ОБ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ ТРУБОПРОВОДОВ ПРИ ПОВТОРНО-ПЕРЕМЕННОМ НАГРУЖЕНИИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК.517.958:539.3

Рузиева Н.Б.

Старший преподаватель Ташкентского государственного транспортного университета,

100167, Ташкент, Узбекистан

ОБ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ ТРУБОПРОВОДОВ ПРИ ПОВТОРНО-ПЕРЕМЕННОМ НАГРУЖЕНИИ

Аннотация

В статье приводятся математические модели расчета трубопроводов при повторно-переменном нагружении. На основе теории малых упруго -пластических деформаций и вариационного принципа Гамильтона-Остроградского получена система дифференциальных уравнений движения (равновесия) при пространственном нагружении и сформулирована краевая задача. Для решения краевой задачи используются центральная разностная схема второго порядка точности и метод матричной прогонки. На основе приведенного алгоритма решена практическая задача.

Ключевые слова:

вариационный принцип, метод конечных разностей, переменная нагружения.

Summary

The article presents mathematical models for calculating cylindrical bodies under repeated-variable loading. On the basis of the theory of small elastic-plastic deformations and the Hamilton-Ostrogradsky variational principle, a system of differential equations of motion (equilibrium) under spatial loading is obtained and a boundary value problem is formulated. To solve the boundary value problem, a central difference scheme of the second order of accuracy and the matrix sweep method are used. A practical problem is solved on the basis of the given algorithm.

Key words:

variational principle, difference scheme, repeated loading.

1.Введение. Под действием повторно-переменных сил в трубопроводах возникают ряда дополнительных явлений. Таких как, возникновение вторичных пластических деформаций, изменение диаграмм деформирования от цикла к циклу, проявления свойств циклического упрочнения-разупрочнения и анизотропии. При выполнении расчета несущих элементов конструкций и сооружений за пределами упругости при повторно-переменных нагружениях используется главным образом теория малых упругопластических деформаций, сформулированная А.А. Ильюшиным - В.В. Москвитиным [10,12]. Ими предложен эффективный метод решения краевых задач - метод упругих решений. Для анализа упруго - пластического деформирования цилиндрических элементов при повторно-переменных нагружениях используются обобщенный принцип Мазинга [12], обобщенная диаграмма деформирования [8] и диаграмма циклического нагружения [14].

Вопросы методы решения задачи теории упругости и пластичности рассмотрены В.К. Кабуловым [11]. В работах Т.Буриева разработаны численные методы решения краевых задач, рассмотрены вопросы реализации на ЭВМ, построение алгоритмической системы расчета элементов конструкции в пределах и за пределами упругости при переменных нагружениях и разгружениях в текущих величинах [5].

Наиболее перспективным направлением по проблеме по прочности представляется создание методики расчета, основанной на расчетных схемах, адекватно описывающих геометрию и её эксплуатационный режим нагружения [5,15,16].

Ввиду сложности такого класса задач, их эффективное решение возможно лишь численными методами с применением современных персональных компьютеров. Возникает необходимость создания методов расчета для анализа и моделирования процессов деформирования, построение разрешающих систем уравнений, разработка алгоритмов и создание программных средств для анализа НДС с учетом

циклических упруго - пластических свойств материалов.

2.Постановка задачи и вариационный принцип. Приведем схема расчета для трубопроводов при повторно-переменном нагружении на основе теории малых упругопластических деформаций А.А. Ильюшина и уточненной теории стержней, предложенной В.З. Власовым, Г.Ю. Джанелидзе и В.К. Кабуловым [11,6,9].

Рассмотрим цилиндрическую систему координат, ось Ох - направим по длине трубы, а оси 02 и Оу - по поперечному сечению. Перемещения центральной линии трубопроводов при «-ном нагружении

обозначим через и(п), у(п), а компоненты деформаций и напряжений - через е(п), <у)") . Следуя работы

( n) (n)

У ' У

В.В.Москвитина [12], введем разности

= (-1)n(u™ -u(n)), ejn = (-1)n(4-1) -ef), öjn) = (-1)n j- у

(1)

На осно вании ряда допущений и гипотез [6], общие перемещения конструкции представим в виде:

(2)

где СС\ п ) - углы поворота сечения при чистом изгибе при п-ном нагружении, 0^пП - угол

,2n)>

u(n) = u(n) - a[">r cos y - a(2n)r sin y, u(n) = v(n) - 0(n)r sin y, u'f = w(n) - 9(n)r cos у ,(n) „(n)

закручивания.

Согласно (2) и соотношения Коши определяем компоненты деформации при «-ном нагружении:

Лп) _ s1 1 —

cu(n) дa2n) . да(п) (п) dw(n)

rcosy-1--rsiny-—, sin —-+ rcosy

dx

dx

dx

dx

d0(n) -an) sn = dv(n)

, s^ 2

dx

dx

-r sin y—--a1(n). (3)

dx 1

Здесь искомые величины и ,у , м? ,а( ,а(п>,в являются функциями по пространственной

переменной х и времени (.

При переменном нагружении компоненты напряжений связаны через деформации следующим образом [14]:

<) = 3G U(k) -

k-1

(0{k ^) +Ую0( k -m)s"1°1(k-m)

k-1

) = G Uk)-®(k S)

1(k-m)—1(k-m) S13

m=1

k-1

^п = О|4кп-®кп^кп

При линейном упрочнении

1(k-m)—1(k-m) S12

(4)

m=1

0, при £{un]<£{;\ri)

® n) =

1

1 s

(n )

(r)

:(n)

, пРи su) > s

(n) - ^(n)(r)

Для вывода уравнений движения трубопровода при пространственном нагружении с учетом упругопластических деформаций используем вариационный принцип Гамильтона-Остроградского [6]:

(Т - П + А)Ж = 0 (5)

Вычислим вариации кинетической энергии, при этом используем соотношение

3 ( ди(п п „ ди(п п ^

d t

■8-

4 ™

г t у 1=1 V

Выполняя операции интегрирования по частям, получим:

d t

dvdt.

J

3

8\ Tdt =\PX

V i=1

du

( n)

dt

■8u

( n)

H - \\pL

t t V i=1

2«(n)

d 2u

dt2

-■8u

(n)

dvdt.

(6)

В соотношении (6) первое и второе слагаемые обозначим через Ь, 12 и перепишем в виде:

<

u

I = jP

du(n) . . du(n) t . du(n) . . —^ • du(n) + —du(n) + du(n) dt 1 dt 2 dt 3

dV

I2= jjp

d u(n) . . d2u(n) , . d2u(n) . .

-• du(n) +-du(n) +-du(n)

dt2 1 dt2 2 dt2 3

dVdt.

Теперь выражения перемещений (2) подставим под знаками вариации (7)

-1— • 8(u(n) — r cos ya[n) — r sin ya(2n) +

Ii = jP

V

dt

du(n) ^ ^ du(n) ^ ^ ! I

+ —d(v(n) - rsiny0{n)) + d(win) + rcos/^(n))JdV dt dt 1

(7)

Раскроем скобки и выполним операции интегрирования по сечению трубопровода. В результате интеграл / с учетом некоторых обозначений можно записать в виде:

Ii = í<

/ \ (n) л (n

du da da F —--S —i--S —2_

dt z dt y dt

+

(n) (n)

^do dd )

F--Sy-

dt y dt

( )

do +

(n) (n)

r dw de F--+ S -

dt z dt

(n)

dw -

du da T da S,--J,--J t„-

z dt z dt y dt

с w

oax -

_ с«) ~ с«) ~ (")

„du da - da

Sy ~-T ~ Jyz ~-T ~ Jy IT

„ (n)

da2 +

(n) (n) (n)

dw do de S^--S „--+ J r

dt

dt

dt

den ldx

Аналогичным образом определяем вторую часть кинетического уравнения (7), т.е. выражения интеграла Ь:

|Г ("} ^2 ("} ^2 (" ' 1 Г ^2 ("} ("}

/2=иЬ- я - я, да -

dt2

z Í3¿2 ^y Д.2

dt

dt2

(n)

du -

„du' d 2a S—r^;--J

z " z - .2

dt

dt2

- J dai

yz

dt2

- № da -

„du d a j d a y "d? yz "d2 y "d2"

(n)

da2 +

„ d w r, d o T d e S-;--S„-+ J

z У Я* 2

dt

dt2

P

dt2

(n)

de +

+

Fd V") d2e

F----S„

dt

2 y dt2

(n)

do +

F+ Sde

dt

2 z Tu!

dt2

dw () ^dXdt.

где

dF = rdrdy, jdF = F, | rcosydF = S, |rsin^dF = S,

FF F

j(rcos/)2dF = Jz, j(rsin/)2dF = J , jp2dF = J , jr2cos/-sinydF = J ,

Учитывая выражения интегралов I и /2 вариации кинетической энергии (6) запишем в векторном

виде:

d 2Y

. . „ Я7(й) г г ~ д Y

S\Tdt =\A^-ESYin) dx[ - J J A — ESY dxdt

t x

dt1

(8)

здесь

T/2n) Л 2n) ,.2n) ,..2n)__2n)__2n) n(n)\ Л т'

= ^u , w ,a\ ,o J -вектор перемещения, A — матрица шестого порядка, E

-единичная матрица.

Вариации потенциальной энергии в данной постановке имеет вид:

da{n) да(п)^

djndt = n)d

t V

du(

--r cos/—1-

dx dx

r sin/-

dx

+

+ a(n)d

dw1

(n)

dx

+ r cos/-

de

(n)

Л

--a(n)

dx 2

+a(n)d

do

(n)

dx

r sin/-

J

de(n)

--a

dx 1

(n)

(9)

>dVdt.

t V

(n)

x

t x

F

F

F

F

2

Теперь раскрываем скобки и выделим интеграл по сечению трубы. После некоторых выкладок и обозначений из (9) имеем:

5\Шг = $(к) -М(к)дс{кп -М(к)3С(к) +^к)5о{к) + 0(к+ М[к)ёв(к)}й\ - (10)

(k) йп(к) ( -M(k) ^

[s^(к) m -Q ) ™ -Q

- JN —^ Su(k) +Sv(k) + Sw(k) +

tx 1-Х -x -x

Q(k) -' -x

V /

( -M(k ^

¿a(k) + 1

Qk) -■

z -x

V /

m -M(k)

Sa ) +-^ дд(k)

-x

здесь введены следующие обозначения:

Án)^—\j(n) Сл-МлГ —ЛМ f^-M^F - Д/(")

[ЛР = Ж(п), [ЛР = 0(п), $^(п) уОР = М(

11 * ■'12 У -1 11 ^ г

Р Р Р

\(а{п)у-а(п) г)ОР = М (п\ \а(п) гйР = М (п\ \а{п)ёР = 0{п). (11)

1 \ 13 ^ 12 > * •'и у •'13 г

Р Р Р

С учетом (4) и введенных обозначений определяем внутренних усилий и моментов, например ) можно представить в виде:

х \ > ) IV ш } дх V 2 ™>дх \ у уш > дх

-a0(k-1)) Pnj0(k-1) -a0(k-1) k-1r Я / ч

+ S(k) -ai__F(k) -u - S(k) -a2 + y F0(k-m) - L0(k-и) _ u0(k-m-1) \

ги -x a -x -x m=1L a -xK '

- srm) |k(k-m) -^-m-1))-e-m) |fc(k-m) Ж ( 12)

где F = J rdrdy, S(k) = J r 2 cos y drd y, S(k) = J r 2 sin ydrdy. Аналогичным образом,

F F F

определяются интегралы F^ ),....,S® содержащие функции пластичности o, например,

F(0k) = Jtordrdy, S(k) = Jor2sinydrdy.

F F

Подставляя выражения усилий на вариации потенциальной энергии получим:

('ЛТг(и) | [Я Лу(я)

(Ауп - Апл)--+ (Вуп - Впл)Y(n) \ESY(n) dt\t + JJj —((Ауп -Апл)--+

ox ox ^x

-Y (n)

(Вуп -Впл)Y(n)) + (суп -Спл) —— + (Dyn -Dnn)y(n)}ESY(n)dxdt (13)

dx

Вариации работы внешних сил приняты в виде:

.3 3 3

SA = J2 p^Su^du + J2 ^¿U M)ds + JX у; n)dsi

F i=1 s i=1 s ;=1

■"i (n) S^L^rr ГТТТ тех ЛТ1ТТТТ /Tf(n) ТТЛПОМ^ТТЛЛ'ГТТТ тех ЛТ1ТТТТ /*( n)

(14)

где р" -объемные силы, qin -поверхностные силы, £ п -торцевые силы при переменном

нагружении. К соотношению (14) подставляем выражения перемещений (2) и выполним интегрирование по поперечным сечениям трубы:

3$ЛОг = ц{|[р(п)з(и(п) - г со$ус(п) - гбШС)+ Р(п)з(у(п) - гьту9(п))+

t x If

+ p3<n)s(w(n) + r cos д)dF}xdt + n\¡ I? 1<") s(uin) - r cos ya(n) - r sin ya¡n))+

t x [l

+ q<">s(v(n) -rsinyd(n))+ q^(w^ + rcosyd(n)tyrflxdt + |J\[fln)s(u(n) -rcosya[n) -rsinya(n))+

2 3 t l^i 1

+ f2(n)s(v(n) - rsinyd(n))+ f(n)s(w(n) + r cosyd(n))JdS . (15)

x

x

Введем обозначения:

J p\n)dF = Ny6(n), J r cos pn)dF = Mfn), J r sin ]p[n)dF = M°y6(n),

F F F

J p[n)dF = Q°°62n), J p(n)dF = Qy6(n), J (r cos ^n) — r sin )dF = Mfn).

F F F

Аналогичным образом определяются поверхностные и торцовые нагрузки, например, Nn(n), n^2n). Теперь перепишем соотношения (15) в виде:

SJ Adt = J J In°б2п) — NП2n) )u(n) + (Qy6(n)+Qny 2n) Sv(n) + (Qy62n) + Qf 2n) )w(n) —

t t X

— Mf+Mf2n))sb(n) — (м°°б2п) + Mny 2n))5Ь(П) — M°°62n) + МП(n)S2n) Jdxdt +

+ jN Г 2n)SU(n) + Q FSv(n) + QF (n)Sw(n) — MF (n)Sa(n) — MF (n)Sa(n) — MF (n)SO(n) jdtl

J С X ъ^у ^Z Z ! y 2 X T \x

Вариации работ внешних сил (17) можно представить в векторном виде:

Adt = | 0Г (П)ЗУ(п) dt +110П(п) dY(п) dxdt

(16)

(17)

3. Формирование краевых задач и пример расчета. Подставляя векторные выражения вариации кинетической (8), потенциальной (10) энергий и работы внешних сил (17) в вариационный принцип (5) получим следующую краевую задача для к-го нагружения и разгружения в векторном виде:

d2Y д А—- + —

dt2 дх

(Ayn - А"л(к)) dY + (Bуп - В"л(к))

+ 1Вуп -В"л(к))Y

(к )W(k)

dY

(k

(су" -с"л(к^__+

( ) dx

+ (Dу" -Dm(k))y(к) = Q(k) + — А

V ' " Яг

d dx

А'

л(к)

dY0(k dx

пл(к )у 0(к-1)

+ в"л(к y

+ с'

л(к)

dY0(k-dx

j-"(k)у0(к-1) k-2 I d дию(к-m) d ( jr0(к-m) ^0(к-m-1) V ^то(к-m) (у0(к-m) у0(к-m-1) )

dx( ) ( )

=i 1-x

d dx

ло(к-m) d (^0(к-m) -j^0(k-m-1) ) ^ j-^m^k-m) (^0(к-m) -j^0(k-m-1))[ .

p¡y(k) _

( Ау" - A™(k)) +(В У" - В"л(к)) Y(k) - Q ^ ' dx ^ '

(к) ^"ло(к )y 0(k-i) дпло(к)

dY0 k-dx

(18)

k-2 ^пло(к-ш) d /у0(k-m) y 0(k-m-i) \ ßmü(k-m) íy 0(k-m) y0(k-m-i) \

m=1 L dx

dY

(k)

= 0

~ f1Y(n) I

A^—E8 Y(n)\ =0 dt

(19)

(20)

Здесь матрицы А, В, С, О - квадратичные матрицы шестого порядка, О" и 0гр векторы внешних сил шестого порядка. Элементы матрицы имеют вид:

а = ауп - апл(п), Ъ = Ъуп - Ъпл(п), с = суп - с"л(п), ^ = dуn - d].

У У У ' У У У ' У У У ' У У У

Выражения внутренних усилий и моментов в векторной форме можно представить в виде:

P(n) (x, t) =

3GhJ,

2_o ^ (Ayn-Аш(п))^— + (Вуп-Втп)У dx

du{

n)

jyn Т>пл(п)\ (n)

l

где

P(n) = M(n) M(n) Q(n) M(n) Q(n) ^ aí у" А "Л(") В У" В "Л(") -

квадратные матрицы девятого

порядка.

Для решения краевой задачи используется метод конечных разностей [7,13] и метод упругих решений А.А. Ильюшина.

Из вариационного уравнения движения получена система дифференциальных уравнений

t t t x

x

m

равновесия трубопровода при повторно-переменном нагружении с граничными условиями в векторной форме. Для решения краевой задачи используется метод конечных разностей. В процессе их аппроксимации применяется центральная разностная схема второго порядка точности [1-4]. Векторное уравнения равновесия после применения разностей схемы получают вид:

А -А"Лк) -(ву" -В"Лк%(к) + (су" -С"Лк^(к) = О) + О" + г = 1,2,...,п-1;

Для решения сформулированных алгебраических уравнений с соответствующими граничными условиями, используется метод матричной прогонки Т. Буриева [5] с применением следующей рекуррентной формулы:

г = а^ + Д(к); г = N -1,...1 (21)

здесь

=(в(к) -с(к)а%)-1 А(к); Д(к) =(в(к) -С^а1)-1 (с^-¥/к)) при г = 1,2,...,N -1.

В качестве примера приведем результаты расчета трубопровода, защемленного по торцам при знакопеременном нагружении. За внешнюю нагрузку приняты следующие значения: /+ = 25; / = 50;

/+= 10; /0 = 5;(кг/см2); а = ж/Ъ ; а = ж/2 ; у = Ж/4; у = ж/6 . Значения компонентов вектора перемещений и внутренних усилий, вычисленные на основе приведенного алгоритма, представлены в табл.1. Здесь приведены численные значения расчетных величен Ж(к) ,а(к), а(к), V(1) при повторно-переменно нагружении ^=1,5) с учетом упруго-пластических свойств на основе обобщенного принципа Мазинга(число узлов сетки N=40).

Таблица 1

Расчетная величина x W(k) а[к) af V да

0.1 -0.038498 -0.724490 -0.679278 -0.036098

0.2 -0.124965 -0.965903 -0.905623 -0.117170

0.4 -0.284147 -0.482706 -0.452569 -0.266419

0.6 -0.284124 0.483426 0.453289 -0.266396

0.8 -0.124919 0.966394 0.906114 -0.117123

0.9 -0.038463 0.724772 0.679560 -0.036062

Ь=5 0.1 -0.038502 -0.724583 -0.679373 -0.036101

0.2 -0.124982 -0.966050 -0.905770 -0.117186

0.4 -0.284190 -0.482782 -0.452642 -0.266462

0.6 -0.284166 0.483511 0.453370 -0.266438

0.8 -0.124934 0.966536 0.906256 -0.117138

0.9 -0.038467 0.724856 0.679646 -0.036066

Таблица 2

Расчетная величина x ö(k) М(к) Q2k) М(k)

0.0 14.8597 93.7650 13.9340 89.1796

0.2 7.83433 5.85102 7.34389 5.56424

0.4 2.59486 -41.0297 2.43147 -39.0236

0.6 -2.64614 -41.0243 -2.48271 -39.0182

0.8 -7.88573 5.86793 -7.39532 5.58184

1.0 -14.8119 93.7967 -13.8862 89.2114

Ь=5 0.0 -14.8652 94.1137 13.9393 89.2166

0.2 7.83850 5.87462 7.34794 5.56778

0.4 2.59560 -41.1852 2.43210 -39.0421

0.6 -2.64694 -41.1795 -2.48341 -39.0359

0.8 -7.88983 5.89176 -7.39926 5.58623

1.0 -14.8165 94.1454 -13.8907 89.2474

Численные значения расчетных величин , М^), ), М(к) при повторно-переменном упруго-

пластическом нагружении ^=1,5) приведены в табл.2.

4. Выводы. На основе теории малых упруго - пластических деформаций и вариационного принципа разработаны математические модели деформирования трубопроводов при повторно-

переменных нагружениях. Получены системы дифференциальных уравнений движения (равновесия) для трубопроводов при пространственном нагружении с соответствующими граничными и начальными условиями. Для решения краевой задачи применяются метод конечных разностей и метод упругих решений.

Список использованной литературы:

1. Абдусаттаров А., Юлдашев Т., Рузиева Н.Б. К расчету магистральных трубопроводов при переменном нагружении с учетом упругопластических деформации.// Mатер.Респуб.науч.-тех.конференции, ТашИИТ, 2009, с. 138-142.

2. Абдусаттаров А., Исомиддинов А.И., Рузиева Н.Б. Об алгаритмах расчета и анализа упругопластических стержней при пространственно-переменном нагружении.// Вестник ТашИИТ, №2. 2010. с. 24-2S.

3. Абдусаттаров А., Исомиддинов А.И., Рузиева Н.Б. Уравнение движения подземных магистральных трубопроводов при пространственно-переменном упругопластическом нагружении.//Проблемы современной архитектуры, прочности и надежности зданий и сооружений, сейсмической безопасности. Mатериалы республиканской научно-практической конференции. НамИСИ, 2021. с.135-137.

4. Абдусаттаров А., Mаткаримов А.Х., Хайдаров А.Х. Mоделирования подземных трубопроводов при пространственных нагружении с учетом вязкоупругого взаимодействия. //Вестник ТашИИТ, №3/4. 2012. с. 12-14.

5. Буриев Т. Алгоритмизация расчет а несущих элементов тонкостенных конструкций. Т.: Изд. «Фан», 1986. 244 с.

6. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. - M.: Физматгиз, 1959. 568 с.

7. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. M. Наука, 1973. 400 с.

S. Гусенков А.П., Mосквитин Г.В., Хорошилов В.Н. Mалоцикловая прочность оболочечных конструкций. -M.: Наука, 1989. 254 с.

9. Джанелидзе Г.Ю., Пановка Я.Г. Статика упругих тонкостенных стержней. M.-Л., ГТТИ., 1948. 248 с.

10. Ильюшин А.А. Труды. Пластичность. -M: Логос, 2004. 376 с.

11. Кабулов В.К. Алгоритмизация в теории упругости и деформационной теории пластичности. - Т.: Фан, 1966. 394 с.

12. Mосквитин В.В. Циклические нагружения элементов конструкций. Mосква, «URSS», 2019. 344 с.

13. Самарский А.А., Mихайлов А.П. Mатематическое моделиирование: Идеи. Mетоды. Примеры. M.: Наука, 2001. 316 с.

14. Трощенко В.Т., Лебедев А.А., и др. Mеханическое поведение материалов при различных видах нагружений. Киев, 2000. 571 с.

15. Truesdell C., Noll W. The non- linear field theories of Mechanics. Handbuch der Physik .III. Berlin: Springer Verlag, 2004. 602 pp.

16. Yang X. Low cyclic fatigue and cyclic stress ratcheting failure behavior of carbon steel 45 under uniaxial cyclic.//Int. Journal of Fatigue. № 27. 2004.Рр.1124-1132.

© Рузиева Н.Б., 2021

УДК 53.01,53.03

Сумачев Ю.Н.

Инженер по метрологии, ФБУ «Тест-С-Петербург»

Санкт-Петербург, Россия

ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ И ГРАВИТАЦИОННАЯ ПОСТОЯННАЯ: УТОЧНЕНИЕ ПОНЯТИЙ. ПРЕДЛОЖЕНИЯ.

Аннотация

В статье предложены более точная формула закона всемирного тяготения и новое численное значение гравитационного коэффициента.