Об упругопластическом кручении стержня Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прикладная математика и механика

Требуется решить следующую задачу: найти решения уравнения (4), когда на неизвестной границе выполнено условие (6). Для этого найдем закон сохранения уравнения (4). Введем функции u, w по

формулам

дф дф w =—, v =—.

дг дz

Тогда уравнение (4) запишется следующим образом:

ды дw 3 „ дu дw

— +---w = 0,---= 0. (7)

дz дz z дг дz

Ищем сохраняющийся ток в виде

А (г, z, ы, ц), В (г, z, ы, ц). Тогда имеем

дВ + дА =дА + дА + дА (-ды + 3 ц ^ +

дz дг дz ды дz дц \ дz г )

+ ав+дв_ ды+дв дц=0

дz ды дz дц дz

В результате расщепления получаем три уравнения на две функции:

дВ дА п дА дВ п

— + — = 0,--+ — = 0,

дц ды дц ды

дА 3 дА дВ Л — + —w — + — = 0.

dz r dw dz

(8)

Пусть А = аы + рц, В = в>ы - ац, где а, р есть некоторые функции от г, z . Тогда первые два уравнения (8) удовлетворяются тождественно, а третье уравнение дает два соотношения на функции а, р :

3 _ др да „да др

-р^—--= 0, — = 0.

r дг дz дг дz

(9)

Таким образом, получаем два уравнения на две функции.

Задача об определении неизвестной границы между пластической и упругой зонами сведена к решению двух линейных уравнений и вычислению нескольких квадратур. Тем самым в работе приведен новый способ решения задачи о кручении стержней переменного диаметра.

Библиографическая ссылка

1. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1975. 576 с.

References

1. Timoshenko S. P. Teoriya uprugosti (Theory of Elasticity). M. : Nauka, 1975, 576 p.

© Сенатов С. И., Гомонова О. В., 2013

УДК 539.374

ОБ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМ КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЯ

С. И. Сенашов, О. Н. Черепанова, А. В. Кондрин

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: sen@sibsau.ru

Решена классическая задача о кручении прямого стержня, поперечное сечение которого ограничено выпуклым контуром. Предполагается, что пластическая область охватывает всю внешнюю границу. Для решения задачи используются законы сохранения. Для кусочно-гладких границ решение найдено квадратурой. Написаны программы, позволяющие с любой точность строить пластические и упругие области в скручиваемом стержне. Тестирование на известных решениях дало совпадение результатов.

Ключевые слова: законы сохранения, точные решения, неизвестная граница, задача кручения прямого стержня.

ON ELASTOPLASTIC TORSION OF A ROD

S. I. Senashov, O. N. Cherepanova, A. V. Kondrin

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, "Krasnoyarsky Rabochy" Av., Krasnoyarsk, 660014, Russia. E-mail: sen@inbox.ru

The classic problem of torsion of a straight rod cross-section of which is limited to a convex contour has been solved. It is assumed that the domain of plasticity covers the entire external boundary. The laws of conservation are

Решетневскуе чтения. 2013

used to solve the problem. Solution found by quadrature for a piecewise smooth boundary. Programs have been written to build with any precision plastic and elastic region in a torsion rod. Testing for known solutions gave coincidence of results.

Keywords: conservation law, exact solution, unknown I

Решению задачи о напряженном состоянии упруго-пластического стержня посвящено много работ [1-4]. Внешняя граница стержня известна, в результате кручения между упругой и пластической областями появляется граница L, которая, вообще говоря, заранее не известна.

В предлагаемой работе с помощью законов сохранения определяется напряженное состояние во всех внутренних точках стержня и предлагаются формулы для аналитических вычислений этих напряжений для случая кусочно-гладкой ориентированной границы поперечного сечения.

На основе предложенных формул созданы программы, которые позволяют с любой точность строить пластические и упругие области в скручиваемом стержне.

Решение тестовых задач показало хорошее совпадение с известными решениями.

I

Параметр a = -1

ndary, the problem of torsion of a straight rod.

На рисунке представлена расчетная задача для стержня при значении крутящего параметра a = -1. Окружностями выделена пластическая область, треугольниками - упругая область.

Библиографические ссылки

1. Аннин Б. Д., Черепанов Г. П. Упруго-пластическая задача. Новосибирск : Наука, 2010.

2. Киряков П. П., Сенашов С. И., Яхно А. Н. Приложение симметрий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений. Новосибирск : Изд-во СО РАН.

3. Senashov S. I., Yachno A. N. Conservation Laws, Hodograph Transformation and Boundary Value Problems of Plane Plasticity. SIGMA 8 (2012), 071, 16 p.

4. Сенашов С. И. Законы сохранения в задаче о продольной плоской волне нагрузки в упругопласти-ческом стержне // Вестник СибГАУ. 2011. № 3(36). С. 82-85.

References

1. Annin B. D., Cherepanov G. P. Uprugo-plasticheskaya zadacha. Novosibirsk : Izd-vo «Nauka».

2. Kiryakov P. P., Senashov S. I., Yahno A. N. Prilozhenie simmetriy i zakonov sohraneniya k resheniyu differentsialnyih uravneniy. Novosibirsk : Izd-vo SO RAN.

3. Senashov S. I., Yachno A. N. Conservation Laws, Hodograph Transformation and Boundary Value Problems of Plane Plasticity. SIGMA 8 (2012), 071, 16 p.

4. Senashov S. I. Zakonyi sohraneniya v zadache o prodolnoy ploskoy volne nagruzki v uprugoplasticheskom sterzhne. Vestnik SibGAU, 2011, v.3(36), s.82-85

© Сенашов С. И., Черепанова Н. Ю., Кондрин А. В., 2013

УДК 539.3+539.4

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТРУКТУРЫ АРМИРОВАНИЯ ПЛОСКИХ КОНСТРУКЦИЙ В БИПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Н. А. Федорова, Д. А. Панкрац

Сибирский федеральный университет Россия, 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26. E-mail: ran@akadem.ru, dapankrats@mail.ru

Получена разрешающая система дифференциальных уравнений относительно компонент деформаций в биполярной системе координат. Рассмотрены примеры частных случаев армирования эксцентрического кольца.

Ключевые слова: армирование, структурная модель, криволинейные траектории в биполярной системе координат.