CC BY
11ОБ УСЛОВИЯХ МОНОТОННОЙ СХОДИМОСТИ СТРУКТУРЫ НАСЕЛЕНИЯ К СТРУКТУРЕ СТАБИЛЬНОГО ЭКВИВАЛЕНТНОГО НАСЕЛЕНИЯ В КУЛЛБАКОВСКОЙ МЕТРИКЕ В РАМКАХ МОДЕЛИ ВОСПРОИЗВОДСТВА ДЕМОГРАФИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА
Эдиев Д.М. (dalkhat@hotmail.com)
Карачаево-Черкесский государственный технологический институт
В статье исследуются асимптотические свойства моделей воспроизводства демографического потенциала, обобщающих известный класс моделей передвижки по возрастам. Получены необходимые и достаточные условия монотонной сходимости возрастной структуры населения к структуре стабильного эквивалентного населения в Куллбаковской метрике. В работе развиваются известные результаты Шоена и Кима по монотонной сходимости возрастной структуры в модели передвижки.
Введение
Статья посвящена исследованию условий монотонной сходимости возрастной структуры населения в моделях воспроизводства демографического потенциала [1], обобщающих известный класс моделей передвижки по возрастам [2, 3]. В модели передвижки по возрастам динамика численности младшей возрастной группы населения описывается с помощью следующего соотношения:
X
По (( +1)= Е По ((- X)ЬХЕХ (1)
х=0
где п0 (() - численность младшей возрастной группы (обычно - возраста менее одного года) в момент времени t; индекс "0" соответствует младшей, а "X" - старшей возрастным группам; Ьх, х = 0, X - коэффициенты дожития, равные вероятности перехода (дожития) из младшей возрастной группы в группу возраста х; ¥х, х = 0, X - коэффициенты рождаемости, скорректированные с учетом младенческой смертности.
Для модели передвижки показано, что при заданных показателях воспроизводства, какой бы ни была начальная возрастная структура, асимптотически она сходится к стандартной возрастной структуре, определяемой только режимом воспроизводства. Население, обладающее асимптотической возрастной структурой, определяемой заданным режимом воспроизводства, получило название стабильного эквивалентного населения [4]; теория стабильного населения восходит к работам Л. Эйлера, Т. Мальтуса и А. Лотки. Указанное выше свойство сходимости к стандартной возрастной структуре (т.н. свойство эргодичности) было исследовано в непрерывном случае Лоткой, Шарпом и Коулом и в дискретном случае - Лесли, Лопесом и Парлеттом. Позже это свойство было обобщено Кохеном на случай стохастической модели воспроизводства. Доказательство и библиографию можно найти у Артура [5, 6]. В контексте дальнейшего изложения важно отметить то, что при должном выборе меры близости возрастной структуры населения к структуре стабильного эквивалентного населения, указанная выше сходимость монотонна, т.е. с течением времени реальная возрастная структура монотонно приближается к структуре стабильного населения [7].
Модель воспроизводства демографического потенциала так же может быть сведена к виду (1), однако, коэффициенты ¥х, х = 0, X в этой модели получаются не на основе коэффициентов рождаемости, а рассчитываются исходя из заданного режима воспроизводства и структуры демографического потенциала [1]:
^ Л - Рх°-^ (2)
с0 с0
где Рх, х = 0,X - коэффициенты передвижки [2, 3], равные вероятностям перехода (дожития) из заданной возрастной группы в следующую; сх, х = 0,X - заданная возрастная структура демографического потенциала. Демографический потенциал [1, 8] является обобщением репродуктивного потенциала Р.А. Фишера [9] на случай произвольной модели воспроизводства населения. Можно показать [1], что при должном выборе структуры демографического потенциала величины (2) обращаются в коэффициенты рождаемости модели передвижки (1), т.е. модель передвижки является частным случаем модели воспроизводства демографического потенциала. Разработка модели воспроизводства населения в форме модели воспроизводства демографического потенциала обладает рядом преимуществ. В частности [1], модель воспроизводства демографического потенциала допускает удобную формулировку на агрегированном уровне, без детализации возрастной структуры населения. Агрегированные демографические и экономико-демографические модели, построенные таким образом, показали хорошую адекватность реальным процессам и пригодность для практических расчетов [10, 11]. Эти модели были успешно использованы для анализа тенденций воспроизводства и прогнозирования численности населения [1], ретроспективных демографических расчетов и реконструкции динамики демографических показателей [12].
Актуален вопрос о том, сохраняется ли свойство эргодичности, верное для моделей передвижки, в более широком классе моделей воспроизводства демографического потенциала. В настоящей работе исследуются условия монотонной сходимости структуры населения к структуре стабильного эквивалентного населения в Куллбаковской метрике, которая использовалась в работе Шоена и Кима [7].
Для стабильного эквивалентного населения динамика численности населения и всех его возрастных групп экспоненциальная [4], в частности
п* () = п* (0)1 (3)
где звездочкой отмечены показатели стабильного эквивалентного населения, а Л -коэффициент Лотки, определяемый, как легко видеть из (1), (3), соотношением:
х ,
Е ЬхРхЛ-х-1 = 1
х=0
При заданных показателях дожития динамика возрастной структуры населения однозначно определяется динамикой численности младшей возрастной группы:
пх () = п0 ( - х)1х
Поэтому сходимость возрастной структуры населения к структуре стабильного эквивалентного населения равносильна асимптотической эквивалентности п* (() и п0 () при
I ^-да .
Учитывая (3) и то, что сходимость возрастных структур реального и стабильного эквивалентного населения равносильна сближению динамики численности младшей возрастной группы, достаточно [6] исследовать условия сходимости для численности младенцев, скорректированной с использованием коэффициента Лотки:
«. п0 к) ,» * (п)
Ь, = ^ Ь = п* (0) при t ^ да
Л
где постоянную Ь* можно найти из условия равенства демографических потенциалов населения и его стабильного эквивалента [1]:
= _СЙ = с(0)
Л • и и
Ь * ==-¥ (4)
¿е/ х <М Ъ X
где и = Е их , их = сх —; С(()= Е схпх () - общий демографический потенциал населения в
х=0 Л х=0
момент времени t. В новых обозначениях модель воспроизводства (1), (2) можно переписать:
Ь+1 = Е А хЪг-х (5)
х=0
йвг
где А х = их - их+1.
1. Условия монотонной сходимости в Куллбаковской метрике 1.1. Куллбаковское расстояние в демографическом анализе
Исследуем условия монотонной сходимости Ь( к Ь* при t ^ да . Разумеется, является
ли сходимость (если она имеет место) монотонной, или нет, зависит от выбора меры близости к предельному значению. В литературе уже предпринимались попытки подобрать метрику, естественную для описания возрастного распределения демографических параметров. К наиболее ранним работам следует отнести серию статей Ллойда Деметриуса [13-20], в которых термодинамическая концепция энтропии была использована для описания распределения параметров рождаемости, смертности, а так же численности населения. В контексте проблемы асимптотики моделей воспроизводства, монотонной сходимости к структуре стабильного населения энтропийная метрика (точнее, более общий класс Куллбаковского информационного расстояния) была предложена Тулджапуркаром [21], Шоеном и Кимом [7], которые перенесли соответствующие концепции термодинамики и теории информации [22] на демографические модели передвижки. Причем, оказалось, что для модели передвижки сходимость к структуре стабильного эквивалентного населения монотонна в Куллбаковской метрике [7].
Куллбаковское расстояние между структурой населения и структурой стабильного эквивалентного населения может быть записано как [7]:
К(() = | д(х, t)1пГ^(41ах , (6)
0 V 5(х')у
/ ч п(х, t )у(х, t) _
где д(х, t) = ——^—- - распределение по возрасту репродуктивного потенциала Фишера в V у)
заданный момент времени, а ^(х, t) - аналогичное распределение для стабильного эквивалентного населения. Как показано в [7], (6) меняется в пределах от 0 до 1. Причем, производная Куллбаковского расстояния (6) строго положительна, если только возрастная структура населения не совпадает со структурой его стабильного эквивалентного населения.
С учетом вышесказанного, интересно исследовать, насколько монотонность в метрике Куллбаковского типа, показанная для модели передвижки, может быть перенесена на более широкий класс моделей воспроизводства демографического потенциала.
Поскольку информационное расстояние рассчитывается как расстояние между двумя
Лй л
другим показателям, формирующим некоторое распределение вероятностей. Учитывая результаты по информационному расстоянию, приведенные выше, следует выбрать новые показатели так, чтобы они задавали возрастное распределение демографического потенциала населения. Поэтому перейдем к анализу следующих величин:
= П°(( х)^0Мх^ ¿0 = п0((- х)-(-х)их = Ь:-хих (7)
^ с (() с (0^ С(0) С (0) 1 }
Понятно, что (7) есть некоторое распределение вероятностей, если только все величины их
неотрицательны, что и будет предполагаться ниже. Это несколько сужает класс моделей воспроизводства потенциала, но он все еще остается шире класса моделей передвижки.
В каждый заданный момент времени t величины у'х задают распределение
0
распределениями вероятностей, от величин Ь1 = 0 у, введенных выше, следует перейти к
вероятностей по возрасту, соответствующее распределению демографического потенциала населения. Аналогичное распределение для стабильного эквивалентного населения, используя (4), можно записать так:
Ух =■
Ь их
с(о) и
Тогда аналог информационного расстояния (6) есть
2 X г О \ = Е уХ 1п
х=0
( У Л
V Ух у
1 X
'-—тх Е иХЬ.
с(0) х=0 х'
х г- х
1п
Ь'
1 X *
С(0) Е0ихЬ - х1п Ь - х- 1п Ь
(8)
Видно, что неотрицательность их гарантирует неотрицательность Куллбаковского
расстояния (8), т.е. монотонное убывание этого расстояния до нуля означает монотонное сближение возрастной структуры со структурой стабильного эквивалентного населения. Заметим, что для того, чтобы выражения, связанные со сходимостью в Куллбаковской метрике, были определены, необходима положительность чисел рождения, что и будет предполагаться далее.
1.2. Необходимые условия монотонной сходимости
Для того чтобы исследовать условия монотонной сходимости к нулю расстояния (8), рассмотрим следующие разности, используя (5):
п2 г>2 1
О г+1 - О г =
X
С (0Я х^+1-х
X
1п Ь+1-х - Е ихЬг-х 1п Ь-х | =
х=0
1 ( X
С0) ^Ьг+11п Ьг+1 - ^Е0ЛхЬг-х1п Ьг-х
1 | Е
С (0)V х]=0Л Л - х
X Л X Л
•1п| ЕЛ хЬ - х |- ЕЛ А - х 1п Ьг - х Vх=0 у х=0
С учетом этого, необходимым условием монотонной сходимости в Куллбаковской метрике является следующее:
X X I X
2 в )= ел хь - х 1п ь - х -ел хь - х • 1п| ел ь - х
х=0 х=0 vх=0
> 0,
(9)
( Ь л
где В, =
■'г - 2
V Ьг - X у
Для стабильного эквивалентного населения, когда В = В* = Ь* • (1,1,...,1) , однородная функция первого порядка 2(В) обращается в нуль, а для прочих В Ф ВВ она неотрицательна. Если даже потребовать монотонной сходимости только для некоторого множества допустимых векторов В, для которого точка В* = Ь* •(1,1,...,1)г является внутренней, то это предполагает выполнения (9), по крайней мере, в некоторой окрестности точки В*. Но это значит, что точка В* является точкой локального минимума 2(В). Заметим, что нужно вести речь об условной минимизации, поскольку в модели воспроизводства демографического потенциала [1] точка Вг в (9) должна оставаться в гиперплоскости, соответствующей величине демографического потенциала в начальный момент времени. Поэтому, необходимо исследовать условия минимума 2(В) в точке В* при следующем ограничении:
X
Е ихЬг - х
х=0
= С (0)
Отсюда получим выражение для Ь(:
и
х
Ь
г - х
Ь
г-1
X
Ь = С (0)-£ ыхЬ]
х г - X
X=1
Подставим это в (9):
х=1
г(ь,)=Д01 С(0)- еихЬ-х 1Ц С(0)- ЕихЬ-х 1+ ЕАА-х 1пЬ-х -
х=1 ) х=1
X
-| А0С(0)+ ЕЗхЬг-х I- 1п| А0С(0)+ Е¿A-х |,
х=1 ) V х=1
X
(11)
йеГ
где 5х = Ах - А0их = и1их - их+1 •
Для того чтобы исследовать условия минимума функции 2(в) (11) в точке В*, рассмотрим ее производные в указанной точке: д2 (В)
дЬ
(- у
X
= -А 0"у 1п| С (0)- Е иЬ - х | - А 0Му + А у 1п Ь - у +А у -
х=1
X
х=1
-¿у 1п| А0С(0)+ Е8хЬ<-х Му,у = 1,X, у = 1,X
Отсюда видно, что условия минимума первого порядка выполнены:
д2 (в*)
дЬ
(а
г - у
у А0иу ¿у
¿у )1п Ь* +Ау - А^иу -5у = 0, у = 1,X
Рассмотрим теперь вторые производные:
^2
¿у51
д22(в) _ А 0МуМ2 АуЗуг дЬ'-2дЬ'-у с(0)-е«А-х Ь(-у А0С(0)+Е¿хЬ(-х
у, 2 = 1, X,
х=1 х=1
где ¿ - символ Кронекера. В точке, соответствующей стабильному эквивалентному
у2
населению, имеем:
2
д22(в ) 1 (А А _ _ _ ) . „
17-= 1А0иуи2 +Ау3у2 3у32 ь y, 2 = 1,X
дЬг-2 дЬ1 -у Ь
(12)
Необходимым условием локального минимума 2(В) в точке В* является положительная полуопределенность гессиана (12), который удобно представить в виде:
Н
(; в' )== 1
|А1 0 0 • А 2 •• 0 > 0 + А 0 | и1 ^ и2 (и1 и2 • •• uX)- ¿2 (¿1 ¿2 * •• ¿X)
V 0 0 А X ) V ^ ) ¿X )
С учетом этого получим следующее необходимое условие монотонной сходимости к структуре стабильного эквивалентного населения:
атН
(; в-)=-1
X
х =1
X
ЕАхах +А01 Еихах I -| Е3ха чх=1
X
х=1
> 0, У а е Я
X
X
Преобразуем это выражение, используя (10), т.е. то, что а0 = Ь( - Ь = - Еихах :
х=1
атН
(; в") = 1
х=1
X 2 2 | X X
Е Ахах + А0а0 - I Е Ахах - А0 Е ихах
х=1
х=1
X
Е А хах2 -| ЕА хах
х=0 Vх=0
2Ь
X 2 | X у X 2
ЕА хах2 - 2 | ЕА хах | + Е А уау2
х=0
х=0
у=0
2
2
2
2
1
*
Ь
1
( X
1
2Ь'*
X 2 XX XX 2
Е Ау ЕАхах -2 ЕАхах Е Ауау + ЕАх Е Ауа.
у
уу=0 х=0
х х у у х у у
х=0 у=0 х=0 у=0
1 X ( 2 2\ 1 X / ^
* ЕА х Ау1ах - 2ахау + ау /= Т7* ЕА х Ау1ах - ауГ > 0 2Ь х, у=0 2Ь х, у=0
Итак, необходимым условием минимума 2 (5) в точке 5* является неравенство:
е Я"Е ихах = 0, (13)
X
Еихах =0,
х=0
атН (; 5*) = -1* Е А х А у (ах - ау ) > 0, Уа е ^+1:
2Ь х, у=0
Покажем, что от последнего условия в (13) можно отказаться, т.е. (13) равносильно условию:
-»X+1
атН
(г; 5*) ^ Е АхАу (ах - ау ) > 0, Уа е Я
2Ь х, у =0
(14)
Действительно, из (14) следует (13), а обратное включение можно показать следующим образом. Пусть верно (13), и а е Я]{+1 - произвольный вектор. Имеем:
(( X ^ (
X ! \„ X
Е А х А у (х - а у )2= Е А х А^
х, у=0
X
х, у=0
Е и2а2
I=0
и
а у -
X ^
Е и2а2
I=0
2
и
> 0
//
в силу (13), т.к. Е их
х=0
( X ^
Е и1а1
, - I=0
х и
= 0 . Т.о. из (13) следует (14).
Условие (14) можно упростить дальше, если заметить, что при ах = Зхх из него
следует, что
Е А хА у (5хх0 -5ух0 )2 = 2Ах0 (1 -Ах0 )> 0,
х, у=0
т.е. 0 < Ах < 1, х = 0,X. С другой стороны, полученное условие влечет за собой и неравенство (14). Таким образом, необходимым условием монотонной сходимости в Куллбаковской метрике является неотрицательность коэффициентов первой строки матрицы воспроизводства, или, что равносильно
0 < Ах < 1, х = (15)
При этом класс моделей воспроизводства сужается до класса линейных моделей с неотрицательной матрицей воспроизводства, который по своим свойствам сходен с классом моделей передвижки (в которых неотрицательность первой строки матрицы Лесли обеспечивается неотрицательностью коэффициентов рождаемости).
1.3. Достаточные условия монотонной сходимости
Для того чтобы получить достаточные условия монотонной сходимости в Куллбаковской метрике, заметим следующее. Из выражения для гессиана (14) следует, что в некоторой окрестности структуры стабильного эквивалентного населения функция 2 (5) строго больше нуля, как только
Эх, у:Ах Ау Ь - х - Ь- у)2 > ^ т.е. не все величины Ь{ -х : Ах > 0 одинаковы. Как только это условие нарушается, гессиан в
точке 5* уже не характеризует поведения функции 2 (5), и условия ее минимума следует выписывать через старшие производные. Однако можно поступить проще, если заметить, что при условии (15) функция 2(5{) (9) неотрицательна в силу неравенства Йенсена для выпуклых функций и выпуклости функции /(ь) = Ь 1п Ь при положительных аргументах. Это
означает, что неотрицательность величин Ax, x = 0, X гарантирует, что расстояние (8) не может возрастать. Для того чтобы выяснить, когда это расстояние обязательно убывает, быть может, не строго монотонно, достаточно исследовать условия, при которых оно не может оставаться постоянным и при этом отличным от нуля. Расстояние до структуры стабильного эквивалентного населения B* может быть отличным от нуля и постоянным, только если
Vt, x: Ax > 0,bt_x = b(() const (16)
(нарушение последнего неравенства означало бы, что на самом деле население уже обладает структурой стабильного эквивалентного населения).
Из (16) следует, что bt+1 = b((). Но тогда имеем, что
Vt, x: Ax > 0,bt_x = b(t _ x _ 1) = b(tconst
Последнее условие может быть удовлетворено тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель чисел x +1: Ax > 0 больше единицы - мы пришли к стандартному условию, возникающему при исследовании эргодичности в модели передвижки (см., например, [5]).
1.4. Теорема о монотонной сходимости в Куллбаковской метрике
Таким образом, нами доказано следующее утверждение. Теорема. (О монотонной сходимости в Куллбаковской метрике). Для того чтобы возрастная структура населения, в рамках модели воспроизводства демографического потенциала (1), (2) с постоянными показателями воспроизводства, монотонно сходилась к возрастной структуре стабильного эквивалентного населения в Куллбаковской метрике (8) для произвольного положительного начального вектора B0 , необходимо и достаточно, чтобы
величины Ax, x = 0, X были неотрицательны, и наибольший общий делитель чисел
x +1: Ax > 0 был больше единицы. ◄
Замечание 1. Из доказанной теоремы следует, что для модели воспроизводства демографического потенциала монотонная сходимость в Куллбаковской метрике имеет место тогда и только тогда, когда матрица воспроизводства [1] неотрицательна, неразложима и примитивна, т.е. выполняются все те условия, которые обычно накладываются на матрицу Лесли при исследовании модели передвижки по возрастам [2, 5].
Замечание 2. Поскольку [5, 6] для неотрицательных матриц воспроизводства условия теоремы о монотонной сходимости являются необходимыми и достаточными для выполнения свойства эргодичности (т.е. сходимости, не обязательно монотонной, к структуре стабильного эквивалентного населения), из полученных выше результатов следует, что для моделей с неотрицательными показателями воспроизводства эргодичность и монотонная сходимость в Куллбаковской метрике эквивалентны.
Замечание 3. Из проведенных выше рассуждений (в частности, из эквивалентности (13) и (14)) следует, что для Куллбаковской метрики монотонное убывание расстояния до структуры стабильного эквивалентного населения эквивалентно монотонному убыванию расстояния до структуры произвольного стабильного населения с теми же показателями воспроизводства, что и рассматриваемое (но, вообще говоря, с другой асимптотической численностью).
2. Условия монотонной сходимости для других видов информационного расстояния
Кроме (8) существуют и другие варианты выбора информационного расстояния. Поскольку информационное расстояние несимметрично, и (8) есть расстояние «от текущей структуры до стабильной», рассмотрим теперь расстояние «в обратном направлении»:
3 def X *
D3t = Z J* In
x=0
( *\ Jx
V Jx у
1X
=— Z ux In
— x=0 x
< b* >
bt _ r
v t _ x у
* 1 X
= ln b _ - Z Ux ln bt_x (17)
U x=0
Для метрики (17) имеем:
3 3 1 ( X X
D t+1 - D t = —I £ их ln bt_x - £ uxln bt+1-x U Vx=0 x=0
1 ( X ^ 1 ( X ( X ^
= UI ^£0Ax ln bt_x _ ln bt+1 1 = U £ Ax ln bt_x _ ln I £ Axbt_
x t-x x t-x
V x=0 V x=0 j j
т.е. необходимым условием монотонной сходимости будет следующее:
) = 4 £ ДА-* V £ А х 1п Ъ-х > 0, (18)
Vх=0 у х=0
для всякого населения с нестабильной возрастной структурой при условии (10). Легко убедиться, что производные и гессиан (18) в точке В*, соответствующей стабильному эквивалентному населению, совпадают с аналогичными величинами для метрики (8). Т.е. для расстояния (17), как и для Куллбаковского расстояния (8), необходимым условием монотонной сходимости является неотрицательность величин Ах, х = 0, X . Так же, как и ранее, получается достаточное условие монотонной сходимости, с той лишь разницей, что вместо выпуклости функции / (Ъ ) = Ъ 1п Ъ следует воспользоваться вогнутостью
логарифмической функции для вывода (18) при произвольных неотрицательных Ах, х = 0, X . Очевидно, что эти же условия отвечают и симметричной метрике, получаемой как полусумма (8) и (17):
П4 def D\ + D2t 1 X D t = -= — £
2 2 x=0
(/ 4 ( t \\
fe _ J*)ln
Jx
1 X ( (b \ (b
t_x t_x
=£
2U x=0
Uxl ^ _ 11 ln
x
x b j V b
\
V Jx jj
Таким образом, теорема о монотонной сходимости в Куллбаковской метрике может быть распространена на все три вида информационного расстояния.
Список литературы
1. Ediev D.M. Application of the demographic potential concept to understanding the Russian population history and prospects: 1897-2100 // Demographic Research. 2001. Vol.4, Article 9. P. 289-336.
http://www.demographic-research.org/volumes/vol4/9/4-9.pdf
2. Leslie P.H. On the use of matrices in certain population mathematics // Biometrika. 1945. XXXV. P. 183-212.
3. Современная демография / Под ред. А.Я. Кваши, В.А. Ионцева. М., 1995. С. 159-163.
4. Keyfitz N. Age distribution and stable equivalent // Demography. 1969. № 6. P. 261-269
5. Arthur W.B. Why a population converges to stability // American mathematical monthly. 1981. Vol. 88. № 8. P. 557-563.
6. Arthur W.B. The ergodic theorems of demography: a simple proof // Demography. 1982. № 19. P. 439-445.
7. Schoen R., Kim Y.J. Movement toward stability as a fundamental principle of population dynamics // Demography. 1991. № 28. P. 455-466.
8. Эдиев Д.М. Демографические и экономико-демографические потенциалы: Дис... канд. физ.-мат. наук. М., 1999. 206 с.
9. Fisher R.A. The genetical theory of natural selection. N.-Y., 1930.
10. Ediev D.M. Principles of aggregate economic-demographic modeling based on demographic potentials' technique // Demographic-macroeconomic modeling. Rostock, 2000. 17 pp. www.demogr.mpg.de/Papers/workshops/ws001011.htm
11. Эдиев ДМ. Агрегированное прогнозирование численности населения с использованием техники демографического потенциала // Электронный журнал "Исследовано в России", 38, стр. 382-407, 2001 г. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2001/038.pdf
12. Эдиев Д.М. Реконструкция показателей иммиграции в США с использованием модели демографического потенциала // Электронный журнал "Исследовано в России", 140, стр. 1601-1618, 2001 г.
http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2001/140.pdf
13. Demetrius, L. Demographic parameters and natural selection // Proceedings of the National Academy of Sciences. 1974. № 71. P. 4645-4747.
14. Demetrius, L. Isomorphism of population models // Kybernetik. 1974. № 14. P. 241-244.
15. Demetrius, L. Natural selection and age-structured populations // Genetics. 1975. № 79. P. 535-544.
16. Demetrius, L. Reproductive strategies and natural selection // American Naturalist. 1975. № 109. P. 243-249.
17. Demetrius, L. Measures of variability in age-structured populations // Journal of Theoretical Biology. 1976. № 63. P. 397-404.
18. Demetrius, L. Measures of fitness and demographic stability // Proceedings of the National Academy of Sciences. 1977. № 74. P. 384-386.
19. Demetrius, L. Adaptive value, entropy and survivorship curves // Nature. 1978. № 275. P. 231-232.
20. Demetrius, L. Relations between demographic parameters // Demography. 1979. № 16. P. 329-338.
21. Tuljapurkar, S.D. Why use population entropy? It determines the rate of convergence // Journal of Mathematical Biology. 1982. № 13. P. 325-337.
22. Schlögl, F. Mixing distance and stability of steady states in statistical nonlinear thermodynamics // Zeitschrift für Physik. 1976. № B 25. P. 411-421.
