Об оптимальности особых управлений в одной задаче оптимального управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

2018 Математика и механика № 54

УДК 517.977.56 М8С 49К20

Б01 10.17223/19988621/54/2

К.Б. Мансимов, Ш.М. Расулова

ОБ ОПТИМАЛЬНОСТИ ОСОБЫХ УПРАВЛЕНИЙ В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Рассматривается одна задача оптимального управления, занимающая промежуточное положение между задачами оптимального управления системами с сосредоточенными и с распределенными параметрами. Установлены необходимые условия оптимальности особых управлений в смысле принципа максимума Понтрягина.

Ключевые слова: принцип максимума Понтрягина, необходимое условие оптимальности особых управлений, формула приращения.

Исследуется ряд задач оптимального управления [1, 2], занимающих промежуточное место между задачами оптимального управления системами с сосредоточенными и с распределенными параметрами.

Как отмечано в [1], эти задачи тесно связаны с задачами оптимального управления с сосреточечными параметрами, но вместе с тем могут быть интерпретированы так же, как задачи оптимального управления для уравнений в частных производных, с управлением на границе (граничная задача оптимального управления для одной системы с распределенными параметрами).

В [1, 2] для подобных задач получены необходимые условия оптимальности типа принципа максимума Л.С. Понтрягина и достаточные условия оптимальности типа В.Ф. Кротова.

В предлагаемой работе исследуется задача оптимального управления типа [1, 2] с несколько иным критерием качества. При помощи метода приращений сначала установлены необходимые условия оптимальности первого порядка в форме принципа максимума Понтрягина (см., напр., [3, 4]).

Заметим, что принцип максимума Понтрягина, являясь необходимым условием оптимальности первого порядка, нередко вырождается, становясь неэффеек-тивным. Такие случаи называют особыми а соответствующие управления - особыми управлениями. Для исследования на оптимальность особых управлений надо иметь новые необходимые условия оптимальности.

В работе, применяя методику, предложенную и развитую авторами [5-11] и др., исследуются также особые случаи. Суть применяемой схемы заключается в построении новых формул приращения второго порядка критерия качества, позволяющие получить необходимые условия оптимальности первого и второго порядков с единых позиций.

Для задачи, рассматриваемой в статье, особые управления исследуются впервые.

Заметим,что особые управления возникают во многих прикладных задачах оптимального управления (см., напр., [12-14]).

2. Постановка задачи

Допустим, что управляемый процесс в области Б = Т х X (Т = [/0, ^ ], X = [х0, х1 ]) описывается системой дифференциальных уравнений

(/,х) = /(/,х,г(/,х),и(/,х)), (/,х)е Б , (1)

с начальным условием

г (/0, х ) = у (х), х е X. (2)

Здесь / (/, х, г, и) - заданная «-мерная вектор-функция непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по 2 до второго порядка включительно, /0, /1, х0, х1 - заданы, и (/, х) - г-мерная кусочно-непрерывная по / (с конечным числом точек разрыва первого рода) при всех х е X и непрерывная по х при всех / е Т управляющая вектор-функция со значениями из заданного непустого и ограниченного множества и с Яг, т.е.

и (/, х) е и с Кг, (/,х) е Б . (3)

а у (х) - управляемая начальная вектор-функция, определяемая из уравнения

У = 8 ( х, у, V), х е X , (4)

с начальным условием

У (хо ) = Уо , (5)

где 8 (х, у, V) - заданная «-мерная вектор-функция непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по у до второго порядка включительно, у0 - заданный постоянный вектор, V (х) - д-мерный кусочно-непрерывный (с конечным числом точек разрыва первого рода) вектор управляющих воздействий со значениями из заданного непустого и ограниченного множества V с К ,т.е.

V(х)е V с Кд, х е X . (6)

Пару (и (/, х), V (х)) с вышеприведенными свойствами назовем допустимым управлением.

Под решением задачи (1), (2), (4), (5), соответствующем допустимому управлению (и (/, х), V (х)), понимается пара (г (/, х), V (х)) функций г (/, х), у (х), непрерывных по совокупности переменных, при этом г (/, х) и у (х) - кусочно гладкие по / и х (с конечным числом точек разрыва первого рода) соответственно и удовлетворяющие соотношениям (1), (2), (4), (5).

На решениях задачи (1), (2), (4), (5), порожденных всевозможными допустимыми управлениями, определим функционал

х1

£ (и, V) = ф(у (х1))+ | О (, г (/1, х))ск . (7)

х0

Здесь ф( у), О (х, г) - заданные скалярные функции непрерывные по совокупности переменных вместе с частными производными по у, г соответственно до второго порядка включительно.

Допустимое управление (их), v0(x)), доставляющее минимум функционалу (7) при ограничениях (1) - (6), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс (и0 х), (х), 2° (,х), у0 (х)) - оптимальным процессом. Нашей целью является вывод необходимых условий оптимальности.

3. Формула для приращения второго порядка критерия качества

Пусть (и (/,х),у (х)) - фиксированное, а (и (/, х) = и (/, х) + Ди х),

V (х) = V (х) + Ду (х)) - произвольные допустимые управления.

Через (2 (I, х), у (t)), (2 х) = 2 х) + Д2 (/, х), у (/) = у (/) + Ду ^)) обозначим

соответствующие им решения задач (1), (2), (4), (5) и запишем приращение функционала (7), соответствующее этим допустимым управлениям

Д5 (и 0, у°) = 5 (и, у)-5 (и 0, у°) =

х1

= [ф (у (х)) - ф (у0 (х ))] + | [О (х, 2(t1, х)) - О (х, 2° (, х))] йх . (8)

х0

Далее, ясно, что приращение (Д2(t,х),Ду(х)) состояния (2°(,х),у°(х)) является решением системы дифференциальных уравнений

Д^ (t,х) = /(t,х,2х),и (t,х))-/(t,х,2х),их)) ; (9)

Д2(t0,х) = Ду(х), хеX ; (10)

Ду(х) = Я(х,у (х),у (х))-Я(х,у0 (х),V0 (х)) ; (11)

Ду (хо ) = 0. (12)

Предположим, что у°(^ х) (р°(х)) - пока неизвестная п -мерная вектор-

функция, удовлетворяющая тем условиям гладкости, которые нужны для корректности дальнейших рассуждений.

Умножая обе части соотношения (9) ((11)) слева скалярно на у°(^ х)

(р0 (х)), а затем интегрируя обе части полученного соотношения по области Б

(по t от t0 -го до ^ ) и введя обозначения

Н (^ х, 2, и, У°) = У° / (t, х, 2, и ), М (х, у, V, р °) = р0 g (х, у, V ),

получим

Ь х1 '

II у0 (t, х) Д^ (t, х) йх Л =

^ х0

х1

= || [Н(t,х,2(t,х),и (t,х),у0 (t,х))-Н(t,х,2° (t,х),и0 (t,х),у0 (t,х))йхй^ (13)

х0

х1 х1

| р°'(х)Ду (х) йх = |[м (х, у (х), V (х), р°(х))-М (х, у°(х), V0 (х), р°(х))] йх .(14)

Далее, с учетом (10) и (12) имеем

/1 х1 '

(/, х) Д^ (/, х) ёх Ж =

/0 х0

х1 '1 х1 = I [У (,х)Дг(,х)-уО (/0,х)Ду(х)]ёх| уО (/,х)ёгё/; (15)

х0 /0 х0

х1 х1

IрО'(х)Ду(х)ёх = рО'(х )Ду(х)-IрО'(х)Ду(х)ёх . (16)

х0 х0 С учетом тождеств (13) - (16) формула приращения (8) записывается в виде

х1

Д8(иО ,уО) = [ф(у (х1)) -ф(О(х1 ))] + | [О (х, г (, х)) - О(х, гО (, х))] ёх +

х0

х1 , х1 , + |уО (/1,х)Дг(/1,х)ёх- | уО (/0,х)Ду(х)ёх-

. х0 х0 '1 х1 х1

I У О ' (/, х )Дг (/, х)ёхё/ + рО(х1 )Ду (х1 )-| рО'(х )Ду (х )ёх - (17)

'0 х0 х0

'1 х1

-||[Н (/, х, *(/, х), и (/, х), УО (/, х)) - Я (/, х, гО (/, х), иО (/, х), уО (/, х))] ёх Л -

'0 х0

х1

[м(х,у (х),V (х),рО (х))-М(х,уО (х),vО (х),рО (х))]ёх.

х0

Для простоты изложений в дальнейшем будут использованы следующего типа обозначения:

Дй(' х)Я (/, х) = Я (/, х, гО (/, х), и (/, х), уО (/, х))- Я (/, х, (/, х), иО (/, х), уО (/, х)), Ду(х)М (х) = М (х,уО(х), V (х), рО(х))-М (х,уО(х), vО(x), рО(х)) , / (/, х) = / (/, х, гО(/, х), иО(/, х)),

8у(х) = 8у (x,уО(х),vО(x)) .

По предположению / (/, х, г, и), 8 (х, у, V), ф( у) и О (х, г) достаточно гладкие функции. Поэтому используя формулу Тейлора из (17), получим

х1

Д£(иО, vО) = фу (уО (х)) Ду (х1)+ | О\ (х, гО (/1, х))) (, х) ёх +

х0

х1 '1 х1 + |уО (,х)Дг(,х)ёх + рО (х1 )Ду(х1 )-| |уО (',х)Дг(/,х)ёхё/-

х0 '0 х0 х1 х1 х1

рО (х)Ду(х)ёх-11 Ди( х)Я(/,х)ёхё/-11 Я'2 (/,х)Дг(/,х)ёхё/-

х0 '0 х0 '0 х0

х1 1 х1 —11 Ди{(х)Н'2 (^х) Д2(t,х)йхЛ--1| Д2'(t,х)Н2 (^х)Д2(t,х)йхЛ—

^ х0 tо х0

х1 х1 х1 — | ДV(х)М (х)йх — | му (х)Ду (х) йх — | ДV(хМ'у (х) Ду (х) йх — х0 х0 х0 1 х1 1 —11 Ду' (х)Муу (х)Ду (х) йх + Ду' (х1)фуу (у° (х1)) Ду (х) + х0

1 х1

+-| Д2 х) О2 (х, 20 (, х)) Д2 (t1, х) йх + п (Ди, Дv), (18)

х0

где по определению п (ди, Дv) остаток формулы приращения определяемая формулой

х1 х1 П (Ди, Дv) = 0| (Ду (х )||2 ) + | О- (( (, х)Ц2 ) йх — | Оз (Ду (х)||2 ) йх —

х0 х0 '1 х1 1 '1 х1 —1| о4 (Д2 (t, х)!2 )йхЛ —1| Д2х) Ди( х)Н2 (t, х) Д2 х)йхЛ —

^ х0 tо х0

1 х1

—-1 Ду'(х)ДЯх)Муу (х)Ду (х)йх, (19)

х0

а величины ог (•), г = 1,4, определяются из разложений ф(у (х))—ф(у °(х1 )) = фу (у °(х1 ))Ду (х1)+2 Ду '(х1 )ф уу (у °(х ))Ду (х1 ) + о1 ((Ду (х1)2 ),

0 (х, 2(t1, х)) — О (х, 20 х)) = О2 (х, 2° х))Д2 (t1, х) +

1 х1

+ - | Д2' (t1, х ) О2 (х, 2 0 (t1, х )) Д2 х )йх + 02 ( Д2 х) 2 ),

2 '

х0

М (х, у (х),7 (х), р0 (х))—М (х, у0 (х),7 (х), р0 (х))=Му (х, у0 (х),7 (х), р0 (х))Ду(х) + +1 Ду '(х)Муу (х, у °(х),7 (х), р°(х))Ду (х) + Оз ((Ду (х) 2 ),

Н(^х,2(t,х),и (t,х),у°(',х)) — Н(t,х,20(',х),и (^х),у0 (t,х)) = = Н2 (t, х, 20 (t, х), и (^ х), у0 (^ х)) Д2 (t, х) +

+ 2 Д2' (t, х) Н22 (t, х, 20 (t, х), и (^ х), у0 (^ х)) Д2 (t, х) + 04 (( (t, х)2 ).

Здесь и в дальнейшем ||а|| - норма вектора в Яп, а ог (а2) означает, что о(а22 ^0 при а^-0.

Если предполагать, что (/, х), рО (х)) есть решение задачи

, х) = -Яг (/, х); (20)

уО(, х) = -Ох (х, гО(/1, х)) ; (21)

рО(х) = -Му (х)-уО'(/0,х); (22)

рО(х1 ) = -фу (уО(х1)), (23)

то формула приращения (18) примет вид

Д£(иО,vО) = -1 | Ди(/,х)Я(/,х)ёхё/-1 Д^(х)М(х)ёх + '0 х0 х0 1 1 х1 +^ Ду ' (х1 )фуу (уО (х)) Ду (х1) + 21 Дг' ('1, х) Огг (х, гО (/1, х)) Дг (/1, х) ёх -

х0

'1 х1 1 '1 х1

Дих)Я'г (/, х)Дг (/, х)ёхё/ —1| Дг' (/, х) Яг (/, х) Дг (/, х) ёхё/ -

Ю Л0

1 1 х1

Д-(х)М'у (х)Ду(х)ёх-21 Ду '(х)Муу (х)Ду(х)ёх + п (Ди, Дv). (24) х0 х0 Далее, из (9) - (12) получаем, что (Дг (/, х), Ду (х)) является решением линеаризованной задачи

Д (/, х) = /г (/, х) - Ди(/,х)/(/, х) + П2 (/, х, Ди), (/, х) е Б ; (25)

Дг(/0,х) = Ду(х), хеX ; (26)

Ду (х) = 8у (х) + ДЯх)8 (х) + Пз (x, Дv); (27)

Ду (х0 ) = 0, (28)

где по определению

П2 (и x, Ди) = %, х )Л(/, х )Дг (/, х )+О5 (1Д х )\\),

П1(x, ^) = Д V(х )8у(х )Ду(х )+О6 (||Ду(х Ж.

Здесь величины ог- (•), /' = 5,6, находятся из разложений

/ (/, х, г (/, х), и (/, х)) - / (/, х, г (/, х), и (/, х)) = = / (, х, г (/, х), и (/, х)) ) (/, х) + о5 (||Дг (/, х)||),

8(x,у(х),V (х))-8(хуО(х),V (х)) =

= 8у (х,уО (х),V (х)) Ду (х) + О6 (Ду(х)).

Интерпретируя уравнения (25), (27) как линейные дифференциальные уравнения относительно Дг (/, х) и Ду (х) соответственно, на основе формулы Коши о представлении решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений (см., напр., [15-17]) получаем, что решения задач (25) - (28) допускают соответ-

ственно представления в виде

/

Дг (/, х) = ¥ (/,/0 х)Ду (х) +1 ¥ (/,т, х)Ди(т х)/ (т, х)ёт + п4 (/, х, Ди); (29)

/0

х

Ду(х)= |ф(х,5)Д_(х)8(5)ёs + П5 (х,Дv). (30)

х0

Здесь, по определению,

/

П4 (/,х, Ди) = |¥(/,тх)г|2 (т,х, Ди)ёт ,

/0

х

П5 (х, Дv) = | Ф(х, 5)п3 (5, Дт)ё5 .

х0

Далее, учитывая (30) в (29), получим

х

Дг (/, х)= | ¥ (/, /0 х)Ф(х, 5) Д7)8 (5) ё5 +

х0

/

+| ¥(/, х, т) Ди(т х)/(т, х) ёт + п6 (/, х, Ди, Дv), (31)

'0

где по определению

П6 (/, х, Ди, Дv) = п4 (/, х, Ди) + ¥ (/,/0 х)п5 (х, Дv). (32)

Используя независимость и произвольность допустимых управлений и (/, х) и V (х), положим Ди (/, х) Ф 0 , а Дг (х) = 0. Тогда представление (31) примет вид /

Дг(/,х) = |¥(/,т, х) Ди(т х)/(т, х)ёт + п6 (/, х, Ди,0), (33)

/0

а из формулы приращения (24) критерия качества (7) будем иметь

'1 х1 1 х1 (иО ,vО) = -|JДй(/,х)Я (/, х)ёхё/ +11 ¡Аг' (/1, х)Огг(х, г^, х))Дг (/1, х)ёх -

'0 х0 х0

1 '1 х1 '1 х1 —11 Дг' (/, х)Ягг (/, х)Дг (/, х)ёхё/ -11 Ди(/ х)Я'г (/, х)Дг (/, х)ёхё/ + п1 (Ди,0). (34)

'0 х0 '0 х0

Займемся преобразованием отдельных слагаемых в формуле (34), используя представление (33). Имеем

х1

| Дг'(/1,х)О22 (х,гО (/1,х)))(/1,х)ёх =

х0

х1 '1 /

= ШДи(т, х)/' (т, х)¥' (/1, т, х)Огг ( гО ^ х)) ¥ (/1, ^ х) Ди (,,х)/ ^ Х) ёт ё5 ё* +

+ Ц Au(Т,x)f' (т x)F' (1 ,тx)Gzz (z0 (1 ,x))Пб (x Au,0)dT dx +

x0 'o

x1

+ J пб (,x, Au,0)Gzz (x,z0(,x))Az(t1,x)dx, (35)

"1 '-1 "1 '-1 II Au(t,x)HZ (t, x)Az (t, x)dxdt = Ц

4

|AU(T,x)H'z (т,x)F(T,t,x)dТ

A U(t ,x)f (t, x)dxdt +

"1 --1

I AU(t, x)HZ (t, x)Пб (t, x, Au,0)dxdt.

(36)

По аналогии с [5-11] и др. получаем, что

-1 'ч

11 Az' (t, x)Hzz (t, x)Az (t, x)dxdt ■■

h x0

i1 x1 '1

I ||Au (т, x )f (Т, x ) I F' (t, Т, x )Hzz (t, x )F (t, s, x )dt U u (s,x)f (s, x )dxdt +

max (т, s) J

Л

Hzz (t, x)Пб (t, x, Au,0) dxdt +

^ x1 f i

+II |F ( Т, x ) au(t, x)f (т, x )dT

'o x0 V 'o

i1 x1

+II Пб (t, x, Au,0)Hzz (t, x)Az (t, x)dxdt.

'o x0

Положим по определению

t1

^(x,т,s)= I F'(t,т,x)Hzz (t,x)F(t,s,x)dt-

max (т, s)

-F'(tj, т, x)Gzz (x, z0(tj, x))F (tj, s, x).

(37)

(38)

Теперь, учитывая тождества (35) - (37), в формуле приращения (34) получим

¡1 х1

Ди5(и0, V0) = — 1| Ди((,х)Н (t, х)йхЛ —

?0 х0

1 Ч Ч х1

— 2 || | Ди(т,х)!' (Т х)К (x, Т 5) Ди(,,х)/х)йТ й5 йх +

hII

IAU(,,xH С-x)F(т,I,x)dт

AU(tx)f (t, x)dsdx + п7 (Am). (39)

Здесь по определению

1 х1

П7 (Ди) = п1 (Ди)+ — |п6 ((,х, Ди,0)О22 (х,гО (,х))дДг(/1,х)ёх +

х0

1 х1 /1

+ 2 I |Ди(т,х)/' (т, х) ¥' ('1, т, х) Огг ( х)) ('1, x, Ди ,0)ёт ёх -

л0 10 '1 х1

1 11

2II |¥ (/, т, х)Ди(т, х)/ (т, х)ёт

Яг (/,х)п6 (/,х, Ди,0)ёхё/-

1 '1 х1

— IIП6 (',х, Ди,0)Я22 (/,х)Дг(/,х)ёхё/.

Если предполагать, что Ди (/, х) = 0 , Д^ (х0, то представление (31) примет

вид

Дг(/,х) = I ¥(/,/0,х)Ф(х,5)Дц6,)8(5)ё5 + п6 (/,х,0, Дv), (40)

х0

а из формулы приращения (34) получим

Д_ 8 (и О ,уО) = 8 (и О ,у)-8 (и О ,уО) =

х1 1 = -1 Д"(х)М (х)ёх + 2 Ду' (х1 )фуу ( (х1)) Ду (х1) +

х0

1 х1 1 х1 +— I Дг'(/1,х)Огг (х,гО (/1,х))(/1,х)ёх — I Ду'(х)Муу (х)Ду(х)ёх-х0 х0 х1 1 '1 х1 -1 Ду.(х)М'у (х)Ду (х) ёх — 11 Дг' (/, х)Яг (/, х) Дг (/, х)ёхё/ + п1 (0, Дv). (41) х0 '0 х0 При помощи представлений (30) доказывается справедливость соотношений

Ду'(х1 )ф уу (уО(х1 ))Ду(х1 ) =

х1 х1

= I №4^)8'(т)Ф'(х1,т)фуу (уО(х ^(х^Д^)8(£)ётё£ +

х0 х0

х1

+1 Д"(т)8'(т)ф'(х1 ,т)фуу (уО (х ))п5 ( ,Дv)ёx+п5 ( ,Дv)фyy (уО (Х1 ))Ду(Х1), (42)

х0

х1

I Д~(х)М'у (х)Ду (х)ёх =

--1 --1

I ^(тМу (т^т)ёт

1

Д~ (х )8 (х )ёх +|д

V (х)М' у

(х)П5 (х Аv)ёх, (43)

и х

0

| Ду'(х)Муу (х)Ду (х)йх =

= || Д Чт^' (т)\ | Ф '(х,т)Муу (х)Ф(х,^)йх1Д^(,) g (е)йтй £ +

х0 х0 [тах(т,£) [

х1 (х Л х1

+ | \ф(х,т)ДЦт^(т)йт Муу(х)п(x,Дv)йx +|п5(x,Дv)Myy(х)Ду(х)йх. (44) х0 V х0 / х0

Далее, используя представление (40), получим

■ч -ч

|Дг '(t1,х)О22 (20 (t1,х))Д2(^х)йх = | |Д-(т^'(т) X

х0 х0 х0 ,

| Ф'(х,т'(t1,t0,х)О2 (х,20('1,х))(t1,t0,х)Ф(х,£)йх ((■ )йтй£ +

^тах (т,^) [

х1 ( х Л '

+ | | Р (t1, x)ф(x, т ) Дv(m)g (т )йт О22 ( 20(t1, х )) (t1, x,0, Дv )йх +

х0 V х0 /

х1

+1 п6 (t1, х,0, Дv) О2 (х, 2° (t1, х)) дД2 (¡х, х)йх, (45)

х0

х1 х1 х1

||Д2 ' (t, х) Н22 (t, х) Д2 (t, х)йхй = |||дV(т(т) X

?0 х0 ^ х0 х0

х[ | Ф '(х,т^ '(t,х)Н22 (t,х^(t,tо,х)Ф(х,I)йх [д^^(^)йтй^ +

^тах (т, [

г

Ь х1 ( х ^

+|| (,t0,х)Ф(х,т(т)йт Н2 (t,х)п6 (t,х,0, Дv)йxйt +

к х0 V х0

к х1

+|| п6 (t, х,0, Дv )Н22 (t, х) Д2 (, х) йх ^. (46)

х0

Полагая

3 (т, *) = —Ф' (х, т) фуу (у0 (х)) Ф (х, *) —

х1

— | Ф'(х,тt0,х)О22 (х,20('1,х))(t1,t0,х)Ф(х,£)йх +

тах (т,£)

х1

+ | Ф'(х, т)Муу (х)Ф(х, £) йх +

тах (т, ^)

^ х1

+| | Ф'(х,т'(t,t0,х)Н22 (,х)^(t,t0,х)Ф(х,I)йxdt (47)

?0 тах(т,

и учитывая тождества (42) - (46) в (39), получим

Д V (х)£ (и О, V0) £ (и О, V )-£ (и О, V0)- 211 Д V (т)8 '(т )У (т, I )Д,^ 8 (I )ётё £ +

л1 ■I

1

!ДV(т)Му (т^^ х)ёт

ДЧх)8 (х)ёх + П8 (Дv)

(48)

где по определению

п (Дv)=2 п5 (х1, Дv)фyy (у0 (х1 ^ Ду (х1) -

1

+21 Д"(т)8'(т)ф(х1,т)фуу (у0 (х1 ))П5 (х1,Дv)ёm - I ДЦх)М'у (х)П5 (x, Дv)ёx -

Муу (х)п5 (x,Дv)ёx + +2 II ¥((1 ,/0 ,х)Ф(х,т) Д^т)8(т)ёт Огг ((г° (/1,х)) (^1 = хА Д^) +

1 х1 1 х1 ( х ^

- ^5 (X, Дv)мyy (х)Ду (х)ёх - 2 I |Ф(X, m)д-(m)8 (т)ёт

х0 v х0

1 х1 ( х

х0 V х0

1 х1 1 '1 х1 +21 п6 ((,х,0, Дv)Оzz (,х° ((,х))дДг(/1,х)ёх-211 п6 ((,x,0,Дv)Яzz (/,х)Дг((,х)ёхё/-

1 к х1 х

"2II I ¥(1,/0 ,X)Ф(X,m)Д-(т)8(т)ёт

'0 х0 V х0

(/, х)п6 (/1, х,0, Дv)ёxёt.

Как видно, главные члены в формулах приращения (39), (48) функционала качества явно от приращения (Дг(/,х),Ду(х)) состояния (г°(/,х),у°(х)) не зависят. А это, в свою очередь, позволяет получить как необходимое условие оптимальности первого порядка, так и исследовать случай его вырождения с единых позиций.

Заметим, что матричные функции (38), (47) являются аналогами матричных функций, впервые введенных в рассмотрение в работах [5-11] и др. для исследования особых режимов и вывода необходимых условий оптимальности второго порядка.

4. Оценка нормы приращения состояния

Из (9), (11), переходя к эквивалентным интегральным уравнениями типа Воль-терра, будем иметь

/

Д (/, х)=Ду (х)+1 [ / (т, х, г °(т, х)+Д (т, х),и °(т, х)+Ди (т, х))-/(т, х, г °(т, х),и °(т, х))]ёт,

/0

Ду(х)=![8(,у°(5) + Ду(5),v0(s) + Дv(г))-8(,у),V0(s))]ё5 .

Отсюда, переходя к норме и используя условие Липшица, получим t t ||Дг х)|| < ||Ду (х)|| + Ц | Ди{х х)/(т, х, г0 (т, х),и0 (т, х)) йт + Ц | |Д (т, х)|| йт; (49)

||Ay(x) < L2 J \\A-{S)g(s,y0 (s), v0 (s))ds + L2 J ||Ay (s)||ds, (50)

x0 x0 где Lj, L2 = const > 0 - некоторые постоянные.

Применяя к неравенству (50) аналог леммы Гронуолла - Беллмана из [18] приходим к неравенству

xi

||Ay(x)||<L3 J||Av(s)g(s,y0(s),v0(s))ds, (51)

x0

(L4 = const > 0).

Учитывая оценку (51) в неравенстве (49), а затем применяя к полученному неравенству леммы Гронуолла - Беллмана, приходим к оценке

IA(t,x)<L5 ]|Дv(s)g(s,y0(s),v0(s))ds + JAu(t,x)/(,x,z0(T,x),M0(x,x))dT , (52) _x0 t0 _ где L5 = const > 0 некоторое постоянное.

Оценки (51), (52) в дальнейшем будут использованы при выводе необходимых условий оптимальности.

5. Необходимые условия оптимальности

Специальное приращение управляющей функции и° (t, x) определим по формуле

ч Ги (x), t е[9,0 + e), x e X, Aue (t,x) = [ v ' rL ' ' (53)

eV ' ' [0, t e T\[0,0 + s), x e X. V 7

Здесь и(x)eU - произвольная непрерывная функция, 0e[t0,t1) - произвольная

точка непрерывности управляющей функции и0(t,x) по t, а e>0 произвольное

малое число, такое, что 0 + s < t1.

Через (Aze(t, x), Aye(x)) обозначим специальное приращение состояния

(z0 (t,x),y0 (x)), соответствующее приращению (53) управления u0 (t,x). Ясно, что ||Aye (x )|| = 0, а

||Aze (t, x)||< L6 e, (t, x) e D . (54)

Учитывая (53), (54) в (39), получаем разложение

x1

Av(x)S(u0,V0) = -e J Av(x)H(0,x)dx + 0(e). (55)

Теперь специальное приращение управляющей функции V0 (х) определим по формуле

д^>={0, хЖ,), '56'

где V е V - произвольный вектор, [х0, х1) - произвольная точка непрерывности V0 (х), а ц> 0 - произвольное достаточно малое число, такое, что | + ц < х1. Через (Д2ц(, х), Дуц(х)) обозначим специальное приращение состояния

(20(',х),у°(х)), отвечающее приращению (56) управляющей функции

(и0(',х),V0 (х)) .

Из оценок (51), (52) следует, что

|К(, х)|< ¿7 Ц, (t, х) е Б, (57)

||ДуДх)|< ¿8 ц, х е X. Принимая во внимания (56), (57) в (48) приходим к разложению

ДЧх)£(и0,V0) = —ц^М(£) + о(ц). (58)

Из разложений (55), (58) следует справедливость утверждения. Теорема 1. Для оптимальности допустимого управления (и0(',х),v0(x)) необходимо, чтобы выполнялись соотношения

х1

|д Цх)Н (0, х )йх < 0 (59)

х0

для всех и (х) е и , х е X , 0е ^),

ДУМ< 0 для всех е [х0,х1). (60)

Соотношения (59), (60) назовем принципом максимума Понтрягина для рассматриваемой задачи.

Изучим случай вырождения условия максимума Понтрягина.

Определение. Допустимое управление (и0(',х),v0(x)) назовем особым в смысле принципа максимума Понтрягина, если выполняются соотношения

х1

| Ди,(х)Н (0, х)йх = 0, для всех 0е t1) и и (х) е и , х е X ; (61)

х0

ДМ= 0 , для всех [х0,х1) и V е V . (62)

Случай выполнения тождеств (61), (62) назовем особым.

Из определения ясно, что в особом случае условие максимума (59), (60) Пон-трягина, вырождаясь, становится неэффективным [14].

Поэтому надо иметь новые необходимые условия оптимальности позволяющие распознать неоптимальность особых управлений.

Построенные формулы приращения (39), (48) позволяют получить такие необходимые условия оптимальности.

Предположим, что допустимое управление (и0 (/,х),(х)) является особым в

смысле принципа максимума Понтрягина управлением. Тогда из формул приращения (39), (48) с учетом оценок для ||(х)||, ||Ауц (х)||, (,х)||, а также соотношений (56), (57), (61), (62) получаем справедливость разложений

K(x )f '(0, x )K (x, 9,9)Д и (x )f (9, x )dx-

+ J4(x)H'z (9,xKwf (9,x)dx

+ o

(63)

А^(,У°) = -~[АуЯ3&^(|) + АуМ; (|)] + о(ц2). (64)

Из разложений (63), (64) в силу произвольности и достаточной малости и ц следует

Теорема 2. Для оптимальности особого в смысле принципа максимума Понтрягина управления (и,х),у°(х)) необходимо, чтобы выполнялись соот-

ношения

K(x )f '(9, x )K (x, 9,9^ )f (9, x )dx + j\( x H (9, x f (9, x )dx < 0, (65)

для всех 9e[t0, t1 ), u ( x) e U , x e X ;

дуЯ '(Ç) j (ç, çKg (ç)+дум; (ç^g (ç) < о,

для всех Çe [ x0, x1 ), v eV .

(66)

ЛИТЕРАТУРА

1. Москаленко А.И. Об одном классе задач оптимального регулирования // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1969. № 1. С. 68-95.

2. Москаленко А.И. Некоторые вопросы теории оптимального управления: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Томск, 1971. 21 с.

3. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального упралвения. М.: URSS, 2011. 272 с.

4. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Альсевич В.В. Методы оптимизации. Минск: Четыре чет-верты, 2011. 472 с.

5. Мансимов К.Б. Об одной схеме исследования особого случая в системах Гурса - Дарбу // Изв. АН Азерб. ССР. Сер. физ.-техн. и матем. наук. 1981. № 2. С. 100-104.

6. Мансимов К.Б. Особые управления в системах с запаздыванием. Баку: Изд-во ЭЛМ, 1999. 176 с.

7. Мансимов К.Б. Исследование особых процессов в задачах оптимального управления: автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Баку: БГУ, 1994. 42 с.

8. Мансимов К.Б., Марданов М.Дж. Качественная теория оптимального управления системами Гурса - Дарбу. Баку: Изд-во ЭЛМ, 2010. 360 с.

9. Mardanov M.J, Mansimov K.B. Necessary optimality conditions of guasisingular controls in optimal control problem described by integro-differential equations // Proc. Inst. Mech.and Matem. ANAS. 2015. V. 41. № 1. P. 113-122.

10. Марданов М.Дж., Мансимов К.Б., Меликов Т.К. Исследование особых упралений и необходимые условия оптимальности второго порядка в системах с запаздыванием. Баку: Элм, 2013. 355 с.

11. Абдуллаев А.А., Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности в процессах, описываемых системой интегральных уравнений типа Вольтерра. Баку, 2013. 224 с.

12. Параев Ю.И., Грекова Т.И., Данилюк Е.Ю. Аналитическое решение задачи оптимального управления односекторной экономикой на конечном интервале времени // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. № 4(17). С. 4-15.

13. Параев Ю.И. Оптимальное управления двухсекторный экономикой // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2014. № 3(28). С. 4-11.

14. ГабасовР., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: URSS, 2013. 256 с.

15. Алексеев В.М., Фомин С.В., Тихомиров В.М. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 429 с.

16. Ащепков Л.Т. Лекции по оптимальному управлению. Владивосток: Изд-во ДВУ, 1985. 165 с.

17. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем. Минск: Изд-во БГУ, 1973. 256 с.

18. Плотников В.И., Сумин В.И. Проблема устойчивости нелинейных систем Гурса - Дарбу // Дифференц. уравнения. 1972. № 5. С. 845-856.

Статья поступила 07.01.2018 г.

Mansimov K.B., Rasulova Sh.M. (2018) ON OPTIMALITY OF SINGULAR CONTROLS IN AN OPTIMAL CONTROL PROBLEM. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 54. pp. 17-33

DOI 10.17223/19988621/54/2

Keywords: Pontryagin maximum principle, necessary condition for optimality of singular controls, formula of increment.

In this paper, a Moskalenko type optimal control problem is considered. We consider the optimal control problem of minimizing the terminal type functional

S(u,v ) = ф(у (x1)) + J G (x, z (t1, x ))dx,

x0

under constraints

u (t,x) e U с Rr, (t,x) e D =[t0,t1 ]x [x0,x1 ], v(x) e V с Rq, x e X = [x0,x1], zt (t,x) = f (t,x,z (t,x),u (t,x)), (t,x) e D, z(t0,x) = y (x), x e X, У (x0 )= У0.

Here, f (t,x,z,u) (g (x,y,v)) is an n-dimensional vector function which is continuous on the set of variables, together with partial derivatives with respect to z (y) up to second order,

t0, tJ, x0, xJ(t0 < tJ,x0 < xJ) are given, y) (G(x,z)) is a given twice continuously differentiable with respect to y (z) scalar function, U (V) is a given nonempty bounded set, and u (t, x) is an r-dimensional control vector function piecewise continuous with respect to t and continuous with respect to x , v(x) is a ^-dimensional piecewise continuous vector of control actions.

The necessary optimality conditions for singular controls in the sense of the Pontryagin maximum principle have been obtained.

AMS Mathematical Subject Classification: 49K20

MANSIMOVKamil' Bayramali ogly (Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Baku State University, Institute of Control Problems of the Azerbaijan National Academy of Sciences, Baku, Azerbaijan). E-mail: kamilbmansimov@gmail.com, kmansimov@mail.ru

RASULOVA Shahla Macid gyzy (Institute of Control problems of Azerbaijan National Academy of Sciences, Baku, Azerbaijan).

REFERENCES

J. Moskalenko A.I. (1969) Ob odnom klasse zadach optimal'nogo regulirovaniya [On a class of optimal control problems]. Zhurn. vychisl. mat. i mat. fiziki. J. pp. 68-95.

2. Moskalenko A.I. (J97J) Nekotorye voprosy teorii optimal'nogo upravleniya [Some problems in the theory of optimal control]. Dis. Cand. fiz.-mat. nauk. Tomsk. 2J p.

3. Gabbasov R., Kirillova F. M. (20JJ) Printsip maksimuma v teorii optimal'nogo upravleniya [The maximum principle in the optimal control theory]. Moscow. URSS. 272 p.

4. Gabasov R., Kirillova F.M., Alisievich V.V. (20JJ) Metody optimizatsii [Optimization Methods] Minsk: Publishing house «Four quarters». 472 p.

5. Mansimov K.B. (J98J) Ob odnoy scheme issledovaniya osobogo sluchaya v sistemakh Gursa-Darbu [On a scheme of studying a singular case in Goursat-Darboux systems]. Izv. AN Azerb. SSR. Ser. Phys.- tech. and math. Sciences, no. 2, pp. J00-J04.

6. Mansimov K.B. (J999) Osobye upravleniya v sistemakh s zapazdyvaniem [Singular controls in systems with delay]. Baku: Publishing house "ELM". J76 p.

7. Mansimov K.B. (J994) Issledovaniye osobykh protsessov v zadachakh optimal'nogo upravleniya [Study of singular processes in optimal control problems]. Author's abstract. Diss. on competition of a scientific degree. PhD in physics and mathematics sciences. Baku: BSU. 42 pp.

8. Mansimov K.B., Mardanov M.J. (20J0) Kachestvennaya teoriya optimalnogo upravleniya sistemami Gursa-Darbu [Qualitative theory of optimal control of Goursat-Darboux systems]. Baku: Publishing house "ELM". 360 p.

9. Mardanov M.J., Mansimov K.B. (20 J 5) Necessary optimality conditions of quasisingular controls in optimal control problem described by integro-differential equations // Proc. Inst. Mech.andmatem. ANAS. V. 4J. No. J. P. JJ3-J22.

J0. Mardanov M.J., Mansimov K.B., Melikov T.K. (20J3) Issledovaniya osobykh upravleniy i neobkhodimye usloviya vtorogo poryadka v sistemakh s zapazdyvaniyem [Study of singular controls and necessary optimality conditions of second order in systems with delay]. Baku: Publishing house "ELM". 355 p. JJ. Abdullayev A.A., Mansimov K.B. (20J3) Neobkhodimye usloviya optimalnosti v protsessakh opisyvaemykh sistemoy differentsialnykh uravneniy tipa Volterra [Necessary optimality conditions in processes described by a system of Volterra-type integral equations]. Baku. 224 p.

J2. Parayev Yu.I., Grekova T.I., Danilyuk Ye.Yu. (20JJ) Analiticheskoe reshenie zadachi optimal'nogo upravleniya odnosektornoy ekonomikoy na konechnom intervale vremeni [Analytical solution of the problem of optimum control for one-sector economy on a finite

time interval], Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravleniye, vychislitel'naya tekhnika i informatika, 4(17), pp, 4-15,

13, Parayev Yu,I, (2014) Optimal'noye upravleniya dvukhsektornyy ekonomikoy [Optimal control for the two-sector economy], Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravleniye, vychislitel'naya tekhnika i informatika, 3(28), pp, 4-11,

14, Gabasov R,, Kirillova F,M, (1973) Osobyye optimal'nyye upravleniya [Singular optimal controls], Moscow: URRS, 256 p,

15, Alekseyev V,M,, Fomin S,V,, Tikhomirov V,M, (1979) Optimal'noye upravleniye [Optimal control], Moscow: Nauka, 429 p,

16, Ashchepkov L,T, (1985) Lektsiipo optimal'nomu upravleniyu [Lectures on optimal control], Vladivostok: Izd-vo DVU, 165 p,

17, Gabasov R,, Kirillova F,M, (1973) Optimizatsiya lineynykh system [Optimization of linear systems], Minsk: Izd-vo BGU, 256 p,

18, Plotnikov V,I,, Sumin V,I, (1972) Problema ustoychivosti nelineynykh sistem Gursa-Darbu [The stability problem for non-linear Goursat-Darboux systems], Differents. uravneniya, 5, pp, 845-856,