Необходимые условия оптимальности в одной граничной задаче оптимального управления системами Гурса - Дарбу Текст научной статьи по специальности «Математика»

2017 Математика и механика № 49

УДК 517.977.56

Б01 10.17223/19988621/49/3

К.Б. Мансимов, В.А. Сулейманова

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ОДНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ ГУРСА - ДАРБУ

Изучается граничная задача оптимального управления системами Гурса -Дарбу при предположении открытости области управления. Установлен аналог уравнения Эйлера. Выведены необходимые условия оптимальности второго порядка.

Ключевые слова: граничное управление, система Гурса - Дарбу, необходимое условие оптимальности, аналог уравнения Эйлера, аналог условия Габа-сова-Кирилловой.

1. Введение

Задачи оптимального управления, описываемые системами Гурса - Дарбу, с управляемыми граничными условиями начали изучаться еще с работ [1, 2] А.И. Егорова. Отметим работы [3-9], в которых получен ряд необходимых условий оптимальности и доказаны теоремы существования оптимальных граничных управлений.

В предлагаемой работе исследуется одна граничная задача оптимального управления, описываемая системой Гурса - Дарбу, при предположении открытости области управления. Установлены необходимые условия оптимальности первого и второго порядков.

2. Постановка задачи

Рассмотрим задачу о минимуме функционала

I (и ) = ф( а )) + С ( г (, X!)) (2.1)

при ограничениях

и (г)е и с Яг, г £ Т = [г0,г1 ]; (2.2)

2гх = в (г, х) + / (г, х, 2, гх), (г, х) £ в = [г0, г1 ]х[ х0, х1 ]; (2.3)

х0) = a(г), г £ Т =[г0,г1 ], 2 (г0, х) = Ь (х), х £ X = [х0, х1 ];

а (г0 ) = Ь (х0 ) = а = g (г, а,и), г £ Т; (2.5)

а (г0 ) = 00. (2.6)

Здесь / (г, х, 2,2х) - заданная «-мерная вектор-функция непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по 2,2Х до второго порядка

включительно; В(/, х) - заданная измеримая и ограниченная (п х п) матричная функция; Ь (х) - заданная п -мерная абсолютно непрерывная вектор-функция; /0,х0,х1 (/0 <х0 <х1) - заданы; а0 - заданный постоянный вектор; g(/,а,и) - заданная п-мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по (а,и) до второго порядка включительно;

ф(а) и О(г) - заданные дважды непрерывно дифференцируемые скалярные

функции; и - заданное непустое ограниченное и открытое множество; и(/) - измеримая и ограниченная г-мерная управляющая вектор-функция.

Каждую управляющую функцию и($) с вышеприведенными свойствами назовем допустимым управлением.

Предполагается, что при заданном допустимом управлении и($) задача Коши (2.5), (2.6) и задача Гурса (2.3), (2.4) имеют единственное абсолютно непрерывное решение (в смысле [10 - 13]) а (/) и г (/, х) соответственно.

Допустимое управление и (/), доставляющее минимум функционалу (2.1) при ограничениях (2.2) - (2.6), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс (и (), а (), г (, х)) - оптимальным процессом.

3. Вариации функционала качества

Считая (и (), а (), г (, х)) фиксированным допустимым процессом, введем обозначения

М (/, а, и, д) = д' g (/, а,и) , Н (/, x, г, гх, у) = у' / (^ х г, гх ) , Ма (и а () и () д ())= Ма () , Маа (^ а () и () д ())= Ма () , Миа (^ а () и () д ())= Миа () , Мии (^ а () и (), д ())= Мии () , Нг (г, х, г (, х), гх (, х), у (, х)) = Нг (, х) , Нгг (/, х, г (, х), гх (, х), у (, х)) = Нгг (, х) , Нггх (/, х, г (, х) , гх (, х) , у (, х)) = Нггх (, х) , ga (', а () и ()) = gа () , /г (/, х, г (, х), гх (, х)) = / (, х),

4 (', х, г (, х), гх (, х)) = /х (, х), где у = у (/, х) и д = д (х) - пока неизвестные п-мерные вектор-функции.

Через (и (г) = u (г) + Дu (г), а (х) = а (х) + Да (х), z (г, х) = z (г, х) + Az (г, х)) обозначим произвольный допустимый процесс и запишем приращение критерия качества

Д1 (и ) = I (и)-1 (и ) = ф( а (г1 ))-ф( а (г1 )) + О (2 (г1, х ))-О (2 (г1, х1)) . (3.1)

Далее ясно, что приращение (Да (г), Дг (г, х)) - состояния (а (г), 2 (г, х)) есть решение задачи

Да = g (г, а, и)-g (г, а, и ) ; (3.2)

Да (г0 ) = 0; (3.3)

Д2гх = в (г, х) Д2г + / (г, х, 2, ^) -- / (г, х, 2,2х ); (3.4)

Д (г, х0 ) = Да (г), г £ Т , (35) Д2 (г0, х) = 0, х £ X.

Умножая обе части соотношения (3.2) ((3.4)) слева скалярно на q (г) (у (г, х)), а затем интегрируя обе части полученного соотношения по Т (по В ) получим

г1 к

| q' (г) Да (г )ёг = \\_м (г, а (г), и (г), q (г)) - м (г, а (г), и (г), q (г)) ёг; (3.6)

г0

г1 х1 г1 х1

11 у'(г, х)Д2гх (г, х)ёхёг = Ц у'(г, х)в (г, х)1ыг (г, х)ёхёг +

г0 х0 г0 х0

+111!н (г, х, 2 (г, х), 2х (г, х), у (г, х)) - я (г, х, 2 (г, х), 2х (г, х), у (г, х)) ёх ёг. (3.7)

г0 х0

Здесь и в дальнейшем штрих (') - операция транспонирования.

С учетом тождеств (3.6) и (3.7) формула приращения (3.1) записывается в виде Д1 (и) = ф(а(г1)) - ф(а (г1)) + О (2(г1, х1)) - О (2 (, х1)) +

г0

г1 х1

Ю х0

и х,

г.

+

г

| q' (г) Да (г )ёг -|[ м (г, а (г), и (г), q (г))-м (г, а (г), и (г), q (г ))ёг +

г0

г1 х1 г1 х1 +| | у'(г, х )Д2гх (г, х )ёхёг -11 у'(г, х )в (г, х )дц. (г, х ~)йхйг -

г0 х0 г0 х0

г1 х1

| [я (г, х, 2 (г, х), ~2Х (г, х), у (г, х))- я (г, х, 2 (г, х), 2х (г, х), у (г, х)) ёхёг.

г0 х0

Отсюда, используя формулу Тейлора, будем иметь

1 (и) = ф0 (а (г1 )) Да (г1 ) +1 Да' (г1 ) фаа (а (г1 )) Да (г1 ) + +О2(2 (гl, х1 ))Д2 ( х1 )+ | Д2 (гl, х1 )О22 (2 ( х1 )) (гl, х1 ) +

1 Ъ

-1 -1

ь| д' () Аа () Ж -1 [М'а () Да () + М'и () Ди ()] Ж -

-21 [Да' (/)Маа ()Да (/) + 2Ди' (/)МИа (/) Да (/) + Ди' ()МИИ ()Ди (/)] Л + 2 к

Ч х1 '1 х1

- Л у'' (, х) В (, х) дЦ (, х )ёхёг - Л [ Н' (, х) Дг (, х) + Н' (, х) Дгх (, х) ёх Л

'о х0 Ч х0

1 '1 х1

-2 П [Дг' (, х) Нгг (, х) Дг (, х) + Дгх (, х)Нхг (, х) Дг (, х) +

'о х0

+Дгх(, х) Дгх (, х) + Дгхх (, х(, х)Дггх (, х) ёхё + 01 (|| Да (/,)||2 ) + 02 (||Дг ((, х, )) )-} Оз [[||Ди ) +1| Да ()||] 2 ) Л -

'о

-П П о4 Г [Д (, х)|| + |Дх (, х)||]21 ёхЛ,

+ о.

(3.8)

где о (а2 2 ^ 0 при а ^ 0 . Ясно, что

Да () = П Да (т)ёт ;

'0

Ь х

Дг(,х) = Да() + | П Дгт5 (т,5}dsdт ;

'0 х0

х

Дг 1 (, х) = Да () + П Дг 5 (, 5) ;

х0

г

Дгх ( х ) = |Дгтх (т, х )ё Т .

(3.9)

(3.10)

(3.11)

(3.12)

Используя формулы (3.9) - (3.12) и применяя формулу Фубини (см., напр., [6, 10]), можно доказать, что

}ма()Да ()А = П |ма(т)ёт

Да () ;

(3.13)

к х1

Ч х1

П П у'(,х)В(,х)Дг ( (,х)ёхё' = Ц у'(,х)В(,х)Да()ёхё(-

1 "1 чТ I

1

/у'(/, 5)В(, 5

Дгх (, х)ёхё';

(3.14)

1 "1 1 "1

Ця'г (г, х) (г, х)ёхёг = Ц я'г (г, х) Да (г) ёх ёг -

г0 х0 г0 х0 г1 х1 г1 х1 +Ця'(г, х) цд^ (т, 5)ё*ёТ

ёхёг;

Ч Ч "Ч

|| я2 (г, х) Да (г )ёхёг = Ц

1

|я2(т, х )ё т

да (г)ёхёг +

ч -ч

^I

г0 х0

Ч Л1

11я2 (т, 5)ё5ёт

Д2гх (г, х) ёх ёг,

1

(т,х)ёт

11 я^ (г, х) Д2х (г, х)ёхёг = ||

г0 х0 г0 х0

г1

ф0 (а (1)) Да (1) = I ф0 (а (1)) Д0 (г) ёг,

г

О' (2 (г1, х1 ))) (г1, х1) = | О2 (2 (г1, х1 ))да (г)ёг

г0

г1 х1

+11О2 (2 (г1, х1 ))Д2гх (г, х )ёхёг.

(г, х) ёх ёг,

(3.15)

(3.16)

С учетом доказанных тождеств (3.13) - (3.16) формула (3.9) для приращения функционала качества (2.1) представляется в виде

ч ч

Д1 (и ) = -|Д и (г )м (г)ёг +|

"1

фа (а (г1)) + q (г) + О (2 (г1, х )) -1ма (т) ёТ -

--1 "1 '-1 -||я2 (т,х)ёхёт- | В'((,х)у (,х)ёх

х0 г

"1 --1

да () ёг + || [о2 ( (1, х ))-у(, х)

г0 х0

'-1 "1 '-1 "1 -1 В' (, 5) у (г, 5) ё5 -11Я2 (т, 5) ёТ ё5 -1 (т, х) ёТ

Д2х (, х )ёхёг +

+ 1Д0 (г1 ) фаа (а (г1 )) Да (г1 )+1Д2' ( х1 ) (2 ( х1)) Д2 ( х1 ) -

1 ^

-1 [да' (г)маа (г) да (г) + 2 Ди' (гм (г) Да (г) + ди (гм (г) Ди (г)] ёI -

1 г1 х1

"2 '(г, х)я22 (г, х)Д2 (г, х)+Д2'(г, х)ягг>: (г, х)^ (г, х)+Д2х (г, х)Яzхz (г, х)Д2 (г, х)+

0

+Дг'

1

х х)Нгхгх (',х)Д7х х)]ёхЖ—{^'(^Маа (М^'+о1 ((а(( )2)+

2

'0

'1 х1

/и . / М1?\ С /П|1 . ,>|| II. / ми?\ . " "

+о2 1/м

'0 '0 х0

, (( (1, хЛ2 )+}с3 (а (()+|Ди (()2 ))-Ц04 ( х|+||Д7х (',х)[]2). (3.17)

Если предполагать, что (у (, х), д ()) является решением системы интегральных уравнений

х1 '1 х1 '1

у (',х) = -Ог (г(/1,х1)) + ПВ'(',5)у (',+ ППН2 (т,+ ПНг (т,х)ёт; (3.18)

5 ' х '

'1

д (') = -Фа (а ('1 )) - О (г (( , х1 )) + !Маа (т) ёт -

г

х1 '1 х1

- П П Н2 (т, х) ёх ёт + П В' (, х) у (, х) ёх, (3.19)

х 0 ' х0 то формула приращения (3.17) примет вид

М (и ) =1 Да' ('1) Фаа (а ('1)) Да ('1) +

+2

1

1

2 Дг (1, х) Ог (г (1, х)) Дг ('1, х) - П ми (') Ди (') ё' -

'0

-2ЯМ')Маа (')Да(') + 2Ди'(')миа (')Да(')+Ди'(')Мии (')Ди(')]-

'0

1 '1 х1

- 2 Л[Дг ' (, х) Нгг (, х) Дг (, х) + Дг' (, х) Н22х (, х) Дгх (, х) +

'0 х0

+Дгх (, х) Н^г (, х) Дг (, х) + Дгх (, х) Н^ (, х) Дгх (, х)] ёх ё' +

+ °1 (|Да ('1 )||2 ) + 02 (||Дг (1, х1 )||2 )-/ 03 Г[||Да (')| + ||Ди (')Ц]21 ё' -

'0 4

'1 х1 ( 2 Л

-Цо4 1[||Дг(,х) + Дгх (,х))] 1 ё'ёх. (3.20)

'0 х0

Пусть е - достаточно малое по абсолютной величине число, а 5и (') е Яг, ' е Т, - произвольная кусочно-непрерывная и ограниченная г-мерная вектор-функция (вариация управления).

В силу открытости области управления и специальное приращение управления и (') можно определить по формуле

Дие (') = е5и (') , ' е Т . (3.21)

Через (Да (г;е), Д2 (г, х;е)) обозначим специальное приращение вектора состояния (а (г), 2 (г, х)), отвечающее приращению (3.21) управления и (г). Из оценок, приведенных, например, в работах [1, 2, 11-13] следует, что

||Да(г;е)||< Ье , (3.22)

||Д2 (г, х; е))< Ь е, ||Д2х (г, х; е))< Ь е, (г, х) В .

Используя эти оценки и (3.21), при помощи (3.2), (3.3) и (3.4), (3.5) аналогично [14] доказывается

Теорема 3.1. Для специального приращения (Да (г; е), Д2 (г, х; е)) состояния (а (г), 2 (г, х)) имеют место разложения

Да (г; е) = е да (г) + о (е; г) ,

Ья(г,х;е) = е52(г,х) + о(е;г,х) , (3.23)

Д2х (г, х; е) = е 52х (г, х) + о (е; г, х) ,

где (5а (г), 52 (г, х)) (вариация состояния (а (г), 2 (г, х))) является решением уравнения в вариациях

50(г) = gа (г)5а(г)+gu (г)5и (г); (3.24)

5а (г0 ) = 0; (3.25)

52гх (г, х) = в (г, х) 52г (г, х) + / (г, х) 52 (г, х) + /^ (г, х) 52х (г, х); (3.26)

52 (г, х0) = 5а (г), 52 (г0, х ) = 0. (3.27)

С учетом разложений (3.23) из формулы приращения (3.20) получаем, что

Д1е(и) = I(и +е5и)-1(и) = -е |ми (г)5и (г)ёг +

г0

е2

+ у {5а' (г1 ) фаа (а (г1 )) 50 (г1 ) + 52 (г1, х1 ) Оzz (2 (г1, х1 )) 52 (г1, х1 ) -

г1

-|[5а' (г)маа (г) 5а (г) + 2 5и' (г^ (г) 5а (г) + 5и' (гм (г) 5и (г)] ёг +

г0

г1 х1

+| 11[52' (г, х) я2 (г, х) 52 (г, х)+52 ' (г, х) я^ (г, х) 52х (г, х) +

г0 х0

+52х (, х) я(, х) 52 (, х) + 52х (, х) я(, х) 52х (, хёх ёг} + о(е2 ). (3.28)

Из разложения (3.28) следует, что первая и вторая вариации (в классическом смысле) функционала I (и) имеют соответственно вид

'1

511(и; 5и) = -|Ми (')5и(')й'; (3.29)

'о

521 (и; 5и) = 5а' ('1)Фаа (а ('1)) 5а ('1) + & ('1, х )С22 (г (, х)) & (, х ) -

'1

-1 [5а' (')Маа (') 5а (') +25и' (')Мва (')5а (') + 5и' (')Мии (')5и (')] Л +

'о

'1 Х1

+Л [5г' (', х) Нг (', х) 5г (', х) + 5г' (', х) И^ (', х) 5гх (', х) +

'о х0

+5г'х (, х) Н2г (, х)5г (, х) + 5гх (, х) Н^ (, х)5гх (, х)] йхй'. (3.30)

4. Необходимые условия оптимальности

Для оптимальности допустимого управления м(') в рассматриваемой задаче необходимо, чтобы соотношения

'1

|М'и (')5м (')й' = 0; (4.1)

'о

5а' ('1 ) Фаа (а ('1)) 5а ('1) + 5г ('1, х1) (г ('1, х1 )) 5г ('l, х1) -

'1

[5а' (')Маа (') 5а (') +25И (')Миа (')5а (') + 5И (')Мии (')5и (')] Л +

'о

'1 х1

+Ц [5г' (, х) Нг (, х) 5г (, х) + 5г' (, х) Н^ (, х) 5гх (, х) +

'о х0

+5г'х (, х)Н^ (, х)5г (, х) + 5г'х (, х)Н^ (, х)5гх (, х)] йхй' > 0. (4.2)

Соотношения (4.1), (4.2) являются неявными необходимыми условиями оптимальности первого и второго порядка соответственно.

Из (4.1) по известной схеме (см., напр., [15, 16]) получается аналог уравнения Эйлера [15].

Теорема 4.1. Для оптимальности допустимого управления и(') в рассматриваемой задаче необходимо, чтобы для всех 0е['о, '1) выполнялось соотношение

Ми (е) = о, (4.3)

где 9е['о, '1) - здесь и в дальнейшем произвольная точка Лебега (правильная

точка) (см., напр., [16-18]) управления и(').

Необходимое условие оптимальности (4.3) есть аналог уравнения Эйлера и представляет собой необходимое условие оптимальности первого порядка.

Определение 4.1. Каждое допустимое управление и('), являющееся решением уравнения Эйлера, назовем классической экстремалью.

Ясно, что оптимальное управление (если оно существует) находится среди классических экстремалей.

Для сужения множества классических экстремалей надо иметь необходимые условия оптимальности второго порядка.

С этой целью будем использовать неявное необходимое условие оптимальности второго порядка (4.2).

Решение задачи (3.24), (3.25) допускает представление (см., напр., [10, 19])

г

5а (г) = { Е (г, т)gu (т)5и (т)ёт, (4.4)

где Е (t, т) (п х п) - матричная функция - решение задачи

Е^, т) = Е (/, т) gu (т) ,

Е (г, г ) = Е

(Е (п х п) - единичная матрица).

Далее решение краевой задачи (3.26), (3.27) допускает представление [20]

г

5х (г, х) = | Я (г, х; т, х0 )^5а (т)- / (т, х0 )5а (т) ёт, где Я (г, х; т, 5) есть решение интегрального уравнения:

г х

Я (, х; т, 5) = Е +

||Я(,х;а,р)/ (а,р)ёаёр +

т 5

г х

+| Я (, х; а, 5)/ (а, 5)ёа +

| Я (, х; т, р)5 (т, р)ё р.

т5

Принимая во внимание (4.4), из (4.5) имеем

г

52 (г, х) = | Я (г, х; т, хо )[ga (т) 5а (т) + gu (т) 5и (т)- /х (т, хо )5и (т)] ёт. (4.5)

го

Полагая

Ь ( x, т) = Я ( х;т, хо ) [ga (т) - /х (т, х0 ) ,

представление (4.5) записывается в виде

г г

51 (г, х) = | Я (г, х; т, х0 )gu (т)5и (т)ёт + | Ь (г, х, т)5а (т)ёт . (4.6)

Далее, с учетом представления (4.4) будем иметь

52 (г, х) = |Я (г, х; т, х0 )gu (т)5u (т)ёт + |

| Ь (г, х, т) Е (т, 5) gu (5)5u (5) ё5

ё т =

/

| Ь (г, х, 5) Е (5, т) ё5

gu (т^ (т) ёт + | Я (г, х; т, хо ^ (т)8« (т)ёт. (4.7)

Введя обозначения

'

Q (', х, т) = | Ь (', х, 5) (5, т)й5 + Я (', х; т, х),

т

представление (4.7) записывается в виде

'

5г (', х) = | Q (', х, т) gu (т)5и (т)йт.

'о

Из (4.9) следует, что

'

5гх (', х) = | ^ (', x, т) gu (т) 5и (т) йт.

'о

При помощи представления (4.4) доказывается, что

5а'('1 ) Фаа (а ('1 ))5а ('1 ) =

'1 '1

= //5и'(т)gu (т)Е'('1,т)Фаа (а('1 ))(т,5)gu (5)5и(5)й5йт ;

'о 'о

15и'(')Миа (')5а(') й' = //[5и' (т)Миа (т)Е(т,') йт]gu (')5и (')й' ;

'о 'о 'о

'1

|5а'(')Маа (')5а(')й' =

(4.8)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

(4.12)

I } Е (', т)gu (т)5и (т)йт Маа (') } Е (', s)gu (5 )5и (^

V 'о

V 'о

й' =

= ||5и'(т^;(т)| I Г(',т)Маа (')Г(',5)й'Igu (*)5и(^йт. (4.13)

'о 'о [тах(т5) ]

Далее, используя (4.9), (4.10), получаем, что

5г ('1, х1) (г ('1, х1 )) 5г ('1, х1) =

'1 '1

= II5и'(т)gU (т)Q'('l,х1,т)О;; (('1,х1))('1,х,5^ (5)5и(5)й5йт; (4.14)

"1 '-1

|| 5г'(',х)Н;; (',х)5г(',х)йхй'~-

Г '1

Г '1

II jQ(',x,т)gu (т)5и(т)йт Н;; (',х) ^(',х,(5)5и(5)й5

Л

йхй' =

= 115'и(т)gU (т)] I I Q'(',х,т)Н22(',х^(',х,5)йхй'^и (У)5и(У^йт;

'о хо 1хо тах(т,5) ]

(4.15)

ч

¡¡5z'(t,x)Hz^ (t,x)5zx(t,x)dxdt~-

,( ti

(ti

л

= Л ¡Q(t,x,z)gu (t)5m(x)dx Hzzx (t,x) |Qx (t,x,s)gu (s)5u(s)ds

dxdt =

^¡5'u(x)gU (x)<j¡ ¡ Q'(t,x,x)Hz^ (t,x)Qx (t,x,s)dxdt\gu (s)5u(s)dsdv, (4.16)

t„ x0 [x0 max(T,s) J

ii xi

¡¡5zx (t,x)Hzz (t,x)5z(t,x)dxdt =

ii xi (ii Л (ii

= Я ¡Qx(t,x,T)gu (x)Su(x)dx Hzxz(t,x) ¡Q(t,x,s)gu (s)5u(s)ds

л

dxdt =

"¡¡5'u(T)gu (x)J¡ ¡ Qx(t,x,t)Hzxz(t,x)Q(t,x,s*)dxdt Jgu (s)5u(s)dsdx; (4.i7)

k xo [xomax(x,s) J

ii xi

¡¡5zx(t, x)Hzz (t, x)5zx (t, x)dxdt =

ti xi (ti Л' (ti

= ^ ¡Qx (t,x,T)gu (x)5u(x)dx Hzxzx (t,x) ¡Qx (t,x,s)gu (s)5u(s)ds

л

dxdt =

= ¡¡5^ (т^Н ¡ Q'x(t, x,t)H zxzx (t, x)Qx (t, x, s)dxdtJgu (s)5u (s)dsd т. (4.i8)

t0 x0 Uo max(т,s) J

Пусть K (т, s) (n x n) - матричная функция, определяемая формулой

K (т, s ) = - F '(ti, т)Фаа ( a (ti)) F (ti, s ) +

ti

+ Q'(ti,xi,т)Gzz (z(ti,xi))Q(ti,xi,s)- j F'(t,x)Maa (t)F(t,s)dt +

max (т, s)

xi ti (4i9)

+ | J [Q'(t, x, т) Hzz (t, x)Q (t, x, s) + Q'(t, x, т) Hzzx (t, x)Qx (t, x, s) +

xo max(т, s)

+Qx (t, x, т) Hzxz (t, x) Q (t, x, s) + Qx (t, x, т) HZxZx (t, x) Qx (t, x, s)] dxdt.

Матричная функция K (т,s), определяемая формулой (4.i9), является аналогом матричных функций, введенных в работах [2i, 22], а также используемых для исследовании особых управлений и вывода необходимых условий оптимальности для различных классов задач оптимального управления (см., напр., [ii]).

С учетом (4.19) и тождеств (4.11) - (4.18) неравенство (4.2) записывается в виде

'1 '1

II ' и (т)g'u (т)К (т, 5 )gu (5 )5и (5)й5йт +

'о 'о

'

| ' и (т)Миа (т)Е (т,' )й т

gu (')5и (')й' + |5 'и (')Мии (')5и (')й' < 0. (4.20)

Сформулируем полученный результат.

Теорема 4.2. Для оптимальности классической экстремали и (') в рассматриваемой задаче необходимо, чтобы неравенство (4.20) выполнялось для всех

5и (') е Яг, ' е Т .

Неравенство (4.20) есть необходимое условие оптимальности второго порядка, выраженное непосредственно через параметры задачи (2.1) - (2.6), и носит довольно общий характер. Из него, используя произвольность вариации 5и (')

управления и ('), можно получить относительно легко проверяемые необходимые условия оптимальности, в частности аналог условия Лежандра - Клебша.

Пусть 0е['о, '1) - произвольная точка Лебега управления и ('), V е Яг - произвольный вектор, а ц > 0 - произвольное достаточно малое число, такое, что е + ц< '1.

Вариацию 5и (') управления и (') определим по формуле

,, к ' е[е, е+ц), 5иц (') = ] 1 г ' ч (4.21)

^ |о, 'ет\[е,е+ц).

Принимая во внимания (4.21), в неравенстве (4.20) получим

цV 'Мии (е)V + о(ц)< 0.

Следовательно

V ' Мии (е) V < о. (4.22)

Теорема 4.3. (Аналог условия Лежандра - Клебша) Для оптимальности классической экстремали и (') в задаче (2.1) - (2.6) необходимо, чтобы неравенство

(4.22) выполнялось для всех ее['о, '1), V е Яг.

Как видно, проверка аналога условия Лежандра - Клебша относительно легче. Но «платой» за это является то, что условие оптимальности (4.22) может вырождаться.

Определение 4.2. Классическую экстремаль и (') назовем особым в классическом смысле управлением, если

V 'Мт (е)V = 0, (4.23)

для всех ее['о,'1), V е Яг.

Считая u (г) особым в классическом смысле управлением, его специальную вариацию определим по формуле

5^ (г) = £5u (г, ц; е,, I,, V,.).

(4.24)

г=1

5u (г, ц; е,, I,, V,. ) = ■

(4.25)

Здесь т - произвольное натуральные число; ег е[го,г1), г = 1, т, произвольные правильные точки управления u(г), удовлетворяющие условию г0 <е1 <е2 <... <ет <г1; ^ > 0, г = 1,т, - произвольные числа; Vг е Яг, г = 1, т, - произвольные ограниченные векторы. А 5u (г, ц; ег, I г, V,.)- аналог игольчатой вариации, определяемый формулой

[V,, г е[е,, е, +1, в), [о, г е[о, г, ]\[е,, е, + ¡г в).

Операцию сложения игольчатых вариаций 5u (г, ц; е г, Iг, V,) следуя [22] определяем следующим образом.

Если е1 *е2, то суммой вариаций 5u (г, ц; е1,1г,V,) и 5u (г, ц;е2,1г,V,) назовем вариацию вида

'V, г е[е,, е, +ц ,1,), [2

о, г е т \ и[е,, е, +1, ц).

5^ (г) =

Если же е1 = е2, то суммой вариаций 5u (г, ц; е1,1г,V,) и 5u (г, ц;е2,1г,V,) назовем вариацию

V), г е [е1, е1 +11 ц), 5uц (г) = <V2, г е [©1, е1 +((1+12 )ц), о, г е т \ [е1, е1 + (11 +/2)ц).

Понятие суммирования подобным образом распространяется на любое конечное число игольчатых вариаций вида (4.25).

Теперь предположим, что u (г)- особое в классическом смысле оптимальное

управление. Учитывая вид (4.24) игольчатой вариации 5^ (г) в неравенстве

(4.2о), а также принимая во внимание (4.23), после некоторых преобразований по-лучим,что

т т т

X X к ^ (е,) к (е,, е;) ^ (е; )v; + XIУНиа (е,) [/, gu (е, х +

.,=1}=1

+2 X 1гР (е,, е; ^ (е,) ]

1 =1

+ о(ц2) < о.

Отсюда в силу произвольности ц следует справедливость утверждения.

Теорема 4.4 (Многоточечное необходимое условия оптимальности). Для оптимальности особого в классическом смысле управления и (') необходимо, чтобы для любого натуралного т неравенство

т т т

ЕЕЖ (ег) к(ег, е; ^ (е; )v; +^1УНиа (ег) [/,. gu (ег х +

г =1 ] =1 г =1

+2^: (е., е; )gu (е;) vj ]< о (4.26)

]=1

выполнялось для всех V. е Яг, I. > 0, е. е['о,'1), г = 1, т.

Неравенство (4.26) есть многоточечное необходимое условие оптимальности особых в классическом смысле управлений. Из теоремы 4.4. при т = 1 следует

Теорема 4.5. Для оптимальности классической экстремали и (') необходимо, чтобы неравенство

V ' [ ¿и (е)к (е, е)^ (е)+Мт (е)gu (е)] V < о (4.27)

выполнялось для всех V е Яг, ее['о,'1).

Неравенство (4.27) есть аналог условия Габасова - Кирилловой из [24-26], полученный другим методом для терминальной задачи оптимального управления обыкновенными динамическими системами. Заметим, что необходимое условия оптимальности (4.26) остается в силе также при вырождении необходимого условия оптимальности (4.27).

ЛИТЕРАТУРА

1. Егоров А.И. Необходимые условия оптимальности для систем с распределенными параметрами // Математический сборник. 1966. Т. 69. № 3. С. 371-421.

2. Егоров А.И. Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами и некоторые задачи теории инвариантности // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1965. Т. 29. № 6. С. 1205-1260.

3. Егоров А.И. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами и некоторые задачи теории инвариантности // Оптимальные системы. Статистические методы: сб. М.: Наука, 1967. С. 76-92.

4. Срочко В.А. Вариационный принцип максимума и методы линеаризации в задачах оптимального управления. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1989. 160 с.

5. Васильев О.В. Качественные и конструктивные методы оптимизации систем с распределенными параметрами: автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Л., 1984. 42 с.

6. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.

7. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения. Новосибирск: Наука, 1990. 190 с.

8. Погодаев Н.И. О свойствах решений задачи Гурса - Дарбу с граничными и распределенными управлениями // Сиб. матем. журнал. 2007. № 5. С. 1116-1123.

9. Погодаев Н.И. О решениях системы Гурса - Дарбу с распределеннымии граничными управлениями: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Иркутск, 2оо9. 18 с.

10. АлексеевВ.М., ТихомировВ.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 550 с.

11. Мансимов К.Б., Марданов М.Дж. Качественная теория оптимального управления системами Гурса - Дарбу. Баку: Изд-во ЭЛМ, 2010. 360 с.

12. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами описываемых системами Гурса - Дарбу // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. i972. № i. С. 6i-72.

13. Плотников В.И., Сумин В.И. Проблемы устойчивости нелинейных систем Гурса - Дарбу // Дифференц. уравнения. i972. № 5. C. 845-856.

14. Гасанов К.К. О существовании оптимальных управлений для процессов, описываемых системой гиперболических уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. i973. № 3. С. 59i-608.

15. ГабасовР., Кириллова Ф.М. и др. Методы оптимизации. Минск: Четыре четверти, 20ii. 472 с.

16. Мордухович Б.Ш. Метод матрических аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, i988.

17. Понтрягин Л.С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, i969.

18. Новоженов М.М., Сумин В.И., Сумин М.И. Методы оптимального управления системами математической физики. Горький: Изд-во ГГУ, i986. 87 с.

19. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем. Минск: Изд-во БГУ, i973. 256 с.

20. Ахиев С.С., Ахмедов К.Т. Об интегральном представлении решений некоторых дифференциальных уравнений // Изв. АН Азерб. ССР. Сер. физ.-техн. и мат. наук. i973. № 2.

21. Мансимов К.Б. Об одной схеме исследования особых управлений в системах Гурса -Дарбу // Изв. АН Азерб. ССР. Сер. физ.-техн. и матем. наук. i98i. № 2. С. i00-i04.

22. Мансимов К.Б. Исследование особых процессов в задачах оптимального управления: автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Баку, i994. 42 с.

23. Гороховик С.Я. Необходимые условия оптимальности в задаче с подвижным правым концом траектории // Дифференц. уравнения. i975. № i0. С. i765-i773.

24. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Наука, i973. 256 с.

25. Габасов Р., Кириллова Ф.М. К теории необходимых условий оптимальности высокого порядка // Дифференц. уравнения. i970. № 4. С. 665-670.

26. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Об оптимальности особых управлений // Дифференц. уравнения. i969. № 6. С. i000-i0ii.

Статья поступила i5.03.20i7 г.

Mansimov K. B., Suleymanova V.A. (20i7) NECESSARY OPTIMALITY CONDITIONS IN THE ONE BOUNDARY CONTROL PROBLEM FOR QOURSAT - DARBOUX SYSTEMS. Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 49. pp. 26-42

DOI i0.i7223/i998862i/49/3

In this paper, a boundary optimal control problem described by the Goursat-Darboux system is considered under the assumption that the control domain is open. We consider the problem of minimizing of the functional

I (u ) = ф( (ti )) + G (z (ti, xi)),

under constraints

u (t) e U с Rr, t e T = [t0,ti] ,

ztx = B(^x)zt + f (x^zx), (t=x) e D = [^ti]x [xo,xi] , z(t,x0 ) = a(t), t e T = [t0,ti], z (t0, x )= b (x), x e X =[x0, xi ],

a (t0 ) = b (x0 )= ao, a = g(t,a,u), t e T,

a (t0 ) = a0 .

Here, f (t, x, z, zx) is a given «-dimensional vector-function which is continuous with respect to set of variables, together with partial derivatives with respect to z, zx up to second order, B (t, x) is a given measurable and bounded matrix function, b (x) is a given «-dimensional absolute continuous vector-valued function, t0, tj, x0, Xj (t0 < tj; x0 < xj) are given, a0 is a given constant vector, g (t, a,u) given «-dimensional vector-function which is continuous with respect to the set of variables together with partial derivatives with respect to (a, u) up to second order, ^(a) and G(z) are given twice continuously differentiable scalar functions, U is a given nonempty, bounded, and open set, and u (t) is a measurable and bounded r-dimensional control vector-function.

The first and second order necessary conditions of optimality are established.

Keywords: boundary control, Goursat-Darboux systems, analoqus the Eyler equation, analoqus the Gabasov - Kirillova optimality condition.

MANSIMOVKamil'Bayramali ogly (Doctor of Physics and Mathematics Baku State University, Institute of Control Systems of Azerbaijan National Academy of Sciences, Baku, Azerbaijan) E-mail: [email protected]

SULEYMANOVA Vusalya Abdulla gyzy (Sumgait State University, Institute of Control Systems of Azerbaijan National Academy of Sciences, Baku, Azerbaijan)

REFERENCES

J. Yegorov A.I. (1966) Neobkhodimye usloviya optimalnosti dlya sistem s raspredelennmi parametrami [Necessary optimality conditions for systems with distributed parameters]. Matematicheskii sbomik. 69(3). pp. 371-421.

2. Yegorov A.I. (1965) Optimal'nye protsessy v sistemakh s raspredelennmi parametram i nekotorye zadachi invariantnosti [Optimal processes in systems with distributed parameters and some problems of the theory of invariance]. Izv. Academy of Scie«ces of the USSR. Ser. math. 29(6). pp. 1205-1260.

3. Yegorov A.I. (1967) Optimal'noe upravlenie sistemami s raspredelennmi parametrami i nekotorye zadachi invariantnosti [Optimal control of systems with distributed parameters and some problems of invariance theory]. Optimal Systems. Statistical methods. Moscow: Nauka, pp. 76-92.

4. Srochko V.A. (1989) Variatsio««yi pri«tsip maksimuma i metod li«earizatsii v zadachakh optimal'«ogo upravle«iya [Variational Maximum Principle and Linearization Method in Optimal Control Problems]. Irkutsk. Irkutsk University Publ.

5. Vasilyev O.V. (1984) Kachestve««ye i ko«struktiv«ye metody optimizatsii sistem s raspredele««ymi parametrami [Qualitative and constructive methods for optimizing systems with distributed parameters]. Avtoref. diss. degree of doctor of phys.-math. sciences. Leningrad. 42 p.

6. Vasilyev F.P. (1981) Metody reshe«iya ekstremal'«ykh zadach [Methods for solving extreme problems]. Moscow: Nauka.

7. Vasilyev O.V, Srochko V.A, Terletskiy V.A. (1990) Metody optimizatsii i ikh priloje«ya [Optimization methods and their applications]. Novosibirsk: Nauka.

8. Pogodaev N.I. (2007) On the properties of solutions to the Goursat-Darboux problem with boundary and distributed controls. Sib. Math. J. 48(5). pp. 897-912. https://doi.org/10.1007/ s11202-007-0092-3.

9. Pogodayev N.I. O reshe«iyakh sistemy Gursa-Darbu s raspredele««ymi gra«ich«ymi upravle«iyami [On solutions of the Goursat-Darboux system with distributed and boundary controls]. Abstract. diss. scientific degree of candidate of physico-mathematical sciences. Irkutsk, 2009. 18 p.

10. Alekseyev V.M., Tikhomirov V.M., Fomin S.V. (1979) Optimal'noe upravlenie [Optimal control]. Moscow: Nauka.

11. Mansimov K.B, Mardanov M.J. (2010) Kachestvennaya teoriya optimal'nogo upravleniya sistemami Gursa-Darbu [Qualitative theory of optimal control for Goursat-Darboux systems]. Baku: Elm Publ.

12. Plotnikov V.I., Sumin V.I. (1972) The optimization of objects with distributed parameters, described by Goursat-Darboux systems. Zh. vychisl. mat. mat. fiz. 12(1). pp. 61-77. https://doi.org/10.1016/0041-5553(72)90066-3.

13. Plotnikov V.I., Sumin V.I. (1972) Problemy ustoychivosti nelineynykh sistem Gursa-Darbu [Problems of stability of nonlinear Goursat-Darboux systems]. Differents.Uravneniya. 5. pp. 845-856.

14. Gasanov K.K. (1973) The existence of optimal controls for processes described by a system of hyperbolic equations. Zh. vychisl. mat. mat. fiz. 13(3). pp. 599-608. https://doi.org/ 10.1016/0041-5553(73)90101-8.

15. Gabasov R., Kirillova F.M., et al. (2011) Metody optimizatsii [Methods of optimization]. Minsk: Chetyre chetverti.

16. Morduhovich B.Sh. (1988) Metod matrichnykh approksimatsiy v zadachakh optimizatsii i upravleniya [Method of matrix approximations in optimization and control problems]. Moscow: Nauka.

17. Pontryagin L.S. et al. (1969) Matematicheskaya teoriya optimal'nykh protsessov [Mathematical theory of optimal processes]. Moscow: Nauka.

18. Novozhenov M.M., Sumin V.I., Sumin M.I. (1986) Metody optimal'nogo upravleniya sistemami matematicheskoy fiziki [Methods of optimal control of systems of mathematical physics]. Gor'kiy: Izd-vo GGU.

19. Gabasov R., Kirillova F.M. (1973) Optimizatsiya lineynykh sistem [Optimization of linear systems]. Minsk: Izd-vo BSU.

20. Akhiyev S.S., Akhmedov K.T. (1973) Ob integral'nom predstavlenii resheniy nekotorykh differentsial'nykh uravneniy [On the integral representation of solutions of some differential equations]. Izv. ANAzerb. SSR. Ser. Fiz.-tehn. and mat. Sciences. 2.

21. Mansimov K.B. (1981) Ob odnoy scheme issledovaniya osobykh upravleniy v sistemakh Gursa-Darbu [On a scheme for investigating special controls in Goursat-Darboux systems]. Izv. AN Azerb. SSR. Ser. Fiz.-tehn. and math. Sciences. 2. pp. 100-104.

22. Mansimov K.B. (1994) Issledovaniye osobykh protsessov v zadachakh optimal'nogo uprav-leniya [Investigation of special processes in problems of optimal control]. Avtoref. diss. degree of phys. math. sciences. Baku. 42 p.

23. Gorokhavik S.Ya. (1975) Neobkhodimye usloviya optimal'nosti v zadache s podvizhnym pravm kontsom trayektorii [Necessary optimality conditions for the problem with the right end of the moving path]. Differential Equations. 10. p. 1765-1773.

24. Gabasov R., Kirillova F.M. (1973) Osobye optimal'nye upravleniya [Special optimal controls]. Moscow: Nauka.

25. Gabasov R., Kirillova F.M. (1970) K teorii neobkhodimykh usloviy optimalnosti vysokogo poryadka [To the theory of necessary conditions for high-order optimality]. Differents. Equations. 4. p. 665-670.

26. Gabasov R., Kirillova F.M. (1969) Ob optimal'nosti osobykh upravleniy [On the optimality of singular controls]. Differents. Equations. 6. pp. 1000-1011.