Взаимосвязь между спектральными свойствами матрицы Лесли и возрастной структурой демографического потенциала Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ СПЕКТРАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ МАТРИЦЫ ЛЕСЛИ И ВОЗРАСТНОЙ СТРУКТУРОЙ ДЕМОГРАФИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА

Эдиев Д.М. (dalkhat@hotmail.com)

Карачаево-Черкесский государственный технологический институт

Показано, что собственные значения матрицы передвижки, отличные от коэффициента Лотки, однозначно определяются структурой демографических потенциалов и режимом смертности. Так же показано, что соотношения между собственными значениями однозначно определяются ожидаемыми будущими демографическими потенциалами младенца. Для произвольных структуры демографических потенциалов и режима смертности указан круг инстабильности такой, что модель воспроизводства обладает свойством эргодичности тогда и только тогда, когда истинный коэффициент воспроизводства не принадлежит указанному кругу. Полученные результаты развивают теорию стабильного населения и модели воспроизводства демографического потенциала, и могут быть применены при построении моделей воспроизводства населения.

Введение

Статья посвящена исследованию спектральных свойств матрицы передвижки по возрастам в моделях воспроизводства демографического потенциала [1], обобщающих известный класс моделей передвижки по возрастам [2, 3]. В модели передвижки по возрастам динамика вектора возрастной структуры населения описывается с помощью следующего матричного соотношения:

n(t +1) = Ln(t) (1)

Здесь n(t) - вектор, компоненты которого есть численности отдельных возрастных групп, а L - матрица «передвижки по возрастам» (матрица Лесли):

n(t ) =

(t) f F0 F . •• Fx-1 Fx 1

(t) P0 0 0 0

; l = 0 P1 0 0

"(t) v 0 0 Px-1 О

(2)

где nx (t) - численность x -й возрастной группы (обычно - возраста от x до x +1 лет) в момент времени t; индекс “0” соответствует младшей, а “X” - старшей возрастным группам; Px,x = 0,X - коэффициенты передвижки [2, 3], равные вероятности перехода (дожития) из x -й возрастной группы в x + 1-ю группу к следующему моменту времени (t +1); Fx, x = 0,X - возрастные коэффициенты рождаемости, скорректированные с учетом младенческой смертности.

При заданных показателях модели передвижки, какой бы ни была начальная возрастная структура, асимптотически она сходится к стандартной возрастной структуре, определяемой только режимом воспроизводства. Население, обладающее асимптотической возрастной структурой, определяемой заданным режимом воспроизводства, получило название стабильного эквивалентного населения [4]; теория стабильного населения восходит к работам Л. Эйлера, Т. Мальтуса и А. Лотки. Указанное выше свойство сходимости к стандартной возрастной структуре (свойство эргодичности) было исследовано в

непрерывном случае Лоткой, Шарпом и Коулом и в дискретном случае - Лесли, Лопесом и Парлеттом. Позже это свойство было обобщено Кохеном на случай стохастической модели воспроизводства. Доказательство и библиографию можно найти у Артура [5, 6].

n

Примечательным в моделях передвижки оказалось так же и то, что в специально выбранной метрике можно гарантировать не только сходимость к стабильному населению, но и монотонную сходимость [7, 8].

Рассмотренные в упомянутых работах модели воспроизводства ограничивались классом моделей с неотрицательной матрицей Лесли. Обоснованием такому выбору, помимо понятных математических преимуществ, было то, что как вероятности дожития, так и коэффициенты рождаемости по своей сути не могут быть отрицательными. Однако, уже в наиболее ранних работах по моделям воспроизводства населения [2, 9] отмечалась актуальность разработки моделей с - вообще говоря - неположительными коэффициентами первой строки матрицы Лесли. Отрицательными коэффициентами, в частности, обладают модели воспроизводства биологических популяций с «анти-репродуктивным» поведением особей некоторых возрастных групп (уничтожение яиц и молодых особей и т.д.) К этому же способна привести конкуренция за ресурсы между новорожденными и представителями других возрастных групп. Подобная ситуация возникает так же и в модели воспроизводства демографического потенциала, являющейся обобщением модели передвижки по возрастам. Эта модель может быть сведена к виду (1)-(2), однако, коэффициенты Fx, x = 0, X первой строки матрицы L (матрицы воспроизводства) получаются при этом не на основе коэффициентов рождаемости, а рассчитываются исходя из заданного режима воспроизводства и структуры демографического потенциала [1]:

Fx = Л^ - PxCx+1 (3)

c0 c0

где cx, x = 0,X - заданная возрастная структура демографического потенциала, а Л -истинный коэффициент воспроизводства, являющийся аналогом коэффициента Лотки [10] в модели передвижки и определяющий асимптотический темп прироста численности населения. Демографический потенциал [1, 11] является обобщением репродуктивного потенциала Р.А. Фишера [12] на случай произвольной модели воспроизводства населения. При определенном выборе структуры демографического потенциала величины (3) обращаются в обычные показатели Fx матрицы передвижки, и матрица воспроизводства

обращается в матрицу Лесли, т. е. модель передвижки является частным случаем более общей модели воспроизводства демографического потенциала [1]. Преимуществом модели воспроизводства демографического потенциала, помимо ее общности, является возможность разработки ее на агрегированном уровне, без детализации возрастной структуры населения. Соответствующие модели были предложены автором и показали пригодность для практических расчетов [1, 13, 14, 15].

Актуален вопрос о том, сохраняется ли свойство эргодичности, верное для моделей передвижки с неотрицательными коэффициентами, в более широком классе моделей воспроизводства демографического потенциала. Ранее [4] автором было показано, что свойство эргодичности сохраняется, если на матрицу воспроизводства L наложены ограничения, обычные для моделей передвижки, в частности, неотрицательность ее элементов. Однако, подходы, разработанные ранее, оказались малопригодными при исследовании асимптотических свойств моделей с - вообще говоря - неположительными элементами матрицы воспроизводства.

В настоящей работе предпринята попытка распространить результаты по асимптотическим свойствам моделей воспроизводства населения на общий случай, без ограничений в знаке элементов матрицы воспроизводства. Полезным для этой цели оказалось исследование спектральных свойств матрицы L .

1. Спектр матрицы воспроизводства и свойство эргодичности

Известно [2], что коэффициент Лотки является единственным действительным положительным собственным значением матрицы Лесли, вектор возрастной структуры стабильного эквивалентного населения - ее правым собственным вектором,

соответствующим этому собственному значению, а вектор повозрастных репродуктивных потенциалов Фишера - ее левым собственным вектором, соответствующим этому же собственному значению. Для матрицы воспроизводства в модели воспроизводства демографического потенциала истинный коэффициент Л является собственным числом, а соответствующими правым и левым собственными векторами являются вектор стабильного эквивалентного населения и демографических потенциалов,

( F0 Fi . .. FX-1 FXN

р0 0 0 0

(0 с1 сХ) 0 р1 0 0

» 0 0 1 О

Утверждение (4) легко получить, если учесть (3)

•'Х,

(4)

с0 Fx + cx+1Px = с0

( c c У Л^ - Pxcx+1 c0 c0

+ cx+1Px =Лсх

Из теории матриц [16: 587-589 (лемма 8.2.7)] следует, что, если некоторое ненулевое собственное значение Л матрицы L максимально по модулю среди всех собственных значений и является единственным собственным значением с таким модулем, то

\t * т (

1 т У = n*cT

ЛJ *т +

Л J n c

* т У 1 т n c

Л *F

v n c J

*т

nc

t

*т

nc

где c и n* - левый и правый собственные вектора матрицы, соответствующие упомянутому собственному значению. Отсюда следует, что, если верны указанные выше посылки, то

f = (Л L J n(0)

t

* т

n c *

->——n(0) = n

*т

nc

cT n(0)

*T :

nc

(5)

т. е. асимптотически возрастная структура населения сходится к структуре стабильного эквивалентного населения. Иными словами, выполняется свойство эргодичности.

Это значит, что свойство эргодичности верно для линейной модели воспроизводства тогда и только тогда, когда коэффициент воспроизводства (коэффициент Лотки) является максимальным по модулю собственным значением матрицы воспроизводства, а остальные собственные значения строго меньше по модулю, чем истинный коэффициент воспроизводства. Достаточность в этом утверждении следует из (5), а необходимость связана с тем, что, если существует собственное число, большее или равное по модулю, чем коэффициент воспроизводства, то сходимость к структуре стабильного эквивалентного населения будет наблюдаться только при начальной возрастной структуре, ортогональной левому собственному вектору, соответствующему указанному собственному значению. Последнее вытекает из того, что левые и правые собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны, и, в частности, структура стабильного эквивалентного населения ортогональна всем левым собственным векторам,

соответствующим собственным значениям, отличным от истинного коэффициента воспроизводства. Значит, для всякого левого собственного вектора c(k), соответствующего собственному значению Лк), отличному от истинного коэффициента воспроизводства Л, должно выполняться следующее условие, если только верно эргодическое свойство:

Л )yt

_Ldk )(t )= -jTc^ K«x (t )=Л c(k T n(t )=Л c(k )TL n(0)

Л Л x=0 Л Л

Л

P )T n(0)-

t

0,

(6)

а это условие будет верно только если Л) < Щ, или c(k) ортогонально начальной возрастной структуре n(0). Между тем, очевидно, что в сколь угодно малой окрестности структуры

стабильного эквивалентного населения можно найти структуры, не ортогональные указанному левому собственному вектору, т. е. свойство эргодичности не будет наблюдаться

в сколько-нибудь широком множестве начальных возрастных структур, если только истинный коэффициент воспроизводства не будет максимальным по модулю (и притом единственным с таким модулем) собственным значением матрицы воспроизводства.

2. Спектр матрицы воспроизводства и возрастная структура демографических потенциалов

Собственным числам матрицы воспроизводства, отличным от истинного коэффициента воспроизводства, соответствуют собственные вектора, отличные, вообще говоря, от вектора возрастной структуры стабильного населения и от вектора возрастной структуры демографического потенциала. Для того чтобы исследовать эти собственные числа и вектора, выпишем вековое уравнение для матрицы воспроизводства:

det(b _ /) = det

^1 о J 1 Fi . . FX _1 Fx \

P0 _/ 0 0

det 0 Pi 0 0

. _/

» 0 0 Px _1 _/

= 0 , т. е.

Z LxFxM x = LoM,

X =0

(7)

где Lx = L0P0P1...Px_j,x = 0,X - числа живущих таблицы дожития, отношение которых соответствует вероятности перехода (дожития) из одной возрастной группы в другую.

Уравнению (7) удовлетворяет, в частности, истинный коэффициент воспроизводства:

X

ZLxFxA x = L0A . Подставив в (7) выражения для Fx, имеем:

x =0

X

Z Lx

x=0

( c c ^ _ Pxcx+1

с0 с0

/ Х = L0/

V -0 -0

X _ X _

Л Z Lxcx/ _ _ Z Lx+lcx+1/ x = L0c0/

x= 0 x= 0

X _ x _

Л Z Lxcx/ x _ / Z Lxcx/ x _ /L0c0 = 0

x=0 x=1

(л_м) Z LxcxF~x = 0

x=0

То есть, истинный коэффициент является одним из корней векового уравнения, а остальные собственные числа получаются как решения уравнения:

Z Lxcx/~x = 0

x =0

Отсюда видно, в частности, что при неотрицательных демографических потенциалах cx, не равных тождественно нулю в возрастах с ненулевой численностью стационарного населения Lx , истинный коэффициент воспроизводства является единственным положительным собственным значением матрицы воспроизводства. Остальные собственные значения или отрицательны, или могут быть разбиты на комплексно сопряженные пары.

(8)

3. Круг инстабильности модели воспроизводства демографического потенциала

Следующий важный вывод, который можно сделать, опираясь на (8), заключается в том, что решения векового уравнения, помимо истинного коэффициента воспроизводства, определяются режимом смертности и возрастной структурой демографического потенциала, и не зависят явно от величины истинного коэффициента воспроизводства. Отсюда следует Теорема (О круге инстабильности модели воспроизводства демографического потенциала). Пусть заданы возрастная структура cx, x = 0, X демографических потенциалов и числа

живущих

Lx, x = 0, X . Тогда существует круг

Л = \я: \Л\ < lmin }, такой,

что режим

воспроизводства с указанными выше показателями обладает свойством эргодичности тогда и только тогда, когда истинный коэффициент воспроизводства не принадлежит этому кругу. Указанный круг будем называть кругом инстабильности, а его радиус - радиусом инстабильности.

Замечание 1. Очевидно, что указанный в теореме радиус инстабильности равен максимальному модулю решений уравнения (8), т.е. Amm = maxi |^|: £ Lxcxp~x = 01.

I x =0

Замечание 2. Из теоремы следует важный вывод, - какова бы ни была структура демографического потенциала, при определенных величинах истинного коэффициента воспроизводства свойство эргодичности будет наблюдаться. В частности, свойством эргодичности могут обладать модели с отрицательными элементами в первой строке матрицы воспроизводства и даже отрицательными значениями демографических потенциалов - такие модели не были исследованы в литературе, и к ним не применимы полученные ранее результаты по эргодичности.

Замечание 3. Из теоремы следует, что, если при некотором значении истинного коэффициента воспроизводства модель обладает свойством эргодичности, то она обладает этим свойством и при всех больших по модулю коэффициентах воспроизводства.

В качестве примера рассмотрим модели воспроизводства, основанные на возрастной структуре демографических потенциалов и показателей смертности женского населения США 1991 года (эти величины были использованы автором в ряде работ). На рис. 1 показаны результаты расчета спектра соответствующей матрицы воспроизводства.

США

1991 *1

Темп

воспроизводства

-0,01%

Круг

инстабильности

-3,76%

Рис. 1. Спектр собственных чисел модели воспроизводства демографического потенциала, основанной на показателях женского населения США за 1991 год.

Представленная диаграмма есть распределение собственных значений матрицы в комплексной плоскости (по горизонтали отложены действительные, а по вертикали -мнимые части собственных значений). На рисунке проведены две окружности - единичного радиуса (черного цвета) и радиуса инстабильности (зеленого цвета, эта окружность проходит через максимальное по модулю, после коэффициента Лотки, собственное число). То, что

истинный коэффициент воспроизводства (ему соответствует крайняя справа точка спектра) лежит внутри единичного круга, говорит о том, что рассматриваемая модель соответствует суженному воспроизводству населения. А то, истинный коэффициент находится вне круга инстабильности, говорит о том, что модель обладает свойством эргодичности. Следующее по модулю после истинного коэффициента воспроизводства число равно по модулю 0,9624, т.е. при заданной структуре потенциалов и смертности эргодичность будет сохраняться тогда и только тогда, когда истинный темп воспроизводства будет больше, чем -3,76% в год. Заметим, что пара комплексных собственных чисел с указанным модулем соответствует затухающим колебаниям с периодом 28 лет, т. е. так называемым демографическим волнам. При истинных коэффициентах воспроизводства менее -3,76% в год эти волны будут нарастать, что приведет к нарушению свойства эргодичности.

США

0-30 *1

Темп

воспроизводства

0,00%

Круг

инстабильности

0,00%

Рис. 2. Спектр собственных чисел модели воспроизводства демографического потенциала, основанной на показателях смертности женского населения США за 1991 год и демографическом потенциале, равном численности возрастной группы 0-30 лет (при единичном истинном коэффициенте воспроизводства).

Рис. 2 так же представляет спектр модели воспроизводства, основанной на показателях дожития женского населения США в 1991 году, но вместо репродуктивных потенциалов Фишера в указанном году для построения модели задана другая структура демографического потенциала - в качестве демографического потенциала населения принята численность возрастной группы 0-30 лет (коэффициент воспроизводства выбран равным единице). Такой выбор связан с тем, что указанная величина рассматривалась в ряде работ [7, 17-21] как определяющая асимптотическую динамику численности населения, что эквивалентно выбору ее в качестве демографического потенциала. Расчеты по прогнозированию численности населения с использованием соответствующей модели воспроизводства показали, что при относительно малых истинных темпах прироста населения результаты оказываются неустойчивыми [1]. Спектр, представленный на рис. 2, дает объяснение этой неустойчивости - радиус инстабильности модели оказывается равным 0%, т.е. даже модель с простым нерасширенным воспроизводством населения не обладает свойством эргодичности. В то же время рис. 2 указывает на то, что модели, основанные на динамике сегмента 0-30 лет, могут быть полезны при исследовании быстро растущих населений.

На следующем рисунке (рис. 3) показан спектр модели с высокой рождаемостью, основанной на показателях женского населения США за 1960 год (пик беби-бума). Круг инстабильности (-1,92%) говорит о том, что потенциалы, рассчитанные по высоким показателям рождаемости, вполне могут использоваться для построения моделей с относительно низкими коэффициентами воспроизводства, и свойство эргодичности при этом будет сохраняться.

США

1960 *1

Темп

воспроизводст

2,15%

Круг

инстабильности

-1,92%

Рис. 3. Спектр собственных чисел модели воспроизводства демографического потенциала, основанной на показателях рождаемости женского населения США за 1960 год.

Чтобы исследовать отношения собственных чисел к истинному коэффициенту воспроизводства - а именно они определяют, обладает ли модель свойством эргодичности, -удобно переписать уравнение (8) через ожидаемые будущие потенциалы младенца

def cLX~x

c0 L0

И

X _ X _ X

0 = zLxcxH x = zux^c0L0M x=c0L0 z uxIt

x=0 x=0 x=0 V Я

т.е.

ux =

x

X

Z ux

x=0

я

-x

=0

(9)

Отсюда видно, что относительные величины

Я

собственных чисел матрицы

воспроизводства зависят только от ожидаемых будущих потенциалов ux и - при заданных ux - не зависят явно ни от режима смертности, ни от истинного коэффициента воспроизводства, ни от структуры демографического потенциала. Следствием этого является Теорема (Об условиях эргодичности в модели воспроизводства демографического потенциала). Структура ожидаемых будущих относительных потенциалов младенца ux, x = 0, X однозначно определяет соотношения между собственными числами матрицы воспроизводства и, как следствие, то, обладает ли модель воспроизводства свойством эргодичности.

Замечание. Эта теорема дает удобный способ подбора подходящих - в смысле обеспечения эргодичности - демографических потенциалов, основанный на расчете потенциалов исходя из ux, x = 0, X, режима смертности и наименьшего возможного значения истинного коэффициента воспроизводства.

Выражения типа (8), (9) могут быть выписаны и для других собственных значений и векторов, т.е. величина любого собственного числа и структура соответствующего собственного вектора, вместе со структурой смертности, однозначно определяют показатели первой строки матрицы воспроизводства и все собственные значения и вектора этой матрицы.

4. Зависимость возрастной структуры демографических потенциалов от спектра матрицы воспроизводства

При построении моделей воспроизводства, а так же при расчете спектра матрицы, полезным может оказаться следующий результат. Из (8), (9) видно, что спектр матрицы воспроизводства определяется структурой демографических потенциалов. Оттуда же следует и обратное: спектр матрицы воспроизводства однозначно определяет ожидаемые будущие относительные потенциалы младенца и - при известном режиме дожития - структуру

def

демографического потенциала. Действительно, при известных значениях —k, k = 0, X, — = Л, собственных чисел матрицы воспроизводства выражение (9) можно переписать в виде:

Л

X

0 = Ё Ux

x=0

v№j

= п

X ч-Лл_

k=1у и

(10)

Отсюда, раскрывая скобки в правой части и приравнивая слагаемые при одинаковых степенях /и, имеем, что

1

ux = — x x!

X

Ё Л

k1,k 2,...,kx=1 Л

k1/ k 2,k1/ k 3,..., (kx-1)/ kx Или, в эквивалентной форме:

X X X X

Ux = Ё Ё Ё ... Ё

- —k1 - —k 2

-Л

kx

Л

Л

x = 0, X

—k1 —k 2 —kx x = 0 X

(11)

(12)

k1=1 k 2=k1+1 k 3=k 2+1 kx=(kx — 1)+1 Л Л Л

Выражения (11), (12) удобно преобразовать для практических расчетов следующим образом. Для начала введем обозначения:

X

Ё Л

k1,k2,...,kx=1 Л

k1/k 2,k1/k 3,...,(kx—1)/ kx

Ex =

——k1 ——k 2 — —kx

Л

Л

x = 0, X.

(13)

т.е. под Ex,x = 0,X будем понимать сумму всевозможных произведений из x не

— л,

совпадающих друг с другом сомножителей —Тогда (11) в новых обозначениях можно

Л

записать как 1

ux = —Ex, x = 0, X x!

(14)

Далее, обозначим через Ex, x, i = 0,X выражения типа (13), в которых ни в одном из

/ i

слагаемых нет сомножителя

Л

. Имеем, что

ux =—Ex = — Ёf— —Vx—1 = — Ё{—— | Ex—1 —(x — 1) —^ |e

x!

=x s(——

x! i=4 Л J/i

f

V

—

E

x—1 — (x — 1)— — V

x! i=1V Л

x—2 („ Л —i I v. x—3

x — 2

Л

Ex

V

—(x—2)——I/T

—J /i II

J

_ 1 X X (Я, )к Еx-к _ 1 х X (Я I _ 1 Х х (я, лх-У

_-xhkth) (x-k)_-xhkth) Ux-k_-xi_0^tiU.

Т.е. имеют место следующие рекуррентные соотношения для ожидаемых будущих потенциалов при заданном спектре матрицы воспроизводства:

1 x 1 х (Я Лx-y ------

U0 _ 1, Ux _—X Uy х1 ~Я I , x _ 1, х (15)

x y_0 i_1( Я )

Из (15) можно получить выражения для демографических потенциалов:

1 x—1 X ___

Cx _- — х LyCy ХЯХ~У, x _ 1, X (16)

xLx y _ 0 i _1

Используя (15), (16) можно упростить расчет спектра матрицы воспроизводства. Причина в том, что эти тождества содержат все собственные значения матрицы воспроизводства в явном виде. Поэтому, например, можно построить процедуру оценивания всех собственных значений одновременно, минимизируя одно из следующих выражений:

2

Я Я 4X I

Я я ’ Я )'

: ГЯ1 Я2 4X

x 1 Я ’ Я ’ Я

х

x_1

[Як/ я}

-»mm

(17)

х

- величины ожидаемых будущих потенциалов, оцененные согласно

(18)

где ux _u (15), или

Z(Я1,Я2,...,Ях)_ -cxТ {Як} >min

где Cx _Cx(Я,Я, . ,Ях) - величины потенциалов, оцененные согласно (16).

Именно такая процедура использовалась при нахождении спектра в приведенных выше моделях воспроизводства. Причем, процедура минимизации (18) обычно оказывалась более эффективной, чем (17).

Кроме того, что соотношения (15), (16) позволяют строить процедуры оценки, приведенные выше, они позволяют так же легко получить суммы собственных значений в различных степенях, если известны потенциалы:

def X (я Лx 1 2 1 ----

Mx _ Х\~Я) _-xUx -MU-1 -M\-2 -... -Mx-1U1, x _ 1,X, т.е. Mx _ -xux - Z Myux-y, x _ 1X

y_1

(19)

Получив эти величины, можно найти собственные значения как решение системы уравнений

Я ___

(19) относительно —, i _ 1, X . Причем, если получены значения некоторых из собственных

Я

значений, то оставшиеся собственные значения можно рассчитать, используя новый набор потенциалов и - соответственно - новую (меньшей размерности) матрицу воспроизводства.

Действительно, если известны собственные значения —, i _ 1,т , то для оставшихся значений

имеем:

Я

def X ( я Лx т ( Я

MT+1x _ X (я) _Mx-х(ЯЯ

i_т+1 (я) i_1( Я

x _ 1, X

Этим новым суммам будут соответствовать свои потенциалы, матрица воспроизводства и собственные значения. Причем, собственные значения совпадут с искомыми значениями исходной матрицы воспроизводства.

Рассчитав по (19) величины Mx, x _ 1,X, можно построить еще одну процедуру минимизации для поиска спектра собственных значений:

x

z Вт Т’"” 1 Mх )

х=1

[ik /1}

(20)

£ (1

где Мх = J • Хотя процедура (20) на практике оказалась менее эффективной, чем (17)

или (18), она удобна для решения задач большой размерности тем, что позволяет использовать идеи динамического программирования.

х

Благодарности

Автор выражает свою благодарность Консорциуму экономических исследований и образования за предоставленный доступ к ресурсам электронной научной библиотеки JSTOR.

Работа выполнена в рамках Госбюджетной НИР «Разработка модели

демографического потенциала и ее приложений» (годовой этап «Исследование

асимптотических свойств моделей воспроизводства демографического потенциала»).

Список литературы

1. Ediev D.M. Application of the demographic potential concept to understanding the Russian population history and prospects: 1897-2100 // Demographic Research. 2001. Vol.4, Article 9. P. 289-336.

http://www.demographic-research.org/volumes/vol4/9/4-9.pdf

2. Leslie P.H. On the use of matrices in certain population mathematics // Biometrika. 1945. XXXV. P. 183-212.

3. Современная демография / Под ред. А.Я. Кваши, В. А. Ионцева. М., 1995. С. 159-163.

4. Keyfitz N. Age distribution and stable equivalent // Demography. 1969. № 6. P. 261-269.

5. Arthur W.B. Why a population converges to stability // American mathematical monthly. 1981. Vol. 88. № 8. P. 557-563.

6. Arthur W.B. The ergodic theorems of demography: a simple proof // Demography. 1982. № 19. P. 439-445.

7. Schoen R., Kim Y.J. Movement toward stability as a fundamental principle of population dynamics // Demography. 1991. № 28. P. 455-466.

8. Эдиев Д.М. Об условиях монотонной сходимости структуры населения к структуре стабильного эквивалентного населения в куллбаковской метрике в рамках модели воспроизводства демографического потенциала // Электронный журнал "Исследовано в России", 17, стр. 182-190, 2002 г. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/017.pdf

9. Chapman R.N. The causes of fluctuations of populations of insects // Proc. Hawaii Ent. Soc. 1933. 8, no. 2. P. 279-292.

10. Dublin L.I., Lotka A.J. On the true rate of natural increase as exemplified by the population of the United States, 1920 // Journal of American Statistical Association. 1925. №20. P. 305-339.

11. Эдиев Д.М. Демографические и экономико-демографические потенциалы: Дис... канд. физ.-мат. наук. М., 1999. 206 с.

12. Fisher R.A. The genetical theory of natural selection. N.-Y.: Dover Publications, 1930.

13. Ediev D.M. Principles of aggregate economic-demographic modeling based on demographic potentials’ technique // Demographic-macroeconomic modeling. Rostock, 2000. 17 pp. www.demogr.mpg.de/Papers/workshops/ws001011.htm

14. Эдиев Д.М. Агрегированное прогнозирование численности населения с

использованием техники демографического потенциала // Электронный журнал "Исследовано в России", 38, стр. 382-407, 2001 г. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2001/038.pdf

15. Эдиев Д.М. Реконструкция показателей иммиграции в США с использованием модели демографического потенциала // Электронный журнал "Исследовано в России", 140, стр. 1601-1618, 2001 г.

http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2001/140.pdf

16. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. Пер. с англ. - М.: Мир, 1989. - 655 с.

17. Preston S.H. The relation between actual and intrinsic growth rates // Population Studies. 1986. №40. P. 343-351.

18. Preston S.H., Coale A.J. Age structure growth, attrition, and accession: a new synthesis // Population Index. 1982. №48. P. 215-259.

19. Kim Y.J., Schoen R. Population momentum expresses population aging // Demography. 1997. №34. P. 421-427.

20. Kim Y.J., Schoen R. Sarma P. S. Momentum and the growth-free segment of a population // Demography. 1991. №28. P. 159-173.

21. Wachter K.W. Age group growth rates and population momentum // Population Studies. 1988. №42. P. 487-494.