte-gral'nykh uravneniy tipa Vol'terra [Necessary optimality conditions in processes described by a system of integral equations of Volterra type]. Baku: ELM.

16. Mansimov, K.B. (1981) Ob odnoy skheme issledovaniya osobogo sluchaya v sistemakh Gursa-Darbu [On a scheme for investigating a special case in Goursat-Darboux systems]. Izvestiya ANAzerbaidjana. 2. pp. 100-104.

17. Mansimov, K.B. (1986) Optimality of quasisingular controls in Goursat-Darboux systems. Differentsial'nyye uravneniya -Differential Equations. 22(11). pp. 1952-1960. (In Russian).

18. Mansimov, K.B. (1993) Integral necessary conditions for optimality of quasi-singular controls in Goursat-Darboux systems. Avtomatika i telemekhanika - Automation and Remote Control. 5. pp. 36-43. (In Russian).

19. Mansimov, K.B. (1994) Neobkhodimyye usloviya optimal'nosti osobykh protsessov v zadachakh optimal'nogo upravleniya [Necessary conditions for optimality of special processes in optimal control problems]. Abstract of Physics and Mathematics Dr. Diss. Baku.

20. Mansimov, K.B. (2001) On the theory of necessary optimality conditions in a problem with distributed parameters. Zhurnal vychislitelnoy matematiki i matematicheckoy fiziki - Computational Mathematics and Mathematical Physics. 10. pp. 1505-1520. (In Russian).

21. Mansimov, K.B. (1990) Conditions for second-order optimality in Goursat-Darboux systems in the presence of constraints. Differentsial'nyye uravneniya - Differential Equations. 6. pp. 954-965. (In Russian).

22. Mordukhovich, B.Sh. (1988) Metody aproksimatsiy v zadachakh optimizatsii i upravleniya [Approximation methods in optimization and control problems]. Moscow: Nauka.

23. Akhiyev, S.S. & Akhmedov, K.T. (1973) Ob integral'nom predstavlenii resheniy nekotorykh differentsial'nykh uravneniy [On the integral representation of solutions of certain differential equations]. Izvestiya AN Azerbaidjana. Seriya Fiziko-Tekhnicheskikh i Matemematicheskikh Nauk. 2. pp. 116-120.