CC BY
21
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2019 Управление, вычислительная техника и информатика № 46
УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
УДК 517.977
Б01: 10.17223/19988605/46/1
К.Б. Мансимов, М.Я. Наджафова
КВАЗИОСОБЫЕ УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫМИ СИСТЕМАМИ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ
Рассматривается задача оптимального управления дискретными процессами, описываемыми системой разностных уравнений с неразделенными нелокальными краевыми условиями. При предположении выпуклости области управления доказано необходимое условие оптимальности в форме линеаризованного условия максимума. Исследован случай вырождения линеаризованного условия максимума (квазиособый случай). Установлено необходимое условие оптимальности квазиособых управлений.
Ключевые слова: дискретная управляемая система; нелокальные краевые условия; линеаризованный принцип максимума; квазиособое управление; необходимое условие оптимальности.
Дискретные динамические модели управляемых систем являются очень важным в теоретическом и практическом отношении классом математических моделей, позволяющим охватить широкий круг реальных объектов и соответствующих им задач управления. Дискретные динамические модели возникают, например, при моделировании задач распределения ресурсов, обработке и передаче информации цифровыми электронными устройствами, а также при дискретизации непрерывных динамических моделей (см.: [1-6]).
К настоящему времени разработаны многочисленные точные и приближенные методы решения задач оптимального управления дискретными системами в предположении, что они описываются разностными уравнениями с локальными краевыми условиями (см.: [1-7]).
Данная работа посвящена исследованию одной дискретной задачи оптимального управления с неразделенными нелокальными краевыми условиями. С помощью модифицированного варианта метода приращений установлены необходимые условия оптимальности в предположении выпуклости области управления.
1. Постановка задачи
Рассмотрим дискретную систему управления
X(г +1) = /(г, х(г),и (г)), г е т, (1)
с краевыми условиями
ф(X(г0),X(? )) = I. (2)
Здесь Т = {го,г0 +1,...,г _1} - конечное множество последовательных натуральных чисел, причем г0 и ? заданы, Ф(х0, х1) - заданная дважды непрерывно дифференцируемая по совокупности переменных «-мерная вектор-функция, I - заданный постоянный вектор, х (г) - вектор состояния, и (г) - вектор управляющих воздействий, / (г, х, и ) - заданная п -мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по (х, и ) до второго порядка включительно.
Пусть и - заданное непустое, ограниченное и выпуклое множество из Яг. Каждую управляющую функцию и (г), удовлетворяющую условию
и(г)е И с Я, г е Т, (3)
назовем допустимым управлением.
Рассмотрим задачу о минимуме функционала
5 (и ) = ф( X (г0), X (г,)) (4)
при ограничениях (1)-(3). Здесь ф( х0, х,) - заданная дважды непрерывно дифференцируемая по совокупности переменных скалярная функция.
Допустимое управление и (г), доставляющее минимум функционалу (4) при ограничениях
(1)-(3), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс (и (г), х (г)) - оптимальным процессом.
2. Формула для приращения функционала качества
Пусть (и (г), х (г)) - фиксированный, а (и (г) = и (г) + Ли (г), X (г) = х(г) + Ах (г)) - произвольный допустимые процессы. Тогда ясно, что приращение Лх (г) состояния х (г) будет решением краевой задачи
Лх(г +1) = /(г,х(г),и (г))-/(г,х(г),и(г)), (5)
Ф(х (*о ) + Лх (*о), х (г, ) + Лх (г, ))-Ф(х {г0), х (г, )) = 0. (6)
Предположим, что у ( г) - пока известная «-мерная вектор-функция, а Хе Я" - неизвестный постоянный вектор. Тогда из (5), (6) получим, что
г у'(г )Лх (г + !) = г у'(г)[/ (г,х (г) ,и (г))-/(г, х (г) ,и (г))], (7)
г=го г=го
х'[ф( х (го ) + Лх (го) ,х (г,) + Лх (г, ))-Ф( х (г0), х (г, ))] = 0. (8)
Положим
Ясно, что
м( х (го), х (г,), х) = х'ф( х (го), х (г,)), н (г, х,и, у) = у' / (г, х,и).
|>'(г-^Лх(г) = у'(г,-^Лх(г,)-у^ -^Лх(го) + |>'(г-^Ах(г). (9)
С учетом соотношений (7)-(9) приращение функционала качества (4) записывается в виде: Л5 (и ) = 5 (и)- 5 (и ) = ф( х (го), х (г, ))-ф( х (го), х (г,)) +
+ Х'[ф( х (г0) + Лх (го), х (г, ) + Лх (г, ))-Ф( х (го), х (г, ))] + у'(г, - ЦЛх (г, )-у'(го - ЦЛх (го)- (10) ■£[н(г,х(г),и (г),у(г))-н (г,х(г),и (г),у(г))].
Используя формулу Тейлора, из (10) будем иметь
Л5(„^МхМ^МЛх( ьМх(г.).хМЛх( )+,
V ' Сх(г0) сх(г) 2
Лх'(го РЩ^Лх (го) +
+ 2 Лх'(г0 / ф( х (го) -х ^)) Лх (г )+Лх'(г / ф( х (г°) -х (г,)) Лх (г)
(о) ах(г0)сх(г) (l) и) сх2(г) и)
+ х (г„).х (О) дх (^)+^х (г.) ;х (О) дх (?)+^ -1) дх ) -
дх (г0) дх )
г -1 г -1
- у.(?0 -1) Дх (г,) - £ И. (г, х (г), и (г), у(г)) Ди (г) - £ И. (г, х (г), и (г), у(г)) Дх (г) -
1=10 1= 10
1к-V
-1 Е|_Дх'(г) Ихх (г, х (г) ,и (г), у(г ))дх (г) + 2 Ди'(г) Ит (г, х (г ),и (г), у(г ))дх (г) +
2 г=о
+ Ди . (г) Ит (г, х (г), и (г), у(г ))Ди (г )] + о^ £ 02 ([||Дх (г )|| + ||Ди (г )||]2)+1 Дх ' (го )д2М( ^}; ^), Х) Дх (г, )+дх (г0),
г=г,
го)
у(г -1) =
дх
дф( х (го ), х (г1)) дф( х (го ), х (г1 )) ^
дх (г)
дх (^)
дф( х (го), х (г1)) дф( х (го), х (г1)) У(го -1) =-—-+-—-х,
дх (го )
тогда формула приращения (11) примет вид:
г-1 1
М (и) = -£ ии (г, х (г), и (г), у(г ))Ди (г) + -
г=г> 2
дх (го )
Дх' (го Дх (г. )■
+2 Дх' (г0 ф( х ('о > •х (г'» Дх (г )+Дх ' (г )д: ф<х <г°) •х (г)) Дх (г)
дх (го )дх (г )
дх2(г)
1 к -1
- 2 £
2 г=г„
-Дх. (г )д г И (г •х (г) •и (г) • ч*)) Дх (г) + 2 Ди' (г )д 2 ^ х (г )'и (г )' » Дх (г )■
дх2
ди дх
+ Д/ (г )д2Д <г'х (г) ■и (г) ■ф(г)) Ди (г)
ди2
Дх, (го )а:м2Ш Дх (г0).
гх2 (г,,)
+2Дх' (г, )дм( хМ, х(0, х) Дх (г )+Д^.(г )д'ф( х (г.), х(0, х) Дх (г)
дх (г0 )дх (г ) Здесь по определению
^ (и: Ди ) = 01 (Г||Ах (го | + ||Дх (г1
дх2(г)
ч -1 -£о,
г) + Ди (г
+ о.
г0 )11 +
(11)
Ах (0 + 2 Ах'( Ах (г^ + оз 'П'Ах * )' + "Ах (г" ^
Если предполагать, что у(г) и X удовлетворяют соотношениям
дИ (г, х (г), и (г), у(г))
+ ^(и: Ди). (12)
По предположению множество и выпуклое. Поэтому специальное приращение допустимого управления и (г) можно определить по формуле
Див(г ) = е[у (г)-и (г)]. (13)
Здесь в е [0,1] - произвольное число, а V(г) е И, г е Т - произвольное допустимое управление.
2
2
2
г
Через ЛхЕ(г) обозначим специальное приращение состояния х(г), отвечающее специальному приращению (13) управления и (г).
Из (5)-(6) получаем, что ЛхЕ (г) является решением линеаризованной задачи
Лх,(г + 0= /(г, х (г) ,и (г))Лх,(г)+/(г, х (г) ,и (г ))Ди,(г )+о, (|Лх,(г | + ||Ди,(г )||), (14)
дф( х (г о).х (0 + аФ( х (г о)-х ^»Лх (г,) = о. (15)
ах (г ¡-у I ах (г^)
Используя задачу (14)-(15), доказывается справедливость разложения
ЛхЕ (г) = еу(г)+о(б,г), (16)
где у (г) есть решение краевой задачи
у ( г + 0 = х, х (г), и (г)) у (г) + и, х (г), и (г))(у (т)-и (т)), (17)
СФ( х (го ),х (г, )) у СФ( х (го),х (г! )) у о (18)
сх(0 у (г°}+ сх(0 у }=о. (18)
Решение краевой задачи (17)-(18) допускает представление [8]:
к- г-
у (г) = Ф(г)Е Р (г,, т) /(т, х (т), и (т))(г (т)-и (т)) + £Р (*, т) /(т, х (т), и (т))(г (т)-и (т)), (19)
т=го т=о
где по определению
Ф(г) = -Р (г А -ц( аФ( х (г• >-х ^ + аФ( х (г• > -х С^ » Р (гЛ - Л" С^^М,
( Я ах (г-) ах (г) ( ' о ) ах (О •
а Р (г, т) - (" х ") матричная функция, являющаяся решением задачи
Р (г, т- /х (т, х (т), и (т)), т< г, Р (г,г -,) = Е, (Е - (" х ") единичная матрица).
Пусть
р, ^<т<г-! а(т) = [ v ' [о, г <т<гх-!
Тогда представление (19) записывается в виде:
к -
у (г) = Е О (г, т) / (т, х (т) ,и (т))(г (т)-и (т)), (20)
т=го
где по определению
О (г, т) = Ф(г) Р ( г, т)+Р (г, т)а(т). С учетом (13), (16) из (12) получаем, что вдоль оптимального процесса (и (г), х (г)) выполняется неравенство
-в| ни ( г, х (г), и (г), у(г))( V (г)-и (г)) + ^ { у (г о )д 'ф{ ^ ^ ^ у (го) +
+2 У( го у (г)+УС^^^^ах^^ у (г)- ^
к -I
г=г„
у^Ы^М^ у (()+( V и (<))'д2 (,,х (,),и (0,у(0) у (1)+
Сх ди Сх
( / \ /\< д2 И (г, х (г), и (г), у(г)), ч
+ (v (г)-и (г)) -У У'ди, У " (V (г)-и (г))
У (г, у (г,) +
+ 2 у( г о у (,) + у'(, )д2мхдх|р у (,)
■ + о(в2)> о.
Из неравенства (21) следует аналог линеаризованного условия максимума (см., напр.: [1-7]).
Теорема 1. Вдоль оптимального процесса (и (г),х(г)) для всех V(г) е И, г е Т, выполняется неравенство
г1 -1
£ Ии (г, х (г) ,и (г), ¥(г))^ (г)-и (г))< о. (22)
г='о
Неравенство (22) есть необходимое условие оптимальности первого порядка и нередко, вырождаясь, выполняется тривиальным образом (см., напр.: [4-7, 9]). Изучим случай вырождения необходимого условия оптимальности (22).
Определение 1. Допустимое управление и (г) назовем квазиособым в задаче (1)-(4), если для всех V( г) е И, г е Т,
г1 -1
£ Ии (г, х (г) ,и (г), ¥(г))^ (г)-и (г)) = о. (23)
г='о
Из неравенства (21) с учетом (23) следует, что для оптимальности квазиособого управления и (г) необходимо, чтобы неравенство
)д2ф(х(го ), х(г1)) у ) + 2 )д2ф(х( го ) , х(г1 )) у 2 )д2ф(х(го ), х(г1)) у )
у (го) у(го)+2у (го) дх(г0)сх(г) у(г1)+2у (г1) дх22 у)+
+ у . )д2м(х(го),х(г1),х) у ) + 2у )д2М(х(го),х(г1 ),Х) у у . )д2М(х(го),х(г1),х) у )-
+ у ( 'о ) дх2 (г0) у (го) + 2 у (го) дх (г0)дх (г) у (г1) + у (г1) дх 2(^) у (1)
г -1 I
£ [ у . (г) Ихх (г, х (г), и (г), ¥(г)) у (г) + 2 (V (г)-и (г)) Ит (г, х (г), и (г), ¥(г)) у (г) +
г=%
+
(V ( г) - и (г)) Иии (г, х (г), и ( г), г))( V ( г) - и ( г))
(24)
> о
выполнялось для всех V( г) е И, г е Т .
Неравенство (24) есть неявное необходимое условие оптимальности квазиособых управлений. Опираясь на него, удается получить необходимое условие оптимальности квазиособых управлений, которое носит явный характер. Используя представление (20), убеждаемся в справедливости соотношений
у ( )д 2ф( х^, х(г1)) у (г0 )=£ £ (V м-и м) / (х, х ^, и ^
дх (го ) х=го
Х а' (г°, х)д 2ф( х (г'>} О (г.,* ) / ( * х ( * ), и ( * ))(V ( * ) - и ( * )), 25
у (го У (г> Ь£ £ (V и С» ^ х (х), и ^
^ 1 V, V Ч (26)
х О'(го, х) 1(,()£ ^)) О (г1, *) /и (*, х (*), и (* »(V (*)-и (*)),
у ' (г )д 2ф( х ^, х(гl}) у (г. ) = ^ I (V (т)-и (т))' /и'(т, х (т), и (т))х
дх ^ ) т=го 5=^о
х О' (г,, О (г,,, ) / ( 5, х ( , ), и ( , ( 5 )-и ( 5 )),
у'( го)
д 2м( х (го), х (г,), Х) дх2 (го) д 2м( х (г0), х (г,), Х)
г, -! г, -
у'(г0)
дх2 (го) д2м(х(го), х(г,), Х) ,
у(го) = Ц^(т)-и(т))/и(т,х(т),и(т))О(го,т)х
т=го 5=го
О (г0, 5 ) /и ( 5 х ( 5 ) , и ( 5 ))(V ( 5 )-и( 5 )) ,
дх (г0 )дх (г )
д 2м( х (г0), х (г,))
дх (г0 )дх (г ) д2м( х (го), х (г,), Х)
у'(г) = 1I(V(т)-и(т)) /u'(т,х(т),и(т))О{г^т)х
т=^0 5=го
О (^ 5 ) /и ( 5 х ( 5 ) , и ( 5 ))(V ( 5 )-и( 5 )) ,
у'( г,)
г, - г, Ч
у (г, ) = !!( V (т)-и (т))/и'(т, х (т), и (т)) О' (г,, т)х
т=¿0 5—го
О (гl, 5 ) /и ( 5, х ( 5 ) ,и ( 5 ))(V ( 5 )-и ( 5 ) ) ,
сх2 ( г, )
д 2м( х (го), х (г,), Х)
сх2 ( ^ )
IА1 2 н {t'х (0-2),у(г)) у )=11 (V (т)-и (т))'
:/и'{т' х (т) , и (т))
о , т)д 2 н ,х Й-и ),у(г)) О (г, 5)
/и( 5 х ( 5 ) , и (5 ))(У ( 5 )- и (5 )) ,
I (V (г)-и (г ))'д 2 н (г,х » I(г ],у(г}) у (г ) =
= 11 (V (г)-и (г))'С 2 н' (г'х (г) £(г >, у(г» О (г, т), /и (т, х (т), и (,))(V (т)-и (т)).
По аналогии с работой [5] положим К (т, 5 ) = -
д2ф(х (го ), х (г, ))
О ^ т)—сх^о— О ^ 5)+
+2 О' (г0, т)^:^^)^ О (г, 5)+О' (г, т)д 2 ф( х (г°) -х (г)) О ^, 5)
дх (г0 )дх (г )
сх2(г)
О (го, т)^«^ О (го, 5)+2 О' (го, т)М#) О (г, 5) +
дх2 (го)
' ' д2 м( х (го), х (г), х) ■
+О ^т)—щ;)—О (г,5)
дх (г0 )дх (г )
-]Г О' (г, / н (г,х (г) и(г),у(г)) О (г, 5).
дх
С учетом обозначения (33) и тождеств (25)-(32) неравенство (24) принимает вид: I ( V (т)-и (т))' / (т, х (т), и (т)) К (т, 5 ) /и( 5, х ( 5 ) ,и ( 5 ))(г ( 5 )-и ( 5 )) +
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
г=г
т=1п 5= г
о ° *0
г=гп т=г.
т=^ 5= г
+ 211 (у в (f ^ЮЩЦ^ g t) (i! x (i), u (t))(v (t)_ u (t)) +
/ ч / ч\. дИ'( г, х (г), и (г), у(г)) , . . . .ч + £ (V (г)-и (г)) ( ( ' ( (V (г)-и (г))< о. (34)
г=го
Сформулируем полученный результат.
Теорема 2. Если множество И выпуклое, то для оптимальности квазиособого управления и (г) необходимо, чтобы неравенство (34) выполнялось для всех V(г) е И, г е Т .
Неравенство (34) есть довольно общее необходимое условие оптимальности квазиособых управлений. Из него, определяя V (г) специальным образом, можно получить ряд относительно легко проверяемых необходимых условий оптимальности квазиособых управлений. Приведем одно из них.
Теорема 3. При выполнении условий теоремы 2 для оптимальности квазиособого управления и (г) необходимо чтобы неравенство
42)
(w - u (0))
/и (0,x(0),u(0))Г(0,0)/и (0,x(0),u(0))+*H(0,Х(00)u(0)^¥(0))G(0,0)
X / (0, x(0),u (0))
+
(35)
a2 H (0,x (в),u (0), у(в)){ w - u (0))s 0
du2
выполнялось для всех 0 е T, w е U.
Неравенство (35) является аналогом условия оптимальности Габасова-Кирилловой [7] на случай нелокального краевого условия.
Заключение
Рассматривается задача оптимального управления с нелокальными краевыми условиями. При помощи модификации метода приращений установлен аналог линеаризованного условия максимума. Отдельно изучен случай квазиособых управлений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Альсевич В.В. и др. Методы оптимизации. Минск : Четыре четверти, 2011. 472 с.
2. Пропой А.И. Элементы теории дискретных оптимальных процессов. М. : Наука, 1973. 255 с.
3. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М. : Наука, 1973. 448 с.
4. Ащепков Л.Т. Оптимальное управление разрывными системами. Новосибирск : Наука, 1987. 228 с.
5. Мансимов К.Б. Дискретные системы. Баку : Изд-во Бакинского гос. ун-та, 2013. 151 с.
6. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности высокого порядка. Минск, 1982. 48 с.
(Препринт ИМ АН БССР. № 30 (155)).
7. Габасов Р., Кириллова Ф.М. К теории необходимых условий оптимальности для дискретных систем // Автоматика и теле-
механика. 1969. № 12. С. 39-47.
8. Мансимов К.Б., Наджафова М.Я. Об одной нелокальной дискретной задаче управления // Вестник Бакинского государ-
ственного университета. Сер. физико-математических наук. 2014. № 4. C. 46-54.
9. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М. : Либроком, 2013. 256 с.
Поступила в редакцию 21 апреля 2018 г.
Mansimov K.B., Nacafova M.Y. (2019). QUASI-SINGULAR CONTROL IN DISCRETE SYSTEMS CONTROL PROBLEM WITH NONLOCAL BOUNDARY CONDITIONS. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie vychislitelnaja tehnika i informatika [Tomsk State University Journal of Control and Computer Science]. 46. pp. 4-11
DOI: 10.17223/19988605/46/1
X
Consider a discrete control system
x (t +1) = f (t, x (t), u (t)), t e T , (1)
with boundary conditions
®(x(t0),x(ti)) = l . (2)
Here T = {t0,t0 +1,...,tj -1} is a finite set of consecutive natural numbers, at that i0 and t1 is given, ®(x0,x) is the given twice continuously differentiable with respect to the set of variables «-dimensional vector-valued function, l is the given constant vector, x(t) is a state vector, u (t) is a control actions vector, f (t, x, u) is the given «-dimensional vector-valued function continuous with
respect to the set of variables together with the partial derivatives with respect to (x, u) up to the second order inclusive. Let U be the given non-empty, bounded, and convex set in Rr . Each control function u(t) satisfying the condition
u (t) e U c Rr, t e T (3)
will be called admissible control.
We consider the problem of the minimum of the functional
S (u ) = ^(x (t0 ^ x (t1))
under constraints (1)-(3).
Here <p(x0, x) is the twice continuously differentiable scalar function with respect to the set of variables. A necessary condition for the optimality of quasi-singular controls is established.
Keywords: discrete control problem; nonlocal boundary conditions; linearization maximum principle; quasi-singular control.
MANSIMOVKamil' Bayramali ogly (Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Baku State University, Institute of Control Problems of Azerbaijan National Academy of Sciences, Baku, Azerbaijan). E-mail: kamilbmansimov@gmail.com
NACAFOVA Malahat Yashar (Institute of Control Problems of Azerbaijan National Academy of Sciences, Baku, Azerbaijan). E-mail: nacafova.melahet@mail.com
REFERENCES
1. Gabasov, R., Kirillova, F.M., Alsevich, V.V. et al. (2011)Metody optimizatsii [Methods of Optimization]. Minsk: Chetyre chetverti.
2. Propoy, A.I. (1973) Elementy teorii diskretnykh optimal'nykhprotsessov [Elements of the Theory of Discrete Optimal Processes].
Moscow: Nauka.
3. Boltyanskiy, V.G. (1973) Optimal'noe upravlenie diskretnymi sistemami [Optimal Control of Discrete Systems]. Moscow: Nauka.
4. Ashchepkov, L.T. (1987) Optimal'noe upravlenie razryvnymi sistemami [Optimal Control of Discontinuous Systems]. Novosibirsk:
Nauka.
5. Mansimov, K.B. (2013) Diskretnye sistemy [Discrete Systems]. Baku: Baku State University.
6. Gabasov, R., Kirillova, F.M. & Mansimov, K.B. (1982) Neobkhodimye usloviya optimal'nosti vysokogoporyadka [Necessary con-
ditions for optimality of high order]. Vol. 30(155). Minsk: [s.n.].
7. Gabasov, R. & Kirillova, F.M. (1969) K teorii neobkhodimykh usloviy optimal'nosti dlya diskretnykh sistem [To the theory of
necessary optimality conditions for discrete systems]. Avtomatika i telemekhanika. 12. pp. 39-47. (In Russian).
8. Mansimov, K.B. & Nadzhafova, M.Ya. (2014) On a nonlocal discrete control problem. VestnikBGU. Ser. fiz.-mat. nauk. 4. pp. 46-54.
9. Gabasov, R. & Kirillova, F.M. (2013) Osobye optimal'nye upravleniya [Singular Optimal Control]. Moscow: Librokom.
