Об упругопластическом кручении стержня Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.374

ОБ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМ КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЯ*

С. И. Сенашов1, О. Н. Черепанова2, А. В. Кондрин1

1 Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31. Е-mail: sen@sibsau.ru

2Сибирский федеральный университет

Россия, 660041, Красноярск, просп. Свободный, 79

Решена классическая задача о кручении прямого стержня поперечное сечение которого ограничено выпуклым контуром. Предполагается, что пластическая область охватывает всю внешнюю границу. Для решения задачи используются законы сохранения. Для кусочно-гладких границ решение найдено квадратурой. Написаны программы, позволяющие с любой точность строить пластические и упругие области в скручиваемом стержне. Тестирование на известных решениях дало совпадение результатов.

Ключевые слова: законы сохранения, точные решения, неизвестная граница,задача кручения прямого стержня.

ABOUT ELASTOPLASTIC TORSION OF ROD

S. I. Senashov1, O. N. Cherepanova2, A. V. Kondrin1

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31 "Krasnoyarskiy Rabochiy" prosp., Krasnoyarsk, 660014, Russia. Е-mail: sen@inbox.ru

2Siberian Federal University 79 Svobodny рrosp., Krasnoyarsk, 660041, Russia

The classic problem of torsion of a straight rod with the cross-section being limited to a convex contour, has been solved. It is assumed that the domain of plasticity covers the entire external boundary. The laws of conservation are used to solve the problem. The solution for a piecewise smooth boundary is found with quadrature. The programs developed allow to construct plastic and elastic ranges with any precision in the torsion rod. Testing based on the known solutions gave the coincidence of the results.

Keywords: conservation law, exact solution, unknown boundary, the problem of torsion of a straight rod.

Рассмотрим упруго-пластическое кручение прямого стержня, поперечное сечение которого ограничено выпуклым контуром Г.

При достаточно большом значении крутящего момента в стержне образуется пластическая область Р. Она начинает образовываться на внешнем контуре Г. Предположим, что пластическая область полностью охватила контур. Тогда в поперечном сечении возникают две области - пластическая Р и упругая Б, Ь -граница раздела областей.

Решению задачи о напряженном состоянии упруго-пластического стержня посвящено много работ, но большинство из них основываются на некоторых предположениях о форме границы Ь, которая, вообще говоря, заранее не известна. Оригинальный метод по определению неизвестной границы предложен Б. Д. Анниным [1].

Этот метод основан на контактных преобразованиях и позволяет определить границу раздела между упругой и пластической областью в стержнях овального поперечного сечения. Постановку задачи и под-

робный обзор результатов можно найти в [1] и цитируемой там литературе.

Рис. 1

В предлагаемой работе с помощью законов сохранения определяется напряженное состояние во всех внутренних точках стержня, и предлагаются формулы для аналитических вычислений этих напряжений для случая кусочно-гладкой ориентированной границы поперечного сечения. Законы сохранения уже давно и плодотворно используются для решения многих задач математики и механики. Краткий обзор результатов и решенных задач из разных областей механики можно найти в [2-4].

*Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, шифр проекта 1.3720.2011.

Постановка задачи. Пусть тх2, ту2 - единственные ненулевые компоненты тензора напряжений. В упругой зоне они удовлетворяют уравнению равновесия

дф

дф, , дф.

= 0

дx ду

(1)

и уравнениям

т- = Об(£ - ') • т- = Об(*+ 'I- (2)

Здесь функция 6у(х, у) определяет депланацию поперечного сечения, 6 - постоянная, О - модуль упругости при сдвиге.

Введем функцию напряжения ф по формуле

дф дф Txz = ^ 'Т yz = ^

ду дх

(3)

тогда для определения ф в упругой области получаем уравнение

д 2 ф д2ф

=а (4)

где а = -2О6 - постоянная, не равная нулю.

В пластической области компоненты тхг, туг помимо уравнения равновесия удовлетворяют условию пластичности

(5)

Txz 2 +Т yz2 = 1-

Здесь, для простоты дальнейших вычислений, постоянную пластичности считаем равной единице.

Вводя в это уравнение функцию напряжения, получаем

(^Ф )2 + (^ф )2 = 1.

дх ду

(6)

д2 ф д2ф —2+ —2 = a .

дх2 дУ2

(7)

(^ф )2 + (^ф )2 = 1.

дх ду

(8)

На Г для функции ф выполняются условия

ф = 0 (9)

— = 0 или —l +——l2 = 0

(10)

д1 дх ду

на границе раздела Ь функция ф непрерывна.

Требуется найти ф в упругой и пластической областях, а так же найти границу раздела Ь.

Введем обозначения ф' = и, ф'у = V . Тогда уравнения (7)-(8) примут вид

Е = и'х + - а = 0, (11)

u 2 + v2 = 1.

(12)

В силу введенных обозначений будет выполняться равенство

^2 = и у - V' = 0 (13)

Определение. Назовем вектор (А, В) сохраняющимся током, для системы уравнений (11), (13), если выполнено соотношение

д xA+д yB = л^ +Л2 F =0.

(14)

Здесь Д1, Д2 некоторые линейные дифференциальные операторы.

Это означает, что для функций А и В справедлив закон сохранения на всех решениях системы (11),(13)

д хА + дуВ = 0 (15)

Закон сохранения (15) в силу уравнений (11),(9) имеет вид

Ах + Аиих + AvVx + Ву + Вииу + BvVy = 0

или, учитывая, что их = а - vy и иу = vx ,

Ах + Аиа - AuVy + AvVx + Ву + BuVx + BvVy = 0.

Из последнего равенства следует, что функции А и В удовлетворяют уравнениям

Граничные условия. Предположим, что боковая поверхность свободна от напряжений. Это означает,

что дф = 0 _ на контуре Г. Здесь I = (l2) - касательная к контуру Г. Отсюда получаем, что ф = const вдоль контура Г. Поскольку Г односвязный контур, то полагаем, что ф = 0 на Г.

Окончательно получаем следующую задачу: В области ограниченной кривой L необходимо решить уравнение

Ax + Au • a + By = 0, Bv - A = 0, Av + Bu = 0

(16) (17)

В области ограниченной кривыми Ь и Г (т. е. в области пластичности Р) функция ф удовлетворяет уравнению

(16)-(17) - уравнения Коши-Римана.

Рассмотрим область Б с границей Г, при условии, что область пластичности Р полностью охватывает упругую зону Е. Пусть Г - гладкая ориентированная кривая, т. е. непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек.

Из закона сохранения (15) следует, что

Ц(дхА + дуВ )сСхСу = 0. (18)

Б

Из (18),используя формулу Грина, получаем

$АсСу - Вйх = 0. (19)

Г

Наша задача найти такую область Е принадлежащую, вместе с ее границей Ь области Б , в которой выполняется неравенство и2 + V2 < 1.

Пусть А =аи + вV, В = av - ви + у , тогда

Ах = а хи +аих +в xV + вVx (20)

By =аyV + avy -PyU-puy +yy .

У 'У ■

(21).

Согласно закону сохранения (15) получаем равенство

Ах + Ву = ахи +аих + Рху + Рух + + ауУ + аУу -Руи-риу +Уу = 0

из которого следуют условия на функции а,р и у

ах -Ру = 0,

■Р х +а у = 0, (22):

аа + уу =0.

Рассмотрим два решения системы уравнений (22). Первое имеет вид

1 (х - хо )2 + (у - Уо )2

Pi =

У - Уо

(х - xo ) +(y - Уо )

Yiy = -а

тогда

(х - хо ) +(У - Уо ) У - Уо

Y1 = -а • arctg-

(23),

(24)

а 2 =

Соответственно второе возьмем в виде

У - Уо х - Хо

Р2 =-

(х - хо ) +(У - Уо ) (х - хо ) +(у - Уо)

У - Уо

Y 2 y = -а"

(25)

(х - хо ) + (у - Уо ) тогда y 2 =- 2 •ln ((х - хо )2 + (у - Уо )2)

Перепишем уравнение (19) для функций A и В : <pAdy - Bdx = £ (аи + Pv) dy - (av - Pu + y) dx =

V I Л

-a12 + р li

vdy -

udx -

l2

-a-2 + P

V li

^ dy -dy

/

£ -a — vdy - a — dx - £ydx + <£В(— dy+— dx) = J ' L i i dy дх

V l л

a ^-p

V l2 У

a — -p — dx -£ydx =

V l2 y dx Г

v l ^

Г V l1 y V l2 y Г Г dy = £audy - (av + y) dx = о

(26)

Разобьем границу Г на части, т. е. Г = Г1 + Г2 + Гз + Г4, где Г3 - окружность

(21) (х - х0 )2 + ( - ^0 )2 = К2. Тогда

§Ady - Bdx = (fаudy - (ау + у) ^Х =

Г Г

= §аudy - (ау + у) dx + §аudy -

Г1 Г 2

1 2 (27)

(ау + у) dx + §аudy - (ау + у) dx +

Гз

+ §аudy - (ау + у) dx = 0.

Г4

Очевидно, что j>аudy - (ау + у) dx + §аudy +

Г2 Г4

+ (ау + у) dx = 0. С учетом этого условия уравнение (25) примет вид

(§аudy-(ау + у)dx = -§аudy-(ау + у)dx. (28)

Гз Г!

Вычислим интеграл §, где Г1 - окружность ра-

Г1

диуса К. Пусть

а = а, = - 0

P = Pi =

(х - хо) + (у - Уо)

У - Уо

(х - хо )2 +(y - Уо )2

(29)

Y = Yi = -а • arctg

У - Уо

Введем полярную систему координат

í х - хо = Rcosф

| У - Уо = Rsin9

тогда [dx = - Rsirnpd ф dy = Rcosфd ф

(зо),

^ф sin ф

a = —~,в = —~ , Y = -аф . (3i) R R

В результате вычислений при R ^ о получим

£audy-(av + Y)dx = пи (хо.уо). (32)

Г1

Аналогично при a=a2, Р = Р2, Y = Y2

£audy-(av + Y)dx = nv (хо. уо ). (33) Г1

В результате из (14) имеем

£a1udy-(a1v + y1 )dx =nu (хо. уо ), (34)

Г3

2udy-(a 2v + y2 )dx =nv (хо. уо ). (35)

Рис. 2

Г

Г

3

Ю2

Зададим кривую Гз в параметрическом виде:

х = f ^), у =ф(t), 0 < t < T (36),

f (),ф' (/) соответственно производные функций f (') и ф (/) .

Тогда функции и (х0.у0 )•V(х0.у0) из (28), (34) будут вычисляться по следующим формулам

'(x0. y0 ) =

тт *

1 I (f (t)-x0 ))(f '(t ))2 + ^(t ))2

п 0 y/(f (t)- x0)2 + (ф(t)- y0)2 + af'(t) arctg ф(/y0 )dt,

'f (t H

v (x0. y0 ) =

TT

11 (ф(t)-y0

(37)

2

П 0 V(f (t)-x0)2 + (ф(t)-y0)2

f'(t) ln(( f (t)- x0)2 +(ф(t)- y0)2 ) dt.

Для получения этих соотношений использованы решения (34) и (35) соответственно.

Теперь вычисляем значение выражения

2 2 u 2 + v2

(38)

в точке (х0, у0). Те точки, в которых (38) больше или

равно единице, принадлежат пластической области, а те в которых выражение (38) меньше нуля - упругой.

На основе формул (34), (35) созданы программы, которые позволяют с любой точность строить пластические и упругие области в скручиваемом стержне.

Решение тестовых задач показало хорошее совпадение с известными решениями.

Библиографические ссылки

1. Аннин Б. Д., Черепанов Г. П. Упруго-пластическая задача. Новосибирск : Наука.

2. Киряков П. П., Сенашов С. И., Яхно А. Н. Приложение симметрий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений. Новосибирск : Изд-во СО РАН.

3. Senashov S. I., Yachno A. N. Conservation Laws, Hodograph Transformation and Boundary Value Problems of Plane Plasticity. SIGMA 8 (2012), 071, 16 p.

4. Сенашов С. И. Законы сохранения в задаче о продольной плоской волне нагрузки в упругопласти-ческом стержне // Вестник СибГАУ. 2011. № 3 (36). С. 82-85.

References

1. Annin B. D., Cherepanov G. P. Uprugo-plasticheskaya zadacha (Elastic-plastic problem). Novosibirsk, Nauka.

2. Kiryakov P. P., Senashov S. I., Yahno A .N. Prilozhenie simmetriy i zakonov sohraneniya k resheniyu differentsialnyih uravneniy (The application of symmetries and conservation laws for the solution of differential equations). Novosibirsk, Izd-vo SO RAN.

3. Senashov S. I., Yachno A. N. Conservation Laws, Hodograph Transformation and Boundary Value Problems of Plane Plasticity. SIGMA 8 (2012), 071, 16 p.

4. Senashov S. I. Vestnik SibGAU, 2011, № 3 (36), р. 82-85.

© Сенашов С. И., Черепанова О. Н., Кондрин А. В., 2013

a

+

УДК 538.9

ВЛИЯНИЕ ФОТОННОЙ ОБРАБОТКИ И ТЕМПЕРАТУРЫ НА ПРОВОДИМОСТЬ In2O3 ПЛЕНОК, ПОЛУЧЕННЫХ АВТОВОЛНОВЫМ ОКИСЛЕНИЕМ*

И. А. Тамбасов1, И. В. Немцев2, 4, Д. С. Савранский3, А. А. Мацынин1, Е. В. Ежикова4

Институт физики им. Л. В. Киренского, Сибирское отделение Российской академии наук Россия, 660036, Красноярск, Академгородок 50, строение 38. E-mail: tambasov_igor@mail.ru 2 Красноярский научный центр, Сибирское отделение Российской академии наук Россия, 660036, Красноярск, Академгородок 50 3Сибирский федеральный университет Россия, 660041, Красноярск, просп. Свободный, 79 4Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Пленки оксида индия были синтезированы автоволновой реакцией окисления на покровном стекле, кварце и монокристалле MgO. Толщина пленки измерялась с помощью режима «cross-section» сканирующего электронного микроскопа и составляла ~300 нм. Оптическая ширина запрещенной зоны оксида индия была ~3.5 эВ. Исследования сопротивления In2O3 пленки от температуры в теневых условиях показали, что при нагревании до 100 0С сопротивление увеличивается на ~10 %. Показано, что при фотооблучении происходит резкое уменьшение электрического сопротивления пленок, максимальное изменение которого соста-