CC BY
10
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА УДК 517.958;621.372.8
ОБ УСЛОВИЯХ ИЗЛУЧЕНИЯ ДЛЯ ИМПЕДАНСНОГО
ВОЛНОВОДА
А. Н. Боголюбов, М. Д. Малых, Ю. В. Мухартова
(.кафедра математики)
Рассмотрена задача о возбуждении колебаний током в регулярном полом круглом волноводе О, на границе которого заданы условия Щукина-Леонтовича. Показано, что требование существования обобщенного преобразования Фурье (Ег-преобразование) является вполне корректным условием излучения, выделяющим решение, представляющее собой суперпозицию волн, бегущих от источника.
Задача о возбуждении электромагнитных колебаний в регулярном полом цилиндрическом волноводе О = {(ж, у) б S; z €Е R} е граничными условиями Щукина-Леонтовича током , где j имеет ком-
пактный носитель в О, записывается в следующем виде:
rotH = +j,
rot E = гшН, (1)
[n,E]|en = ?[n, [n, H]].
Здесь с = 1 — i) ~ комплексная постоянная,
со — удельная проводимость металла при постоянном токе [1, 2].
Пусть (Eo(j),Ho(j)) — известное решение задачи (1) при ? = 0. Обозначим е = Е — Eo(j), h = Н — Ho(j) • Тогда задача приобретает вид
rot(h) = ■ е,
rot(e) = ш • h,
[n,e]|an =c[n, [n,h]] + c-F,
(2)
где F = [n, [n, Ho]]. Решение задачи (2) будем искать в виде
е = grad (divПе) + ш2Пе - ш • rot Пт, h = grad (div Пт) + ш2Пт + ш ■ rot Пе
(3)
где электрический и магнитный векторы Герца направлены по оси волновода:
Пе = ср(х,у,г) Пт = ф(х,у,г) ■ ех. (4)
Уравнения Максвелла сведутся к системе [1]
А(р + и2(р = 0, Аф + ш2ф = 0. (5)
Введем помимо нормали к границе волновода касательный вектор г = [ег,п] = (—пу,пх, 0) и производные по касательной ^ = (gradíp, т),
Ц- = (gradф, т). Тогда
г 1 д2{Р
Г Г V.11 д^
2 d2ip\ . дф
2; д2ф\ . дер
WT+яТ ez +
OZz J on
(6)
Подставляя эти выражения в граничные условия для е и Ь и приравнивая проекции на векторы ег и т в полученном тождестве, найдем граничные условия для ¡риф
д2р> . дф ( 2, д2ф\ .
( д2ф . д(р\ ~дгдт ~ Ш~дп ) = ?
(7)
Будем рассматривать случай цилиндрического волновода кругового сечения радиуса Я. В цилиндрической системе координат за счет условий периодичности по полярному углу в функции <р(г,р,0) и ф(г,р,в) можно разложить в ряд Фурье:
(&ч> ^ 2 V ( д2ф . д<р\
ф,р,в)= 4>m(z,p)-e-ime,
m=—oo +оо
ф(г,р,в)= Y, i>m(z,p)-e-ime.
(8)
Введем следующие обозначения: пусть /^(г, р) и /^(г, р) — коэффициенты разложения в ряд Фурье по в функций (Р, ег) и (Р, т) соответственно:
и =
h =
-с о'
h =
h =
/ =
fZ
' rn
С учетом этого задачу для (рт(г, р) и фт(г, р) можно записать в виде
А ри
dz2
и
ш
т \ а
—I и = О, Р
. д гт д ( д2
гш1\—и--h-^-u + h тгт
ар р oz \ozz
ш2 \ и
p=R
(10) (11)
Предположим, как это было сделано в работе [3], что у задачи есть решение, допускающее Рг-преобразование
1 ' (12)
u(z, p) = Fr(u) = — I «(7, р) ■ e%TZ dj,
с
где путь интегрирования С совпадает с вещественной осью 7-плоскости, если й не имеет на ней полюсов; если же й имеет вещественные полюсы, то отрицательные полюсы обходятся по верхней полуплоскости, а положительные — по нижней. Тогда его Рг-образ й(-у,р) удовлетворяет задаче
,2-
А рй
ш
7
т
« = 0,
iiali —й ар
т-у Р
12й + (i
ш
Р
■ 72) hu
(13)
p=R
= ?•/• (14)
Покажем, что эта задача может быть представлена при помощи компактных операторов в некотором гильбертовом пространстве Ь. Будем считать, что с ф 0. Формально подействуем на уравнение (13) оператором 1\, умножим на вектор-функцию у(р) = (г»1 (р) У2(р))Т , VI, У2 € УУЦБ), проинтегрируем по сечению и с учетом граничных условий получим следующее тождество:
'¿V ё ,г / го \ Тт Л
~йр ёр + \ р2/ у 111 ^ ЯФ +
о
R R
vTI\updp + (а;2 — 72) J vTI\updp~ о
о
Т £
--v /
ш
iR
p=R Ш imj
- (ш2^72) • (^Vi«i+?V2«2)|
p=R '
ш
(cvi«2 + V2Ui)\
p=R
= 0.
(15)
Введем гильбертово пространство Ь как замыкание пространства векторных функций, компоненты которых принадлежат С°°[0, Д], по норме г;], где R
[v, v] =
dv dp
m
P*
|v|2 pdp. (16)
В этом гильбертовом пространстве скалярное произведение имеет вид R
Г ( dv du ["'"]= /(—•—' I - ' р2 ;
о
+ (17)
Рассмотрим следующие билинейные формы:
R R
Tt.-.J__I /• г*_.\Т .
a(u,Ilv)= J v I\updp = J (I^v) iipdp,
о
о
im
(18)
C\ (u, v) = - (?Vl«2 + V2U1)
Ш
I p=R '
c2 (u, v) = —R (—viui + sv2ii2)\
ш
p=R '
g(f,v)=-±Rv'rf
(19)
p=R
Оператор К будет компактным на h, если для соответствующей ему билинейной формы k(u, v) = [Ки, v]h при и, v е h выполнено следующее условие: для любого числа е е (0,1] существует такая вполне непрерывная билинейная форма к£ (т.е. билинейная форма, соответствующая компактному оператору), что \к(и, «)| < е||«||ь + Iке(и,и)\, ибЬ [4].
При доказательстве теоремы вложения пространства W^iS) в L2(S) в работе [5] было показано, что С°°(5) С W^iS) справедливы неравенства
r М(е) х
'ds s$e \Vu\2ds + ^ — { n=i
и ds
п„
u\2dl^e / \Vu\2ds + Ce / \u\2ds
(20)
где прямоугольник П = {ж: 0 < Х{ < /¿, г = 1,2}, 5 С П и П„ — элементарные прямоугольники, на которые разбивается П. Так как в данной задаче область $ — круг радиуса Я и для Уу(р): VI(р),У2(р) € С°°[0, Д] компоненты функции и = у(р) ■ егтв принадлежат С°°(5), то с учетом определения Ь
R
v(p)\2pdp^ e\\v\\l-
М(е)
Е
1
2. ^ |Пл
R
v{p)-eimB ds
п„
f uds
\v(R)\2^e\\v\\2h + C£j \v(p)\2pdp. (21) о
М(е)
Билинейная форма Н£(и,и) = ^ ЦТ
п=1 п„
вполне непрерывна при «1,«2 £ (5) [5], поэтому билинейные формы а и д компактны на Ь х Ь. Компактность с\ и сг следует из того, что сх(и,у) = ™ (/|г!)ти \Т
и c2(u,v) = ^ (Цу) и доказана
p=R
p=R
при a,v£h. Поэтому
Теорема 1. Пусть функция и является решением задачи возбуждения круглого импеданс-ного волновода, записанной в форме (10), (11). Тогда задача (13), (14) для й, где и = Рг(й), может быть представлена в операторном виде
h(I - T(j))ü = hü - hAu - jC\Ü ■
(w2^72) (hA + C2)Ü = Gf
(22)
в гильбертовом пространстве Ь со скалярным произведением (17), где линейные компактные в Ь операторы А,С'1,С'2 и О определяются из соотношений
а (и, I^v) = [Aü, I^v], с\ (ü, v) = [Ciü, v]. c2 («, v) = [C2ü, v], g (J, v) = Gf, v
(23)
Покажем, что справедлива
Теорема 2. Существует, и притом единственное, решение и задачи (10), (11), имеющее Рг-преобразование, если соответствующая однородная краевая задача для й решений не имеет. Это решение может быть представлено в виде о
JV1
u(z,p) = y^ f e-i^ypn(y,p)f(z
У, Р) dy
""-L—оо N2 °°
J2 J ei'^yPm(y,p)f(z^y,p)dy + ü(z,p),
т=1 0
(24)
где Рп(у,р) и Рт(у,р) — некоторые операторы в Ь, (—7„) и 7т — отрицательные и положительные вещественные собственные значения соответственно, а функция й такова, что ее компоненты принадлежат пространству И^О).
Доказательство. Пусть 7„ — собственные значения однородной краевой задачи для й. Тогда рассматриваемая задача (13), (14) имеет единственное решение при 7 ^ 7„. Поэтому и решение задачи (10), (11), допускающее Рг-преобразование, единственно. Функция у = Я/, где Я = (I — Т)-11^1С, является мероморфной функцией переменной 7 с полюсами уп. Покажем, что функция V = Я/ стремится к нулю при | —> оо на вещественной оси. Для этого задачу для й при с ф 0 формально запишем в виде
Ь(-г)й= (1- {11+12{1гА + С2)У1 X
х (11А + ш2(11А + С2)+'уС1)^й= (25)
= {1г+12(1гА + С2))-10}.
Для существования ограниченного 7) достаточно, чтобы
(7i+72(hA + C2)) S х (.T1A + lo2(I1A + C2)
7C1)
< 1.
(26)
Можно показать, что оператор [А + 1^1С2) не имеет вещественных отрицательных точек спектра, и для любого компактного в Ь операто-)а К при |-у| —> оо на действительной оси
(I + 72 (А + Т^С^) 1К ^ 0. Кроме того,
lim
I7I—»-00
(/ + 72(А + /1-1С2)) 17 • I^Ct = 0. (27)
Поэтому, так как операторы А + ш2 (А + 1г 1С'2) и G компактные, то при |-у| —> оо на действительной оси
+оо
lim ||L-1(7)||^ lim V||(/ + 72 {A+Ii1C2))~1x
|7|—s-oo
|7|—s-oo
n=0'
x [А + ш2 [A + 1УС2) + 7 • 1УСг)
lim ||Ü|| ^ lim ||L_1(7)|| x
<1,
|7|—s-oo
|7|—s-oo
(/ + 72 {A + Ii
lC2))
(28) (29)
= 0.
Следовательно, число N(00,11%) вещественных -уп(ш,т) конечно, так как в противном случае вещественные -уп(ш,т) имели бы конечную точку сгущения, что невозможно. Это означает, что в выражении для функции у можно выделить главную часть [6], т.е. представить у в виде
N1 _ N2
у = X) йт + й, где N1 — число отрицатель-
п=1 т=1
ных, а N2 — число неотрицательных вещественных полюсов. Обозначим неотрицательные вещественные полюсы как 7ТО, а отрицательные как (—7^). Тогда
Vn(l,р) =
%(7, р) =
т.
7 + 7„ p£]f
p(Mn)f
= \М„'
7 — 7т
(7 + 7„) р(Мт) £ ГГП J
"(7"7т)м"
(30)
Здесь все Р^'(р)/(у,р) и Рга)(р)/(у,р) представляют собой некоторые суммы элементов вида
/^(З/, ^ у^, где {уз},^} являются каноничес-] и
кими системами собственных и присоединенных векторов оператора Т(7) при 7 = и 7 = 7т. Остаток Ъ =
Е(Ю /
уже не имеет полюсов на вещественной оси. При больших |7| функция Ъ имеет такую же асимптотику, как и у, поэтому можно вычислить функцию й(г, р) = Рг (у), которая будет дважды дифференцируема по г. Докажем, что и функция
N1 _ N2
й = й- (уп) + Рг (ут) существует и является
п=1 т=1
дважды дифференцируемой по г:
Рг(5„)= / dz'
2тт
d-y-
с
Jy(z-z')
7 + 7„
dj-
2ж I (7 + 7„)
Jj(z-z')
= \Мп
п)
-plM"'f
(31)
Согласно лемме Жордана, при г — г' ^ 0 контур С можно замкнуть в нижней полуплоскости, и, следовательно,
1 Г
-- dj--^
2тт J 7 + 7« с
1 Г eij(z-z') ;Мп
= ie-hn(z-z')
(32)
г
(Мп - 1)! Аналогично
+оо
Fr(vm)= [ dz'
1 Г pij(z-z')
ф- dj--—
2 ж J 7 - 7m с
ms
1 Г pil{z-z') dj—— 2ж1 (7 — 7m)
С-
Mn
p(Mm)f
>. (33)
Согласно лемме Жордана, при г — г' ^ 0 контур С можно замкнуть в верхней полуплоскости, и поэтому
1 г р^
— <¿7--=ге^г~г'\
2 ж ./ 7 — 7т
с
1 Г рЫг-г')
J_ dl—-
2ж J (7 - 7m)
С-
М„
(34)
гм»-
(Мго-1)!
Пусть у = z — z*. Вводя операторы
-(1) iMn Pn(y,p) = iPn (р) + ...+ (Мд_1)!
■м,
Vм--1* п
Г,(М„)
К (рЪ
Pm{y,p) = iP&\p)+--~
(мт - 1)!
получим
JV1
= ^ [ е~^пУРп(у, p)f\z-ydy
п=1
-оо
JV2 00
V f e^ypm(y,p)fU-ydy.
\ / 11
т=1 0
Поэтому функция и = Рг(г;) вполне определена и может быть продифференцирована два раза по г. Тогда
¿2 ( 9 т2 АР+ ¿¿2 + 1^^-2 I 1« =
Г
m
= Fr ( ( Ар ^ 72 + \ ш2 ^ '-^тг ) ) V ) = Fr
(35)
т.е. построенная функция и является решением исходной задачи.
Основной смысл доказанной теоремы состоит в том, что требование существования Fr-образа является условием, позволяющим выделить решение, являющееся суперпозицией волн, бегущих от источника и удовлетворяющее парциальным условиям излучения.
Литература
1. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М., 1991.
2. Ильинский A.C., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электромагнитных системах с потерями. М., 1983.
3. Боголюбов А.Н., Малых М.Д. // ЖВМ и МФ. 2003. 43, №4. С. 585.
4. Stummel F. Rand- und Eigenwertaufgaben in Sobolewschen Räumen. Berlin; Heidelberg; N.Y., 1969.
5. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М„ 1973.
6. Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов. Гл. I. Избр. труды. Математика. М., 1985. С. 305-320.
Поступила в редакцию 06.10.04
